Matematika A3a 2008/5. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(A lap tartalmának cseréje erre: ''<sub><Matematika A3a 2008</sub>'' <center> {| class="wikitable" style="text-align:center" |- bgcolor="#efefef" |[[Matematika A3a 2008/4. gyakorlat |4. gy…)
1. sor: 1. sor:
 
''<sub><[[Matematika A3a 2008]]</sub>''
 
''<sub><[[Matematika A3a 2008]]</sub>''
 +
 +
===Másodrendű lineáris kezdetiérték feladat===
 +
:<math>
 +
y''-10y'+9y=5t,\quad\quad y(0)=-1,\;y'(0)=2</math>
 +
'''Mo.'''
 +
:<math>L(y')=sY-y(0)</math>
 +
:<math>L(y'')=s^2Y-sy(0)-y'(0)</math>
 +
:<math>L(5t)=\frac{5}{s^2}</math>
 +
:<math>s^2Y-sy(0)-y'(0)-10sY+10y(0)+9Y=\frac{5}{s^2}</math>
 +
:<math>s^2Y+s-2-10sY-10+9Y=\frac{5}{s^2}</math>
 +
:<math>Y(s^2-10s+9)+s-12=\frac{5}{s^2}</math>
 +
:<math>Y=\frac{\frac{5}{s^2}-s+12}{s^2-10s+9}</math>
 +
:<math>Y=\frac{5}{s^2(s-9)(s-1)}-\frac{s-12}{(s-9)(s-1)}</math>
 +
:<math>Y=\frac{-s^3+12 s^2+5}{s^2(s-9)(s-1)}</math>
 +
:<math>\frac{-s^3+12 s^2+5}{s^2(s-9)(s-1)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s^2}+\frac{C}{s-9}+\frac{D}{s-1}=\frac{As(s-9)(s-1)+B(s-9)(s-1)+Cs^2(s-1)+Ds^2(s-9)}{s^2(s-9)(s-1)}</math>
 +
A gyököket beírva:
 +
s=0-ra B=5/9
 +
 +
s=1-re D=16/(-8)=-2
 +
 +
s=9-re C.8.81=-243+12.27+5 C=31/81
 +
 +
s=2-re A=50/81
 +
 +
Visszatranszf.
 +
:<math>
 +
y(t)=\frac{50}{81}+\frac{5}{9}t+\frac{31}{81}e^{9t}-2e^t</math>
 +
===Homogén lineáris d. egyenletrendszer===
 +
a)
 +
:<math>\dot{x_1}=2x_1+3x_2</math>
 +
:<math>\dot{x_2}= x_1+4x_2</math>
 +
b) Ez az (1,-1) kezdetiértékkel
 +
 +
''Mo.'' a) Ha a feladat
 +
:<math>\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}^{\cdot}=A\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}</math>
 +
alakú különböző valós sajátértékekkel, és az A-nak &lambda;<sub>1</sub>, &lambda;<sub>2</sub>-hoz tartozó sajátvektoraiból, mint oszlopvektorokból álló mátrix:
 +
:<math>B=\left([s_1],[s_2]\right)\,</math>,
 +
akkor a megoldás
 +
:<math>\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=B\begin{pmatrix}e^{\lambda_1t}\\e^{\lambda_2 t}\end{pmatrix}</math>
 +
Itt a sajátértékefeladat megoldása:
 +
:<math>(2-\lambda)\cdot (4-\lambda)-3=0\,</math>
 +
azaz
 +
:<math>\lambda^2-6\lambda+8-3=0\,</math>
 +
:<math>\lambda_{1,2}=1;5\,</math>
 +
Megkeresendő tehát a
 +
 +
:<math>\begin{pmatrix}1&3\\1&3\end{pmatrix}</math>
 +
mátrix magja, ez:(-3t,t)
 +
és a
 +
:<math>\begin{pmatrix}-3&3\\1&-1\end{pmatrix}</math>
 +
magja, ez: (t,t)
 +
Azaz a sajátvektorok: (-3,1), (1,1), a megoldás:
 +
:<math>\begin{pmatrix}-3c_1e^t+c_1e^{5t}\\c_2e{t}+c_2e^{5t}\end{pmatrix}</math>
 +
b)
 +
:<math>sX_1-1=2X_1+3X_2</math>
 +
:<math>sX_2+1= X_1+4X_2</math>
 +
azaz
 +
:<math>X_1(s-2)=3X_2+1</math>
 +
:<math>X_2(s-4)+1=X_1</math>
 +
azaz
 +
:<math>3X_2+1=(X_2(s-4)+1)(s-2)</math>
 +
:<math>X_2(3-(s-4)(s-2))=s-3</math>
 +
:<math>X_2=\frac{s-3}{3-(s-4)(s-2)(-s^2+6s-5}=\frac{-s+3}{(s-5)(s-1)}=\frac{...}{s-5}+\frac{...}{s-1}</math>
  
  

A lap 2016. március 6., 21:25-kori változata

<Matematika A3a 2008

Másodrendű lineáris kezdetiérték feladat

y''-10y'+9y=5t,\quad\quad y(0)=-1,\;y'(0)=2

Mo.

L(y') = sY − y(0)
L(y'') = s2Y − sy(0) − y'(0)
L(5t)=\frac{5}{s^2}
s^2Y-sy(0)-y'(0)-10sY+10y(0)+9Y=\frac{5}{s^2}
s^2Y+s-2-10sY-10+9Y=\frac{5}{s^2}
Y(s^2-10s+9)+s-12=\frac{5}{s^2}
Y=\frac{\frac{5}{s^2}-s+12}{s^2-10s+9}
Y=\frac{5}{s^2(s-9)(s-1)}-\frac{s-12}{(s-9)(s-1)}
Y=\frac{-s^3+12 s^2+5}{s^2(s-9)(s-1)}
\frac{-s^3+12 s^2+5}{s^2(s-9)(s-1)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s^2}+\frac{C}{s-9}+\frac{D}{s-1}=\frac{As(s-9)(s-1)+B(s-9)(s-1)+Cs^2(s-1)+Ds^2(s-9)}{s^2(s-9)(s-1)}

A gyököket beírva: s=0-ra B=5/9

s=1-re D=16/(-8)=-2

s=9-re C.8.81=-243+12.27+5 C=31/81

s=2-re A=50/81

Visszatranszf.

y(t)=\frac{50}{81}+\frac{5}{9}t+\frac{31}{81}e^{9t}-2e^t

Homogén lineáris d. egyenletrendszer

a)

\dot{x_1}=2x_1+3x_2
\dot{x_2}= x_1+4x_2

b) Ez az (1,-1) kezdetiértékkel

Mo. a) Ha a feladat

\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}^{\cdot}=A\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}

alakú különböző valós sajátértékekkel, és az A-nak λ1, λ2-hoz tartozó sajátvektoraiból, mint oszlopvektorokból álló mátrix:

B=\left([s_1],[s_2]\right)\,,

akkor a megoldás

\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=B\begin{pmatrix}e^{\lambda_1t}\\e^{\lambda_2 t}\end{pmatrix}

Itt a sajátértékefeladat megoldása:

(2-\lambda)\cdot (4-\lambda)-3=0\,

azaz

\lambda^2-6\lambda+8-3=0\,
\lambda_{1,2}=1;5\,

Megkeresendő tehát a

\begin{pmatrix}1&3\\1&3\end{pmatrix}

mátrix magja, ez:(-3t,t) és a

\begin{pmatrix}-3&3\\1&-1\end{pmatrix}

magja, ez: (t,t) Azaz a sajátvektorok: (-3,1), (1,1), a megoldás:

\begin{pmatrix}-3c_1e^t+c_1e^{5t}\\c_2e{t}+c_2e^{5t}\end{pmatrix}

b)

sX1 − 1 = 2X1 + 3X2
sX2 + 1 = X1 + 4X2

azaz

X1(s − 2) = 3X2 + 1
X2(s − 4) + 1 = X1

azaz

3X2 + 1 = (X2(s − 4) + 1)(s − 2)
X2(3 − (s − 4)(s − 2)) = s − 3
X_2=\frac{s-3}{3-(s-4)(s-2)(-s^2+6s-5}=\frac{-s+3}{(s-5)(s-1)}=\frac{...}{s-5}+\frac{...}{s-1}


4. gyakorlat
6. gyakorlat
A lap eredeti címe: „http://wiki.math.bme.hu/index.php?title=Matematika_A3a_2008/5._gyakorlat&oldid=11443”
Személyes eszközök