Matematika A3a 2008/6. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Eltávolította a lap teljes tartalmát)
1. sor: 1. sor:
 +
''<sub><[[Matematika A3a 2008]]</sub>''
  
 +
==Feladat folytonosságra==
 +
 +
'''Feladat.''' Legyen ''w'' &isin; '''C'''. Igazoljuk, hogy az alábbi függvények folytonosak!
 +
# <math>z\mapsto w + z\,</math>
 +
# <math>z\mapsto w\cdot z\,</math>
 +
# <math>z\mapsto \overline{z}\,</math> 
 +
# <math>z\mapsto \frac{1}{z}\quad\quad (z\ne 0)</math> 
 +
 +
''Megoldás.''
 +
 +
Az 1. az '''R'''<sup>2</sup>-ben eltolás a ''w''-nek megfelelő vektorral (Re(''w''), Im(''w''))-vel, így affin leképezés, ami folytonos.
 +
 +
2. a ''w'' mátrixreprezentációjának megfelelő mátrixszal való szorzás, azaz lineáris leképezés, s így folytonos.
 +
 +
3. azaz a konjugálás: (''x'',''y'') <math>\mapsto</math> (''x'',–''y'') a valós tengelyre való tükrözés, ami szintén lineáris.
 +
 +
Végül a reciprok:
 +
:<math>\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{z\overline{z}}=\frac{\overline{z}}{|z|^2}</math>
 +
így, mint '''R'''<sup>2</sup> &sup;<math>\to</math> '''R'''<sup>2</sup> függvény:
 +
:<math>\begin{pmatrix}
 +
x \\
 +
y
 +
\end{pmatrix}\mapsto
 +
\begin{pmatrix}
 +
\cfrac{x}{x^2+y^2} \\
 +
\cfrac{-y}{x^2+y^2}
 +
\end{pmatrix}</math>
 +
amely olyan, hogy mindkét komponensfüggvénye folytonos valós függvényekből van összeállítva a folytonosságot megőrző módon, azaz az értelmezési tartománya minden pontjában folytonos.
 +
 +
'''Feladat.''' Folytonos-e a ''z'' = 0-ban az
 +
:<math>f(z)=\left\{
 +
\begin{matrix}
 +
\cfrac{\mathrm{Im}(z)^3+\mathrm{i}\cdot\mathrm{Re}(z)^4}{\overline{z}\cdot z},\quad\quad\mathrm{ha}\;z\ne 0\\
 +
\\
 +
0,\quad\quad \mathrm{ha}\;z=0
 +
\end{matrix}
 +
\right.</math>
 +
 +
''Megoldás.''
 +
 +
Ha ''z'' = ''x'' + i''y'' és (''x'',''y'') &ne; (0,0), akkor:
 +
:<math>f(x,y)=\begin{pmatrix}
 +
\cfrac{y^3}{x^2+y^2} \\
 +
\cfrac{x^4}{x^2+y^2}
 +
\end{pmatrix}</math>
 +
 +
A komponensfüggvények felírhatók egy 0-hoz tartó és egy korlátos függvény szorzataként:
 +
:<math>\left|\cfrac{y^3}{x^2+y^2}\right|=|y|\cdot\frac{y^2}{x^2+y^2}\leq |y|\cdot\frac{y^2}{y^2}=|y|</math>
 +
és
 +
:<math>\left|\cfrac{x^4}{x^2+y^2}\right|=x^2\cdot\frac{x^2}{x^2+y^2}\leq x^2\cdot\frac{x^2}{x^2}=x^2</math>
 +
így (x,y)<math>\to</math>(0,0) esetén a 0-hoz tartanak, így a függvény maga a (0,0)-hoz, azaz a komplex 0-hoz. Mivel itt a függvény értéke 0, ezért ''f'' a 0-ban folytonos.
 +
 +
 +
Ha folytonos komplex függvényekből alapműveletek segítségével alkottunk függvényeket, akkor azok is folytonosak maradnak, mert a megfelelő '''R'''<sup>2</sup>-beli függvények ekkor olyanok lesznek, melyek mindegyik komponensfüggvénye a valós alapműveletek segítségével vannak definiálva. Ám, ezek megőrzik a folytonosságot.
 +
 +
'''Állítás.''' Ha ''f'' és ''g'' komplex függvények és az ''z''<sub>0</sub>  pontban (mindketten értelmezettek és) folytonosak, akkor
 +
# ''f'' + ''g''
 +
# ''f'' <math>\cdot</math> ''g''
 +
# <math>\overline{f}</math>
 +
# ''g''(''z''<sub>0</sub>) &ne; 0 esetén ''f''/''g''
 +
is folytonos ''z''<sub>0</sub>-ban. 
 +
 +
 +
Folytonos függvények kompozíciója is folytonos (az kompozíció értelmezési tartományán).
 +
 +
'''Feladat.''' Folytonos-e a ''z'' = i-ben az
 +
:<math>f(z)=\left\{
 +
\begin{matrix}
 +
\cfrac{\mathrm{i}z+1}{|z-\mathrm{i}|},\quad\quad\mathrm{ha}\;z\ne \mathrm{i}\\
 +
\\
 +
0,\quad\quad \mathrm{ha}\;z=\mathrm{i}
 +
\end{matrix}
 +
\right.</math>
 +
 +
Ha ''z'' = ''x'' + i''y'' és (''x'',''y'') &ne; (0,1), akkor:
 +
:<math>f(x,y)=\begin{pmatrix}
 +
\cfrac{-y+1}{\sqrt{x^2+(y-1)^2}} \\
 +
\cfrac{x}{\sqrt{x^2+(y-1)^2}}
 +
\end{pmatrix}</math>
 +
 +
Már az első komponens határértéke sem létezik, hisz (x,y)=(0,y) mentén alulról a (0,1)-hez tartva a határérték -1, az x=y-1 mentén pedig -1/gyök kettő.
 +
 +
A második tényező szintén nem.
 +
 +
==Feladatok határértékre==
 +
 +
'''Feladat.'''  Igazoljuk definíció szerint, hogy
 +
#<math>\lim\limits_{z\to 0}\frac{1}{z}=\infty</math>
 +
#<math>\lim\limits_{z\to \infty}\frac{1}{z}=0</math>
 +
 +
1. Legyen &epsilon; > 0. Ekkor azt kell belátnuk, hogy létezik &delta; > 0, hogy teljesüljön |''z''| < &delta; esetén, hogy a függvényérték a &infin; &epsilon; sugarú környezetébe esik, azaz:
 +
:<math>\left|\frac{1}{z}\right|>\frac{1}{\varepsilon}</math>
 +
Világos, hogy ezt azt jelenti, hogy
 +
:<math>|z|<\varepsilon</math>
 +
amit reciprokvonással kaptunk. Ha tehát ha &delta; := &epsilon; és |''z''| < &delta;, akkor "felfelé" következtetve kijön a kívánt egyenlőtlenség.
 +
 +
2. Legyen &epsilon; > 0. Ekkor azt kell belátnuk, hogy létezik &delta; > 0, hogy teljesüljön |''z''| > 1/&delta; esetén, hogy a függvényérték a 0-nak &epsilon; sugarú környezetébe esik, azaz:
 +
:<math>\left|\frac{1}{z}\right|<\varepsilon</math>
 +
Világos, hogy ezt azt jelenti, hogy
 +
:<math>|z|>\frac{1}{\varepsilon}</math>
 +
amit reciprokvonással kaptunk. Ha tehát ha &delta; := &epsilon; és |''z''| > 1/&delta;, akkor "felfelé" következtetve kijön a kívánt egyenlőtlenség.
 +
 +
A végtelen határérékkel történő számolás szabályai előtt definiálnunk kell néhány kibővített műveletet. Ezt a következők szellemében tesszük:
 +
 +
:Ha ''a'' és ''b'' valamelyike a &infin;  szimbólum (a másik, ha nem ilyen, akkor komplex szám), akkor az ''a'' * ''b'' alapműveletet akkor értelmezzük a ''c'' szimbólumként (mely szintén vagy komplex szám, vagy az &infin;), ha ''minden'' ''a'' határértékű ''f'' függvény esetén  és ''minden'' ''b'' határértékű ''g'' függvény esetén a ''f''*''g'' ''szükségszerűen'' a ''c''-hez tart. Ekkor mondjuk tehát, hogy az
 +
::''a'' * ''b'' = ''c''
 +
:definíció jó.
 +
Például a &infin; + &infin; művelet feltétlenül értelmezett és értéke a &infin;, mert könnyen látható, hogy ''bármely'' két, a &infin;-hez tartó függvény összege is a &infin;-hez tart. De a 0 <math>\cdot</math> &infin; művelet nem értelmezhető, mert van két függvénypár, mely ilyen alakú határértékekkel rendelkezik, de a szorzatuk máshoz tart. Pl.: (1/Re(z)) <math>\cdot</math> Re(z) <math>\to</math> 1, a z=0-ban, de (1/Re(z)) <math>\cdot</math> 2 Re(z) <math>\to</math> 2 a z=0-ban.
 +
 +
'''Definíció''' – ''Végtelen és alapműveletek'' – Az alábbi műveleti szabályokat vezetjük be a &infin;, szimbólumra vonatkozóan, az alábbiakban ''z'' tetszőleges komplex szám, ''n'' tetszőleges nemnulla komplex szám:
 +
# <math>\infty+z=\infty </math>,
 +
# <math>\infty-z=\infty,  \quad\quad z-\infty=\infty</math>, 
 +
# <math>\infty\cdot\infty=\infty, \quad\quad \infty\cdot n=\infty</math>,
 +
# <math>\frac{z}{\infty}=0 \quad\quad \frac{\infty}{z}=\infty</math>,
 +
továbbá a szorzás és az összeadás kommutatív.
 +
 +
Megjegyezzük még, hogy <math>\overline{\infty}=\infty</math>, azaz a végtelen konjugáltja saját maga.
 +
 +
'''Definíció''' – ''Határozatlan esetek'' –  Az alábbi alapműveletek nem értelmezhetők:
 +
# <math>\infty-\infty</math>,
 +
# <math>0\cdot\infty, \quad\quad \infty\cdot 0</math>,
 +
# <math>\frac{\infty}{\infty}</math>,
 +
# <math>\frac{0}{0}</math>
 +
 +
 +
'''Tétel''' – ''Végtelen határérték és alapműveletek'' – Ha az ''f'' és ''g'' komplex függvényeknek létezik határértékük az <math>\scriptstyle{u\in \overline{\mathbf{C}}}</math> helyen, az ''f'' * ''g'' alapművelettl elkészített függvény értelmezési tartományának torlódási pontja ''u''  és a lim<sub>u</sub> ''f'' * lim<sub>u</sub> ''g'' alapművelet elvégezhető, akkor az ''f'' * ''g'' függvénynek is van határértéke ''u''-ban és ez:
 +
:<math> \lim\limits_u(f\mbox{*}g)=\lim\limits_u f\,\mbox{*}\, \lim\limits_u g \,</math>
 +
Ezenkívül a határozatlan esetekben, amikor a határértékekkel végzett műveletek nem értelmezettek, az alapműveletekkel elkészített függvények határértékeire nem adható általános képlet (mert alkalmasan választott esetekben máshoz és máshoz tartanak).
 +
 +
''A bizonyításról.'' Ennek a tételnek a bizonyítása minden nehézség nélkül elvégezhető vagy az '''R'''<sup>2</sup>-beli sorozatokra vonatkozó átviteli elv vagy a komponensfüggvények határértékére történő hivatkozás útján. Minenekelőtt azt kell szem előtt tartanunk, hogy a végtelenhez való tartás, a függvény abszolútértékének plusz végtelenhez tartását jelenti:
 +
:<math>\exists\lim\limits_{z_0}f=\infty \quad\Longleftrightarrow \quad\exists\lim\limits_{z_0}|f|=+\infty</math>
 +
 +
'''Feladat.''' Adjuk példákat arra, hogy a határozatlan alakú határértékeket valóban nem lehet definiálni.
 +
 +
''Nézzük a 0-ban az alábbi függvényeket:''
 +
:<math>\frac{2}{z}\;-\;\frac{1}{z}=\frac{1}{z}\quad\to \infty</math> miközben <math>(\frac{1}{z}+2)\;-\;\frac{1}{z}=2\quad\to 2</math>
 +
 +
<math>\frac{1}{z}\;\cdot z=1\quad\to 1</math> miközben <math>\frac{2}{z}\;\cdot\;z=2\quad\to 2</math>
 +
 +
:<math>\frac{1}{z}/\frac{1}{z}=1\quad\to 1</math> miközben <math>\frac{2}{z}/\frac{1}{z}=2\quad\to 2</math>
 +
 +
<math>\frac{z}{z}=1\quad\to 1</math> miközben <math>\frac{2z}{z}=2\quad\to 2</math>
 +
 +
'''Feladat.''' Számítsuk ki az alábbi határértékeket, ha léteznek!
 +
# <math>\lim\limits_{z\to 0}\frac{\mathrm{Im}(z)}{z}</math>,
 +
# <math>\lim\limits_{z\to i}\frac{z-i}{z^2+1}</math>,
 +
# <math>\lim\limits_{z\to 1}\frac{\frac{1}{z-1}+i}{\frac{1}{z^2-1}-i}</math>,
 +
# <math>\lim\limits_{z\to 0}\frac{1}{z}-\frac{2}{\overline{z}}</math>,
 +
# <math>\lim\limits_{z\to -i}\frac{\frac{1}{z+i}+i}{\overline{z}-i}</math>,
 +
 +
''Megoldás.''
 +
1. nemnulla ''z''-re:
 +
:<math>\frac{\mathrm{Im}(z)}{z}=\frac{\mathrm{Im}(z)\overline{z}}{z\overline{z}}=\frac{yx-y^2\mathrm{i}}{x^2+y^2}</math>
 +
de ekkor például az első komponensfüggvény ''x'' = 0 felől közelítve 0, míg az ''x'' = ''y''-felől:1/2, azaz nem létezik az első komponensnek a (0,0)-ban határértéke, azaz a komplex függvénynek sem.
 +
 +
2. <math>\frac{z-i}{z^2+1}=\frac{z-i}{(z+i)(z-i)}=\frac{1}{z+i}\quad\longrightarrow_{z\to i}\quad\infty</math>
 +
 +
3. <math>\frac{\frac{1}{z-1}+i}{\frac{1}{z^2-1}-i}=\frac{ \frac{1+iz-i}{z-1} }{ \frac{1-iz^2+i}{z^2-1} }=\frac{1+iz-i}{z-1}\cdot \frac{(z+1)(z-1)}{1-iz^2+i}</math>
 +
::<math>\left.\frac{iz+1-i}{-iz^2+i+1}(z+1)\right|_1=\frac{1}{1}\cdot 1</math>
 +
 +
4. <math>\frac{1}{z}-\frac{2}{\overline{z}}=\frac{\overline{z}-2z}{z\overline{z}}</math>
 +
csak a valós részt nézve:
 +
:<math>\left|\frac{-x}{x^2+y^2}\right|</math>
 +
az (x,y)=(x,0) esetben a (0,0)-hoz tartva: végtelen, de (x,y)=(0,y), akkor 0. tehát nincs határérték. 
 +
 +
5. <math>\lim\limits_{z\to -i}\frac{\frac{1}{z+i}+i}{\overline{z}-i}=\left(\frac{\infty}{0}\right)=\infty</math>.
 +
 +
 +
'''Feladat.''' Adjuk meg minden ''z''<sub>0</sub> &isin; '''C''' számra az alábbi függvény határértékét!
 +
# <math>f(z)=\frac{z}{\overline{z}-z}</math>,
 +
# <math>f(z)=\frac{z^2}{\overline{z}z-1}</math>,
 +
 +
1. <math>\mathrm{Dom}(f)=\{z\in \mathbf{C}\mid \overline{z}\ne z\}</math>
 +
 +
Folytonos az értelmezési tartományában. A határon:
 +
:<math>\frac{z}{\overline{z}-z}=\frac{x+iy}{2iy}\,</math>
 +
''z''<sub>0</sub>  &ne; 0 esetén
 +
:<math>\left|\frac{x+iy}{2iy}\right|\geq \frac{|z_0|/2}{2|y|}\to \infty</math>
 +
''z''<sub>0</sub>  = 0 esetén:
 +
:<math>\frac{x+iy}{2iy}=\frac{1}{2}-i\frac{x}{2y}</math>
 +
ismert, hogy nincs határérték.
 +
 +
2. <math>\mathrm{Dom}(f)=\{z\in \mathbf{C}\mid \overline{z}z\ne 1\}</math>
 +
 +
Az egységkör pontjaitól különbözőkre folytonos, az egységkörön a végtelen, a végtelenben pedig nincs határérték. Ugyanis:
 +
:<math>|f(z)|=\frac{|z|^2}{|\overline{z}z-1|}</math>,
 +
így az egységkörön a számláló az 1-hez, a nevező a nullához tart. A végtelenben pedig ''t'' valóssal:
 +
:<math>\lim\limits_{t\to +\infty} f(t+0.i)=\lim\limits_{t\to +\infty} \frac{t^2}{t^2-1}= 1\,</math>
 +
:<math>\lim\limits_{t\to +\infty} f(t.i)=\lim\limits_{t\to +\infty} \frac{-t^2}{t^2-1}= -1\,</math>
 +
==Differenciálhatóság==
 +
==='''R'''-differenciálhatóság===
 +
Legyen ''f'' :  '''C''' &sup;<math>\to</math> '''C''' komplex függvény. Ekkor ''f'' azonosítható az
 +
:<math>f\equiv \begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}:\mathbf{R}^2\supset\to\mathbf{R}^2</math>
 +
vektorértékű kétváltozós függvénnyel az
 +
:<math>f(z)=f(x+iy)\equiv u(x,y)+iv(x,y)\,</math>
 +
szerint (itt ''u'' és ''v'' kétváltozós valós függvények, rendre az ''f'' valós és képzetes része).
 +
 +
''f'' abban az értelemen '''R'''-differenciálható, ahogy az (''u'',''v''):'''R'''<sup>2</sup> <math>\supset\to</math> '''R'''<sup>2</sup> függvény differenciálható, azaz
 +
 +
'''Definíció''' -- Valós deriválhatóság -- Legyen ''g'':'''R'''<sup>2</sup> <math>\supset\to</math> '''R'''<sup>2</sup>, ''x''<sub>0</sub>&isin;IntDom(g). Ekkor a ''g'' differenciálható az ''x''<sub>0</sub> pontban, ha létezik olyan ''A'': '''R'''<sup>2</sup> <math>\to</math> '''R'''<sup>2</sup> lineáris leképezés, melyre
 +
:<math>\exists \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)-A(x-x_0)}{||x-x_0||}=0</math>
 +
ahol ||.|| tetszőleges norma (például az ||.||<sub>2</sub>=|.| komplex abszolútérték) '''R'''<sup>2</sup>-ben.
 +
 +
Ekkor a fenti ''A'' lineáris leképezés egyértelmű és a jelölése: d''g''(''x''<sub>0</sub>). Azt, hogy a g valósan differenciálható (totálisan differenciálható) az ''x''<sub>0</sub>-ban, még úgy is jelöljük, hogy
 +
:<math>g\in \mathrm{Diff}_{\mathbf{R}}(x_0)</math>.
 +
 +
A d''f''(''x''<sub>0</sub>,''y''<sub>0</sub>) leképezés sztenderd bázisban felírt koordinátamátrixát nevezzük Jacobi-mátrixnak, mely a következő. Ha f komponensfüggvényei: (x,y) <math>\mapsto</math> f(x,y) = (u(x,y),v(x,y)), akkor
 +
:<math>\mathrm{J}^g(x_0,y_0)=[\mathrm{d}f(x_0,y_0)]=\begin{bmatrix}\partial_x u & \partial_y u \\\partial_x v & \partial_y v\end{bmatrix}(x_0,y_0) </math>
 +
És persze, ha  ''f'' differenciálható (értsd: totálisan differenciálhat, vagy valósan differenciálható), akkor parciálisan is deriválható, azaz a komponensfüggvényeinek az adott pontban léteznek a parciális deriváltjai, tehát felírható a Jacobi-mátrix.
 +
====Példák====
 +
'''1.''' Legyen ''w'' &isin; '''C''' tetszőlegesen rögzített és legyen
 +
:<math>f(z)=w\cdot z</math>
 +
Ekkor a komponensfüggvények (f valós és képzetes része):
 +
:<math>f(z)=f(x+iy)=(w_1+iw_2)\cdot (x+iy)=w_1x-w_2y+i(w_1y+w_2x)\equiv \begin{bmatrix}
 +
w_1x-w_2y\\
 +
w_1y+w_2x
 +
\end{bmatrix}</math>
 +
És a derivált:
 +
:<math>\mathrm{J}^{f}(z)=\begin{bmatrix}
 +
w_1 & -w_2\\
 +
w_2 & w_1
 +
\end{bmatrix}
 +
</math>
 +
Vegyük észre, hogy az imént kijött derivált éppen a ''w'' komplex szám mártixreprezentációja, hiszen általában egy ''z'' = ''a'' +' 'b''i komplex szám mátrixreprezentációja:
 +
:<math>[z]=\begin{bmatrix}
 +
a & -b\\
 +
b & a
 +
\end{bmatrix}
 +
</math>
 +
a valós rész a főátlóban, a képzetes rész a -, + -szal a mellékátlóban van. Tehát:
 +
:<math>\mathrm{J}^{f}(z)\in \mathbf{C}</math>
 +
'''2.'''
 +
 +
''f''(''z'') = ''z''<sup>2</sup>
 +
 +
Legyen ''z'' = ''x'' + i ''y''. Ekkor ''z''<sup>2</sup> = ''x''<sup>2</sup> - ''y''<sup>2</sup> +i(2''xy'')
 +
:<math>\mathrm{J}_\mathbf{R}^f(x,y)=\begin{pmatrix}
 +
2x & -2y\\
 +
2y & 2x
 +
\end{pmatrix}</math>
 +
azaz amit kaptunk, pont a 2z szám mátrixreprezentációja:
 +
:<math>\mathrm{J}^{f}(z)=[2z]\in\mathbf{C}
 +
</math>
 +
 +
'''3.''' Számítsuk ki az  <math>\scriptstyle{f(z)=\overline{z}}</math> '''R'''-differenciálját!
 +
 +
Ha ''z'' = ''x'' + i ''y'', akkor <math>\scriptstyle{\overline{z}=x-\mathrm{i}y}</math>, így:
 +
:<math>\mathrm{J}^{\overline{z}}_{\mathbf{R}}(z)=\begin{pmatrix}
 +
1 & 0\\
 +
0 & -1
 +
\end{pmatrix}\not\in\mathbf{C} </math>
 +
azaz nem mátrixreprezentáció alakú a Jacobi-mátrix. Ám, azt jegyezzük meg, hogy az iménti leképezés lineáris (ez az x tengelyre vonatkozó tükrözés), tehát folytonos, sőt totálisan (végtelenszer) differenciálható és a valós deriváltja pont saját maga:
 +
:<math>\mathrm{d}f(x,y)=f\,</math>
 +
csak nem komplex számot reprezentál a Jacobi-mátrix.
 +
 +
=='''C'''-differenciálhatóság==
 +
A komplex differenciálhatóság az előző észrevételekkel szoros kapcsolatban lesz. Egyfelől
 +
:<math>(w\cdot z)'=w\in \mathbf{C}</math>
 +
:<math>(z^2)'=2z\in \mathbf{C}</math>
 +
mutaja, hogy ha a Jacobi-mártix hasonlóképpen viselkedik a komplex számok mátrixreprezentációjában, mint az egyváltozós valós derivált. Másrészt a
 +
:<math>(\overline{z})'=(\begin{smallmatrix} 1 & 0\\0 & -1\end{smallmatrix})\notin \mathbf{C}</math>
 +
mutatja, hogy nem minden valósan deriválható függvény lesz komplex deriválható. Nézzük akkor az egyváltozós valós mintájára a definíciót majd lássuk a komplex differenciálhatóság jellemzését.
 +
 +
'''Definíció''' - ''Komplex differenciálhatóság, komplex derivált'' - Legyen ''f'' a ''z''<sub>0</sub> egy környezetében értelmezett függvény. Azt mondjuk, hogy ''f'' '''C'''-deriválható ''z''<sub>0</sub>-ban és deriváltja a ''w'' szám, ha
 +
:<math>\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=w</math>
 +
 +
Jelölése: <math>f'(z_0)</math>.
 +
 +
Azt, hogy az f a ''z''<sub>0</sub>-ban komplex deriválható még úgy is jelöljük, hogy
 +
:<math>f\in \mathrm{Diff}_{\mathbf{C}}(z_0)</math>.
 +
 +
Pontbeli deriváltra példa a következő.
 +
 +
'''Példa.''' Milyen ''n'' egész számokra deriválható a 0-ban az alábbi függvény?
 +
:<math>f(z)=\begin{cases}\overline{z}\cdot z^n, & z\ne 0\\
 +
0, & z=0
 +
\end{cases}
 +
</math>
 +
''Mo.'' Ha ''n''>0, akkor a különbségi hányados:
 +
:<math>\frac{\overline{z}\cdot z^n-0}{z-0}=\frac{\overline{z}\cdot z^n}{z}=\overline{z}\cdot z^{n-1}\to 0</math> ha ''z'' <math>\to</math> 0.
 +
Ha ''n'' = 0, akkor
 +
:<math>\frac{\overline{z}-0}{z-0}=\frac{\overline{z}}{z}=e^{i(-2\varphi)}</math>
 +
aminek nincs határértéke a 0-ban (az egységkörön mozog a végpont).
 +
 +
Ha ''n'' < 0, akkor
 +
:<math>\frac{\overline{z}z^n-0}{z-0}=\frac{\overline{z}}{z^{-n+1}}=\frac{\overline{z}}{z}\frac{1}{z^{-n}}</math>
 +
ami a 0-ban a komplex végtelenbe tart, mert a hossza a végtelenbe tart.
 +
 +
Tehát ''n'' > 0-ra a függvény komplex deriválható a 0-ban, más ''n'' < 1-re nem deriválható.
 +
 +
'''Tétel.''' - ''A komplex differenciálhatóság jellemzése'' -  Legyen ''f'' a ''z''<sub>0</sub> = ''x''<sub>0</sub> + i''y''<sub>0</sub>  egy környezetében értelmezett függvény. Ekkor az alábbiak ekvivalensek:
 +
:1) <math>f\in \mathrm{Diff}_{\mathbf{C}}(z_0)</math>
 +
:2) <math>f\in \mathrm{Diff}_{\mathbf{R}}(x_0,y_0)</math> és <math>[\mathrm{d}f(x_0,y_0)]\in\mathbf{C}</math>.
 +
 +
''Bizonyítás.'' Legyen ''f'' a ''z''<sub>0</sub> = ''x''<sub>0</sub> + i''y''<sub>0</sub>  egy környezetében értelmezett függvény és ''w'' komplex szám.
 +
Tekintsük a következő határértéket:
 +
:<math>\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)-[w]\cdot (z-z_0)}{|z-z_0|}=0</math>
 +
ahol az ''z'', ''z''<sub>0</sub>, ''f''(''z''), ''f''(''z''<sub>0</sub>) mennyisegekre ugy tekintunk, mint vektorokra.
 +
Ez ekvivalens a következővel:
 +
:<math>\lim\limits_{z\to z_0}\left|\frac{f(z)-f(z_0)}{|z-z_0|}-\frac{w\cdot (z-z_0)}{|z-z_0|}\right|=0</math>
 +
ahol az elobb emlitettek mar algebrai ertelemben komplex szamok, nem feltetlenul vektorok.  Azaz
 +
:<math>\lim\limits_{z\to z_0}\left|\frac{z-z_0}{|z-z_0|}\left(\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-w\right)\right|=0</math>
 +
Itt (''z''-''z''<sub>0</sub>)/|''z''-''z''<sub>0</sub>| a komplex egységkörön "futó" függvény, hossza 1, ezért a fenti ekvivalnes a következővel:
 +
:<math>\lim\limits_{z\to z_0}\left|\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-w\right|=0</math>
 +
Ami viszont ugyanakkor igaz mint:
 +
:<math>\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=w</math>
 +
Ha a következtetésben felfelé vizsgálódunk, tehát feltesszük a komplex deriválhatóságot ahol ''w'' a komplex derivált, akkor azt kapjuk, hogy a ''w'' mátrixreprezentációjával való mátrixszorzás alkalmas lineáris leképezés a valós derivált számára, azaz létezik [df(z<sub>0</sub>)]=[w].
 +
 +
Másfelől, ha f valósan deriválható és a deriváltja a ''w'' komplex számot reprezentálja, akkor komplexen is deriválható es komplex derivaltja pont ''w''.
 +
 +
'''Cauchy--Riemann-egyenletek''' A fenti tételben a [df(z)] &isin; '''C''' feltétel (természetesen a totális deriválhatóság esetén) ekvivalens az alábbiakkal. Ha ''f'' = ''u'' + i''v'' és ''z'' =  ''x'' +i''y'', akkor
 +
:<math>\begin{cases}
 +
\partial_xu=\partial_yv\\
 +
\partial_yu=-\partial_x v
 +
\end{cases}</math>

A lap 2016. március 4., 22:36-kori változata

<Matematika A3a 2008

Tartalomjegyzék

Feladat folytonosságra

Feladat. Legyen w ∈ C. Igazoljuk, hogy az alábbi függvények folytonosak!

  1. z\mapsto w + z\,
  2. z\mapsto w\cdot z\,
  3. z\mapsto \overline{z}\,
  4. z\mapsto \frac{1}{z}\quad\quad (z\ne 0)

Megoldás.

Az 1. az R2-ben eltolás a w-nek megfelelő vektorral (Re(w), Im(w))-vel, így affin leképezés, ami folytonos.

2. a w mátrixreprezentációjának megfelelő mátrixszal való szorzás, azaz lineáris leképezés, s így folytonos.

3. azaz a konjugálás: (x,y) \mapsto (x,–y) a valós tengelyre való tükrözés, ami szintén lineáris.

Végül a reciprok:

\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{z\overline{z}}=\frac{\overline{z}}{|z|^2}

így, mint R2 ⊃\to R2 függvény:

\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix} \cfrac{x}{x^2+y^2} \\ \cfrac{-y}{x^2+y^2} \end{pmatrix}

amely olyan, hogy mindkét komponensfüggvénye folytonos valós függvényekből van összeállítva a folytonosságot megőrző módon, azaz az értelmezési tartománya minden pontjában folytonos.

Feladat. Folytonos-e a z = 0-ban az

f(z)=\left\{ \begin{matrix} \cfrac{\mathrm{Im}(z)^3+\mathrm{i}\cdot\mathrm{Re}(z)^4}{\overline{z}\cdot z},\quad\quad\mathrm{ha}\;z\ne 0\\ \\ 0,\quad\quad \mathrm{ha}\;z=0 \end{matrix} \right.

Megoldás.

Ha z = x + iy és (x,y) ≠ (0,0), akkor:

f(x,y)=\begin{pmatrix} \cfrac{y^3}{x^2+y^2} \\ \cfrac{x^4}{x^2+y^2} \end{pmatrix}

A komponensfüggvények felírhatók egy 0-hoz tartó és egy korlátos függvény szorzataként:

\left|\cfrac{y^3}{x^2+y^2}\right|=|y|\cdot\frac{y^2}{x^2+y^2}\leq |y|\cdot\frac{y^2}{y^2}=|y|

és

\left|\cfrac{x^4}{x^2+y^2}\right|=x^2\cdot\frac{x^2}{x^2+y^2}\leq x^2\cdot\frac{x^2}{x^2}=x^2

így (x,y)\to(0,0) esetén a 0-hoz tartanak, így a függvény maga a (0,0)-hoz, azaz a komplex 0-hoz. Mivel itt a függvény értéke 0, ezért f a 0-ban folytonos.


Ha folytonos komplex függvényekből alapműveletek segítségével alkottunk függvényeket, akkor azok is folytonosak maradnak, mert a megfelelő R2-beli függvények ekkor olyanok lesznek, melyek mindegyik komponensfüggvénye a valós alapműveletek segítségével vannak definiálva. Ám, ezek megőrzik a folytonosságot.

Állítás. Ha f és g komplex függvények és az z0 pontban (mindketten értelmezettek és) folytonosak, akkor

  1. f + g
  2. f \cdot g
  3. \overline{f}
  4. g(z0) ≠ 0 esetén f/g

is folytonos z0-ban.


Folytonos függvények kompozíciója is folytonos (az kompozíció értelmezési tartományán).

Feladat. Folytonos-e a z = i-ben az

f(z)=\left\{ \begin{matrix} \cfrac{\mathrm{i}z+1}{|z-\mathrm{i}|},\quad\quad\mathrm{ha}\;z\ne \mathrm{i}\\ \\ 0,\quad\quad \mathrm{ha}\;z=\mathrm{i} \end{matrix} \right.

Ha z = x + iy és (x,y) ≠ (0,1), akkor:

f(x,y)=\begin{pmatrix} \cfrac{-y+1}{\sqrt{x^2+(y-1)^2}} \\ \cfrac{x}{\sqrt{x^2+(y-1)^2}} \end{pmatrix}

Már az első komponens határértéke sem létezik, hisz (x,y)=(0,y) mentén alulról a (0,1)-hez tartva a határérték -1, az x=y-1 mentén pedig -1/gyök kettő.

A második tényező szintén nem.

Feladatok határértékre

Feladat. Igazoljuk definíció szerint, hogy

  1. \lim\limits_{z\to 0}\frac{1}{z}=\infty
  2. \lim\limits_{z\to \infty}\frac{1}{z}=0

1. Legyen ε > 0. Ekkor azt kell belátnuk, hogy létezik δ > 0, hogy teljesüljön |z| < δ esetén, hogy a függvényérték a ∞ ε sugarú környezetébe esik, azaz:

\left|\frac{1}{z}\right|>\frac{1}{\varepsilon}

Világos, hogy ezt azt jelenti, hogy

|z|<\varepsilon

amit reciprokvonással kaptunk. Ha tehát ha δ := ε és |z| < δ, akkor "felfelé" következtetve kijön a kívánt egyenlőtlenség.

2. Legyen ε > 0. Ekkor azt kell belátnuk, hogy létezik δ > 0, hogy teljesüljön |z| > 1/δ esetén, hogy a függvényérték a 0-nak ε sugarú környezetébe esik, azaz:

\left|\frac{1}{z}\right|<\varepsilon

Világos, hogy ezt azt jelenti, hogy

|z|>\frac{1}{\varepsilon}

amit reciprokvonással kaptunk. Ha tehát ha δ := ε és |z| > 1/δ, akkor "felfelé" következtetve kijön a kívánt egyenlőtlenség.

A végtelen határérékkel történő számolás szabályai előtt definiálnunk kell néhány kibővített műveletet. Ezt a következők szellemében tesszük:

Ha a és b valamelyike a ∞ szimbólum (a másik, ha nem ilyen, akkor komplex szám), akkor az a * b alapműveletet akkor értelmezzük a c szimbólumként (mely szintén vagy komplex szám, vagy az ∞), ha minden a határértékű f függvény esetén és minden b határértékű g függvény esetén a f*g szükségszerűen a c-hez tart. Ekkor mondjuk tehát, hogy az
a * b = c
definíció jó.

Például a ∞ + ∞ művelet feltétlenül értelmezett és értéke a ∞, mert könnyen látható, hogy bármely két, a ∞-hez tartó függvény összege is a ∞-hez tart. De a 0 \cdot ∞ művelet nem értelmezhető, mert van két függvénypár, mely ilyen alakú határértékekkel rendelkezik, de a szorzatuk máshoz tart. Pl.: (1/Re(z)) \cdot Re(z) \to 1, a z=0-ban, de (1/Re(z)) \cdot 2 Re(z) \to 2 a z=0-ban.

Definíció – Végtelen és alapműveletek – Az alábbi műveleti szabályokat vezetjük be a ∞, szimbólumra vonatkozóan, az alábbiakban z tetszőleges komplex szám, n tetszőleges nemnulla komplex szám:

  1. \infty+z=\infty ,
  2. \infty-z=\infty, \quad\quad z-\infty=\infty,
  3. \infty\cdot\infty=\infty, \quad\quad \infty\cdot n=\infty,
  4. \frac{z}{\infty}=0 \quad\quad \frac{\infty}{z}=\infty,

továbbá a szorzás és az összeadás kommutatív.

Megjegyezzük még, hogy \overline{\infty}=\infty, azaz a végtelen konjugáltja saját maga.

Definíció – Határozatlan esetek – Az alábbi alapműveletek nem értelmezhetők:

  1. \infty-\infty,
  2. 0\cdot\infty, \quad\quad \infty\cdot 0,
  3. \frac{\infty}{\infty},
  4. \frac{0}{0}


Tétel – Végtelen határérték és alapműveletek – Ha az f és g komplex függvényeknek létezik határértékük az \scriptstyle{u\in \overline{\mathbf{C}}} helyen, az f * g alapművelettl elkészített függvény értelmezési tartományának torlódási pontja u és a limu f * limu g alapművelet elvégezhető, akkor az f * g függvénynek is van határértéke u-ban és ez:

\lim\limits_u(f\mbox{*}g)=\lim\limits_u f\,\mbox{*}\, \lim\limits_u g \,

Ezenkívül a határozatlan esetekben, amikor a határértékekkel végzett műveletek nem értelmezettek, az alapműveletekkel elkészített függvények határértékeire nem adható általános képlet (mert alkalmasan választott esetekben máshoz és máshoz tartanak).

A bizonyításról. Ennek a tételnek a bizonyítása minden nehézség nélkül elvégezhető vagy az R2-beli sorozatokra vonatkozó átviteli elv vagy a komponensfüggvények határértékére történő hivatkozás útján. Minenekelőtt azt kell szem előtt tartanunk, hogy a végtelenhez való tartás, a függvény abszolútértékének plusz végtelenhez tartását jelenti:

\exists\lim\limits_{z_0}f=\infty \quad\Longleftrightarrow \quad\exists\lim\limits_{z_0}|f|=+\infty

Feladat. Adjuk példákat arra, hogy a határozatlan alakú határértékeket valóban nem lehet definiálni.

Nézzük a 0-ban az alábbi függvényeket:

\frac{2}{z}\;-\;\frac{1}{z}=\frac{1}{z}\quad\to \infty miközben (\frac{1}{z}+2)\;-\;\frac{1}{z}=2\quad\to 2

\frac{1}{z}\;\cdot z=1\quad\to 1 miközben \frac{2}{z}\;\cdot\;z=2\quad\to 2

\frac{1}{z}/\frac{1}{z}=1\quad\to 1 miközben \frac{2}{z}/\frac{1}{z}=2\quad\to 2

\frac{z}{z}=1\quad\to 1 miközben \frac{2z}{z}=2\quad\to 2

Feladat. Számítsuk ki az alábbi határértékeket, ha léteznek!

  1. \lim\limits_{z\to 0}\frac{\mathrm{Im}(z)}{z},
  2. \lim\limits_{z\to i}\frac{z-i}{z^2+1},
  3. \lim\limits_{z\to 1}\frac{\frac{1}{z-1}+i}{\frac{1}{z^2-1}-i},
  4. \lim\limits_{z\to 0}\frac{1}{z}-\frac{2}{\overline{z}},
  5. \lim\limits_{z\to -i}\frac{\frac{1}{z+i}+i}{\overline{z}-i},

Megoldás. 1. nemnulla z-re:

\frac{\mathrm{Im}(z)}{z}=\frac{\mathrm{Im}(z)\overline{z}}{z\overline{z}}=\frac{yx-y^2\mathrm{i}}{x^2+y^2}

de ekkor például az első komponensfüggvény x = 0 felől közelítve 0, míg az x = y-felől:1/2, azaz nem létezik az első komponensnek a (0,0)-ban határértéke, azaz a komplex függvénynek sem.

2. \frac{z-i}{z^2+1}=\frac{z-i}{(z+i)(z-i)}=\frac{1}{z+i}\quad\longrightarrow_{z\to i}\quad\infty

3. \frac{\frac{1}{z-1}+i}{\frac{1}{z^2-1}-i}=\frac{ \frac{1+iz-i}{z-1} }{ \frac{1-iz^2+i}{z^2-1} }=\frac{1+iz-i}{z-1}\cdot \frac{(z+1)(z-1)}{1-iz^2+i}

\left.\frac{iz+1-i}{-iz^2+i+1}(z+1)\right|_1=\frac{1}{1}\cdot 1

4. \frac{1}{z}-\frac{2}{\overline{z}}=\frac{\overline{z}-2z}{z\overline{z}} csak a valós részt nézve:

\left|\frac{-x}{x^2+y^2}\right|

az (x,y)=(x,0) esetben a (0,0)-hoz tartva: végtelen, de (x,y)=(0,y), akkor 0. tehát nincs határérték.

5. \lim\limits_{z\to -i}\frac{\frac{1}{z+i}+i}{\overline{z}-i}=\left(\frac{\infty}{0}\right)=\infty.


Feladat. Adjuk meg minden z0 ∈ C számra az alábbi függvény határértékét!

  1. f(z)=\frac{z}{\overline{z}-z},
  2. f(z)=\frac{z^2}{\overline{z}z-1},

1. \mathrm{Dom}(f)=\{z\in \mathbf{C}\mid \overline{z}\ne z\}

Folytonos az értelmezési tartományában. A határon:

\frac{z}{\overline{z}-z}=\frac{x+iy}{2iy}\,

z0 ≠ 0 esetén

\left|\frac{x+iy}{2iy}\right|\geq \frac{|z_0|/2}{2|y|}\to \infty

z0 = 0 esetén:

\frac{x+iy}{2iy}=\frac{1}{2}-i\frac{x}{2y}

ismert, hogy nincs határérték.

2. \mathrm{Dom}(f)=\{z\in \mathbf{C}\mid \overline{z}z\ne 1\}

Az egységkör pontjaitól különbözőkre folytonos, az egységkörön a végtelen, a végtelenben pedig nincs határérték. Ugyanis:

|f(z)|=\frac{|z|^2}{|\overline{z}z-1|},

így az egységkörön a számláló az 1-hez, a nevező a nullához tart. A végtelenben pedig t valóssal:

\lim\limits_{t\to +\infty} f(t+0.i)=\lim\limits_{t\to +\infty} \frac{t^2}{t^2-1}= 1\,
\lim\limits_{t\to +\infty} f(t.i)=\lim\limits_{t\to +\infty} \frac{-t^2}{t^2-1}= -1\,

Differenciálhatóság

R-differenciálhatóság

Legyen f : C ⊃\to C komplex függvény. Ekkor f azonosítható az

f\equiv \begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}:\mathbf{R}^2\supset\to\mathbf{R}^2

vektorértékű kétváltozós függvénnyel az

f(z)=f(x+iy)\equiv u(x,y)+iv(x,y)\,

szerint (itt u és v kétváltozós valós függvények, rendre az f valós és képzetes része).

f abban az értelemen R-differenciálható, ahogy az (u,v):R2 \supset\to R2 függvény differenciálható, azaz

Definíció -- Valós deriválhatóság -- Legyen g:R2 \supset\to R2, x0∈IntDom(g). Ekkor a g differenciálható az x0 pontban, ha létezik olyan A: R2 \to R2 lineáris leképezés, melyre

\exists \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)-A(x-x_0)}{||x-x_0||}=0

ahol ||.|| tetszőleges norma (például az ||.||2=|.| komplex abszolútérték) R2-ben.

Ekkor a fenti A lineáris leképezés egyértelmű és a jelölése: dg(x0). Azt, hogy a g valósan differenciálható (totálisan differenciálható) az x0-ban, még úgy is jelöljük, hogy

g\in \mathrm{Diff}_{\mathbf{R}}(x_0).

A df(x0,y0) leképezés sztenderd bázisban felírt koordinátamátrixát nevezzük Jacobi-mátrixnak, mely a következő. Ha f komponensfüggvényei: (x,y) \mapsto f(x,y) = (u(x,y),v(x,y)), akkor

\mathrm{J}^g(x_0,y_0)=[\mathrm{d}f(x_0,y_0)]=\begin{bmatrix}\partial_x u & \partial_y u \\\partial_x v & \partial_y v\end{bmatrix}(x_0,y_0)

És persze, ha f differenciálható (értsd: totálisan differenciálhat, vagy valósan differenciálható), akkor parciálisan is deriválható, azaz a komponensfüggvényeinek az adott pontban léteznek a parciális deriváltjai, tehát felírható a Jacobi-mátrix.

Példák

1. Legyen w ∈ C tetszőlegesen rögzített és legyen

f(z)=w\cdot z

Ekkor a komponensfüggvények (f valós és képzetes része):

f(z)=f(x+iy)=(w_1+iw_2)\cdot (x+iy)=w_1x-w_2y+i(w_1y+w_2x)\equiv \begin{bmatrix} w_1x-w_2y\\ w_1y+w_2x \end{bmatrix}

És a derivált:

\mathrm{J}^{f}(z)=\begin{bmatrix} w_1 & -w_2\\ w_2 & w_1 \end{bmatrix}

Vegyük észre, hogy az imént kijött derivált éppen a w komplex szám mártixreprezentációja, hiszen általában egy z = a +' 'bi komplex szám mátrixreprezentációja:

[z]=\begin{bmatrix} a & -b\\ b & a \end{bmatrix}

a valós rész a főátlóban, a képzetes rész a -, + -szal a mellékátlóban van. Tehát:

\mathrm{J}^{f}(z)\in \mathbf{C}

2.

f(z) = z2

Legyen z = x + i y. Ekkor z2 = x2 - y2 +i(2xy)

\mathrm{J}_\mathbf{R}^f(x,y)=\begin{pmatrix} 2x & -2y\\ 2y & 2x \end{pmatrix}

azaz amit kaptunk, pont a 2z szám mátrixreprezentációja:

\mathrm{J}^{f}(z)=[2z]\in\mathbf{C}

3. Számítsuk ki az \scriptstyle{f(z)=\overline{z}} R-differenciálját!

Ha z = x + i y, akkor \scriptstyle{\overline{z}=x-\mathrm{i}y}, így:

\mathrm{J}^{\overline{z}}_{\mathbf{R}}(z)=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}\not\in\mathbf{C}

azaz nem mátrixreprezentáció alakú a Jacobi-mátrix. Ám, azt jegyezzük meg, hogy az iménti leképezés lineáris (ez az x tengelyre vonatkozó tükrözés), tehát folytonos, sőt totálisan (végtelenszer) differenciálható és a valós deriváltja pont saját maga:

\mathrm{d}f(x,y)=f\,

csak nem komplex számot reprezentál a Jacobi-mátrix.

C-differenciálhatóság

A komplex differenciálhatóság az előző észrevételekkel szoros kapcsolatban lesz. Egyfelől

(w\cdot z)'=w\in \mathbf{C}
(z^2)'=2z\in \mathbf{C}

mutaja, hogy ha a Jacobi-mártix hasonlóképpen viselkedik a komplex számok mátrixreprezentációjában, mint az egyváltozós valós derivált. Másrészt a

(\overline{z})'=(\begin{smallmatrix} 1 & 0\\0 & -1\end{smallmatrix})\notin \mathbf{C}

mutatja, hogy nem minden valósan deriválható függvény lesz komplex deriválható. Nézzük akkor az egyváltozós valós mintájára a definíciót majd lássuk a komplex differenciálhatóság jellemzését.

Definíció - Komplex differenciálhatóság, komplex derivált - Legyen f a z0 egy környezetében értelmezett függvény. Azt mondjuk, hogy f C-deriválható z0-ban és deriváltja a w szám, ha

\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=w

Jelölése: f'(z0).

Azt, hogy az f a z0-ban komplex deriválható még úgy is jelöljük, hogy

f\in \mathrm{Diff}_{\mathbf{C}}(z_0).

Pontbeli deriváltra példa a következő.

Példa. Milyen n egész számokra deriválható a 0-ban az alábbi függvény?

f(z)=\begin{cases}\overline{z}\cdot z^n, & z\ne 0\\ 0, & z=0 \end{cases}

Mo. Ha n>0, akkor a különbségi hányados:

\frac{\overline{z}\cdot z^n-0}{z-0}=\frac{\overline{z}\cdot z^n}{z}=\overline{z}\cdot z^{n-1}\to 0 ha z \to 0.

Ha n = 0, akkor

\frac{\overline{z}-0}{z-0}=\frac{\overline{z}}{z}=e^{i(-2\varphi)}

aminek nincs határértéke a 0-ban (az egységkörön mozog a végpont).

Ha n < 0, akkor

\frac{\overline{z}z^n-0}{z-0}=\frac{\overline{z}}{z^{-n+1}}=\frac{\overline{z}}{z}\frac{1}{z^{-n}}

ami a 0-ban a komplex végtelenbe tart, mert a hossza a végtelenbe tart.

Tehát n > 0-ra a függvény komplex deriválható a 0-ban, más n < 1-re nem deriválható.

Tétel. - A komplex differenciálhatóság jellemzése - Legyen f a z0 = x0 + iy0 egy környezetében értelmezett függvény. Ekkor az alábbiak ekvivalensek:

1) f\in \mathrm{Diff}_{\mathbf{C}}(z_0)
2) f\in \mathrm{Diff}_{\mathbf{R}}(x_0,y_0) és [\mathrm{d}f(x_0,y_0)]\in\mathbf{C}.

Bizonyítás. Legyen f a z0 = x0 + iy0 egy környezetében értelmezett függvény és w komplex szám. Tekintsük a következő határértéket:

\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)-[w]\cdot (z-z_0)}{|z-z_0|}=0

ahol az z, z0, f(z), f(z0) mennyisegekre ugy tekintunk, mint vektorokra. Ez ekvivalens a következővel:

\lim\limits_{z\to z_0}\left|\frac{f(z)-f(z_0)}{|z-z_0|}-\frac{w\cdot (z-z_0)}{|z-z_0|}\right|=0

ahol az elobb emlitettek mar algebrai ertelemben komplex szamok, nem feltetlenul vektorok. Azaz

\lim\limits_{z\to z_0}\left|\frac{z-z_0}{|z-z_0|}\left(\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-w\right)\right|=0

Itt (z-z0)/|z-z0| a komplex egységkörön "futó" függvény, hossza 1, ezért a fenti ekvivalnes a következővel:

\lim\limits_{z\to z_0}\left|\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-w\right|=0

Ami viszont ugyanakkor igaz mint:

\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=w

Ha a következtetésben felfelé vizsgálódunk, tehát feltesszük a komplex deriválhatóságot ahol w a komplex derivált, akkor azt kapjuk, hogy a w mátrixreprezentációjával való mátrixszorzás alkalmas lineáris leképezés a valós derivált számára, azaz létezik [df(z0)]=[w].

Másfelől, ha f valósan deriválható és a deriváltja a w komplex számot reprezentálja, akkor komplexen is deriválható es komplex derivaltja pont w.

Cauchy--Riemann-egyenletek A fenti tételben a [df(z)] ∈ C feltétel (természetesen a totális deriválhatóság esetén) ekvivalens az alábbiakkal. Ha f = u + iv és z = x +iy, akkor

\begin{cases} \partial_xu=\partial_yv\\ \partial_yu=-\partial_x v \end{cases}
A lap eredeti címe: „http://wiki.math.bme.hu/index.php?title=Matematika_A3a_2008/6._gyakorlat&oldid=11411”
Személyes eszközök