Matematika A3a 2008/5. gyakorlat

A MathWikiből

(Változatok közti eltérés)

A lap 2013. szeptember 28., 15:34-kori változata

Folytonosság

Azt mondjuk, hogy az A ⊆ C halmazon értelmezett f függvény folytonos a z ∈ A pontban, ha z-ben f folytonos mint R² ⊇ A $\to$ R² függvény. Maga az f folytonos, ha az értelmezési tartománya minden pontjában folytonos.

A többváltozós valós analízisből ismert tény miatt fennáll:

Állítás. Az f komplex függvény pontosan akkor folytonos az értelmezési tartománya egy pontjában, ha ott a függvény valós és képzetes része, mint kétváltozós valós függvény folytonos. Azaz, ha f-et a következő alakban írjuk:

$f(z)\equiv f(x,y)=u(x,y)+\mathrm{i}\cdot v(x,y)$

ahol u és v valós értékű függvények (rendre Re(f) és Im(f)), továbbá z₀ = x₀ + iy₀ ∈ Dom(f), akkor a következők ekvivalensek:

f folytonos a z₀-ban
u és v függvények folytonosak az (x₀,y₀)-ban

A kétváltozós függvények közötti határérték-folytonosság kapcsolat is megfogalmazható komplex módon. Itt az f = u + vi függvény határértékén a $z = x + i y$ pontban a lim_x u + i lim_y v szám adja. Ekkor

Állítás. Az f komplex függvény pontosan akkor folytonos az értelmezési tartománya egy belső pontjában, ha ott a függvénynek létezik határértéke és az a helyettesítési érték.

$\lim\limits_{z\to z_0} f(z)=f(z_0)$

A komplex függvények folytonosságának egyik, de nem egyetlen feltétele az, hogy az (u,v) reprezentáció R²-ben lineáris legyen, hiszen a véges dimenziós normált terek között ható lineáris leképezések folytonosak. A nem-folytonosságnál érdemes a határérték nem létezését vizsgálni, hátha ez célra vezet.

Feladat. Legyen w ∈ C. Igazoljuk, hogy az alábbi függvények folytonosak!

$z\mapsto w + z\,$
$z\mapsto w\cdot z\,$
$z\mapsto \overline{z}\,$
$z\mapsto \frac{1}{z}\quad\quad (z\ne 0)$

Megoldás.

Az 1. az R²-ben eltolás a w-nek megfelelő vektorral (Re(w), Im(w))-vel, így affin leképezés, ami folytonos.

2. a w mátrixreprezentációjának megfelelő mátrixszal való szorzás, azaz lineáris leképezés, s így folytonos.

3. azaz a konjugálás: (x,y) $\mapsto$ (x,–y) a valós tengelyre való tükrözés, ami szintén lineáris.

Végül a reciprok:

$\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{z\overline{z}}=\frac{\overline{z}}{|z|^2}$

így, mint R² ⊃ $\to$ R² függvény:

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix} \cfrac{x}{x^2+y^2} \\ \cfrac{-y}{x^2+y^2} \end{pmatrix}$

amely olyan, hogy mindkét komponensfüggvénye folytonos valós függvényekből van összeállítva a folytonosságot megőrző módon, azaz az értelmezési tartománya minden pontjában folytonos.

Feladat. Folytonos-e a z = 0-ban az

$f(z)=\left\{ \begin{matrix} \cfrac{\mathrm{Im}(z)^3+\mathrm{i}\cdot\mathrm{Re}(z)^4}{\overline{z}\cdot z},\quad\quad\mathrm{ha}\;z\ne 0\\ \\ 0,\quad\quad \mathrm{ha}\;z=0 \end{matrix} \right.$

Megoldás.

Ha z = x + iy és (x,y) ≠ (0,0), akkor:

$f(x,y)=\begin{pmatrix} \cfrac{y^3}{x^2+y^2} \\ \cfrac{x^4}{x^2+y^2} \end{pmatrix}$

A komponensfüggvények felírhatók egy 0-hoz tartó és egy korlátos függvény szorzataként:

$\left|\cfrac{y^3}{x^2+y^2}\right|=|y|\cdot\frac{y^2}{x^2+y^2}\leq |y|\cdot\frac{y^2}{y^2}=|y|$

és

$\left|\cfrac{x^4}{x^2+y^2}\right|=x^2\cdot\frac{x^2}{x^2+y^2}\leq x^2\cdot\frac{x^2}{x^2}=x^2$

így (x,y) $\to$ (0,0) esetén a 0-hoz tartanak, így a függvény maga a (0,0)-hoz, azaz a komplex 0-hoz. Mivel itt a függvény értéke 0, ezért f a 0-ban folytonos.

Ha folytonos komplex függvényekből alapműveletek segítségével alkottunk függvényeket, akkor azok is folytonosak maradnak, mert a megfelelő R²-beli függvények ekkor olyanok lesznek, melyek mindegyik komponensfüggvénye a valós alapműveletek segítségével vannak definiálva. Ám, ezek megőrzik a folytonosságot.

Állítás. Ha f és g komplex függvények és az z₀ pontban (mindketten értelmezettek és) folytonosak, akkor

f + g
f $\cdot$ g
$\overline{f}$
g(z₀) ≠ 0 esetén f/g

is folytonos z₀-ban.

Folytonos függvények kompozíciója is folytonos (az kompozíció értelmezési tartományán).

Feladat folytonosságra

Feladat. Folytonos-e a z = i-ben az

$f(z)=\left\{ \begin{matrix} \cfrac{\mathrm{i}z+1}{|z-\mathrm{i}|},\quad\quad\mathrm{ha}\;z\ne \mathrm{i}\\ \\ 0,\quad\quad \mathrm{ha}\;z=\mathrm{i} \end{matrix} \right.$

Ha z = x + iy és (x,y) ≠ (0,1), akkor:

$f(x,y)=\begin{pmatrix} \cfrac{-y+1}{\sqrt{x^2+(y-1)^2}} \\ \cfrac{x}{\sqrt{x^2+(y-1)^2}} \end{pmatrix}$

Már az első komponens határértéke sem létezik, hisz (x,y)=(0,y) mentén alulról a (0,1)-hez tartva a határérték -1, az x=y-1 mentén pedig -1/gyök kettő.

A második tényező szintén nem.

Határérték

Komplex függvény C-beli pontban vett C-beli határértéke ugyanúgy értelmezett, mint az R² esetben. Itt is érvényes, hogy pontosan akkor látezik a határérték, ha a komponensfüggvényeknek létezik a határértéke és ekkor a határérték egyenlő lesz a valós és képzetes komponens határértékéből alkotott komplex számmal.

A ∞ miatt érdemes külön is megfogalmazni a határérték definícióját, bár az teljesen analóg a valós esettel. Legyen f egy az A ⊆ C halmazon értelmezett, C-be képező függvény. Legyen $\scriptstyle{u\in \overline{\mathbf{C}}}$ az A torlódási pontja, azaz minden r > 0 esetén legyen olyan a ∈ A, hogy a ∈ B_r(u)\{u}. Azt mondjuk, hogy az f-nek a $\scriptstyle{v\in \overline{\mathbf{C}}}$ elem határértéke az u-ban, ha

minden ε > 0 esetén létezik olyan δ > 0, hogy minden z ∈ A ∩ B_δ(u)\{u}-re f(z) ∈ B_ε(v)

ahol természetesen a ∞ környezetei a már említett módon értendők.

Feladat. Igazoljuk definíció szerint, hogy

$\lim\limits_{z\to 0}\frac{1}{z}=\infty$
$\lim\limits_{z\to \infty}\frac{1}{z}=0$

1. Legyen ε > 0. Ekkor azt kell belátnuk, hogy létezik δ > 0, hogy teljesüljön |z| < δ esetén, hogy a függvényérték a ∞ ε sugarú környezetébe esik, azaz:

$\left|\frac{1}{z}\right|>\frac{1}{\varepsilon}$

Világos, hogy ezt azt jelenti, hogy

$|z|<\varepsilon$

amit reciprokvonással kaptunk. Ha tehát ha δ := ε és |z| < δ, akkor "felfelé" következtetve kijön a kívánt egyenlőtlenség.

2. Legyen ε > 0. Ekkor azt kell belátnuk, hogy létezik δ > 0, hogy teljesüljön |z| > 1/δ esetén, hogy a függvényérték a 0-nak ε sugarú környezetébe esik, azaz:

$\left|\frac{1}{z}\right|<\varepsilon$

Világos, hogy ezt azt jelenti, hogy

$|z|>\frac{1}{\varepsilon}$

amit reciprokvonással kaptunk. Ha tehát ha δ := ε és |z| > 1/δ, akkor "felfelé" következtetve kijön a kívánt egyenlőtlenség.

A végtelen határérékkel történő számolás szabályai előtt definiálnunk kell néhány kibővített műveletet. Ezt a következők szellemében tesszük:

Ha a és b valamelyike a ∞ szimbólum (a másik, ha nem ilyen, akkor komplex szám), akkor az a * b alapműveletet akkor értelmezzük a c szimbólumként (mely szintén vagy komplex szám, vagy az ∞), ha minden a határértékű f függvény esetén és minden b határértékű g függvény esetén a f*g szükségszerűen a c-hez tart. Ekkor mondjuk tehát, hogy az

a * b = c

definíció jó.

Például a ∞ + ∞ művelet feltétlenül értelmezett és értéke a ∞, mert könnyen látható, hogy bármely két, a ∞-hez tartó függvény összege is a ∞-hez tart. De a 0 $\cdot$ ∞ művelet nem értelmezhető, mert van két függvénypár, mely ilyen alakú határértékekkel rendelkezik, de a szorzatuk máshoz tart. Pl.: (1/Re(z)) $\cdot$ Re(z) $\to$ 1, a z=0-ban, de (1/Re(z)) $\cdot$ 2 Re(z) $\to$ 2 a z=0-ban.

Definíció – Végtelen és alapműveletek – Az alábbi műveleti szabályokat vezetjük be a ∞, szimbólumra vonatkozóan, az alábbiakban z tetszőleges komplex szám, n tetszőleges nemnulla komplex szám:

$\infty+z=\infty$ ,
$\infty-z=\infty, \quad\quad z-\infty=\infty$ ,
$\infty\cdot\infty=\infty, \quad\quad \infty\cdot n=\infty$ ,
$\frac{z}{\infty}=0 \quad\quad \frac{\infty}{z}=\infty$ ,

továbbá a szorzás és az összeadás kommutatív.

Megjegyezzük még, hogy $\overline{\infty}=\infty$ , azaz a végtelen konjugáltja saját maga.

Definíció – Határozatlan esetek – Az alábbi alapműveletek nem értelmezhetők:

$\infty-\infty$ ,
$0\cdot\infty, \quad\quad \infty\cdot 0$ ,
$\frac{\infty}{\infty}$ ,
$\frac{0}{0}$

Tétel – Végtelen határérték és alapműveletek – Ha az f és g komplex függvényeknek létezik határértékük az $\scriptstyle{u\in \overline{\mathbf{C}}}$ helyen, az f * g alapművelettl elkészített függvény értelmezési tartományának torlódási pontja u és a lim_u f * lim_u g alapművelet elvégezhető, akkor az f * g függvénynek is van határértéke u-ban és ez:

$\lim\limits_u(f\mbox{*}g)=\lim\limits_u f\,\mbox{*}\, \lim\limits_u g \,$

Ezenkívül a határozatlan esetekben, amikor a határértékekkel végzett műveletek nem értelmezettek, az alapműveletekkel elkészített függvények határértékeire nem adható általános képlet (mert alkalmasan választott esetekben máshoz és máshoz tartanak).

A bizonyításról. Ennek a tételnek a bizonyítása minden nehézség nélkül elvégezhető vagy az R²-beli sorozatokra vonatkozó átviteli elv vagy a komponensfüggvények határértékére történő hivatkozás útján. Minenekelőtt azt kell szem előtt tartanunk, hogy a végtelenhez való tartás, a függvény abszolútértékének plusz végtelenhez tartását jelenti:

$\exists\lim\limits_{z_0}f=\infty \quad\Longleftrightarrow \quad\exists\lim\limits_{z_0}|f|=+\infty$

Feladat. Adjuk példákat arra, hogy a határozatlan alakú határértékeket valóban nem lehet definiálni.

Nézzük a 0-ban az alábbi függvényeket:

$\frac{2}{z}\;-\;\frac{1}{z}=\frac{1}{z}\quad\to \infty$ miközben $(\frac{1}{z}+2)\;-\;\frac{1}{z}=2\quad\to 2$

$\frac{1}{z}\;\cdot z=1\quad\to 1$ miközben $\frac{2}{z}\;\cdot\;z=2\quad\to 2$

$\frac{1}{z}/\frac{1}{z}=1\quad\to 1$ miközben $\frac{2}{z}/\frac{1}{z}=2\quad\to 2$

$\frac{z}{z}=1\quad\to 1$ miközben $\frac{2z}{z}=2\quad\to 2$

Feladat. Számítsuk ki az alábbi határértékeket, ha léteznek!

$\lim\limits_{z\to 0}\frac{\mathrm{Im}(z)}{z}$ ,
$\lim\limits_{z\to i}\frac{z-i}{z^2+1}$ ,
$\lim\limits_{z\to 1}\frac{\frac{1}{z-1}+i}{\frac{1}{z^2-1}-i}$ ,
$\lim\limits_{z\to 0}\frac{1}{z}-\frac{2}{\overline{z}}$ ,
$\lim\limits_{z\to -i}\frac{\frac{1}{z+i}+i}{\overline{z}-i}$ ,

Megoldás. 1. nemnulla z-re:

$\frac{\mathrm{Im}(z)}{z}=\frac{\mathrm{Im}(z)\overline{z}}{z\overline{z}}=\frac{yx-y^2\mathrm{i}}{x^2+y^2}$

de ekkor például az első komponensfüggvény x = 0 felől közelítve 0, míg az x = y-felől:1/2, azaz nem létezik az első komponensnek a (0,0)-ban határértéke, azaz a komplex függvénynek sem.

2. $\frac{z-i}{z^2+1}=\frac{z-i}{(z+i)(z-i)}=\frac{1}{z+i}\quad\longrightarrow_{z\to i}\quad\infty$

3. $\frac{\frac{1}{z-1}+i}{\frac{1}{z^2-1}-i}=\frac{ \frac{1+iz-i}{z-1} }{ \frac{1-iz^2+i}{z^2-1} }=\frac{1+iz-i}{z-1}\cdot \frac{(z+1)(z-1)}{1-iz^2+i}$

$\left.\frac{iz+1-i}{-iz^2+i+1}(z+1)\right|_1=\frac{1}{1}\cdot 1$

4. $\frac{1}{z}-\frac{2}{\overline{z}}=\frac{\overline{z}-2z}{z\overline{z}}$ csak a valós részt nézve:

$\left|\frac{-x}{x^2+y^2}\right|$

az (x,y)=(x,0) esetben a (0,0)-hoz tartva: végtelen, de (x,y)=(0,y), akkor 0. tehát nincs határérték.

5. $\lim\limits_{z\to -i}\frac{\frac{1}{z+i}+i}{\overline{z}-i}=\left(\frac{\infty}{0}\right)=\infty$ .

Feladat. Adjuk meg minden z₀ ∈ C számra az alábbi függvény határértékét!

$f(z)=\frac{z}{\overline{z}-z}$ ,
$f(z)=\frac{z^2}{\overline{z}z-1}$ ,

1. $\mathrm{Dom}(f)=\{z\in \mathbf{C}\mid \overline{z}\ne z\}$

Folytonos az értelmezési tartományában. A határon:

$\frac{z}{\overline{z}-z}=\frac{x+iy}{2iy}\,$

z₀ ≠ 0 esetén

$\left|\frac{x+iy}{2iy}\right|\geq \frac{|z_0|/2}{2|y|}\to \infty$

z₀ = 0 esetén:

$\frac{x+iy}{2iy}=\frac{1}{2}-i\frac{x}{2y}$

ismert, hogy nincs határérték.

2. $\mathrm{Dom}(f)=\{z\in \mathbf{C}\mid \overline{z}z\ne 1\}$

Az egységkör pontjaitól különbözőkre folytonos, az egységkörön a végtelen, a végtelenben pedig nincs határérték. Ugyanis:

$|f(z)|=\frac{|z|^2}{|\overline{z}z-1|}$ ,

így az egységkörön a számláló az 1-hez, a nevező a nullához tart. A végtelenben pedig t valóssal:

$\lim\limits_{t\to +\infty} f(t+0.i)=\lim\limits_{t\to +\infty} \frac{t^2}{t^2-1}= 1\,$

$\lim\limits_{t\to +\infty} f(t.i)=\lim\limits_{t\to +\infty} \frac{-t^2}{t^2-1}= -1\,$

@@ 1. sor: / 1. sor: @@
+===Folytonosság===
+Azt mondjuk, hogy az ''A'' &sube; '''C''' halmazon értelmezett ''f'' függvény folytonos a ''z'' &isin; '''A''' pontban, ha ''z''-ben ''f'' folytonos mint '''R'''<sup>2</sup> &supe; ''A'' <math>\to</math> '''R'''<sup>2</sup> függvény. Maga az ''f'' ''folytonos'', ha az értelmezési tartománya minden pontjában folytonos.
+A többváltozós valós analízisből ismert tény miatt fennáll:
+'''Állítás.''' Az ''f'' komplex függvény pontosan akkor folytonos az értelmezési tartománya egy pontjában, ha ott a függvény valós és képzetes része, mint kétváltozós valós függvény folytonos. Azaz, ha ''f''-et a következő alakban írjuk:
+:<math>f(z)\equiv f(x,y)=u(x,y)+\mathrm{i}\cdot v(x,y)</math>
+ahol ''u'' és ''v'' valós értékű függvények (rendre Re(''f'') és Im(''f'')), továbbá ''z''<sub>0</sub> = ''x''<sub>0</sub> + i''y''<sub>0</sub> &isin; Dom(''f''), akkor a következők ekvivalensek:
+# ''f'' folytonos a ''z''<sub>0</sub>-ban
+# ''u'' és ''v'' függvények folytonosak az (''x''<sub>0</sub>,''y''<sub>0</sub>)-ban
+A kétváltozós függvények közötti határérték-folytonosság kapcsolat is megfogalmazható komplex módon. Itt az f = u + vi függvény határértékén a <math>z=x+iy</math> pontban a lim<sub>x</sub> u + i lim<sub>y</sub> v szám adja. Ekkor
+'''Állítás.''' Az ''f'' komplex függvény pontosan akkor folytonos az értelmezési tartománya egy belső pontjában, ha ott a függvénynek létezik határértéke és az a helyettesítési érték.
+: <math>\lim\limits_{z\to z_0} f(z)=f(z_0)</math>
+A komplex függvények folytonosságának egyik, de nem egyetlen feltétele az, hogy az (u,v) reprezentáció '''R'''<sup>2</sup>-ben lineáris legyen, hiszen ''a véges dimenziós normált terek között ható lineáris leképezések folytonosak.'' A nem-folytonosságnál érdemes a határérték nem létezését vizsgálni, hátha ez célra vezet.
+'''Feladat.''' Legyen ''w'' &isin; '''C'''. Igazoljuk, hogy az alábbi függvények folytonosak!
+# <math>z\mapsto w + z\,</math>
+# <math>z\mapsto w\cdot z\,</math>
+# <math>z\mapsto \overline{z}\,</math>
+# <math>z\mapsto \frac{1}{z}\quad\quad (z\ne 0)</math>
+''Megoldás.''
+Az 1. az '''R'''<sup>2</sup>-ben eltolás a ''w''-nek megfelelő vektorral (Re(''w''), Im(''w''))-vel, így affin leképezés, ami folytonos.
+. a ''w'' mátrixreprezentációjának megfelelő mátrixszal való szorzás, azaz lineáris leképezés, s így folytonos.
+. azaz a konjugálás: (''x'',''y'') <math>\mapsto</math> (''x'',–''y'') a valós tengelyre való tükrözés, ami szintén lineáris.
+Végül a reciprok:
+:<math>\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{z\overline{z}}=\frac{\overline{z}}{|z|^2}</math>
+így, mint '''R'''<sup>2</sup> &sup;<math>\to</math> '''R'''<sup>2</sup> függvény:
+:<math>\begin{pmatrix}
+x \\
+y
+\end{pmatrix}\mapsto
+\begin{pmatrix}
+\cfrac{x}{x^2+y^2} \\
+\cfrac{-y}{x^2+y^2}
+\end{pmatrix}</math>
+amely olyan, hogy mindkét komponensfüggvénye folytonos valós függvényekből van összeállítva a folytonosságot megőrző módon, azaz az értelmezési tartománya minden pontjában folytonos.
+'''Feladat.''' Folytonos-e a ''z'' = 0-ban az
+:<math>f(z)=\left\{
+\begin{matrix}
+\cfrac{\mathrm{Im}(z)^3+\mathrm{i}\cdot\mathrm{Re}(z)^4}{\overline{z}\cdot z},\quad\quad\mathrm{ha}\;z\ne 0\\
+\\
+,\quad\quad \mathrm{ha}\;z=0
+\end{matrix}
+\right.</math>
+''Megoldás.''
+Ha ''z'' = ''x'' + i''y'' és (''x'',''y'') &ne; (0,0), akkor:
+:<math>f(x,y)=\begin{pmatrix}
+\cfrac{y^3}{x^2+y^2} \\
+\cfrac{x^4}{x^2+y^2}
+\end{pmatrix}</math>
+A komponensfüggvények felírhatók egy 0-hoz tartó és egy korlátos függvény szorzataként:
+:<math>\left|\cfrac{y^3}{x^2+y^2}\right|=|y|\cdot\frac{y^2}{x^2+y^2}\leq |y|\cdot\frac{y^2}{y^2}=|y|</math>
+és
+:<math>\left|\cfrac{x^4}{x^2+y^2}\right|=x^2\cdot\frac{x^2}{x^2+y^2}\leq x^2\cdot\frac{x^2}{x^2}=x^2</math>
+így (x,y)<math>\to</math>(0,0) esetén a 0-hoz tartanak, így a függvény maga a (0,0)-hoz, azaz a komplex 0-hoz. Mivel itt a függvény értéke 0, ezért ''f'' a 0-ban folytonos.
+Ha folytonos komplex függvényekből alapműveletek segítségével alkottunk függvényeket, akkor azok is folytonosak maradnak, mert a megfelelő '''R'''<sup>2</sup>-beli függvények ekkor olyanok lesznek, melyek mindegyik komponensfüggvénye a valós alapműveletek segítségével vannak definiálva. Ám, ezek megőrzik a folytonosságot.
+'''Állítás.''' Ha ''f'' és ''g'' komplex függvények és az ''z''<sub>0</sub>  pontban (mindketten értelmezettek és) folytonosak, akkor
+# ''f'' + ''g''
+# ''f'' <math>\cdot</math> ''g''
+# <math>\overline{f}</math>
+# ''g''(''z''<sub>0</sub>) &ne; 0 esetén ''f''/''g''
+is folytonos ''z''<sub>0</sub>-ban.
+Folytonos függvények kompozíciója is folytonos (az kompozíció értelmezési tartományán).
 ==Feladat folytonosságra==

Matematika A3a 2008/5. gyakorlat

A lap 2013. szeptember 28., 15:34-kori változata

Folytonosság

Feladat folytonosságra

Határérték

Nézetek

Személyes eszközök

Navigáció

Keresés

Eszközök