Matematika A3a 2008/6. gyakorlat

A lap 2016. március 4., 22:36-kori változata (lapforrás) Mozo (vitalap | szerkesztései) ← Régebbi szerkesztés		A lap jelenlegi, 2016. március 21., 10:38-kori változata (lapforrás) Mozo (vitalap | szerkesztései)
(egy szerkesztő 5 közbeeső változata nincs mutatva)
1. sor:		1. sor:
	''<sub><[[Matematika A3a 2008]]</sub>''		''<sub><[[Matematika A3a 2008]]</sub>''
−	==Feladat folytonosságra==
−	'''Feladat.''' Legyen ''w'' &isin; '''C'''. Igazoljuk, hogy az alábbi függvények folytonosak!	+	==Komplex számkör és reprezentációi==
−	# <math>z\mapsto w + z\,</math>	+	A komplex számok '''C''' halmazát és műveleteit legalább három, lényegesen más szemszögből lehet láttatni. A meghatározottság kedvéért összefoglaljuk a komplex számok legfontosabb algebrai tulajdonságait. Nem térünk ki minden egyes műveleti tulajdonságra, ezek megtalálhatók a komplex számok algebráját leíró tankönyvekben.
−	# <math>z\mapsto w\cdot z\,</math>	+
−	# <math>z\mapsto \overline{z}\,</math>	+
−	# <math>z\mapsto \frac{1}{z}\quad\quad (z\ne 0)</math>	+
−	''Megoldás.''	+	===Algebrai modell===
		+	A komplex számok olyan
		+	:<math>a+b\mathrm{i}\,</math>
		+	alakú formális kifejezések, ahol ''a'' és ''b'' valós számok, i pedig azzal a speciális tulajdonsággal rendelkezik, hogy
		+	:<math>\mathrm{i}^2=-1\,</math>
		+	A komplex számok halmazát a '''C''' szimbólummal jelöljük, tehát
		+	:<math>z\in \mathbf{C}\quad\Leftrightarrow\quad z=a+bi\quad\quad(a,b\in \mathbf{R})</math>
		+	itt ''a''-t a ''z'' valós részének nevezzük és Re(''z'')-vel jelöljük, ''b''-t a ''z'' képzetes részének nevezzük és Im(''z'')-vel jelöljük. Világos, hogy Im(''z'') &isin; '''R''', azaz "tiszta" valós.
−	Az 1. az '''R'''<sup>2</sup>-ben eltolás a ''w''-nek megfelelő vektorral (Re(''w''), Im(''w''))-vel, így affin leképezés, ami folytonos.	+	'''Megjegyzés.''' A kevéssé informatív "formális kifejezés" helyett bevezethetjük a komplex számokat valódi algebrai objektumokként. A komplex számok halmazát egy a maradékos osztással rendelkező halmazból konstrulájuk: a valós együtthatós polinomok '''R'''[X] halmazából. Közismert, hogy a valósegyütthatós,  egyhatározatlanú polinomokal, azaz a
		+	:<math>a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n\,</math>
		+	alakú kifejezésekkel, ahol az ''a<sub>i</sub>''-k valós számok, ''n'' pedig nemnegatív egész, lehet maradékosan osztani (polinomosztás). Ekkor
		+	:<math>\mathbf{C}=_{\mathrm{def}}\mathbf{R}[X]/(x^2+1)</math>
		+	azaz a komplex számok halmaza a valósegyütthatós polinomok x<sup>2</sup>+1 polinommal történő osztási maradékai. Világos, hogy minden ilyen maradék előáll
		+	:<math>m(x)=a+bx\,</math>
		+	alakban, azaz legfeljebb elsőfokú polinom alakjában. Ebben a számkörben az ''összeadás'' a polinomösszeadás, a szorzás a polinomok szorzása (illetve ezen eredményének x<sup>2</sup>+1-vel történő osztási maradéka). Amikor két elsőfokú polinom szorzata másodfokú, akkor sem lépünk ki a számkörből, hisz a
		+	:<math>m(x)^2+1=0\,</math>
		+	polinomegyenlet megoldható, éspedig az m(x)=x polinom (az identitás) megoldás. Ekkor
		+	:<math>m(x)^2=-1\,</math>
		+	azaz ebben a számkörben létezik a -1-nek négyzetgyöke. Az ''m(x)=x'' polinom az, mely az ''i'' egység szerepét játssza és így is jelöljük ezt ezentúl.
−	2. a ''w'' mátrixreprezentációjának megfelelő mátrixszal való szorzás, azaz lineáris leképezés, s így folytonos.
−	3. azaz a konjugálás: (''x'',''y'') <math>\mapsto</math> (''x'',–''y'') a valós tengelyre való tükrözés, ami szintén lineáris.	+	Akárcsak a legfeljebb elsőfokú ''a'' + ''bx'' alakú polinomok esetén, a '''C'''-t alkotó formális kifejezések között is értelmezhetjük az összeadást és a szorzást. Ezeket pontosan úgy definiáljuk, mint az ''a'' + ''bx'' alakú polinomok összegét és szorzatát, azzal a specialitással, hogy ahol a polinomok a szorzást követően másodfokúvá válnak, ott a komplex számok az i<sup>2</sup>=-1 egyenlőség miatt visszaérkeznek az ''a'' + ''b''i alakú kifejezések körébe. Ezért lesz '''C''' zárt arra a szorzásra, amit a polinomok mintájára definiálunk.
−	Végül a reciprok:	+	Már innen is látszik, hogy a komplex számok halmaza kétdimenziós valós test feletti vektortér. Kimondhatjuk tehát:
−	:<math>\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{z\overline{z}}=\frac{\overline{z}}{|z|^2}</math>	+
−	így, mint '''R'''<sup>2</sup> &sup;<math>\to</math> '''R'''<sup>2</sup> függvény:	+
−	:<math>\begin{pmatrix}	+
−	x \\	+
−	y	+
−	\end{pmatrix}\mapsto	+
−	\begin{pmatrix}	+
−	\cfrac{x}{x^2+y^2} \\	+
−	\cfrac{-y}{x^2+y^2}	+
−	\end{pmatrix}</math>	+
−	amely olyan, hogy mindkét komponensfüggvénye folytonos valós függvényekből van összeállítva a folytonosságot megőrző módon, azaz az értelmezési tartománya minden pontjában folytonos.	+
−	'''Feladat.''' Folytonos-e a ''z'' = 0-ban az	+	'''Állítás.''' A '''C''' számkör a komplex számok
−	:<math>f(z)=\left\{	+	:(''a''+''b''i) + (''c''+''d''i) = (''a''+''c'') + (''b''+''d'')i összeadásával és a
−	\begin{matrix}	+	:&lambda;(''a''+''b''i) = &lambda;''a'' + &lambda;''b''i, a &lambda; valós számmal való szorzással
−	\cfrac{\mathrm{Im}(z)^3+\mathrm{i}\cdot\mathrm{Re}(z)^4}{\overline{z}\cdot z},\quad\quad\mathrm{ha}\;z\ne 0\\	+	kétdimenziós valós vektorteret alkotnak és így lineárisan izomorfak a valós számpárok '''R'''<sup>2</sup> vektorterével.
−	\\	+
−	0,\quad\quad \mathrm{ha}\;z=0	+
−	\end{matrix}	+
−	\right.</math>	+
−	''Megoldás.''	+	===Halmazelméleti modell===
−		+	Az algebrai modellben nem teljesen világos, hogy mi is az i elem. Az előző állítás azonban lehetőséget biztosít arra, hogy konkrétan megadjuk a komplex számok halmazát mindenféle olyan kifejezés használata nélkül, mint "formális kifejezés" stb. (Valójában persze az algebrai modell is jól értelmezett módon adja meg a komplex számok halmazát, ha az ''a'' + ''b''i alakú formális kifejezéseken az '''R'''[X] polinomgyűrűnek az (1+X<sup>2</sup>) polinommal történő maradékos osztásának maradékait értjük).
−	Ha ''z'' = ''x'' + i''y'' és (''x'',''y'') &ne; (0,0), akkor:	+
−	:<math>f(x,y)=\begin{pmatrix}	+
−	\cfrac{y^3}{x^2+y^2} \\	+
−	\cfrac{x^4}{x^2+y^2}	+
−	\end{pmatrix}</math>	+
−	A komponensfüggvények felírhatók egy 0-hoz tartó és egy korlátos függvény szorzataként:	+	A számpár reprezentációban:
−	:<math>\left|\cfrac{y^3}{x^2+y^2}\right|=|y|\cdot\frac{y^2}{x^2+y^2}\leq |y|\cdot\frac{y^2}{y^2}=|y|</math>	+	:<math>\mathbf{C}=\mathbf{R}^{2}\,</math>
−	és	+	az összeadás az '''R'''<sup>2</sup>-beli vektorösszeadás, a szorzás, pedig a
−	:<math>\left|\cfrac{x^4}{x^2+y^2}\right|=x^2\cdot\frac{x^2}{x^2+y^2}\leq x^2\cdot\frac{x^2}{x^2}=x^2</math>	+	:<math>(a+b\mathrm{i})(c+d\mathrm{i})=(ac-db)+(ad+bc)\mathrm{i}\,</math>
−	így (x,y)<math>\to</math>(0,0) esetén a 0-hoz tartanak, így a függvény maga a (0,0)-hoz, azaz a komplex 0-hoz. Mivel itt a függvény értéke 0, ezért ''f'' a 0-ban folytonos.	+	művelet, mely természetesen a "polinomszorzásnak" az előző állításbeli izomorfizmus által létesített képe.
		+	Ez az interpretáció azért fontos, mert explicitté teszi, hogy a '''C''' örökli az '''R'''<sup>2</sup> topológiáját.
−	Ha folytonos komplex függvényekből alapműveletek segítségével alkottunk függvényeket, akkor azok is folytonosak maradnak, mert a megfelelő '''R'''<sup>2</sup>-beli függvények ekkor olyanok lesznek, melyek mindegyik komponensfüggvénye a valós alapműveletek segítségével vannak definiálva. Ám, ezek megőrzik a folytonosságot.	+	===Geometriai modell===
−	'''Állítás.''' Ha ''f'' és ''g'' komplex függvények és az ''z''<sub>0</sub> pontban (mindketten értelmezettek és) folytonosak, akkor	+	A szorzással együtt '''C''' egységelemes, nullosztómentes algebrát alkot (tehát vektortér és van egy mindkét változójában lineáris belső szorzás, melyben van egység és „nullával nem lehet osztani”). Felmerülhet a gyanúnk, hogy talán reprezentálhatjuk a komplex számokat a 2&times;2-es valós mátrixon M<sub>2&times;2</sub> ('''R''') algebrájának egy részalgebrájaként. Ezt a komplex számok trigonometrikus alakja segítségével tehetjük meg. Ismert, hogy a komplex számmal való szorzás forgatva nyújtás, azaz lineáris leképezés az '''R'''<sup>2</sup> síkon:
−	# ''f'' + ''g''	+	:<math>\mathbf{C}\ni z=r\cdot(\cos\varphi+\mathrm{i}\sin\varphi)\;\equiv\;
−	# ''f'' <math>\cdot</math> ''g''	+	\begin{pmatrix}
−	# <math>\overline{f}</math>	+	r\cos\varphi  & -r\sin\varphi\\
−	# ''g''(''z''<sub>0</sub>) &ne; 0 esetén ''f''/''g''	+	r\sin\varphi  & r\cos\varphi
−	is folytonos ''z''<sub>0</sub>-ban.	+	\end{pmatrix}\in \mathrm{M}_{2\times 2}(\mathbf{R})</math>
		+	Világos, hogy ekkor az ''a'' + ''b''i kanonikus alakot használva a komplex számoknak megfelelő mátrixok halmaza:
		+	:<math>\left\{\begin{pmatrix}
		+	a  & -b\\
		+	b  & \;\;a
		+	\end{pmatrix}\in\mathrm{M}_{2\times 2}(\mathbf{R}): a,b\in \mathbf{R}\right\}</math>
		+	Ez a mátrixhalmaz kétdimenziós altér az  M<sub>2&times;2</sub> ('''R''') algebrában, melyet például a közvetve onnan is láthatjuk, hogy forgatva nyújtások is alteret alkotnak a lineáris leképezések terében.
		+	==Komplex számkör unicitása==
		+	'''C''', azaz a komplex számok teste kétdimenziós valós vektortér. '''C''' elemei  reprezentálhatók az '''R'''<sup>2</sup> síkon, a következő megfeleltetésekkel:
		+	:<math>\mathbf{C}\ni a+bi\equiv (a,b)\in \mathbf{R}^2</math>
		+	a vektortérműveletek pedig:
		+	:<math>\mathbf{C}\ni (a+bi)+(c+di)\equiv (a,b)+(c,d)\in \mathbf{R}^2</math> vektorösszeadás (''a'', ''b'', ''c'', ''d'' &isin; '''R''')
		+	:<math>\mathbf{C}\ni \lambda\cdot(a+bi)\equiv \lambda.(a,b)\in \mathbf{R}^2</math> valós számmal való szorzás (&lambda;, ''a'', ''b'' &isin; '''R''')
−	Folytonos függvények kompozíciója is folytonos (az kompozíció értelmezési tartományán).	+	A komplex számok körét a komplex szorzás tulajdonságai egyértelműsítik. '''C''' nem csak kétdimenziós valós vektortér, de a szorzással algebra is, sőt '''C''' ''az egyetlen kétdimenziós kommutatív, nullosztómentes valós algebra'' -- izomorfizmus erejéig. Sok megjelenési formája lehet a komplex számoknak, de bármely két reprezentáció olyan, hogy található olyan kölcsönösen egyértelmű leképezés köztük, mely lineáris és megtartja a szorzást is (azaz algebra izomorfizmus).
−	'''Feladat.''' Folytonos-e a ''z'' = i-ben az	+	A nullosztómentesség és a kommutativitás jellemzően a mátrixalgebrákban nemtriviális tulajdonság. A komplex számok olyan lineáris leképezéseknek felelnek meg, melyek mátrixa
−	:<math>f(z)=\left\{	+	:<math>\begin{pmatrix}
−	\begin{matrix}	+	a & -b\\
−	\cfrac{\mathrm{i}z+1}{|z-\mathrm{i}|},\quad\quad\mathrm{ha}\;z\ne \mathrm{i}\\	+	b & a
−	\\	+	\end{pmatrix}</math>
−	0,\quad\quad \mathrm{ha}\;z=\mathrm{i}	+	A komplex számok szorzása itt a mátrixszorzás.
−	\end{matrix}	+
−	\right.</math>	+
−	Ha ''z'' = ''x'' + i''y'' és (''x'',''y'') &ne; (0,1), akkor:	+	=='''C''' topológiája==
−	:<math>f(x,y)=\begin{pmatrix}	+
−	\cfrac{-y+1}{\sqrt{x^2+(y-1)^2}} \\	+
−	\cfrac{x}{\sqrt{x^2+(y-1)^2}}	+
−	\end{pmatrix}</math>	+
−	Már az első komponens határértéke sem létezik, hisz (x,y)=(0,y) mentén alulról a (0,1)-hez tartva a határérték -1, az x=y-1 mentén pedig -1/gyök kettő.	+	'''R'''<sup>2</sup> gömbi környezetei lesznek '''C''' gömbi környezetei. Általában, minden topologikus fogalom '''C'''-ben '''R'''<sup>2</sup>-re vezetünk vissza. Tehát, adott ''r'' > 0 valós számra és ''z''<sub>0</sub> &isin; '''C''' számra:
		+	:<math>\mathrm{B}_r(z_0)\;=\;\{z\in \mathbf{C}\mid |z-z_0|<r\}</math>
		+	az ''r'' sugarú ''z''<sub>0</sub> középpontú nyílt gömbi környezet. Itt a | . | abszolútérték helyett, mely a || . ||<sub>2</sub> euklideszi norma, elvileg '''R'''<sup>2</sup> bármelyik normája alkalmas lenne, hisz véges dimenziós normált térben minden norma ekvivalens, azaz ugyanazokat a nyílt halmazokat határozzák meg. Szokásos módon értelmezettek az előbb említett nyílt halmazok is. &Omega; &sube; '''C''' '''nyílt''', ha minden pontjával együtt, annak egy nyílt gömbi környezetét is tartalmazza:
		+	:<math>\forall z\in \Omega\quad \exists r>0\quad \mathrm{B}_r(z)\subseteq \Omega</math>
		+	Egy ''A'' &sube; '''C''' halmaz belsején értjük azon pontok halmazát, melyeknek egy egész gömbi környezete benne van ''A''-ban
		+	:<math>\mathrm{int}(A)=\{z\in \mathbf{C}\mid  \exists r>0\quad \mathrm{B}_r(z)\subseteq A\}</math>
		+	Mivel '''R'''<sup>2</sup>-ben minden norma ekvivalens (ugyanazokat a nyílt halmazokat határozzák meg), ezért adott feladatokban tetszőleges, a feladathoz jól illeszkedő normát választhatunk. Topologikus szempontokból a komplex és '''R'''<sup>2</sup>-'''R'''<sup>2</sup> függvények között a következő azonosítással élhetünk. Ha ''f'': '''C'''&supe; <math>\rightarrow</math>'''C''' függvény, akkor ''z'' = ''x'' + i''y'', ''f''(''z'')=''u''(''x'',''y'')+i''v''(''x'',''y''), ill.
		+	:<math>f\equiv\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}
		+	</math>
−	A második tényező szintén nem.	+	=='''C''' kompaktifikálása==
		+	''Kompakt'' egy ''K'' halmaz, ha teljesül rá, hogy akárhogy is fedjük le nyílt halmazok rendszerével, azok közül már véges sok halmaz is lefedi a ''K''-t. Szimbolikusan:
		+	:''K'' kompakt, ha minden (&Omega;<sub>i</sub>)<sub>i&isin;I</sub> halmazrendszerhez, melyre
		+	:# &Omega;<sub>i</sub> nyílt minden i&isin;I-re és
		+	:# ''K'' &sube; U(&Omega;<sub>i</sub>)<sub>i&isin;I</sub>
		+	:létezik J &sube; I véges indexhalmaz, hogy ''K'' &sube; U(&Omega;<sub>i</sub>)<sub>i&isin;J</sub>
		+	'''R'''<sup>N</sup>-ben egy halmaz pontosan akkor kompakt, ha korlátos és zárt. Tehát maga '''C''' nem kompakt, hisz nem korlátos (bár zárt). Viszont '''C''' egyetlen egy ponttal kibővítve már kompakttá tehető, ugyanis egy ideális pont hozzávételével '''C''' kölcsönösen egyértelmű és folytonos kapcsolatba hozható a gömbfelülettel, mely '''R'''<sup>3</sup>-ban kompakt. Ezt a sztereografikus projekcióval oldjuk meg.
−	==Feladatok határértékre==
−	'''Feladat.''' Igazoljuk definíció szerint, hogy	+	A Riemann-gömb konstrukciójához vegyük az '''R'''<sup>3</sup>-ban az origó középponttú egységgömböt és gondoljunk úgy az <nowiki>[xy]</nowiki> síkra, mint a '''C''' komplex számsíkra. Az egységgömb pontjait a következő módon feleltetjük meg a komplex számoknak. Tekintsük a gömbön a (0,0,1) koordinátájú ''P'' pólust és egy ''a'' + ''b''i komplex szám esetén az (''a'',''b'',0) pontot kössük össze ''P''-vel egy ''e'' egyenes által. Ekkor az ''e'' egyetlen pontban metszi az egységgömböt, mely kijelöli az ''a'' + ''b''i-nek megfelelő pontot. Ha az ''a'' + ''b''i-nek megfeleltetett Riemann-gömbfelületbeli pont koordinátái (x,y,z), akkor ezek kapcsolata:
−	#<math>\lim\limits_{z\to 0}\frac{1}{z}=\infty</math>	+	:<math>a+b\mathrm{i}=\frac{x+\mathrm{i}y}{1-z}\,</math>
−	#<math>\lim\limits_{z\to \infty}\frac{1}{z}=0</math>	+
−		+
−	1. Legyen &epsilon; > 0. Ekkor azt kell belátnuk, hogy létezik &delta; > 0, hogy teljesüljön |''z''| < &delta; esetén, hogy a függvényérték a &infin; &epsilon; sugarú környezetébe esik, azaz:	+
−	:<math>\left|\frac{1}{z}\right|>\frac{1}{\varepsilon}</math>	+
−	Világos, hogy ezt azt jelenti, hogy	+
−	:<math>|z|<\varepsilon</math>	+
−	amit reciprokvonással kaptunk. Ha tehát ha &delta; := &epsilon; és |''z''| < &delta;, akkor "felfelé" következtetve kijön a kívánt egyenlőtlenség.	+
−	2. Legyen &epsilon; > 0. Ekkor azt kell belátnuk, hogy létezik &delta; > 0, hogy teljesüljön |''z''| > 1/&delta; esetén, hogy a függvényérték a 0-nak &epsilon; sugarú környezetébe esik, azaz:	+	'''Megjegyzés.''' Ismerős geometriai leképezésre bukkanhatunk, ha a Riemann-gömbfelület egy (x,y,h) és (x,y,-h) pontjának megfelelő komplex számnak a kapcsolatát írjuk fel. Legyen ugyanis
−	:<math>\left|\frac{1}{z}\right|<\varepsilon</math>	+	:<math>z=\frac{x+\mathrm{i}y}{1-h}\,</math> és <math>w=\frac{x+\mathrm{i}y}{1+h}\,</math>
−	Világos, hogy ezt azt jelenti, hogy	+	Ekkor a ''z'' konjugáltját a ''w''-vel összeszorozva azt kapjuk, hogy:
−	:<math>|z|>\frac{1}{\varepsilon}</math>	+	:<math>w\cdot \overline{z}=1\,</math>
−	amit reciprokvonással kaptunk. Ha tehát ha &delta; := &epsilon; és |''z''| > 1/&delta;, akkor "felfelé" következtetve kijön a kívánt egyenlőtlenség.	+	Amiből az következik, hogy a végpontok origótól vett távolságának a szorzata 1, azaz 1 a két szám hosszának mértani közepe. Ez viszont azt jelenti, hogy ''w'' nem más, mint a ''z'' ''inverziója'' az egységkörre vonakozóan és az inverziót kifejező komplex függvény a
		+	:<math>w=\frac{1}{\,\overline{z}\,}\,</math>
		+	leképezés.
		+	Eszerint a reciprok-konjugált (de a reciprok is) egy origón át nem menő kört körbe, az origón átmenő kört egyenesbe, egy origón át nem haladó egyenes egy origón átmenő körbe és egy origón áthaladó egyenest saját magába képezi.
−	A végtelen határérékkel történő számolás szabályai előtt definiálnunk kell néhány kibővített műveletet. Ezt a következők szellemében tesszük:
−	:Ha ''a'' és ''b'' valamelyike a &infin; szimbólum (a másik, ha nem ilyen, akkor komplex szám), akkor az ''a'' * ''b'' alapműveletet akkor értelmezzük a ''c'' szimbólumként (mely szintén vagy komplex szám, vagy az &infin;), ha ''minden'' ''a'' határértékű ''f'' függvény esetén  és ''minden'' ''b'' határértékű ''g'' függvény esetén a ''f''*''g'' ''szükségszerűen'' a ''c''-hez tart. Ekkor mondjuk tehát, hogy az	+	Ha tehát a '''C'''-hez hozzáveszünk egy &infin;-nel jelölt objektumot, és ennek megfeleltetjük a ''P'' pólust, akkor a
−	::''a'' * ''b'' = ''c''	+	:<math>\overline{\mathbf{C}}=\mathbf{C}\cup\{\infty\}\,</math>
−	:definíció jó.	+	halmaz kölcsönösen egyértelmű megfeleltetésbe hozható a Riemann-gömbfelülettel. Ahhoz, hogy ennek folytonosságáról beszélhessünk, definiálnunk kell &infin; gömbi környezeteit.
−	Például a &infin; + &infin; művelet feltétlenül értelmezett és értéke a &infin;, mert könnyen látható, hogy ''bármely'' két, a &infin;-hez tartó függvény összege is a &infin;-hez tart. De a 0 <math>\cdot</math> &infin; művelet nem értelmezhető, mert van két függvénypár, mely ilyen alakú határértékekkel rendelkezik, de a szorzatuk máshoz tart. Pl.: (1/Re(z)) <math>\cdot</math> Re(z) <math>\to</math> 1, a z=0-ban, de (1/Re(z)) <math>\cdot</math> 2 Re(z) <math>\to</math> 2 a z=0-ban.	+	Ezek a következő alakú halmazok lesznek:
		+	:<math>\mathrm{B}_r(\infty)=\left\{z\in \mathbf{C}: |z|>\frac{1}{r}\right\}\cup\{\infty\}\,</math>
		+	ahol ''r'' > 0.
−	'''Definíció''' – ''Végtelen és alapműveletek'' – Az alábbi műveleti szabályokat vezetjük be a &infin;, szimbólumra vonatkozóan, az alábbiakban ''z'' tetszőleges komplex szám, ''n'' tetszőleges nemnulla komplex szám:	+	'''Feladat.''' Igazoljuk, hogy '''C'''U{&infin;} ''kompakt'' (toplologikusan, ill. gyakorlásképpen sorozatkompakt)!
−	# <math>\infty+z=\infty </math>,	+
−	# <math>\infty-z=\infty,  \quad\quad z-\infty=\infty</math>,	+
−	# <math>\infty\cdot\infty=\infty, \quad\quad \infty\cdot n=\infty</math>,	+
−	# <math>\frac{z}{\infty}=0 \quad\quad \frac{\infty}{z}=\infty</math>,	+
−	továbbá a szorzás és az összeadás kommutatív.	+
−	Megjegyezzük még, hogy <math>\overline{\infty}=\infty</math>, azaz a végtelen konjugáltja saját maga.	+	''(Útmutatás: az elsőhöz az origó körüli zárt gömbök kompaktságát, a másodikhoz a Bolzano-Weierstrass-féle kiválasztási tételt kell használni (persze korlátos sorozatra).)''
−	'''Definíció''' – ''Határozatlan esetek'' –  Az alábbi alapműveletek nem értelmezhetők:	+	Ha '''C'''U{&infin;}-t lefedi egy nyílt halmazrendszer, akkor &infin;-t is lefedi belőlük egy, mondjuk ''U''. ''U'' lefedi az &infin; egy gömbi környezetét, mondjuk B<sub>r</sub>(&infin;)-t. Elegendő tehát tekintenünk '''C'''U{&infin;} lefedéséhez a halmazrendszerből az ''U''-t és a B<sub>r</sub>(&infin;) komplementerét lefedő halmazokat. De ez utóbbiakból véges sok is van melyek még mindig lefedik, mert B<sub>r</sub>(&infin;) komplemetere a 0 középponttú 1/r sugarú zárt körlap, mely kompakt.
−	# <math>\infty-\infty</math>,	+	==Komplex sorozatok==
−	# <math>0\cdot\infty, \quad\quad \infty\cdot 0</math>,	+	Minthogy '''C''' &equiv; '''R'''<sup>2</sup> (mint normált vektortér), a komplex sorozatok azon tulajdonságai, melyek a vektortérműveletekkel és az | . | &equiv; || . ||<sub>2</sub> euklideszi normával kapcsolatosak mind '''R'''<sup>2</sup>-ből ismertnek tekinthetők. A sorozatok konvergenciáját ugyanúgy definiáljuk, mint  '''R'''<sup>2</sup>-ben:
−	# <math>\frac{\infty}{\infty}</math>,	+	:<math>
−	# <math>\frac{0}{0}</math>	+	\begin{matrix}
		+	(z_n)\in\mathbf{C}^{\mathbf{Z}^+}\mbox{ konvergens }\\
		+	\\
		+	\Updownarrow\mathrm{def}\\
		+	\\
		+	\exists z\in \mathbf{C}\quad \forall \varepsilon\in\mathbf{R}^+\quad \exists N\in \mathbf{Z}^+\quad \forall n\in\mathbf{Z}^+ \quad(n> N\;\Rightarrow\;|z_n-z|<\varepsilon)
		+	\end{matrix}</math>
		+	Ekkor a fenti ''z'' egyértelmű, és ez a sorozat határértéke (lim(''z''<sub>n</sub>))
		+	A legfontosabb jellemzése tehát a konvergenciának az '''R'''<sup>2</sup>-ből kölcsönzött, a komponensekre vonatkozó kritérium:
−	'''Tétel''' – ''Végtelen határérték és alapműveletek'' – Ha az ''f'' és ''g'' komplex függvényeknek létezik határértékük az <math>\scriptstyle{u\in \overline{\mathbf{C}}}</math> helyen, az ''f'' * ''g'' alapművelettl elkészített függvény értelmezési tartományának torlódási pontja ''u''  és a lim<sub>u</sub> ''f'' * lim<sub>u</sub> ''g'' alapművelet elvégezhető, akkor az ''f'' * ''g'' függvénynek is van határértéke ''u''-ban és ez:	+	'''Tétel''' – A '''C'''-beli (''z''<sub>n</sub>) = (''a''<sub>n</sub> + i''b''<sub>n</sub>) sorozat konvergens akkor és csak akkor, ha
−	:<math> \lim\limits_u(f\mbox{*}g)=\lim\limits_u f\,\mbox{*}\, \lim\limits_u g \,</math>	+	:(''a''<sub>n</sub>) konvergens és
−	Ezenkívül a határozatlan esetekben, amikor a határértékekkel végzett műveletek nem értelmezettek, az alapműveletekkel elkészített függvények határértékeire nem adható általános képlet (mert alkalmasan választott esetekben máshoz és máshoz tartanak).	+	:(''b''<sub>n</sub>) konvergens.
−	''A bizonyításról.'' Ennek a tételnek a bizonyítása minden nehézség nélkül elvégezhető vagy az '''R'''<sup>2</sup>-beli sorozatokra vonatkozó átviteli elv vagy a komponensfüggvények határértékére történő hivatkozás útján. Minenekelőtt azt kell szem előtt tartanunk, hogy a végtelenhez való tartás, a függvény abszolútértékének plusz végtelenhez tartását jelenti:	+	Ekkor lim(''z''<sub>n</sub>) = lim(''a''<sub>n</sub>) + i<math>\cdot</math>lim(''b''<sub>n</sub>)
−	:<math>\exists\lim\limits_{z_0}f=\infty \quad\Longleftrightarrow \quad\exists\lim\limits_{z_0}|f|=+\infty</math>	+
−	'''Feladat.''' Adjuk példákat arra, hogy a határozatlan alakú határértékeket valóban nem lehet definiálni.	+	Fontos látni a kapcsolatot a sorozathatárék és a függvényhatárérték között. Egy (''&zeta;''<sub>n</sub>) komplex sorozat nem más, mint egy
		+	:<math>\zeta: \mathbf{Z}^+\to \mathbf{C}</math>
		+	függvény. Ha '''Z'''<sup></sup>-t komplex részhalmaznak gondoljuk (ahogy az is), akkor az egyetlen torlódási pontja a &infin;. Ezért egy sorozatnak pontosan akkor létezik határértéke és ez a w szám, ha mint függvénynek létezik határértéke és az a w. Azaz:
		+	:<math>\exists\lim\limits_{n\to \infty}z_n=w\in\overline{\mathbf{C}}\quad\Longleftrightarrow\quad\exists\lim\limits_{\infty}\zeta=w\in\overline{\mathbf{C}}</math>
		+	Ebből következik, hogy a függvényhatárértékre vonatkozó minden műveleti szabály öröklődik a sorozathatárértékre.
		+	===Nullsorozatok===
−	''Nézzük a 0-ban az alábbi függvényeket:''	+	A 0 komplex számhoz tartó sorozatok nullsorozatok. Az abszolútérték és a szorzás jó tulajdonságai miatt öröklődnek a valós sorozatok alábbi tulajdonságai.
−	:<math>\frac{2}{z}\;-\;\frac{1}{z}=\frac{1}{z}\quad\to \infty</math> miközben <math>(\frac{1}{z}+2)\;-\;\frac{1}{z}=2\quad\to 2</math>	+
−	<math>\frac{1}{z}\;\cdot z=1\quad\to 1</math> miközben <math>\frac{2}{z}\;\cdot\;z=2\quad\to 2</math>	+	'''Állítás''' – Legyen (''z''<sub>n</sub>) komplex számsorozat.
		+	# ''abszolútérték:'' ''z''<sub>n</sub> <math>\to</math> 0 akkor és csak akkor, ha |''z''<sub>n</sub>| <math>\to</math> 0
		+	# ''eltolás:'' ''z''<sub>n</sub> <math>\to</math> ''z'' akkor és csak akkor, ha (''z''<sub>n</sub> – ''z'') <math>\to</math> 0
		+	# ''"K <math> \cdot</math> 0":'' ha (''w''<sub>n</sub>) korlátos és ''z''<sub>n</sub> <math>\to</math> 0, akkor  (''w''<sub>n</sub> <math>\cdot</math> ''z''<sub>n</sub>) <math>\to</math> 0
		+	# ''majoráns:'' ha (&delta;<sub>n</sub>) <math>\to</math> 0 valós és |''z''<sub>n</sub>| < &delta;<sub>n</sub>, akkor ''z''<sub>n</sub> <math>\to</math> 0
		+	# ''hányadoskritérium:'' ha <math>\limsup\left|\frac{z_{n+1}}{z_n}\right|<1\,</math>, akkor  ''z''<sub>n</sub> <math>\to</math> 0
		+	# ''gyökkritérium:'' ha <math>\limsup\sqrt[n]{|z_n|}<1\,</math>, akkor  ''z''<sub>n</sub> <math>\to</math> 0
−	:<math>\frac{1}{z}/\frac{1}{z}=1\quad\to 1</math> miközben <math>\frac{2}{z}/\frac{1}{z}=2\quad\to 2</math>
−	<math>\frac{z}{z}=1\quad\to 1</math> miközben <math>\frac{2z}{z}=2\quad\to 2</math>	+	Ezek közül '''C'''-ben a legjellegzetesebb a ''"K <math> \cdot</math> 0"'', hiszen ez azt állítja, hogy nem csak a &lambda;<sub>n</sub>.''z''<sub>n</sub> skalárral történő szorzás esetén igaz a "korlátos - nullához" tartó kritérium (mindkét változóban), hanem komplex szorzás is ilyen.
−	'''Feladat.''' Számítsuk ki az alábbi határértékeket, ha léteznek!
−	# <math>\lim\limits_{z\to 0}\frac{\mathrm{Im}(z)}{z}</math>,
−	# <math>\lim\limits_{z\to i}\frac{z-i}{z^2+1}</math>,
−	# <math>\lim\limits_{z\to 1}\frac{\frac{1}{z-1}+i}{\frac{1}{z^2-1}-i}</math>,
−	# <math>\lim\limits_{z\to 0}\frac{1}{z}-\frac{2}{\overline{z}}</math>,
−	# <math>\lim\limits_{z\to -i}\frac{\frac{1}{z+i}+i}{\overline{z}-i}</math>,
−	''Megoldás.''	+	'''1. Feladat'''
−	1. nemnulla ''z''-re:	+	:<math>\left(\frac{\sqrt{2}+i}{\sqrt{3n}}\right)^n\to ?</math>
−	:<math>\frac{\mathrm{Im}(z)}{z}=\frac{\mathrm{Im}(z)\overline{z}}{z\overline{z}}=\frac{yx-y^2\mathrm{i}}{x^2+y^2}</math>	+
−	de ekkor például az első komponensfüggvény ''x'' = 0 felől közelítve 0, míg az ''x'' = ''y''-felől:1/2, azaz nem létezik az első komponensnek a (0,0)-ban határértéke, azaz a komplex függvénynek sem.	+
−	2. <math>\frac{z-i}{z^2+1}=\frac{z-i}{(z+i)(z-i)}=\frac{1}{z+i}\quad\longrightarrow_{z\to i}\quad\infty</math>	+	''(Útmutatás: hivatkozzunk a "korlátos szor nullához tartó" kritériumra.)''
		+
		+	:<math>\left(\frac{\sqrt{2}+i}{\sqrt{3n}}\right)^n=\left(\frac{\sqrt{2}+i}{\sqrt{3}}\right)^n\frac{1}{\sqrt{n^n}}</math>
−	3. <math>\frac{\frac{1}{z-1}+i}{\frac{1}{z^2-1}-i}=\frac{ \frac{1+iz-i}{z-1} }{ \frac{1-iz^2+i}{z^2-1} }=\frac{1+iz-i}{z-1}\cdot \frac{(z+1)(z-1)}{1-iz^2+i}</math>	+	'''2. Feladat.'''
−	::<math>\left.\frac{iz+1-i}{-iz^2+i+1}(z+1)\right|_1=\frac{1}{1}\cdot 1</math>	+	:<math>\frac{\sqrt[n]{n^3+2n}}{i+1}\to ?</math>
		+	ahol az ''n''-edik gyök a valós számból vont valós gyök.
−	4. <math>\frac{1}{z}-\frac{2}{\overline{z}}=\frac{\overline{z}-2z}{z\overline{z}}</math>	+	''(Útmutatás: "i-telenítsük" a nevezőt.)''
−	csak a valós részt nézve:	+
−	:<math>\left|\frac{-x}{x^2+y^2}\right|</math>	+
−	az (x,y)=(x,0) esetben a (0,0)-hoz tartva: végtelen, de (x,y)=(0,y), akkor 0. tehát nincs határérték.	+
−	5. <math>\lim\limits_{z\to -i}\frac{\frac{1}{z+i}+i}{\overline{z}-i}=\left(\frac{\infty}{0}\right)=\infty</math>.	+	:<math>\frac{\sqrt[n]{n^3+2n}}{i+1}=\frac{(i-1)\sqrt[n]{n^3+2n}}{-1-1}=\frac{i\sqrt[n]{n^3+2n}-\sqrt[n]{n^3+2n}}{-2}\to \frac{1}{2}-\frac{1}{2}i</math>
		+	ugyanis
		+	: <math>1\leftarrow\sqrt[n]{n}^3=\sqrt[n]{n^3}\leq\sqrt[n]{n^3+2n}\leq\sqrt[n]{n^3+\frac{n^3}{2}}=\sqrt[n]{\frac{3}{2}n^3}=\sqrt[n]{\frac{3}{2}}\sqrt[n]{n}^3\to 1</math>
−	'''Feladat.''' Adjuk meg minden ''z''<sub>0</sub> &isin; '''C''' számra az alábbi függvény határértékét!	+	'''3. Feladat.'''
−	# <math>f(z)=\frac{z}{\overline{z}-z}</math>,	+	:<math>\left(\frac{n+i}{n}\right)^n\to ?</math>
−	# <math>f(z)=\frac{z^2}{\overline{z}z-1}</math>,	+
−		+
−	1. <math>\mathrm{Dom}(f)=\{z\in \mathbf{C}\mid \overline{z}\ne z\}</math>	+
−	Folytonos az értelmezési tartományában. A határon:	+	''(Útmutatás: használjunk trigonometrikus alakot és hatványozzunk.)''
−	:<math>\frac{z}{\overline{z}-z}=\frac{x+iy}{2iy}\,</math>	+
−	''z''<sub>0</sub>  &ne; 0 esetén	+
−	:<math>\left|\frac{x+iy}{2iy}\right|\geq \frac{|z_0|/2}{2|y|}\to \infty</math>	+
−	''z''<sub>0</sub>  = 0 esetén:	+
−	:<math>\frac{x+iy}{2iy}=\frac{1}{2}-i\frac{x}{2y}</math>	+
−	ismert, hogy nincs határérték.	+
−	2. <math>\mathrm{Dom}(f)=\{z\in \mathbf{C}\mid \overline{z}z\ne 1\}</math>	+	:<math>\left(\frac{n+i}{n}\right)^n=\left(\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}\right)^n\cdot\left(\cos\left(n\,\mathrm{arc\,tg}\left(\frac{1}{n}\right)\right)+i\sin\left(n\,\mathrm{arc\,tg}\left(\frac{1}{n}\right)\right)\right)\to </math>
		+	:: <math>\to \cos1+i\sin 1\,</math>
		+	Mert a szögfüggvények argumentumában lévő sorozat az 1-hez tart (pl L'Hospital-szabállyal majd átviteli elvvel ellenőrizhető), a első szorzó pedig az 1-ehez tart (rendőrelvvel). Az argumentumokban lévő értéket tertmészetesen radiánban kell venni: nem 1˚, hanem 1 rad.
−	Az egységkör pontjaitól különbözőkre folytonos, az egységkörön a végtelen, a végtelenben pedig nincs határérték. Ugyanis:
−	:<math>|f(z)|=\frac{|z|^2}{|\overline{z}z-1|}</math>,
−	így az egységkörön a számláló az 1-hez, a nevező a nullához tart. A végtelenben pedig ''t'' valóssal:
−	:<math>\lim\limits_{t\to +\infty} f(t+0.i)=\lim\limits_{t\to +\infty} \frac{t^2}{t^2-1}= 1\,</math>
−	:<math>\lim\limits_{t\to +\infty} f(t.i)=\lim\limits_{t\to +\infty} \frac{-t^2}{t^2-1}= -1\,</math>
−	==Differenciálhatóság==
−	==='''R'''-differenciálhatóság===
−	Legyen ''f'' :  '''C''' &sup;<math>\to</math> '''C''' komplex függvény. Ekkor ''f'' azonosítható az
−	:<math>f\equiv \begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}:\mathbf{R}^2\supset\to\mathbf{R}^2</math>
−	vektorértékű kétváltozós függvénnyel az
−	:<math>f(z)=f(x+iy)\equiv u(x,y)+iv(x,y)\,</math>
−	szerint (itt ''u'' és ''v'' kétváltozós valós függvények, rendre az ''f'' valós és képzetes része).
−	''f'' abban az értelemen '''R'''-differenciálható, ahogy az (''u'',''v''):'''R'''<sup>2</sup> <math>\supset\to</math> '''R'''<sup>2</sup> függvény differenciálható, azaz	+	==Komplex sorok==
−	'''Definíció''' -- Valós deriválhatóság -- Legyen ''g'':'''R'''<sup>2</sup> <math>\supset\to</math> '''R'''<sup>2</sup>, ''x''<sub>0</sub>&isin;IntDom(g). Ekkor a ''g'' differenciálható az ''x''<sub>0</sub> pontban, ha létezik olyan ''A'': '''R'''<sup>2</sup> <math>\to</math> '''R'''<sup>2</sup> lineáris leképezés, melyre	+	Minden normált térben definiálhatók sorok és ezek konvergenciája, így '''C'''-ben is. Az (''z''<sub>n</sub>) sorozat
−	:<math>\exists \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)-A(x-x_0)}{||x-x_0||}=0</math>	+	: <math>s_n=\sum\limits_{k=1}^n z_k</math>
−	ahol ||.|| tetszőleges norma (például az ||.||<sub>2</sub>=|.| komplex abszolútérték) '''R'''<sup>2</sup>-ben.	+	részletösszegeinek (''s''<sub>n</sub>) sorozatát a (''z''<sub>n</sub>) -ből képzett '''sor'''nak nevezzük és &sum;(''z''<sub>n</sub>)-nel jelöljük. Azt mondjuk, hogy a &sum;(''z''<sub>n</sub>) sor konvergens és összege a ''w'' komplex szám, ha (''z''<sub>n</sub>) részletösszegeinek sorozata konvergens és határértéke ''w''. Ekkor az összeget a
		+	:<math>\sum\limits_{n=1}^{\infty}z_n</math>
		+	szimbólummal jelöljük.
−	Ekkor a fenti ''A'' lineáris leképezés egyértelmű és a jelölése: d''g''(''x''<sub>0</sub>). Azt, hogy a g valósan differenciálható (totálisan differenciálható) az ''x''<sub>0</sub>-ban, még úgy is jelöljük, hogy	+	===Komponensek===
−	:<math>g\in \mathrm{Diff}_{\mathbf{R}}(x_0)</math>.	+
−	A d''f''(''x''<sub>0</sub>,''y''<sub>0</sub>) leképezés sztenderd bázisban felírt koordinátamátrixát nevezzük Jacobi-mátrixnak, mely a következő. Ha f komponensfüggvényei: (x,y) <math>\mapsto</math> f(x,y) = (u(x,y),v(x,y)), akkor	+	Az egyik módja, hogy a komplex sorok konvergenciáját visszavezessük a valósokra, ha a komponenssorozatokat vesszük:
−	:<math>\mathrm{J}^g(x_0,y_0)=[\mathrm{d}f(x_0,y_0)]=\begin{bmatrix}\partial_x u & \partial_y u \\\partial_x v & \partial_y v\end{bmatrix}(x_0,y_0) </math>	+	:<math>\sum(z_n)=\sum(x_n+iy_n)\, </math>
−	És persze, ha  ''f'' differenciálható (értsd: totálisan differenciálhat, vagy valósan differenciálható), akkor parciálisan is deriválható, azaz a komponensfüggvényeinek az adott pontban léteznek a parciális deriváltjai, tehát felírható a Jacobi-mátrix.	+	esetén az összegeket elképzelve, azokból az i kiemelhető, így
−	====Példák====	+	:<math>\sum(z_n)=\sum(x_n)+i\sum(y_n)\,  </math>
−	'''1.''' Legyen ''w'' &isin; '''C''' tetszőlegesen rögzített és legyen	+	ahol az összeget és a szorzást tagonként végezzük. Ekkor egy sor ponrosan akkor konvergens, ha mindkét komponense konvergens.
−	:<math>f(z)=w\cdot z</math>	+
−	Ekkor a komponensfüggvények (f valós és képzetes része):	+
−	:<math>f(z)=f(x+iy)=(w_1+iw_2)\cdot (x+iy)=w_1x-w_2y+i(w_1y+w_2x)\equiv \begin{bmatrix}	+
−	w_1x-w_2y\\	+
−	w_1y+w_2x	+
−	\end{bmatrix}</math>	+
−	És a derivált:	+
−	:<math>\mathrm{J}^{f}(z)=\begin{bmatrix}	+
−	w_1 & -w_2\\	+
−	w_2 & w_1	+
−	\end{bmatrix}	+
−	</math>	+
−	Vegyük észre, hogy az imént kijött derivált éppen a ''w'' komplex szám mártixreprezentációja, hiszen általában egy ''z'' = ''a'' +' 'b''i komplex szám mátrixreprezentációja:	+
−	:<math>[z]=\begin{bmatrix}	+
−	a & -b\\	+
−	b & a	+
−	\end{bmatrix}	+
−	</math>	+
−	a valós rész a főátlóban, a képzetes rész a -, + -szal a mellékátlóban van. Tehát:	+
−	:<math>\mathrm{J}^{f}(z)\in \mathbf{C}</math>	+
−	'''2.'''	+
−	''f''(''z'') = ''z''<sup>2</sup>	+	===Cauchy-kritérium és abszolút konvergencia===
−	Legyen ''z'' = ''x'' + i ''y''. Ekkor ''z''<sup>2</sup> = ''x''<sup>2</sup> - ''y''<sup>2</sup> +i(2''xy'')	+	Világos, hogy egy sor, mint részletösszegsorozat pontosan akkor konvergens, ha Cauchy-sorozat. Ez a Cauchy-kritérium sorokra.
−	:<math>\mathrm{J}_\mathbf{R}^f(x,y)=\begin{pmatrix}	+
−	2x & -2y\\	+
−	2y & 2x	+
−	\end{pmatrix}</math>	+
−	azaz amit kaptunk, pont a 2z szám mátrixreprezentációja:	+
−	:<math>\mathrm{J}^{f}(z)=[2z]\in\mathbf{C}	+
−	</math>	+
−	'''3.''' Számítsuk ki az <math>\scriptstyle{f(z)=\overline{z}}</math> '''R'''-differenciálját!	+	Létezik az abszolút konvergencia fogalmai is. Egy sor abszolút konvergens, ha a tagjai abszolútértékéből képezett sorozat konvergens. Igaz az, hogy egy normált tér akkor és csak akkor teljes, ha minden abszolút konvergens sor konvergens benne. (És '''C''' teljes, mert minden Cauchy-sorozat konvergál benne, ami pont annak a módja, hogy belássuk az előbbi kritériumot.) Persze az előfordul a teljes terekben is, hogy konvergens sorozatok nem lesznek abszolút konvergensek.
−	Ha ''z'' = ''x'' + i ''y'', akkor <math>\scriptstyle{\overline{z}=x-\mathrm{i}y}</math>, így:	+	===Kritériumok az abszolút konvergenciára===
−	:<math>\mathrm{J}^{\overline{z}}_{\mathbf{R}}(z)=\begin{pmatrix}	+
−	1 & 0\\	+
−	0 & -1	+
−	\end{pmatrix}\not\in\mathbf{C} </math>	+
−	azaz nem mátrixreprezentáció alakú a Jacobi-mátrix. Ám, azt jegyezzük meg, hogy az iménti leképezés lineáris (ez az x tengelyre vonatkozó tükrözés), tehát folytonos, sőt totálisan (végtelenszer) differenciálható és a valós deriváltja pont saját maga:	+
−	:<math>\mathrm{d}f(x,y)=f\,</math>	+
−	csak nem komplex számot reprezentál a Jacobi-mátrix.	+
−	=='''C'''-differenciálhatóság==	+	Az abszolút konvergencia fenti kritériumából egy sor komplex sorokra vonatkozó kritérium adódik a valósból.
−	A komplex differenciálhatóság az előző észrevételekkel szoros kapcsolatban lesz. Egyfelől	+
−	:<math>(w\cdot z)'=w\in \mathbf{C}</math>	+
−	:<math>(z^2)'=2z\in \mathbf{C}</math>	+
−	mutaja, hogy ha a Jacobi-mártix hasonlóképpen viselkedik a komplex számok mátrixreprezentációjában, mint az egyváltozós valós derivált. Másrészt a	+
−	:<math>(\overline{z})'=(\begin{smallmatrix} 1 & 0\\0 & -1\end{smallmatrix})\notin \mathbf{C}</math>	+
−	mutatja, hogy nem minden valósan deriválható függvény lesz komplex deriválható. Nézzük akkor az egyváltozós valós mintájára a definíciót majd lássuk a komplex differenciálhatóság jellemzését.	+
−	'''Definíció''' - ''Komplex differenciálhatóság, komplex derivált'' - Legyen ''f'' a ''z''<sub>0</sub> egy környezetében értelmezett függvény. Azt mondjuk, hogy ''f'' '''C'''-deriválható ''z''<sub>0</sub>-ban és deriváltja a ''w'' szám, ha	+	'''Tétel''' – Legyen (''z''<sub>n</sub>) komplex számsorozat.
−	:<math>\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=w</math>	+	# '''Szükséges kritérium:''' Ha  &sum;(''z''<sub>n</sub>) konvergens, akkor (''z''<sub>n</sub>) nulsorozat.
		+	# '''Geometriai sor:''' ha |''z''| < 1, akkor <math>\sum\limits_{(0)} (z^n)</math> konvergens és az összege:
		+	#:<math>\sum\limits_{n=0}^\infty z^n=\frac{1}{1-z}</math>
		+	# '''Összehasonlító kritérium:''' ha az &sum;(''r''<sub>n</sub>) valós sor konvergens és |''z''<sub>n</sub>| ≤ ''r''<sub>n</sub> majdnem minden ''n''-re, akkor  &sum;(''z''<sub>n</sub>) abszolút konvergens (''majoráns-kritérium''). Ha az &sum;(''r''<sub>n</sub>) pozitív valós sor divergens és ''r''<sub>n</sub> ≤ |''z''<sub>n</sub>| m.m., akkor &sum;(''z''<sub>n</sub>) divergens (''minoráns-kritérium'').
		+	# '''p-edik hatvány próba:''' ha ''p'' > 1  valós, akkor a <math>(\sum\limits_{1}\frac{1}{n^p})</math> valós sor konvergens.
		+	#: Ha 0 ≤ ''p'' ≤ 1, akkor a <math>(\sum\limits_{1}\frac{1}{n^p})</math> valós sor divergens.
		+	# '''Hányadoskritérium:''' ha <math>\limsup\left|\frac{z_{n+1}}{z_n}\right|<1\,</math>, akkor &sum;(''z''<sub>n</sub>) abszolút konvergens. Ha a "liminf" > 1, akkor divergens
		+	# '''Gyökkritérium:''' ha <math>\limsup\sqrt[n]{|z_n|}<1\,</math>, akkor  &sum;(''z''<sub>n</sub>) abszolút konvergens. Ha a "limsup" > 1, akkor divergens.
−	Jelölése: <math>f'(z_0)</math>.
−	Azt, hogy az f a ''z''<sub>0</sub>-ban komplex deriválható még úgy is jelöljük, hogy	+	'''Megjegyezzük,''' hogy ha a gyökök és hányadosok sorozata konvergál, akkor ugyanahhoz a számhoz konvergálnak.
−	:<math>f\in \mathrm{Diff}_{\mathbf{C}}(z_0)</math>.	+
−	Pontbeli deriváltra példa a következő.
−	'''Példa.''' Milyen ''n'' egész számokra deriválható a 0-ban az alábbi függvény?	+	'''4.'''
−	:<math>f(z)=\begin{cases}\overline{z}\cdot z^n, & z\ne 0\\	+	Konvergens-e illetve abszolút konvergens-e?
−	0, & z=0	+	:<math>\sum\left(\frac{i^n}{n}\right)</math>
−	\end{cases}	+
−	</math>	+	'''5.'''
−	''Mo.'' Ha ''n''>0, akkor a különbségi hányados:	+	#Konvergens-e és mi a határértéke: <math>\frac{n!}{n^n}i^n</math>
−	:<math>\frac{\overline{z}\cdot z^n-0}{z-0}=\frac{\overline{z}\cdot z^n}{z}=\overline{z}\cdot z^{n-1}\to 0</math> ha ''z'' <math>\to</math> 0.	+	#Konvergens-e <math>\sum\left(\frac{n!}{n^n}i^n\right)</math>
−	Ha ''n'' = 0, akkor	+	#Milyen ''z''-re konvergens: <math>\sum\left(\frac{n!}{n^n}z^n\right)</math>
−	:<math>\frac{\overline{z}-0}{z-0}=\frac{\overline{z}}{z}=e^{i(-2\varphi)}</math>	+
−	aminek nincs határértéke a 0-ban (az egységkörön mozog a végpont).	+	''(Útmutatás: használjuk a hányadoskritériumot, vagy vizsgáljuk, hogy milyen rendben tartanak a végtelenhez az összetevősorozatok.)''
		+
		+	:<math>\frac{\left|\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}i^{n+1}\right|}{\left|\frac{n!}{n^n}i^n\right|}=\frac{n+1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\cdot(n+1)}\to\frac{1}{e}<1 </math>
		+	azaz 0-hoz tart-
−	Ha ''n'' < 0, akkor
−	:<math>\frac{\overline{z}z^n-0}{z-0}=\frac{\overline{z}}{z^{-n+1}}=\frac{\overline{z}}{z}\frac{1}{z^{-n}}</math>
−	ami a 0-ban a komplex végtelenbe tart, mert a hossza a végtelenbe tart.
−	Tehát ''n'' > 0-ra a függvény komplex deriválható a 0-ban, más ''n'' < 1-re nem deriválható.	+	'''6.'''
		+	#Konvergens-e és mi a határértéke: <math>\frac{1}{\left(1+\frac{i}{n}\right)^{n^4}}</math>
		+	#Konvergens-e <math>\sum\left(\frac{1}{\left(1+\frac{i}{n}\right)^{n^4}}\right)</math>
		+	#Milyen ''z''-re konvergens:<math>\sum\left(\frac{1}{\left(1+\frac{i|z|}{n}\right)^{n^4}}\right)</math>
−	'''Tétel.''' - ''A komplex differenciálhatóság jellemzése'' -  Legyen ''f'' a ''z''<sub>0</sub> = ''x''<sub>0</sub> + i''y''<sub>0</sub>  egy környezetében értelmezett függvény. Ekkor az alábbiak ekvivalensek:	+	''(Útmutatás: használjuk a gyökkritériumot.)''
−	:1) <math>f\in \mathrm{Diff}_{\mathbf{C}}(z_0)</math>	+
−	:2) <math>f\in \mathrm{Diff}_{\mathbf{R}}(x_0,y_0)</math> és <math>[\mathrm{d}f(x_0,y_0)]\in\mathbf{C}</math>.	+
−	''Bizonyítás.'' Legyen ''f'' a ''z''<sub>0</sub> = ''x''<sub>0</sub> + i''y''<sub>0</sub>  egy környezetében értelmezett függvény és ''w'' komplex szám.	+	:<math>\sqrt[n]{\left|1+\frac{i}{n}\right|^{n^4}}=\left|1+\frac{i}{n}\right|^{n^3}=\left(\sqrt{\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}}\right)^n\geq (1+\varepsilon)^n\to +\infty</math>
−	Tekintsük a következő határértéket:	+	Így a reciproka a 0-hoz tart, azaz a limszup < 1.
−	:<math>\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)-[w]\cdot (z-z_0)}{|z-z_0|}=0</math>	+
−	ahol az ''z'', ''z''<sub>0</sub>, ''f''(''z''), ''f''(''z''<sub>0</sub>) mennyisegekre ugy tekintunk, mint vektorokra.	+
−	Ez ekvivalens a következővel:	+
−	:<math>\lim\limits_{z\to z_0}\left|\frac{f(z)-f(z_0)}{|z-z_0|}-\frac{w\cdot (z-z_0)}{|z-z_0|}\right|=0</math>	+
−	ahol az elobb emlitettek mar algebrai ertelemben komplex szamok, nem feltetlenul vektorok.  Azaz	+
−	:<math>\lim\limits_{z\to z_0}\left|\frac{z-z_0}{|z-z_0|}\left(\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-w\right)\right|=0</math>	+
−	Itt (''z''-''z''<sub>0</sub>)/|''z''-''z''<sub>0</sub>| a komplex egységkörön "futó" függvény, hossza 1, ezért a fenti ekvivalnes a következővel:	+
−	:<math>\lim\limits_{z\to z_0}\left|\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-w\right|=0</math>	+
−	Ami viszont ugyanakkor igaz mint:	+
−	:<math>\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=w</math>	+
−	Ha a következtetésben felfelé vizsgálódunk, tehát feltesszük a komplex deriválhatóságot ahol ''w'' a komplex derivált, akkor azt kapjuk, hogy a ''w'' mátrixreprezentációjával való mátrixszorzás alkalmas lineáris leképezés a valós derivált számára, azaz létezik [df(z<sub>0</sub>)]=[w].	+
−	Másfelől, ha f valósan deriválható és a deriváltja a ''w'' komplex számot reprezentálja, akkor komplexen is deriválható es komplex derivaltja pont ''w''.
−	'''Cauchy--Riemann-egyenletek''' A fenti tételben a [df(z)] &isin; '''C''' feltétel (természetesen a totális deriválhatóság esetén) ekvivalens az alábbiakkal. Ha ''f'' = ''u'' + i''v'' és ''z'' =  ''x'' +i''y'', akkor	+	<center>
−	:<math>\begin{cases}	+	{| class="wikitable" style="text-align:center"
−	\partial_xu=\partial_yv\\	+	|- bgcolor="#efefef"
−	\partial_yu=-\partial_x v	+	|[[Matematika A3a 2008/5. gyakorlat |5. gyakorlat]]
−	\end{cases}</math>	+	|}
		+	{| class="wikitable" style="text-align:center"
		+	|- bgcolor="#efefef"
		+	|[[Matematika A3a 2008/7. gyakorlat |7. gyakorlat]]
		+	|}
		+	</center>

---

A lap jelenlegi, 2016. március 21., 10:38-kori változata

_{<Matematika A3a 2008}

Tartalomjegyzék 1 Komplex számkör és reprezentációi 1.1 Algebrai modell 1.2 Halmazelméleti modell 1.3 Geometriai modell 2 Komplex számkör unicitása 3 C topológiája 4 C kompaktifikálása 5 Komplex sorozatok 5.1 Nullsorozatok 6 Komplex sorok 6.1 Komponensek 6.2 Cauchy-kritérium és abszolút konvergencia 6.3 Kritériumok az abszolút konvergenciára

Komplex számkör és reprezentációi

A komplex számok C halmazát és műveleteit legalább három, lényegesen más szemszögből lehet láttatni. A meghatározottság kedvéért összefoglaljuk a komplex számok legfontosabb algebrai tulajdonságait. Nem térünk ki minden egyes műveleti tulajdonságra, ezek megtalálhatók a komplex számok algebráját leíró tankönyvekben.

Algebrai modell

A komplex számok olyan

alakú formális kifejezések, ahol a és b valós számok, i pedig azzal a speciális tulajdonsággal rendelkezik, hogy

A komplex számok halmazát a C szimbólummal jelöljük, tehát

itt a-t a z valós részének nevezzük és Re(z)-vel jelöljük, b-t a z képzetes részének nevezzük és Im(z)-vel jelöljük. Világos, hogy Im(z) ∈ R, azaz "tiszta" valós.

Megjegyzés. A kevéssé informatív "formális kifejezés" helyett bevezethetjük a komplex számokat valódi algebrai objektumokként. A komplex számok halmazát egy a maradékos osztással rendelkező halmazból konstrulájuk: a valós együtthatós polinomok R[X] halmazából. Közismert, hogy a valósegyütthatós, egyhatározatlanú polinomokal, azaz a

alakú kifejezésekkel, ahol az a_i-k valós számok, n pedig nemnegatív egész, lehet maradékosan osztani (polinomosztás). Ekkor

azaz a komplex számok halmaza a valósegyütthatós polinomok x²+1 polinommal történő osztási maradékai. Világos, hogy minden ilyen maradék előáll

alakban, azaz legfeljebb elsőfokú polinom alakjában. Ebben a számkörben az összeadás a polinomösszeadás, a szorzás a polinomok szorzása (illetve ezen eredményének x²+1-vel történő osztási maradéka). Amikor két elsőfokú polinom szorzata másodfokú, akkor sem lépünk ki a számkörből, hisz a

polinomegyenlet megoldható, éspedig az m(x)=x polinom (az identitás) megoldás. Ekkor

azaz ebben a számkörben létezik a -1-nek négyzetgyöke. Az m(x)=x polinom az, mely az i egység szerepét játssza és így is jelöljük ezt ezentúl.

Akárcsak a legfeljebb elsőfokú a + bx alakú polinomok esetén, a C-t alkotó formális kifejezések között is értelmezhetjük az összeadást és a szorzást. Ezeket pontosan úgy definiáljuk, mint az a + bx alakú polinomok összegét és szorzatát, azzal a specialitással, hogy ahol a polinomok a szorzást követően másodfokúvá válnak, ott a komplex számok az i²=-1 egyenlőség miatt visszaérkeznek az a + bi alakú kifejezések körébe. Ezért lesz C zárt arra a szorzásra, amit a polinomok mintájára definiálunk.

Már innen is látszik, hogy a komplex számok halmaza kétdimenziós valós test feletti vektortér. Kimondhatjuk tehát:

Állítás. A C számkör a komplex számok

(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i összeadásával és a

λ(a+bi) = λa + λbi, a λ valós számmal való szorzással

kétdimenziós valós vektorteret alkotnak és így lineárisan izomorfak a valós számpárok R² vektorterével.

Halmazelméleti modell

Az algebrai modellben nem teljesen világos, hogy mi is az i elem. Az előző állítás azonban lehetőséget biztosít arra, hogy konkrétan megadjuk a komplex számok halmazát mindenféle olyan kifejezés használata nélkül, mint "formális kifejezés" stb. (Valójában persze az algebrai modell is jól értelmezett módon adja meg a komplex számok halmazát, ha az a + bi alakú formális kifejezéseken az R[X] polinomgyűrűnek az (1+X²) polinommal történő maradékos osztásának maradékait értjük).

A számpár reprezentációban:

az összeadás az R²-beli vektorösszeadás, a szorzás, pedig a

művelet, mely természetesen a "polinomszorzásnak" az előző állításbeli izomorfizmus által létesített képe.

Ez az interpretáció azért fontos, mert explicitté teszi, hogy a C örökli az R² topológiáját.

Geometriai modell

A szorzással együtt C egységelemes, nullosztómentes algebrát alkot (tehát vektortér és van egy mindkét változójában lineáris belső szorzás, melyben van egység és „nullával nem lehet osztani”). Felmerülhet a gyanúnk, hogy talán reprezentálhatjuk a komplex számokat a 2×2-es valós mátrixon M_2×2 (R) algebrájának egy részalgebrájaként. Ezt a komplex számok trigonometrikus alakja segítségével tehetjük meg. Ismert, hogy a komplex számmal való szorzás forgatva nyújtás, azaz lineáris leképezés az R² síkon:

Világos, hogy ekkor az a + bi kanonikus alakot használva a komplex számoknak megfelelő mátrixok halmaza:

Ez a mátrixhalmaz kétdimenziós altér az M_2×2 (R) algebrában, melyet például a közvetve onnan is láthatjuk, hogy forgatva nyújtások is alteret alkotnak a lineáris leképezések terében.

Komplex számkör unicitása

C, azaz a komplex számok teste kétdimenziós valós vektortér. C elemei reprezentálhatók az R² síkon, a következő megfeleltetésekkel:

a vektortérműveletek pedig:

vektorösszeadás (a, b, c, d ∈ R)

valós számmal való szorzás (λ, a, b ∈ R)

A komplex számok körét a komplex szorzás tulajdonságai egyértelműsítik. C nem csak kétdimenziós valós vektortér, de a szorzással algebra is, sőt C az egyetlen kétdimenziós kommutatív, nullosztómentes valós algebra -- izomorfizmus erejéig. Sok megjelenési formája lehet a komplex számoknak, de bármely két reprezentáció olyan, hogy található olyan kölcsönösen egyértelmű leképezés köztük, mely lineáris és megtartja a szorzást is (azaz algebra izomorfizmus).

A nullosztómentesség és a kommutativitás jellemzően a mátrixalgebrákban nemtriviális tulajdonság. A komplex számok olyan lineáris leképezéseknek felelnek meg, melyek mátrixa

A komplex számok szorzása itt a mátrixszorzás.

C topológiája

R² gömbi környezetei lesznek C gömbi környezetei. Általában, minden topologikus fogalom C-ben R²-re vezetünk vissza. Tehát, adott r > 0 valós számra és z₀ ∈ C számra:

az r sugarú z₀ középpontú nyílt gömbi környezet. Itt a | . | abszolútérték helyett, mely a || . ||₂ euklideszi norma, elvileg R² bármelyik normája alkalmas lenne, hisz véges dimenziós normált térben minden norma ekvivalens, azaz ugyanazokat a nyílt halmazokat határozzák meg. Szokásos módon értelmezettek az előbb említett nyílt halmazok is. Ω ⊆ C nyílt, ha minden pontjával együtt, annak egy nyílt gömbi környezetét is tartalmazza:

Egy A ⊆ C halmaz belsején értjük azon pontok halmazát, melyeknek egy egész gömbi környezete benne van A-ban

Mivel R²-ben minden norma ekvivalens (ugyanazokat a nyílt halmazokat határozzák meg), ezért adott feladatokban tetszőleges, a feladathoz jól illeszkedő normát választhatunk. Topologikus szempontokból a komplex és R²-R² függvények között a következő azonosítással élhetünk. Ha f: C⊇ C függvény, akkor z = x + iy, f(z)=u(x,y)+iv(x,y), ill.

C kompaktifikálása

Kompakt egy K halmaz, ha teljesül rá, hogy akárhogy is fedjük le nyílt halmazok rendszerével, azok közül már véges sok halmaz is lefedi a K-t. Szimbolikusan:

K kompakt, ha minden (Ω_i)_i∈I halmazrendszerhez, melyre

1. Ω_i nyílt minden i∈I-re és
2. K ⊆ U(Ω_i)_i∈I

létezik J ⊆ I véges indexhalmaz, hogy K ⊆ U(Ω_i)_i∈J

R^N-ben egy halmaz pontosan akkor kompakt, ha korlátos és zárt. Tehát maga C nem kompakt, hisz nem korlátos (bár zárt). Viszont C egyetlen egy ponttal kibővítve már kompakttá tehető, ugyanis egy ideális pont hozzávételével C kölcsönösen egyértelmű és folytonos kapcsolatba hozható a gömbfelülettel, mely R³-ban kompakt. Ezt a sztereografikus projekcióval oldjuk meg.

A Riemann-gömb konstrukciójához vegyük az R³-ban az origó középponttú egységgömböt és gondoljunk úgy az [xy] síkra, mint a C komplex számsíkra. Az egységgömb pontjait a következő módon feleltetjük meg a komplex számoknak. Tekintsük a gömbön a (0,0,1) koordinátájú P pólust és egy a + bi komplex szám esetén az (a,b,0) pontot kössük össze P-vel egy e egyenes által. Ekkor az e egyetlen pontban metszi az egységgömböt, mely kijelöli az a + bi-nek megfelelő pontot. Ha az a + bi-nek megfeleltetett Riemann-gömbfelületbeli pont koordinátái (x,y,z), akkor ezek kapcsolata:

Megjegyzés. Ismerős geometriai leképezésre bukkanhatunk, ha a Riemann-gömbfelület egy (x,y,h) és (x,y,-h) pontjának megfelelő komplex számnak a kapcsolatát írjuk fel. Legyen ugyanis

és

Ekkor a z konjugáltját a w-vel összeszorozva azt kapjuk, hogy:

Amiből az következik, hogy a végpontok origótól vett távolságának a szorzata 1, azaz 1 a két szám hosszának mértani közepe. Ez viszont azt jelenti, hogy w nem más, mint a z inverziója az egységkörre vonakozóan és az inverziót kifejező komplex függvény a

leképezés. Eszerint a reciprok-konjugált (de a reciprok is) egy origón át nem menő kört körbe, az origón átmenő kört egyenesbe, egy origón át nem haladó egyenes egy origón átmenő körbe és egy origón áthaladó egyenest saját magába képezi.

Ha tehát a C-hez hozzáveszünk egy ∞-nel jelölt objektumot, és ennek megfeleltetjük a P pólust, akkor a

halmaz kölcsönösen egyértelmű megfeleltetésbe hozható a Riemann-gömbfelülettel. Ahhoz, hogy ennek folytonosságáról beszélhessünk, definiálnunk kell ∞ gömbi környezeteit. Ezek a következő alakú halmazok lesznek:

ahol r > 0.

Feladat. Igazoljuk, hogy CU{∞} kompakt (toplologikusan, ill. gyakorlásképpen sorozatkompakt)!

(Útmutatás: az elsőhöz az origó körüli zárt gömbök kompaktságát, a másodikhoz a Bolzano-Weierstrass-féle kiválasztási tételt kell használni (persze korlátos sorozatra).)

Ha CU{∞}-t lefedi egy nyílt halmazrendszer, akkor ∞-t is lefedi belőlük egy, mondjuk U. U lefedi az ∞ egy gömbi környezetét, mondjuk B_r(∞)-t. Elegendő tehát tekintenünk CU{∞} lefedéséhez a halmazrendszerből az U-t és a B_r(∞) komplementerét lefedő halmazokat. De ez utóbbiakból véges sok is van melyek még mindig lefedik, mert B_r(∞) komplemetere a 0 középponttú 1/r sugarú zárt körlap, mely kompakt.

Komplex sorozatok

Minthogy C ≡ R² (mint normált vektortér), a komplex sorozatok azon tulajdonságai, melyek a vektortérműveletekkel és az | . | ≡ || . ||₂ euklideszi normával kapcsolatosak mind R²-ből ismertnek tekinthetők. A sorozatok konvergenciáját ugyanúgy definiáljuk, mint R²-ben:

Ekkor a fenti z egyértelmű, és ez a sorozat határértéke (lim(z_n))

A legfontosabb jellemzése tehát a konvergenciának az R²-ből kölcsönzött, a komponensekre vonatkozó kritérium:

Tétel – A C-beli (z_n) = (a_n + ib_n) sorozat konvergens akkor és csak akkor, ha

(a_n) konvergens és

(b_n) konvergens.

Ekkor lim(z_n) = lim(a_n) + ilim(b_n)

Fontos látni a kapcsolatot a sorozathatárék és a függvényhatárérték között. Egy (ζ_n) komplex sorozat nem más, mint egy

függvény. Ha Z-t komplex részhalmaznak gondoljuk (ahogy az is), akkor az egyetlen torlódási pontja a ∞. Ezért egy sorozatnak pontosan akkor létezik határértéke és ez a w szám, ha mint függvénynek létezik határértéke és az a w. Azaz:

Ebből következik, hogy a függvényhatárértékre vonatkozó minden műveleti szabály öröklődik a sorozathatárértékre.

Nullsorozatok

A 0 komplex számhoz tartó sorozatok nullsorozatok. Az abszolútérték és a szorzás jó tulajdonságai miatt öröklődnek a valós sorozatok alábbi tulajdonságai.

Állítás – Legyen (z_n) komplex számsorozat.

1. abszolútérték: z_n 0 akkor és csak akkor, ha |z_n| 0
2. eltolás: z_n z akkor és csak akkor, ha (z_n – z) 0
3. "K 0": ha (w_n) korlátos és z_n 0, akkor (w_n z_n) 0
4. majoráns: ha (δ_n) 0 valós és |z_n| < δ_n, akkor z_n 0
5. hányadoskritérium: ha , akkor z_n 0
6. gyökkritérium: ha , akkor z_n 0

Ezek közül C-ben a legjellegzetesebb a "K 0", hiszen ez azt állítja, hogy nem csak a λ_n.z_n skalárral történő szorzás esetén igaz a "korlátos - nullához" tartó kritérium (mindkét változóban), hanem komplex szorzás is ilyen.

1. Feladat

(Útmutatás: hivatkozzunk a "korlátos szor nullához tartó" kritériumra.)

2. Feladat.

ahol az n-edik gyök a valós számból vont valós gyök.

(Útmutatás: "i-telenítsük" a nevezőt.)

ugyanis

3. Feladat.

(Útmutatás: használjunk trigonometrikus alakot és hatványozzunk.)

Mert a szögfüggvények argumentumában lévő sorozat az 1-hez tart (pl L'Hospital-szabállyal majd átviteli elvvel ellenőrizhető), a első szorzó pedig az 1-ehez tart (rendőrelvvel). Az argumentumokban lévő értéket tertmészetesen radiánban kell venni: nem 1˚, hanem 1 rad.

Komplex sorok

Minden normált térben definiálhatók sorok és ezek konvergenciája, így C-ben is. Az (z_n) sorozat

részletösszegeinek (s_n) sorozatát a (z_n) -ből képzett sornak nevezzük és ∑(z_n)-nel jelöljük. Azt mondjuk, hogy a ∑(z_n) sor konvergens és összege a w komplex szám, ha (z_n) részletösszegeinek sorozata konvergens és határértéke w. Ekkor az összeget a

szimbólummal jelöljük.

Komponensek

Az egyik módja, hogy a komplex sorok konvergenciáját visszavezessük a valósokra, ha a komponenssorozatokat vesszük:

esetén az összegeket elképzelve, azokból az i kiemelhető, így

ahol az összeget és a szorzást tagonként végezzük. Ekkor egy sor ponrosan akkor konvergens, ha mindkét komponense konvergens.

Cauchy-kritérium és abszolút konvergencia

Világos, hogy egy sor, mint részletösszegsorozat pontosan akkor konvergens, ha Cauchy-sorozat. Ez a Cauchy-kritérium sorokra.

Létezik az abszolút konvergencia fogalmai is. Egy sor abszolút konvergens, ha a tagjai abszolútértékéből képezett sorozat konvergens. Igaz az, hogy egy normált tér akkor és csak akkor teljes, ha minden abszolút konvergens sor konvergens benne. (És C teljes, mert minden Cauchy-sorozat konvergál benne, ami pont annak a módja, hogy belássuk az előbbi kritériumot.) Persze az előfordul a teljes terekben is, hogy konvergens sorozatok nem lesznek abszolút konvergensek.

Kritériumok az abszolút konvergenciára

Az abszolút konvergencia fenti kritériumából egy sor komplex sorokra vonatkozó kritérium adódik a valósból.

Tétel – Legyen (z_n) komplex számsorozat.

1. Szükséges kritérium: Ha ∑(z_n) konvergens, akkor (z_n) nulsorozat.
2. Geometriai sor: ha |z| < 1, akkor konvergens és az összege:

   

3. Összehasonlító kritérium: ha az ∑(r_n) valós sor konvergens és |z_n| ≤ r_n majdnem minden n-re, akkor ∑(z_n) abszolút konvergens (majoráns-kritérium). Ha az ∑(r_n) pozitív valós sor divergens és r_n ≤ |z_n| m.m., akkor ∑(z_n) divergens (minoráns-kritérium).
4. p-edik hatvány próba: ha p > 1 valós, akkor a valós sor konvergens.

   Ha 0 ≤ p ≤ 1, akkor a valós sor divergens.

5. Hányadoskritérium: ha , akkor ∑(z_n) abszolút konvergens. Ha a "liminf" > 1, akkor divergens
6. Gyökkritérium: ha , akkor ∑(z_n) abszolút konvergens. Ha a "limsup" > 1, akkor divergens.

Megjegyezzük, hogy ha a gyökök és hányadosok sorozata konvergál, akkor ugyanahhoz a számhoz konvergálnak.

4. Konvergens-e illetve abszolút konvergens-e?

5.

1. Konvergens-e és mi a határértéke:
2. Konvergens-e
3. Milyen z-re konvergens:

(Útmutatás: használjuk a hányadoskritériumot, vagy vizsgáljuk, hogy milyen rendben tartanak a végtelenhez az összetevősorozatok.)

azaz 0-hoz tart-

6.

1. Konvergens-e és mi a határértéke:
2. Konvergens-e
3. Milyen z-re konvergens:

(Útmutatás: használjuk a gyökkritériumot.)

Így a reciproka a 0-hoz tart, azaz a limszup < 1.

5. gyakorlat

7. gyakorlat