|
|
| 1. sor: |
1. sor: |
| − | ''<sub><[[Matematika A3a 2008]]</sub>''
| |
| | | | |
| − | =='''C'''-differenciálhatóság==
| |
| − | A komplex differenciálhatóság az előző észrevételekkel szoros kapcsolatban lesz. Egyfelől
| |
| − | :<math>(w\cdot z)'=w\in \mathbf{C}</math>
| |
| − | :<math>(z^2)'=2z\in \mathbf{C}</math>
| |
| − | mutaja, hogy ha a Jacobi-mártix hasonlóképpen viselkedik a komplex számok mátrixreprezentációjában, mint az egyváltozós valós derivált. Másrészt a
| |
| − | :<math>(\overline{z})'=(\begin{smallmatrix} 1 & 0\\0 & -1\end{smallmatrix})\notin \mathbf{C}</math>
| |
| − | mutatja, hogy nem minden valósan deriválható függvény lesz komplex deriválható. Nézzük akkor az egyváltozós valós mintájára a definíciót majd lássuk a komplex differenciálhatóság jellemzését.
| |
| − |
| |
| − | '''Definíció''' - ''Komplex differenciálhatóság, komplex derivált'' - Legyen ''f'' a ''z''<sub>0</sub> egy környezetében értelmezett függvény. Azt mondjuk, hogy ''f'' '''C'''-deriválható ''z''<sub>0</sub>-ban és deriváltja a ''w'' szám, ha
| |
| − | :<math>\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=w</math>
| |
| − |
| |
| − | Jelölése: <math>f'(z_0)</math>.
| |
| − |
| |
| − | Azt, hogy az f a ''z''<sub>0</sub>-ban komplex deriválható még úgy is jelöljük, hogy
| |
| − | :<math>f\in \mathrm{Diff}_{\mathbf{C}}(z_0)</math>.
| |
| − |
| |
| − | Pontbeli deriváltra példa a következő.
| |
| − |
| |
| − | '''Példa.''' Milyen ''n'' egész számokra deriválható a 0-ban az alábbi függvény?
| |
| − | :<math>f(z)=\begin{cases}\overline{z}\cdot z^n, & z\ne 0\\
| |
| − | 0, & z=0
| |
| − | \end{cases}
| |
| − | </math>
| |
| − | ''Mo.'' Ha ''n''>0, akkor a különbségi hányados:
| |
| − | :<math>\frac{\overline{z}\cdot z^n-0}{z-0}=\frac{\overline{z}\cdot z^n}{z}=\overline{z}\cdot z^{n-1}\to 0</math> ha ''z'' <math>\to</math> 0.
| |
| − | Ha ''n'' = 0, akkor
| |
| − | :<math>\frac{\overline{z}-0}{z-0}=\frac{\overline{z}}{z}=e^{i(-2\varphi)}</math>
| |
| − | aminek nincs határértéke a 0-ban (az egységkörön mozog a végpont).
| |
| − |
| |
| − | Ha ''n'' < 0, akkor
| |
| − | :<math>\frac{\overline{z}z^n-0}{z-0}=\frac{\overline{z}}{z^{-n+1}}=\frac{\overline{z}}{z}\frac{1}{z^{-n}}</math>
| |
| − | ami a 0-ban a komplex végtelenbe tart, mert a hossza a végtelenbe tart.
| |
| − |
| |
| − | Tehát ''n'' > 0-ra a függvény komplex deriválható a 0-ban, más ''n'' < 1-re nem deriválható.
| |
| − |
| |
| − | '''Tétel.''' - ''A komplex differenciálhatóság jellemzése'' - Legyen ''f'' a ''z''<sub>0</sub> = ''x''<sub>0</sub> + i''y''<sub>0</sub> egy környezetében értelmezett függvény. Ekkor az alábbiak ekvivalensek:
| |
| − | :1) <math>f\in \mathrm{Diff}_{\mathbf{C}}(z_0)</math>
| |
| − | :2) <math>f\in \mathrm{Diff}_{\mathbf{R}}(x_0,y_0)</math> és <math>[\mathrm{d}f(x_0,y_0)]\in\mathbf{C}</math>.
| |
| − |
| |
| − | ''Bizonyítás.'' Legyen ''f'' a ''z''<sub>0</sub> = ''x''<sub>0</sub> + i''y''<sub>0</sub> egy környezetében értelmezett függvény és ''w'' komplex szám.
| |
| − | Tekintsük a következő határértéket:
| |
| − | :<math>\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)-[w]\cdot (z-z_0)}{|z-z_0|}=0</math>
| |
| − | ahol az ''z'', ''z''<sub>0</sub>, ''f''(''z''), ''f''(''z''<sub>0</sub>) mennyisegekre ugy tekintunk, mint vektorokra.
| |
| − | Ez ekvivalens a következővel:
| |
| − | :<math>\lim\limits_{z\to z_0}\left|\frac{f(z)-f(z_0)}{|z-z_0|}-\frac{w\cdot (z-z_0)}{|z-z_0|}\right|=0</math>
| |
| − | ahol az elobb emlitettek mar algebrai ertelemben komplex szamok, nem feltetlenul vektorok. Azaz
| |
| − | :<math>\lim\limits_{z\to z_0}\left|\frac{z-z_0}{|z-z_0|}\left(\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-w\right)\right|=0</math>
| |
| − | Itt (''z''-''z''<sub>0</sub>)/|''z''-''z''<sub>0</sub>| a komplex egységkörön "futó" függvény, hossza 1, ezért a fenti ekvivalnes a következővel:
| |
| − | :<math>\lim\limits_{z\to z_0}\left|\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-w\right|=0</math>
| |
| − | Ami viszont ugyanakkor igaz mint:
| |
| − | :<math>\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=w</math>
| |
| − | Ha a következtetésben felfelé vizsgálódunk, tehát feltesszük a komplex deriválhatóságot ahol ''w'' a komplex derivált, akkor azt kapjuk, hogy a ''w'' mátrixreprezentációjával való mátrixszorzás alkalmas lineáris leképezés a valós derivált számára, azaz létezik [df(z<sub>0</sub>)]=[w].
| |
| − |
| |
| − | Másfelől, ha f valósan deriválható és a deriváltja a ''w'' komplex számot reprezentálja, akkor komplexen is deriválható es komplex derivaltja pont ''w''.
| |
| − |
| |
| − | '''Cauchy--Riemann-egyenletek''' A fenti tételben a [df(z)] ∈ '''C''' feltétel (természetesen a totális deriválhatóság esetén) ekvivalens az alábbiakkal. Ha ''f'' = ''u'' + i''v'' és ''z'' = ''x'' +i''y'', akkor
| |
| − | :<math>\begin{cases}
| |
| − | \partial_xu=\partial_yv\\
| |
| − | \partial_yu=-\partial_x v
| |
| − | \end{cases}</math>
| |
| − |
| |
| − | '''Komplex deriváltfüggvény''' Ahol egy f komplex függvény komplex deriválható, ott a deriváltja:
| |
| − | :<math>f'(z)=\partial_x u+\mathrm{i}\partial_xv=\partial_y v+\mathrm{i}\partial_xv=\partial_xu-\mathrm{i}\partial_yu=\partial_y v-\mathrm{i}\partial_yu</math>
| |
| − |
| |
| − | '''Definíció''' - Regularitás - Az f komplex függvény reguláris a z pontban, ha f a z egy egész környezetén értelmezett, és a teljes környezetben komplex deriválható.
| |
| − |
| |
| − | '''Feladat.''' Legyen f(x+iy)=|x|+i|y|. Hol komplex deriválható és hol reguláris f?
| |
| − |
| |
| − | '''Feladat.''' Legyen <math>f(x+iy)=x^2+iy^3</math>. Hol komplex deriválható és hol reguláris f?
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | ===Harmonikus társ keresése===
| |
| − |
| |
| − | Azt mondjuk, hogy a kétszer differenciálható u=u(x,y) valós függvény ''harmonikus'', ha
| |
| − | :<math>u_{xx}''+u_{yy}''\equiv \Delta u\equiv 0\, </math>
| |
| − | itt Δ a Laplace-operátor (nem a Laplace-transzformátor!, hanem a vektoranalízisbeli vektormezőre Hesse-mátrix nyoma).
| |
| − |
| |
| − | A C--R-egyenletek mutatják, hogy ha f=u+iv reguláris, akkor u és v harmonikus függvények. Ugyanis:
| |
| − | :<math>u_x'=v_y'\,</math> és
| |
| − | :<math>v_x'=-u_y'\,</math>
| |
| − | De u és v Hesse-mátrixa is szimmetrikus, ezért:
| |
| − |
| |
| − | :<math>v_{yy}''=u_{xy}''=u_{yx}''=-v_{xx}''\,</math>
| |
| − | azaz
| |
| − | :<math>\Delta v\equiv 0\,</math> és fordítva.
| |
| − |
| |
| − | Általában az a feladat, hogy ha adott u, akkor keressük az ő harmonikus társát, v-t, mellyel u+iv reguláris. Ha tehát adott u, akkor van F és G, hogy
| |
| − | :<math>F=v_y'\,</math>
| |
| − | :<math>G=-v_x'\,</math>
| |
| − | Ami az egzakt differenciálegynlet megoldásánál tanult parciális differenciálegyenlet megoldását igényli v-re, mint potenciálfüggvényre (ekkor f-et komplex pontenciálnak nevezzük, mármint a (<math>v'_x(x,y)</math>,<math>v_y'(x,y)</math>) síkbeli vektormező komplex pontenciáljának; a v valódi pontenciálja lenne. Ennek szükséges utánanézni máshol is!)
| |
| − |
| |
| − | '''1..''' Keressünk harmonikus párt az
| |
| − | :<math>u=x^4+y^4-6x^2y^2\,</math>
| |
| − | függvényhez!
| |
| − |
| |
| − | ''Mo.'' Van neki, ha Δ=0. Ezt ellenőrizni kell, majd az előző módszerrel megkeresi v-t, amivel u+iv reguláris.
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | [[Kategória:Matematika A3]]
| |
