|
|
(egy szerkesztő 20 közbeeső változata nincs mutatva) |
1. sor: |
1. sor: |
| ''<sub><[[Matematika A3a 2008]]</sub>'' | | ''<sub><[[Matematika A3a 2008]]</sub>'' |
| | | |
− | ==Feladat folytonosságra== | + | ==Megoldási stratégiák== |
| | | |
− | '''Feladat.''' Legyen ''w'' ∈ '''C'''. Igazoljuk, hogy az alábbi függvények folytonosak! | + | :nemlineáris |
− | # <math>z\mapsto w + z\,</math>
| + | ::szeparábilis: dy/dx=g(x)/f(y) és f(y)dy=g(x)dx |
− | # <math>z\mapsto w\cdot z\,</math>
| + | :::szeparábilisra visszavezethető: |
− | # <math>z\mapsto \overline{z}\,</math>
| + | ::::y'=f(ax+by+c) alakú, ilyenkor u=ax+by+c, u'=a+by' vezet célra |
− | # <math>z\mapsto \frac{1}{z}\quad\quad (z\ne 0)</math>
| + | ::::y'=f(y/x) alakú, ilyenkor u=y/x és y'=u'x+u vezet célra |
| + | ::egzakt |
| + | :::egzaktra visszavezethető |
| + | ::::m=m(x) |
| + | ::::m=m(y) |
| + | :lineáris |
| + | ::függvényegyütthatós elsőrendű: y'+f(x)y=h(x). |
| + | :::Ekkor az állandó variálásával kell számolni: I., y'+f(x)y=0 megoldása: y=y(x,c) II., y=y(x,c(x)) alakban keressük a megoldást |
| + | ::állandó együtthatós: |
| + | :::kezdeti feltétellel: Laplace-transzformációval |
| + | ::::egyenlet másodrendű: a<math>y''</math>+by'+cy=h(x), y(0)=... y'(0)=... |
| + | ::::egyenletrendszer elsőrendű: y_1, y_2, y_1(0)=... y_2(0)=..., |
| + | :::általános megoldást keresünk: |
| + | ::::egyenlet: a<math>y''</math>+by'+cy=h(x) próbafüggvény módszer (böhöm képletek) |
| + | ::::egyenletrendszer (nincs kezdeti feltétel, általános megoldást keresünk) A sajátértékei, vektorai |
| | | |
− | ''Megoldás.'' | + | ==Laplace-transzformáció== |
| + | :''t'', ''s''>0 |
| + | :<math>t\mapsto f(t)\qquad \overset{\mathcal{L}}{\Rightarrow} \qquad s\mapsto F(s);\qquad F(s) |
| + | =\int_{0}^\infty e^{-st} f(t)\,dt</math> |
| | | |
− | Az 1. az '''R'''<sup>2</sup>-ben eltolás a ''w''-nek megfelelő vektorral (Re(''w''), Im(''w''))-vel, így affin leképezés, ami folytonos.
| + | ===Linearitás=== |
| + | : <math>\mathcal{L}\left\{a f(t) + b g(t) \right\} |
| + | = a \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} + |
| + | b \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\}</math> |
| | | |
− | 2. a ''w'' mátrixreprezentációjának megfelelő mátrixszal való szorzás, azaz lineáris leképezés, s így folytonos.
| + | ===Deriváltak=== |
| + | : <math>\mathcal{L}\{f'(t)\} |
| + | = s \mathcal{L}\{f(t)\} - f(0)</math> |
| + | : <math>\mathcal{L}\{f''(t)\} |
| + | = s^2 \mathcal{L}\{f(t)\} - s f(0) - f'(0)</math> |
| | | |
− | 3. azaz a konjugálás: (''x'',''y'') <math>\mapsto</math> (''x'',–''y'') a valós tengelyre való tükrözés, ami szintén lineáris.
| + | ===Elemi függvények=== |
| + | : <math>\mathcal{L}\{\,t^n\} = \frac {n!}{s^{n+1}}</math> |
| | | |
− | Végül a reciprok:
| + | : <math>\mathcal{L}\{\,e^{-at}\} = \frac {1}{s+a}</math> |
− | :<math>\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{z\overline{z}}=\frac{\overline{z}}{|z|^2}</math> | + | |
− | így, mint '''R'''<sup>2</sup> ⊃<math>\to</math> '''R'''<sup>2</sup> függvény:
| + | |
− | :<math>\begin{pmatrix}
| + | |
− | x \\
| + | |
− | y
| + | |
− | \end{pmatrix}\mapsto
| + | |
− | \begin{pmatrix}
| + | |
− | \cfrac{x}{x^2+y^2} \\
| + | |
− | \cfrac{-y}{x^2+y^2}
| + | |
− | \end{pmatrix}</math>
| + | |
− | amely olyan, hogy mindkét komponensfüggvénye folytonos valós függvényekből van összeállítva a folytonosságot megőrző módon, azaz az értelmezési tartománya minden pontjában folytonos.
| + | |
| | | |
− | '''Feladat.''' Folytonos-e a ''z'' = 0-ban az
| + | : <math>\mathcal{L}\{\,t^{n} e^{-a t}\}= \frac{n!}{(s+a)^{n+1}}</math> |
− | :<math>f(z)=\left\{ | + | |
− | \begin{matrix}
| + | |
− | \cfrac{\mathrm{Im}(z)^3+\mathrm{i}\cdot\mathrm{Re}(z)^4}{\overline{z}\cdot z},\quad\quad\mathrm{ha}\;z\ne 0\\ | + | |
− | \\
| + | |
− | 0,\quad\quad \mathrm{ha}\;z=0
| + | |
− | \end{matrix}
| + | |
− | \right.</math>
| + | |
| | | |
− | ''Megoldás.''
| + | : <math>\mathcal{L}\{\,\sin(\omega t)\} = \frac {\omega}{s^2 + \omega^2}</math> |
− |
| + | |
− | Ha ''z'' = ''x'' + i''y'' és (''x'',''y'') ≠ (0,0), akkor:
| + | |
− | :<math>f(x,y)=\begin{pmatrix} | + | |
− | \cfrac{y^3}{x^2+y^2} \\ | + | |
− | \cfrac{x^4}{x^2+y^2} | + | |
− | \end{pmatrix}</math>
| + | |
| | | |
− | A komponensfüggvények felírhatók egy 0-hoz tartó és egy korlátos függvény szorzataként:
| |
− | :<math>\left|\cfrac{y^3}{x^2+y^2}\right|=|y|\cdot\frac{y^2}{x^2+y^2}\leq |y|\cdot\frac{y^2}{y^2}=|y|</math>
| |
− | és
| |
− | :<math>\left|\cfrac{x^4}{x^2+y^2}\right|=x^2\cdot\frac{x^2}{x^2+y^2}\leq x^2\cdot\frac{x^2}{x^2}=x^2</math>
| |
− | így (x,y)<math>\to</math>(0,0) esetén a 0-hoz tartanak, így a függvény maga a (0,0)-hoz, azaz a komplex 0-hoz. Mivel itt a függvény értéke 0, ezért ''f'' a 0-ban folytonos.
| |
| | | |
| + | : <math>\mathcal{L}\{\,\cos(\omega t)\} = \frac {s}{s^2 + \omega^2}</math> |
| | | |
− | Ha folytonos komplex függvényekből alapműveletek segítségével alkottunk függvényeket, akkor azok is folytonosak maradnak, mert a megfelelő '''R'''<sup>2</sup>-beli függvények ekkor olyanok lesznek, melyek mindegyik komponensfüggvénye a valós alapműveletek segítségével vannak definiálva. Ám, ezek megőrzik a folytonosságot.
| + | ==Másodrendű állandó együtthatós inhomogén lineáris kezdetiérték feladat== |
| + | '''1.''' |
| + | :<math>y''-y=e^{-t}\qquad\qquad y(0)=1, y'(0)=0\,</math> |
| | | |
− | '''Állítás.''' Ha ''f'' és ''g'' komplex függvények és az ''z''<sub>0</sub> pontban (mindketten értelmezettek és) folytonosak, akkor
| + | Mo. |
− | # ''f'' + ''g''
| + | :<math>\mathcal{L}\{y\}=Y\,</math> |
− | # ''f'' <math>\cdot</math> ''g''
| + | |
− | # <math>\overline{f}</math>
| + | |
− | # ''g''(''z''<sub>0</sub>) ≠ 0 esetén ''f''/''g''
| + | |
− | is folytonos ''z''<sub>0</sub>-ban.
| + | |
| | | |
| + | :<math> s^2 Y -sy(0)-y'(0) s - Y = \frac{1}{s+1}\,</math> |
| + | :<math> s^2 Y -s- Y = \frac{1}{s+1}\,</math> |
| + | :<math> Y(s^2-1)-s = \frac{1}{s+1}\,</math> |
| + | :<math> Y(s^2-1)= \frac{1}{s+1}+\frac{s(s+1)}{s+1}\,</math> |
| + | :<math> Y = \frac{s^2+s+1}{(s+1)(s^2-1)}\,</math> |
| + | Parciális törtekre bontás: |
| + | :<math>\frac{s^2+s+1}{(s+1)(s^2-1)} = \frac{s^2+s+1}{(s+1)^2(s-1)} = \frac{A}{(s+1)^2} + \frac{B}{s+1} + \frac{C}{s-1}\,</math> |
| + | :<math>s^2+s+1 = A(s-1) + B(s+1)(s-1) + C(s+1)^2\,</math> |
| + | Innen s=1-gyel 3=4C, s=-1-gyel 1=-2A, és s=0-val 1=-A-B+C. Azaz |
| + | :<math>C=3/4, \,\,\, A=-1/2, \,\,\, B=1/4\,</math><br><br> |
| + | :<math>\frac{s^2+s+1}{(s+1)(s^2-1)} = \frac{-1/2}{(s+1)^2} + \frac{1/4}{s+1} + \frac{-1/2}{s-1}\,</math><br><br> |
| + | :<math>Y = \frac{-1/2}{(s+1)^2} + \frac{1/4}{s+1} + \frac{-1/2}{s-1}\,</math><br><br> |
| | | |
− | Folytonos függvények kompozíciója is folytonos (az kompozíció értelmezési tartományán).
| + | :<math>y(t) = \frac{-1}{2}(t e^{-t}) + \frac{1}{4}e^{-t} + \frac{3}{4}e^t\,</math><br><br> |
| + | '''2.''' |
| | | |
− | '''Feladat.''' Folytonos-e a ''z'' = i-ben az | + | :<math> |
− | :<math>f(z)=\left\{ | + | y''-10y'+9y=5t,\quad\quad y(0)=-1,\;y'(0)=2</math> |
− | \begin{matrix} | + | '''Mo.''' |
− | \cfrac{\mathrm{i}z+1}{|z-\mathrm{i}|},\quad\quad\mathrm{ha}\;z\ne \mathrm{i}\\ | + | :<math>L(y')=sY-y(0)</math> |
− | \\ | + | :<math>L(y'')=s^2Y-sy(0)-y'(0)</math> |
− | 0,\quad\quad \mathrm{ha}\;z=\mathrm{i}
| + | :<math>L(5t)=\frac{5}{s^2}</math> |
− | \end{matrix} | + | :<math>s^2Y-sy(0)-y'(0)-10sY+10y(0)+9Y=\frac{5}{s^2}</math> |
− | \right.</math> | + | :<math>s^2Y+s-2-10sY-10+9Y=\frac{5}{s^2}</math> |
| + | :<math>Y(s^2-10s+9)+s-12=\frac{5}{s^2}</math> |
| + | :<math>Y=\frac{\frac{5}{s^2}-s+12}{s^2-10s+9}</math> |
| + | :<math>Y=\frac{5}{s^2(s-9)(s-1)}-\frac{s-12}{(s-9)(s-1)}</math> |
| + | :<math>Y=\frac{-s^3+12 s^2+5}{s^2(s-9)(s-1)}</math> |
| + | :<math>\frac{-s^3+12 s^2+5}{s^2(s-9)(s-1)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s^2}+\frac{C}{s-9}+\frac{D}{s-1}=\frac{As(s-9)(s-1)+B(s-9)(s-1)+Cs^2(s-1)+Ds^2(s-9)}{s^2(s-9)(s-1)}</math> |
| + | A gyököket beírva: |
| + | s=0-ra B=5/9 |
| | | |
− | Ha ''z'' = ''x'' + i''y'' és (''x'',''y'') ≠ (0,1), akkor:
| + | s=1-re D=16/(-8)=-2 |
− | :<math>f(x,y)=\begin{pmatrix}
| + | |
− | \cfrac{-y+1}{\sqrt{x^2+(y-1)^2}} \\
| + | |
− | \cfrac{x}{\sqrt{x^2+(y-1)^2}}
| + | |
− | \end{pmatrix}</math>
| + | |
| | | |
− | Már az első komponens határértéke sem létezik, hisz (x,y)=(0,y) mentén alulról a (0,1)-hez tartva a határérték -1, az x=y-1 mentén pedig -1/gyök kettő.
| + | s=9-re C.8.81=-243+12.27+5 C=31/81 |
| | | |
− | A második tényező szintén nem. | + | s=2-re A=50/81 |
| | | |
− | ==Feladatok határértékre== | + | Visszatranszf. |
| + | :<math> |
| + | y(t)=\frac{50}{81}+\frac{5}{9}t+\frac{31}{81}e^{9t}-2e^t</math> |
| | | |
− | '''Feladat.''' Igazoljuk definíció szerint, hogy
| + | ==Elsőrendű állandó együtthatós inhomogén lineáris differenciálegyenletrendszer kezdetiérték feltétellel== |
− | #<math>\lim\limits_{z\to 0}\frac{1}{z}=\infty</math>
| + | |
− | #<math>\lim\limits_{z\to \infty}\frac{1}{z}=0</math>
| + | |
− |
| + | |
− | 1. Legyen ε > 0. Ekkor azt kell belátnuk, hogy létezik δ > 0, hogy teljesüljön |''z''| < δ esetén, hogy a függvényérték a ∞ ε sugarú környezetébe esik, azaz:
| + | |
− | :<math>\left|\frac{1}{z}\right|>\frac{1}{\varepsilon}</math>
| + | |
− | Világos, hogy ezt azt jelenti, hogy
| + | |
− | :<math>|z|<\varepsilon</math>
| + | |
− | amit reciprokvonással kaptunk. Ha tehát ha δ := ε és |''z''| < δ, akkor "felfelé" következtetve kijön a kívánt egyenlőtlenség.
| + | |
| | | |
− | 2. Legyen ε > 0. Ekkor azt kell belátnuk, hogy létezik δ > 0, hogy teljesüljön |''z''| > 1/δ esetén, hogy a függvényérték a 0-nak ε sugarú környezetébe esik, azaz:
| + | '''3.''' |
− | :<math>\left|\frac{1}{z}\right|<\varepsilon</math> | + | :<math>\dot{x_1}=x_1+2x_2</math> |
− | Világos, hogy ezt azt jelenti, hogy
| + | :<math>\dot{x_2}=2x_1+x_2</math> |
− | :<math>|z|>\frac{1}{\varepsilon}</math> | + | A <math>x_1(0)=2,\;x_2(0)=-2</math> kezdetiérték feltétellel. |
− | amit reciprokvonással kaptunk. Ha tehát ha δ := ε és |''z''| > 1/δ, akkor "felfelé" következtetve kijön a kívánt egyenlőtlenség.
| + | |
| | | |
− | A végtelen határérékkel történő számolás szabályai előtt definiálnunk kell néhány kibővített műveletet. Ezt a következők szellemében tesszük:
| + | ''Mo.'' |
| + | :<math>sX_1-2=X_1+2X_2\,</math> |
| + | :<math>sX_1+2=2X_1+X_2\,</math> |
| + | Összeadva őket: |
| + | :<math>s(X_1+X_2)=3(X_1+X_2)\,</math> |
| + | :<math>(s-3)(X_1+X_2)=0\,</math> |
| + | Ami csak akkor teljesülhet minden s-re, ha <math>X_2=-X_1</math>. Innen |
| + | :<math>sX_1-2=X_1-2X_1\,</math> |
| + | :<math>(s+1)X_1=2\,</math> |
| + | :<math>X_1=2\frac{1}{s+1}\,</math> |
| + | :<math>X_2=-2\frac{1}{s+1}\,</math> |
| + | És végül |
| + | :<math>x_1(t)=2e^{-t}</math> |
| + | :<math>x_2(t)=-2e^{-t}</math> |
| | | |
− | :Ha ''a'' és ''b'' valamelyike a ∞ szimbólum (a másik, ha nem ilyen, akkor komplex szám), akkor az ''a'' * ''b'' alapműveletet akkor értelmezzük a ''c'' szimbólumként (mely szintén vagy komplex szám, vagy az ∞), ha ''minden'' ''a'' határértékű ''f'' függvény esetén és ''minden'' ''b'' határértékű ''g'' függvény esetén a ''f''*''g'' ''szükségszerűen'' a ''c''-hez tart. Ekkor mondjuk tehát, hogy az
| + | '''4.''' |
− | ::''a'' * ''b'' = ''c''
| + | :<math>\dot{x_1}=2x_1+3x_2\,</math> |
− | :definíció jó. | + | :<math>\dot{x_2}= x_1+4x_2\,</math> |
− | Például a ∞ + ∞ művelet feltétlenül értelmezett és értéke a ∞, mert könnyen látható, hogy ''bármely'' két, a ∞-hez tartó függvény összege is a ∞-hez tart. De a 0 <math>\cdot</math> ∞ művelet nem értelmezhető, mert van két függvénypár, mely ilyen alakú határértékekkel rendelkezik, de a szorzatuk máshoz tart. Pl.: (1/Re(z)) <math>\cdot</math> Re(z) <math>\to</math> 1, a z=0-ban, de (1/Re(z)) <math>\cdot</math> 2 Re(z) <math>\to</math> 2 a z=0-ban.
| + | A <math>x_1(0)=1,\;x_2(0)=-1\,</math> kezdetiérték feltétellel. |
| | | |
− | '''Definíció''' – ''Végtelen és alapműveletek'' – Az alábbi műveleti szabályokat vezetjük be a ∞, szimbólumra vonatkozóan, az alábbiakban ''z'' tetszőleges komplex szám, ''n'' tetszőleges nemnulla komplex szám: | + | ''Mo.'' |
− | # <math>\infty+z=\infty </math>,
| + | :<math>sX_1-1=2X_1+3X_2\,</math> |
− | # <math>\infty-z=\infty, \quad\quad z-\infty=\infty</math>,
| + | :<math>sX_2+1= X_1+4X_2\,</math> |
− | # <math>\infty\cdot\infty=\infty, \quad\quad \infty\cdot n=\infty</math>,
| + | azaz |
− | # <math>\frac{z}{\infty}=0 \quad\quad \frac{\infty}{z}=\infty</math>,
| + | :<math>X_1(s-2)=3X_2+1\,</math> |
− | továbbá a szorzás és az összeadás kommutatív.
| + | :<math>X_2(s-4)+1=X_1\,</math> |
| + | azaz |
| + | :<math>3X_2+1=(X_2(s-4)+1)(s-2)\,</math> |
| + | :<math>X_2(3-(s-4)(s-2))=s-3\,</math> |
| + | :<math>X_2=\frac{s-3}{3-(s-4)(s-2)}=\frac{-s+3}{(s-5)(s-1)}\,</math> |
| + | ... |
| | | |
− | Megjegyezzük még, hogy <math>\overline{\infty}=\infty</math>, azaz a végtelen konjugáltja saját maga.
| + | ['''5.''' |
| + | :<math>\begin{pmatrix}\dot{x}_1\\\dot{x}_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5x_1 & -2x_2\\ 6x_1 & -2x_2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}t\\1\end{pmatrix}</math> |
| + | ] |
| | | |
− | '''Definíció''' – ''Határozatlan esetek'' – Az alábbi alapműveletek nem értelmezhetők:
| + | <center> |
− | # <math>\infty-\infty</math>,
| + | {| class="wikitable" style="text-align:center" |
− | # <math>0\cdot\infty, \quad\quad \infty\cdot 0</math>, | + | |- bgcolor="#efefef" |
− | # <math>\frac{\infty}{\infty}</math>,
| + | |[[Matematika A3a 2008/4. gyakorlat |4. gyakorlat]] |
− | # <math>\frac{0}{0}</math>
| + | |} |
| + | {| class="wikitable" style="text-align:center" |
| + | |- bgcolor="#efefef" |
| + | |[[Matematika A3a 2008/6. gyakorlat |6. gyakorlat]] |
| + | |} |
| + | </center> |
| | | |
| | | |
− | '''Tétel''' – ''Végtelen határérték és alapműveletek'' – Ha az ''f'' és ''g'' komplex függvényeknek létezik határértékük az <math>\scriptstyle{u\in \overline{\mathbf{C}}}</math> helyen, az ''f'' * ''g'' alapművelettl elkészített függvény értelmezési tartományának torlódási pontja ''u'' és a lim<sub>u</sub> ''f'' * lim<sub>u</sub> ''g'' alapművelet elvégezhető, akkor az ''f'' * ''g'' függvénynek is van határértéke ''u''-ban és ez:
| |
− | :<math> \lim\limits_u(f\mbox{*}g)=\lim\limits_u f\,\mbox{*}\, \lim\limits_u g \,</math>
| |
− | Ezenkívül a határozatlan esetekben, amikor a határértékekkel végzett műveletek nem értelmezettek, az alapműveletekkel elkészített függvények határértékeire nem adható általános képlet (mert alkalmasan választott esetekben máshoz és máshoz tartanak).
| |
− |
| |
− | ''A bizonyításról.'' Ennek a tételnek a bizonyítása minden nehézség nélkül elvégezhető vagy az '''R'''<sup>2</sup>-beli sorozatokra vonatkozó átviteli elv vagy a komponensfüggvények határértékére történő hivatkozás útján. Minenekelőtt azt kell szem előtt tartanunk, hogy a végtelenhez való tartás, a függvény abszolútértékének plusz végtelenhez tartását jelenti:
| |
− | :<math>\exists\lim\limits_{z_0}f=\infty \quad\Longleftrightarrow \quad\exists\lim\limits_{z_0}|f|=+\infty</math>
| |
− |
| |
− | '''Feladat.''' Adjuk példákat arra, hogy a határozatlan alakú határértékeket valóban nem lehet definiálni.
| |
− |
| |
− | ''Nézzük a 0-ban az alábbi függvényeket:''
| |
− | :<math>\frac{2}{z}\;-\;\frac{1}{z}=\frac{1}{z}\quad\to \infty</math> miközben <math>(\frac{1}{z}+2)\;-\;\frac{1}{z}=2\quad\to 2</math>
| |
− |
| |
− | <math>\frac{1}{z}\;\cdot z=1\quad\to 1</math> miközben <math>\frac{2}{z}\;\cdot\;z=2\quad\to 2</math>
| |
− |
| |
− | :<math>\frac{1}{z}/\frac{1}{z}=1\quad\to 1</math> miközben <math>\frac{2}{z}/\frac{1}{z}=2\quad\to 2</math>
| |
− |
| |
− | <math>\frac{z}{z}=1\quad\to 1</math> miközben <math>\frac{2z}{z}=2\quad\to 2</math>
| |
− |
| |
− | '''Feladat.''' Számítsuk ki az alábbi határértékeket, ha léteznek!
| |
− | # <math>\lim\limits_{z\to 0}\frac{\mathrm{Im}(z)}{z}</math>,
| |
− | # <math>\lim\limits_{z\to i}\frac{z-i}{z^2+1}</math>,
| |
− | # <math>\lim\limits_{z\to 1}\frac{\frac{1}{z-1}+i}{\frac{1}{z^2-1}-i}</math>,
| |
− | # <math>\lim\limits_{z\to 0}\frac{1}{z}-\frac{2}{\overline{z}}</math>,
| |
− | # <math>\lim\limits_{z\to -i}\frac{\frac{1}{z+i}+i}{\overline{z}-i}</math>,
| |
− |
| |
− | ''Megoldás.''
| |
− | 1. nemnulla ''z''-re:
| |
− | :<math>\frac{\mathrm{Im}(z)}{z}=\frac{\mathrm{Im}(z)\overline{z}}{z\overline{z}}=\frac{yx-y^2\mathrm{i}}{x^2+y^2}</math>
| |
− | de ekkor például az első komponensfüggvény ''x'' = 0 felől közelítve 0, míg az ''x'' = ''y''-felől:1/2, azaz nem létezik az első komponensnek a (0,0)-ban határértéke, azaz a komplex függvénynek sem.
| |
− |
| |
− | 2. <math>\frac{z-i}{z^2+1}=\frac{z-i}{(z+i)(z-i)}=\frac{1}{z+i}\quad\longrightarrow_{z\to i}\quad\infty</math>
| |
− |
| |
− | 3. <math>\frac{\frac{1}{z-1}+i}{\frac{1}{z^2-1}-i}=\frac{ \frac{1+iz-i}{z-1} }{ \frac{1-iz^2+i}{z^2-1} }=\frac{1+iz-i}{z-1}\cdot \frac{(z+1)(z-1)}{1-iz^2+i}</math>
| |
− | ::<math>\left.\frac{iz+1-i}{-iz^2+i+1}(z+1)\right|_1=\frac{1}{1}\cdot 1</math>
| |
− |
| |
− | 4. <math>\frac{1}{z}-\frac{2}{\overline{z}}=\frac{\overline{z}-2z}{z\overline{z}}</math>
| |
− | csak a valós részt nézve:
| |
− | :<math>\left|\frac{-x}{x^2+y^2}\right|</math>
| |
− | az (x,y)=(x,0) esetben a (0,0)-hoz tartva: végtelen, de (x,y)=(0,y), akkor 0. tehát nincs határérték.
| |
− |
| |
− | 5. <math>\lim\limits_{z\to -i}\frac{\frac{1}{z+i}+i}{\overline{z}-i}=\left(\frac{\infty}{0}\right)=\infty</math>.
| |
− |
| |
− |
| |
− | '''Feladat.''' Adjuk meg minden ''z''<sub>0</sub> ∈ '''C''' számra az alábbi függvény határértékét!
| |
− | # <math>f(z)=\frac{z}{\overline{z}-z}</math>,
| |
− | # <math>f(z)=\frac{z^2}{\overline{z}z-1}</math>,
| |
− |
| |
− | 1. <math>\mathrm{Dom}(f)=\{z\in \mathbf{C}\mid \overline{z}\ne z\}</math>
| |
− |
| |
− | Folytonos az értelmezési tartományában. A határon:
| |
− | :<math>\frac{z}{\overline{z}-z}=\frac{x+iy}{2iy}\,</math>
| |
− | ''z''<sub>0</sub> ≠ 0 esetén
| |
− | :<math>\left|\frac{x+iy}{2iy}\right|\geq \frac{|z_0|/2}{2|y|}\to \infty</math>
| |
− | ''z''<sub>0</sub> = 0 esetén:
| |
− | :<math>\frac{x+iy}{2iy}=\frac{1}{2}-i\frac{x}{2y}</math>
| |
− | ismert, hogy nincs határérték.
| |
− |
| |
− | 2. <math>\mathrm{Dom}(f)=\{z\in \mathbf{C}\mid \overline{z}z\ne 1\}</math>
| |
− |
| |
− | Az egységkör pontjaitól különbözőkre folytonos, az egységkörön a végtelen, a végtelenben pedig nincs határérték. Ugyanis:
| |
− | :<math>|f(z)|=\frac{|z|^2}{|\overline{z}z-1|}</math>,
| |
− | így az egységkörön a számláló az 1-hez, a nevező a nullához tart. A végtelenben pedig ''t'' valóssal:
| |
− | :<math>\lim\limits_{t\to +\infty} f(t+0.i)=\lim\limits_{t\to +\infty} \frac{t^2}{t^2-1}= 1\,</math>
| |
− | :<math>\lim\limits_{t\to +\infty} f(t.i)=\lim\limits_{t\to +\infty} \frac{-t^2}{t^2-1}= -1\,</math>
| |
− | ==Differenciálhatóság==
| |
− | ==='''R'''-differenciálhatóság===
| |
− | Legyen ''f'' : '''C''' ⊃<math>\to</math> '''C''' komplex függvény. Ekkor ''f'' azonosítható az
| |
− | :<math>f\equiv \begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}:\mathbf{R}^2\supset\to\mathbf{R}^2</math>
| |
− | vektorértékű kétváltozós függvénnyel az
| |
− | :<math>f(z)=f(x+iy)\equiv u(x,y)+iv(x,y)\,</math>
| |
− | szerint (itt ''u'' és ''v'' kétváltozós valós függvények, rendre az ''f'' valós és képzetes része).
| |
− |
| |
− | ''f'' abban az értelemen '''R'''-differenciálható, ahogy az (''u'',''v''):'''R'''<sup>2</sup> <math>\supset\to</math> '''R'''<sup>2</sup> függvény differenciálható, azaz
| |
− |
| |
− | '''Definíció''' -- Valós deriválhatóság -- Legyen ''g'':'''R'''<sup>2</sup> <math>\supset\to</math> '''R'''<sup>2</sup>, ''x''<sub>0</sub>∈IntDom(g). Ekkor a ''g'' differenciálható az ''x''<sub>0</sub> pontban, ha létezik olyan ''A'': '''R'''<sup>2</sup> <math>\to</math> '''R'''<sup>2</sup> lineáris leképezés, melyre
| |
− | :<math>\exists \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)-A(x-x_0)}{||x-x_0||}=0</math>
| |
− | ahol ||.|| tetszőleges norma (például az ||.||<sub>2</sub>=|.| komplex abszolútérték) '''R'''<sup>2</sup>-ben.
| |
− |
| |
− | Ekkor a fenti ''A'' lineáris leképezés egyértelmű és a jelölése: d''g''(''x''<sub>0</sub>). Azt, hogy a g valósan differenciálható (totálisan differenciálható) az ''x''<sub>0</sub>-ban, még úgy is jelöljük, hogy
| |
− | :<math>g\in \mathrm{Diff}_{\mathbf{R}}(x_0)</math>.
| |
− |
| |
− | A d''f''(''x''<sub>0</sub>,''y''<sub>0</sub>) leképezés sztenderd bázisban felírt koordinátamátrixát nevezzük Jacobi-mátrixnak, mely a következő. Ha f komponensfüggvényei: (x,y) <math>\mapsto</math> f(x,y) = (u(x,y),v(x,y)), akkor
| |
− | :<math>\mathrm{J}^g(x_0,y_0)=[\mathrm{d}f(x_0,y_0)]=\begin{bmatrix}\partial_x u & \partial_y u \\\partial_x v & \partial_y v\end{bmatrix}(x_0,y_0) </math>
| |
− | És persze, ha ''f'' differenciálható (értsd: totálisan differenciálhat, vagy valósan differenciálható), akkor parciálisan is deriválható, azaz a komponensfüggvényeinek az adott pontban léteznek a parciális deriváltjai, tehát felírható a Jacobi-mátrix.
| |
− | ====Példák====
| |
− | '''1.''' Legyen ''w'' ∈ '''C''' tetszőlegesen rögzített és legyen
| |
− | :<math>f(z)=w\cdot z</math>
| |
− | Ekkor a komponensfüggvények (f valós és képzetes része):
| |
− | :<math>f(z)=f(x+iy)=(w_1+iw_2)\cdot (x+iy)=w_1x-w_2y+i(w_1y+w_2x)\equiv \begin{bmatrix}
| |
− | w_1x-w_2y\\
| |
− | w_1y+w_2x
| |
− | \end{bmatrix}</math>
| |
− | És a derivált:
| |
− | :<math>\mathrm{J}^{f}(z)=\begin{bmatrix}
| |
− | w_1 & -w_2\\
| |
− | w_2 & w_1
| |
− | \end{bmatrix}
| |
− | </math>
| |
− | Vegyük észre, hogy az imént kijött derivált éppen a ''w'' komplex szám mártixreprezentációja, hiszen általában egy ''z'' = ''a'' +' 'b''i komplex szám mátrixreprezentációja:
| |
− | :<math>[z]=\begin{bmatrix}
| |
− | a & -b\\
| |
− | b & a
| |
− | \end{bmatrix}
| |
− | </math>
| |
− | a valós rész a főátlóban, a képzetes rész a -, + -szal a mellékátlóban van. Tehát:
| |
− | :<math>\mathrm{J}^{f}(z)\in \mathbf{C}</math>
| |
− | '''2.'''
| |
− |
| |
− | ''f''(''z'') = ''z''<sup>2</sup>
| |
| | | |
− | Legyen ''z'' = ''x'' + i ''y''. Ekkor ''z''<sup>2</sup> = ''x''<sup>2</sup> - ''y''<sup>2</sup> +i(2''xy'')
| |
− | :<math>\mathrm{J}_\mathbf{R}^f(x,y)=\begin{pmatrix}
| |
− | 2x & -2y\\
| |
− | 2y & 2x
| |
− | \end{pmatrix}</math>
| |
− | azaz amit kaptunk, pont a 2z szám mátrixreprezentációja:
| |
− | :<math>\mathrm{J}^{f}(z)=[2z]\in\mathbf{C}
| |
− | </math>
| |
| | | |
− | '''3.''' Számítsuk ki az <math>\scriptstyle{f(z)=\overline{z}}</math> '''R'''-differenciálját!
| |
| | | |
− | Ha ''z'' = ''x'' + i ''y'', akkor <math>\scriptstyle{\overline{z}=x-\mathrm{i}y}</math>, így:
| + | [[Kategória:Matematika A3]] |
− | :<math>\mathrm{J}^{\overline{z}}_{\mathbf{R}}(z)=\begin{pmatrix}
| + | |
− | 1 & 0\\
| + | |
− | 0 & -1
| + | |
− | \end{pmatrix}\not\in\mathbf{C} </math>
| + | |
− | azaz nem mátrixreprezentáció alakú a Jacobi-mátrix. Ám, azt jegyezzük meg, hogy az iménti leképezés lineáris (ez az x tengelyre vonatkozó tükrözés), tehát folytonos, sőt totálisan (végtelenszer) differenciálható és a valós deriváltja pont saját maga:
| + | |
− | :<math>\mathrm{d}f(x,y)=f\,</math>
| + | |
− | csak nem komplex számot reprezentál a Jacobi-mátrix.
| + | |
Mo.
Innen s=1-gyel 3=4C, s=-1-gyel 1=-2A, és s=0-val 1=-A-B+C. Azaz
Visszatranszf.
...