Matematika A3a 2008/5. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Megoldási stratégiák)
(Megoldási stratégiák)
16. sor: 16. sor:
 
::állandó együtthatós:
 
::állandó együtthatós:
 
:::kezdeti feltétellel: Laplace-transzformációval  
 
:::kezdeti feltétellel: Laplace-transzformációval  
::::egyenlet másodrendű: ay''+by'+cy=h(x), y(0)=... y'(0)=...
+
::::egyenlet másodrendű: a<math>y''</math>+by'+cy=h(x), y(0)=... y'(0)=...
 
::::egyenletrendszer elsőrendű: y_1, y_2, y_1(0)=... y_2(0)=...,
 
::::egyenletrendszer elsőrendű: y_1, y_2, y_1(0)=... y_2(0)=...,
 
:::általános megoldást keresünk:
 
:::általános megoldást keresünk:
::::egyenlet: ay''+by'+cy=h(x)  próbafüggvény módszer (böhöm képletek)
+
::::egyenlet: a<math>y''</math>+by'+cy=h(x)  próbafüggvény módszer (böhöm képletek)
 
::::egyenletrendszer (nincs kezdeti feltétel, általános megoldást keresünk) A sajátértékei, vektorai
 
::::egyenletrendszer (nincs kezdeti feltétel, általános megoldást keresünk) A sajátértékei, vektorai
  

A lap 2017. november 4., 18:13-kori változata

<Matematika A3a 2008

Tartalomjegyzék

Megoldási stratégiák

nemlineáris
szeparábilis: dy/dx=g(x)/f(y) és f(y)dy=g(x)dx
szeparábilisra visszavezethető:
y'=f(ax+by+c) alakú, ilyenkor u=ax+by+c, u'=a+by' vezet célra
y'=f(y/x) alakú, ilyenkor u=y/x és y'=u'x+u vezet célra
egzakt
egzaktra visszavezethető
m=m(x)
m=m(y)
lineáris
függvényegyütthatós elsőrendű: y'+f(x)y=h(x). Ekkor az állandó variálásával kell számolni: I., y'+f(x)y=0 megoldása: y=y(x,c) II., y=y(x,c(x)) alakban keressük a megoldást
állandó együtthatós:
kezdeti feltétellel: Laplace-transzformációval
egyenlet másodrendű: ay''+by'+cy=h(x), y(0)=... y'(0)=...
egyenletrendszer elsőrendű: y_1, y_2, y_1(0)=... y_2(0)=...,
általános megoldást keresünk:
egyenlet: ay''+by'+cy=h(x) próbafüggvény módszer (böhöm képletek)
egyenletrendszer (nincs kezdeti feltétel, általános megoldást keresünk) A sajátértékei, vektorai

Laplace-transzformáció

t, s>0
t\mapsto f(t)\qquad \overset{\mathcal{L}}{\Rightarrow} \qquad s\mapsto F(s);\qquad F(s) 
  =\int_{0}^\infty e^{-st} f(t)\,dt

Linearitás

\mathcal{L}\left\{a f(t) + b g(t) \right\}
  = a \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} +
    b \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\}

Deriváltak

\mathcal{L}\{f'(t)\}
  = s \mathcal{L}\{f(t)\} - f(0)
\mathcal{L}\{f''(t)\}
  = s^2 \mathcal{L}\{f(t)\} - s f(0) - f'(0)

Elemi függvények

\mathcal{L}\{\,t^n\} = \frac {n!}{s^{n+1}}
\mathcal{L}\{\,e^{-at}\} = \frac {1}{s+a}
\mathcal{L}\{\,t^{n} e^{-a t}\}= \frac{n!}{(s+a)^{n+1}}
\mathcal{L}\{\,\sin(\omega t)\} = \frac {\omega}{s^2 + \omega^2}


\mathcal{L}\{\,\cos(\omega t)\} = \frac {s}{s^2 + \omega^2}

Másodrendű állandó együtthatós inhomogén lineáris kezdetiérték feladat

1.

y''-y=e^{-t}\qquad\qquad y(0)=1, y'(0)=0\,

Mo.

\mathcal{L}\{y\}=Y\,
 s^2 Y -sy(0)-y'(0) s - Y = \frac{1}{s+1}\,
 s^2 Y -s- Y = \frac{1}{s+1}\,
 Y(s^2-1)-s = \frac{1}{s+1}\,
 Y(s^2-1)= \frac{1}{s+1}+\frac{s(s+1)}{s+1}\,
 Y = \frac{s^2+s+1}{(s+1)(s^2-1)}\,

Parciális törtekre bontás:

\frac{s^2+s+1}{(s+1)(s^2-1)} = \frac{s^2+s+1}{(s+1)^2(s-1)} = \frac{A}{(s+1)^2} + \frac{B}{s+1} + \frac{C}{s-1}\,
s^2+s+1 = A(s-1) + B(s+1)(s-1) + C(s+1)^2\,

Innen s=1-gyel 3=4C, s=-1-gyel 1=-2A, és s=0-val 1=-A-B+C. Azaz

C=3/4, \,\,\, A=-1/2, \,\,\, B=1/4\,

\frac{s^2+s+1}{(s+1)(s^2-1)} = \frac{-1/2}{(s+1)^2} + \frac{1/4}{s+1} + \frac{-1/2}{s-1}\,

Y = \frac{-1/2}{(s+1)^2} + \frac{1/4}{s+1} + \frac{-1/2}{s-1}\,

y(t) = \frac{-1}{2}(t e^{-t}) + \frac{1}{4}e^{-t} + \frac{3}{4}e^t\,

2.


y''-10y'+9y=5t,\quad\quad y(0)=-1,\;y'(0)=2

Mo.

L(y') = sYy(0)
L(y'') = s2Ysy(0) − y'(0)
L(5t)=\frac{5}{s^2}
s^2Y-sy(0)-y'(0)-10sY+10y(0)+9Y=\frac{5}{s^2}
s^2Y+s-2-10sY-10+9Y=\frac{5}{s^2}
Y(s^2-10s+9)+s-12=\frac{5}{s^2}
Y=\frac{\frac{5}{s^2}-s+12}{s^2-10s+9}
Y=\frac{5}{s^2(s-9)(s-1)}-\frac{s-12}{(s-9)(s-1)}
Y=\frac{-s^3+12 s^2+5}{s^2(s-9)(s-1)}
\frac{-s^3+12 s^2+5}{s^2(s-9)(s-1)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s^2}+\frac{C}{s-9}+\frac{D}{s-1}=\frac{As(s-9)(s-1)+B(s-9)(s-1)+Cs^2(s-1)+Ds^2(s-9)}{s^2(s-9)(s-1)}

A gyököket beírva: s=0-ra B=5/9

s=1-re D=16/(-8)=-2

s=9-re C.8.81=-243+12.27+5 C=31/81

s=2-re A=50/81

Visszatranszf.


y(t)=\frac{50}{81}+\frac{5}{9}t+\frac{31}{81}e^{9t}-2e^t

Elsőrendű állandó együtthatós inhomogén lineáris differenciálegyenletrendszer kezdetiérték feltétellel

3.

\dot{x_1}=x_1+2x_2
\dot{x_2}=2x_1+x_2

A x_1(0)=2,\;x_2(0)=-2 kezdetiérték feltétellel.

Mo.

sX_1-2=X_1+2X_2\,
sX_1+2=2X_1+X_2\,

Összeadva őket:

s(X_1+X_2)=3(X_1+X_2)\,
(s-3)(X_1+X_2)=0\,

Ami csak akkor teljesülhet minden s-re, ha X2 = − X1. Innen

sX_1-2=X_1-2X_1\,
(s+1)X_1=2\,
X_1=2\frac{1}{s+1}\,
X_2=-2\frac{1}{s+1}\,

És végül

x1(t) = 2et
x2(t) = − 2et

4.

\dot{x_1}=2x_1+3x_2\,
\dot{x_2}= x_1+4x_2\,

A x_1(0)=1,\;x_2(0)=-1\, kezdetiérték feltétellel.

Mo.

sX_1-1=2X_1+3X_2\,
sX_2+1= X_1+4X_2\,

azaz

X_1(s-2)=3X_2+1\,
X_2(s-4)+1=X_1\,

azaz

3X_2+1=(X_2(s-4)+1)(s-2)\,
X_2(3-(s-4)(s-2))=s-3\,
X_2=\frac{s-3}{3-(s-4)(s-2)}=\frac{-s+3}{(s-5)(s-1)}\,

...

[5.

\begin{pmatrix}\dot{x}_1\\\dot{x}_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5x_1 & -2x_2\\ 6x_1 & -2x_2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}t\\1\end{pmatrix}

]

4. gyakorlat
6. gyakorlat
Személyes eszközök