Matematika A3a 2008/6. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Differencialformak)
 
(egy szerkesztő 25 közbeeső változata nincs mutatva)
1. sor: 1. sor:
''<sub><[[Matematika A3a 2008]]</sub>''  
+
''<sub><[[Matematika A3a 2008]]</sub>''
  
=='''C'''-differenciálhatóság==
 
A komplex differenciálhatóság az előző észrevételekkel szoros kapcsolatban lesz. Egyfelől
 
:<math>(w\cdot z)'=w\in \mathbf{C}</math>
 
:<math>(z^2)'=2z\in \mathbf{C}</math>
 
mutaja, hogy ha a Jacobi-mártix hasonlóképpen viselkedik a komplex számok mátrixreprezentációjában, mint az egyváltozós valós derivált. Másrészt a
 
:<math>(\overline{z})'=(\begin{smallmatrix} 1 & 0\\0 & -1\end{smallmatrix})\notin \mathbf{C}</math>
 
mutatja, hogy nem minden valósan deriválható függvény lesz komplex deriválható. Nézzük akkor az egyváltozós valós mintájára a definíciót majd lássuk a komplex differenciálhatóság jellemzését.
 
  
'''Definíció''' - ''Komplex differenciálhatóság, komplex derivált'' - Legyen ''f'' a ''z''<sub>0</sub> egy környezetében értelmezett függvény. Azt mondjuk, hogy ''f'' '''C'''-deriválható ''z''<sub>0</sub>-ban és deriváltja a ''w'' szám, ha
+
==Komplex számkör és reprezentációi==
:<math>\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=w</math>
+
A komplex számok '''C''' halmazát és műveleteit legalább három, lényegesen más szemszögből lehet láttatni. A meghatározottság kedvéért összefoglaljuk a komplex számok legfontosabb algebrai tulajdonságait. Nem térünk ki minden egyes műveleti tulajdonságra, ezek megtalálhatók a komplex számok algebráját leíró tankönyvekben.
  
Jelölése: <math>f'(z_0)</math>.
+
===Algebrai modell===
 +
A komplex számok olyan
 +
:<math>a+b\mathrm{i}\,</math>
 +
alakú formális kifejezések, ahol ''a'' és ''b'' valós számok, i pedig azzal a speciális tulajdonsággal rendelkezik, hogy
 +
:<math>\mathrm{i}^2=-1\,</math>
 +
A komplex számok halmazát a '''C''' szimbólummal jelöljük, tehát
 +
:<math>z\in \mathbf{C}\quad\Leftrightarrow\quad z=a+bi\quad\quad(a,b\in \mathbf{R})</math>
 +
itt ''a''-t a ''z'' valós részének nevezzük és Re(''z'')-vel jelöljük, ''b''-t a ''z'' képzetes részének nevezzük és Im(''z'')-vel jelöljük. Világos, hogy Im(''z'') &isin; '''R''', azaz "tiszta" valós.
  
Azt, hogy az f a ''z''<sub>0</sub>-ban komplex deriválható még úgy is jelöljük, hogy
+
'''Megjegyzés.''' A kevéssé informatív "formális kifejezés" helyett bevezethetjük a komplex számokat valódi algebrai objektumokként. A komplex számok halmazát egy a maradékos osztással rendelkező halmazból konstrulájuk: a valós együtthatós polinomok '''R'''[X] halmazából. Közismert, hogy a valósegyütthatós,  egyhatározatlanú polinomokal, azaz a
:<math>f\in \mathrm{Diff}_{\mathbf{C}}(z_0)</math>.
+
:<math>a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n\,</math>
 +
alakú kifejezésekkel, ahol az ''a<sub>i</sub>''-k valós számok, ''n'' pedig nemnegatív egész, lehet maradékosan osztani (polinomosztás). Ekkor
 +
:<math>\mathbf{C}=_{\mathrm{def}}\mathbf{R}[X]/(x^2+1)</math>
 +
azaz a komplex számok halmaza a valósegyütthatós polinomok x<sup>2</sup>+1 polinommal történő osztási maradékai. Világos, hogy minden ilyen maradék előáll
 +
:<math>m(x)=a+bx\,</math>
 +
alakban, azaz legfeljebb elsőfokú polinom alakjában. Ebben a számkörben az ''összeadás'' a polinomösszeadás, a szorzás a polinomok szorzása (illetve ezen eredményének x<sup>2</sup>+1-vel történő osztási maradéka). Amikor két elsőfokú polinom szorzata másodfokú, akkor sem lépünk ki a számkörből, hisz a 
 +
:<math>m(x)^2+1=0\,</math>
 +
polinomegyenlet megoldható, éspedig az m(x)=x polinom (az identitás) megoldás. Ekkor
 +
:<math>m(x)^2=-1\,</math>
 +
azaz ebben a számkörben létezik a -1-nek négyzetgyöke. Az ''m(x)=x'' polinom az, mely az ''i'' egység szerepét játssza és így is jelöljük ezt ezentúl.  
  
Pontbeli deriváltra példa a következő.
 
  
'''Példa.''' Milyen ''n'' egész számokra deriválható a 0-ban az alábbi függvény?
+
Akárcsak a legfeljebb elsőfokú ''a'' + ''bx'' alakú polinomok esetén, a '''C'''-t alkotó formális kifejezések között is értelmezhetjük az összeadást és a szorzást. Ezeket pontosan úgy definiáljuk, mint az ''a'' + ''bx'' alakú polinomok összegét és szorzatát, azzal a specialitással, hogy ahol a polinomok a szorzást követően másodfokúvá válnak, ott a komplex számok az i<sup>2</sup>=-1 egyenlőség miatt visszaérkeznek az ''a'' + ''b''i alakú kifejezések körébe. Ezért lesz '''C''' zárt arra a szorzásra, amit a polinomok mintájára definiálunk.
:<math>f(z)=\begin{cases}\overline{z}\cdot z^n, & z\ne 0\\
+
0, & z=0
+
\end{cases}
+
</math>
+
''Mo.'' Ha ''n''>0, akkor a különbségi hányados:
+
:<math>\frac{\overline{z}\cdot z^n-0}{z-0}=\frac{\overline{z}\cdot z^n}{z}=\overline{z}\cdot z^{n-1}\to 0</math> ha ''z'' <math>\to</math> 0.
+
Ha ''n'' = 0, akkor
+
:<math>\frac{\overline{z}-0}{z-0}=\frac{\overline{z}}{z}=e^{i(-2\varphi)}</math>
+
aminek nincs határértéke a 0-ban (az egységkörön mozog a végpont).
+
  
Ha ''n'' < 0, akkor
+
Már innen is látszik, hogy a komplex számok halmaza kétdimenziós valós test feletti vektortér. Kimondhatjuk tehát:
:<math>\frac{\overline{z}z^n-0}{z-0}=\frac{\overline{z}}{z^{-n+1}}=\frac{\overline{z}}{z}\frac{1}{z^{-n}}</math>
+
ami a 0-ban a komplex végtelenbe tart, mert a hossza a végtelenbe tart.
+
  
Tehát ''n'' > 0-ra a függvény komplex deriválható a 0-ban, más ''n'' < 1-re nem deriválható.  
+
'''Állítás.''' A '''C''' számkör a komplex számok
 +
:(''a''+''b''i) + (''c''+''d''i) = (''a''+''c'') + (''b''+''d'')i összeadásával és a
 +
:&lambda;(''a''+''b''i) = &lambda;''a'' + &lambda;''b''i, a &lambda; valós számmal való szorzással
 +
kétdimenziós valós vektorteret alkotnak és így lineárisan izomorfak a valós számpárok '''R'''<sup>2</sup> vektorterével.
  
'''Tétel.''' - ''A komplex differenciálhatóság jellemzése'' -  Legyen ''f'' a ''z''<sub>0</sub> = ''x''<sub>0</sub> + i''y''<sub>0</sub>  egy környezetében értelmezett függvény. Ekkor az alábbiak ekvivalensek:
+
===Halmazelméleti modell===
:1) <math>f\in \mathrm{Diff}_{\mathbf{C}}(z_0)</math>
+
Az algebrai modellben nem teljesen világos, hogy mi is az i elem. Az előző állítás azonban lehetőséget biztosít arra, hogy konkrétan megadjuk a komplex számok halmazát mindenféle olyan kifejezés használata nélkül, mint "formális kifejezés" stb. (Valójában persze az algebrai modell is jól értelmezett módon adja meg a komplex számok halmazát, ha az ''a'' + ''b''i alakú formális kifejezéseken az '''R'''[X] polinomgyűrűnek az (1+X<sup>2</sup>) polinommal történő maradékos osztásának maradékait értjük).  
:2) <math>f\in \mathrm{Diff}_{\mathbf{R}}(x_0,y_0)</math> és <math>[\mathrm{d}f(x_0,y_0)]\in\mathbf{C}</math>.
+
  
''Bizonyítás.'' Legyen ''f'' a ''z''<sub>0</sub> = ''x''<sub>0</sub> + i''y''<sub>0</sub>  egy környezetében értelmezett függvény és ''w' komplex szám.
+
A számpár reprezentációban:
Tekintsük a következő határértéket:
+
:<math>\mathbf{C}=\mathbf{R}^{2}\,</math>
:<math>\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)-w\cdot (z-z_0)}{|z-z_0|}=0</math>
+
az összeadás az '''R'''<sup>2</sup>-beli vektorösszeadás, a szorzás, pedig a  
Ha ez létezik, akkor ekvivalens a következővel:
+
:<math>(a+b\mathrm{i})(c+d\mathrm{i})=(ac-db)+(ad+bc)\mathrm{i}\,</math>
:<math>\lim\limits_{z\to z_0}\left|\frac{f(z)-f(z_0)}{|z-z_0|}-\frac{w\cdot (z-z_0)}{|z-z_0|}\right|=0</math>
+
művelet, mely természetesen a "polinomszorzásnak" az előző állításbeli izomorfizmus által létesített képe.  
Azaz
+
:<math>\lim\limits_{z\to z_0}\left|\frac{z-z_0}{|z-z_0|}\left(\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-w\right)\right|=0</math>
+
Itt (''z''-''z''<sub>0</sub>)/|''z''-''z''<sub>0</sub>| a komplex egységkörön "futó" függvény, ezért a fenti ekvivalnes a következővel:
+
:<math>\lim\limits_{z\to z_0}\left|\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-w\right|=0</math>
+
Ami viszont ugyanakkor igaz mint:
+
:<math>\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=w</math>
+
Ha a következtetésben felfelé vizsgálódunk, tehát feltesszük a komplex deriválhatóságot ahol ''w'' a komplex derivált, akkor azt kapjuk, hogy a ''w'' mátrixreprezentációjával való mátrixszorzás alkalmas lineáris leképezés a valós derivált számára, azaz létezik [df(z<sub>0</sub>)]=[w].  
+
  
Másfelől, ha f valósan deriválható és a deriváltja a ''w'' komplex számot reprezentálja, akkor komplexen is deriválható.
+
Ez az interpretáció azért fontos, mert explicitté teszi, hogy a '''C''' örökli az '''R'''<sup>2</sup> topológiáját.
  
'''Cauchy--Riemann-egyenletek''' A fenti tételben a [df(z)] &isin; '''C''' feltétel (természetesen a totális deriválhatóság esetén) ekvivalens az alábbiakkal. Ha ''f'' = ''u'' + i''v'' és ''z'' = ''x'' +i''y'', akkor
+
===Geometriai modell===
:<math>\begin{cases}
+
\partial_xu=\partial_yv\\
+
\partial_yu=-\partial_x v
+
\end{cases}</math>
+
  
'''Komplex deriváltfüggvény''' Ahol egy f komplex függvény komplex deriválható, ott a deriváltja:
+
A szorzással együtt '''C''' egységelemes, nullosztómentes algebrát alkot (tehát vektortér és van egy mindkét változójában lineáris belső szorzás, melyben van egység és „nullával nem lehet osztani”). Felmerülhet a gyanúnk, hogy talán reprezentálhatjuk a komplex számokat a 2&times;2-es valós mátrixon M<sub>2&times;2</sub> ('''R''') algebrájának egy részalgebrájaként. Ezt a komplex számok trigonometrikus alakja segítségével tehetjük meg. Ismert, hogy a komplex számmal való szorzás forgatva nyújtás, azaz lineáris leképezés az '''R'''<sup>2</sup> síkon:
:<math>f'(z)=\partial_x u+\mathrm{i}\partial_xv=\partial_y v+\mathrm{i}\partial_xv=\partial_xu-\mathrm{i}\partial_yu=\partial_y v-\mathrm{i}\partial_yu</math>
+
:<math>\mathbf{C}\ni z=r\cdot(\cos\varphi+\mathrm{i}\sin\varphi)\;\equiv\;
 +
\begin{pmatrix}
 +
r\cos\varphi  & -r\sin\varphi\\
 +
r\sin\varphi  & r\cos\varphi
 +
\end{pmatrix}\in \mathrm{M}_{2\times 2}(\mathbf{R})</math>
 +
Világos, hogy ekkor az ''a'' + ''b''i kanonikus alakot használva a komplex számoknak megfelelő mátrixok halmaza:
 +
:<math>\left\{\begin{pmatrix}
 +
a  & -b\\
 +
b  & \;\;a
 +
\end{pmatrix}\in\mathrm{M}_{2\times 2}(\mathbf{R}): a,b\in \mathbf{R}\right\}</math>
 +
Ez a mátrixhalmaz kétdimenziós altér az  M<sub>2&times;2</sub> ('''R''') algebrában, melyet például a közvetve onnan is láthatjuk, hogy forgatva nyújtások is alteret alkotnak a lineáris leképezések terében.
  
'''Definíció''' - Regularitás - Az f komplex függvény reguláris a z pontban, ha f a z egy egész környezetén értelmezett, és a teljes környezetben komplex deriválható.
+
==Komplex számkör unicitása==
 +
'''C''', azaz a komplex számok teste kétdimenziós valós vektortér. '''C''' elemei  reprezentálhatók az '''R'''<sup>2</sup> síkon, a következő megfeleltetésekkel:
 +
:<math>\mathbf{C}\ni a+bi\equiv (a,b)\in \mathbf{R}^2</math>
 +
a vektortérműveletek pedig:
 +
:<math>\mathbf{C}\ni (a+bi)+(c+di)\equiv (a,b)+(c,d)\in \mathbf{R}^2</math> vektorösszeadás (''a'', ''b'', ''c'', ''d'' &isin; '''R''')
 +
:<math>\mathbf{C}\ni \lambda\cdot(a+bi)\equiv \lambda.(a,b)\in \mathbf{R}^2</math> valós számmal való szorzás (&lambda;, ''a'', ''b'' &isin; '''R''')
  
'''Feladat.''' Legyen f(x+iy)=|x|+i|y|. Hol komplex deriválható és hol reguláris f?
+
A komplex számok körét a komplex szorzás tulajdonságai egyértelműsítik. '''C''' nem csak kétdimenziós valós vektortér, de a szorzással algebra is, sőt '''C''' ''az egyetlen kétdimenziós kommutatív, nullosztómentes valós algebra'' -- izomorfizmus erejéig. Sok megjelenési formája lehet a komplex számoknak, de bármely két reprezentáció olyan, hogy található olyan kölcsönösen egyértelmű leképezés köztük, mely lineáris és megtartja a szorzást is (azaz algebra izomorfizmus).
  
'''Feladat.''' Legyen <math>f(x+iy)=x^2+iy^3</math>. Hol komplex deriválható és hol reguláris f?
+
A nullosztómentesség és a kommutativitás jellemzően a mátrixalgebrákban nemtriviális tulajdonság. A komplex számok olyan lineáris leképezéseknek felelnek meg, melyek mátrixa
 +
:<math>\begin{pmatrix}
 +
a & -b\\
 +
b & a
 +
\end{pmatrix}</math>
 +
A komplex számok szorzása itt a mátrixszorzás.
 +
  
 +
=='''C''' topológiája==
  
 +
'''R'''<sup>2</sup> gömbi környezetei lesznek '''C''' gömbi környezetei. Általában, minden topologikus fogalom '''C'''-ben '''R'''<sup>2</sup>-re vezetünk vissza. Tehát, adott ''r'' > 0 valós számra és ''z''<sub>0</sub> &isin; '''C''' számra:
 +
:<math>\mathrm{B}_r(z_0)\;=\;\{z\in \mathbf{C}\mid |z-z_0|<r\}</math>
 +
az ''r'' sugarú ''z''<sub>0</sub> középpontú nyílt gömbi környezet. Itt a | . | abszolútérték helyett, mely a || . ||<sub>2</sub> euklideszi norma, elvileg '''R'''<sup>2</sup> bármelyik normája alkalmas lenne, hisz véges dimenziós normált térben minden norma ekvivalens, azaz ugyanazokat a nyílt halmazokat határozzák meg. Szokásos módon értelmezettek az előbb említett nyílt halmazok is. &Omega; &sube; '''C''' '''nyílt''', ha minden pontjával együtt, annak egy nyílt gömbi környezetét is tartalmazza:
 +
:<math>\forall z\in \Omega\quad \exists r>0\quad \mathrm{B}_r(z)\subseteq \Omega</math>
 +
Egy ''A'' &sube; '''C''' halmaz belsején értjük azon pontok halmazát, melyeknek egy egész gömbi környezete benne van ''A''-ban
 +
:<math>\mathrm{int}(A)=\{z\in \mathbf{C}\mid  \exists r>0\quad \mathrm{B}_r(z)\subseteq A\}</math>
 +
Mivel '''R'''<sup>2</sup>-ben minden norma ekvivalens (ugyanazokat a nyílt halmazokat határozzák meg), ezért adott feladatokban tetszőleges, a feladathoz jól illeszkedő normát választhatunk. Topologikus szempontokból a komplex és '''R'''<sup>2</sup>-'''R'''<sup>2</sup> függvények között a következő azonosítással élhetünk. Ha ''f'': '''C'''&supe; <math>\rightarrow</math>'''C''' függvény, akkor ''z'' = ''x'' + i''y'', ''f''(''z'')=''u''(''x'',''y'')+i''v''(''x'',''y''), ill.
 +
:<math>f\equiv\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}
 +
</math>
  
===Harmonikus társ keresése===
+
=='''C''' kompaktifikálása==
 +
''Kompakt'' egy ''K'' halmaz, ha teljesül rá, hogy akárhogy is fedjük le nyílt halmazok rendszerével, azok közül már véges sok halmaz is lefedi a ''K''-t. Szimbolikusan:
 +
:''K'' kompakt, ha minden (&Omega;<sub>i</sub>)<sub>i&isin;I</sub> halmazrendszerhez, melyre
 +
:# &Omega;<sub>i</sub> nyílt minden i&isin;I-re és
 +
:# ''K'' &sube; U(&Omega;<sub>i</sub>)<sub>i&isin;I</sub>
 +
:létezik J &sube; I véges indexhalmaz, hogy ''K'' &sube; U(&Omega;<sub>i</sub>)<sub>i&isin;J</sub>
 +
'''R'''<sup>N</sup>-ben egy halmaz pontosan akkor kompakt, ha korlátos és zárt. Tehát maga '''C''' nem kompakt, hisz nem korlátos (bár zárt). Viszont '''C''' egyetlen egy ponttal kibővítve már kompakttá tehető, ugyanis egy ideális pont hozzávételével '''C''' kölcsönösen egyértelmű és folytonos kapcsolatba hozható a gömbfelülettel, mely '''R'''<sup>3</sup>-ban kompakt. Ezt a sztereografikus projekcióval oldjuk meg.
  
Azt mondjuk, hogy a kétszer differenciálható u=u(x,y) valós függvény ''harmonikus'', ha
 
:<math>u_{xx}''+u_{yy}''\equiv \Delta u\equiv 0\, </math>
 
itt &Delta; a Laplace-operátor (nem a Laplace-transzformátor!, hanem a vektoranalízisbeli vektormezőre Hesse-mátrix nyoma).
 
  
A C--R-egyenletek mutatják, hogy ha f=u+iv reguláris, akkor u és v harmonikus függvények. Ugyanis:
+
A Riemann-gömb konstrukciójához vegyük az '''R'''<sup>3</sup>-ban az origó középponttú egységgömböt és gondoljunk úgy az <nowiki>[xy]</nowiki> síkra, mint a '''C''' komplex számsíkra. Az egységgömb pontjait a következő módon feleltetjük meg a komplex számoknak. Tekintsük a gömbön a (0,0,1) koordinátájú ''P'' pólust és egy ''a'' + ''b''i komplex szám esetén az (''a'',''b'',0) pontot kössük össze ''P''-vel egy ''e'' egyenes által. Ekkor az ''e'' egyetlen pontban metszi az egységgömböt, mely kijelöli az ''a'' + ''b''i-nek megfelelő pontot. Ha az ''a'' + ''b''i-nek megfeleltetett Riemann-gömbfelületbeli pont koordinátái (x,y,z), akkor ezek kapcsolata:
:<math>u_x'=v_y'\,</math> és
+
:<math>a+b\mathrm{i}=\frac{x+\mathrm{i}y}{1-z}\,</math>
:<math>v_x'=-u_y'\,</math>
+
De u és v Hesse-mátrixa is szimmetrikus, ezért:
+
  
:<math>v_{yy}''=u_{xy}''=u_{yx}''=-v_{xx}''\,</math>
+
'''Megjegyzés.''' Ismerős geometriai leképezésre bukkanhatunk, ha a Riemann-gömbfelület egy (x,y,h) és (x,y,-h) pontjának megfelelő komplex számnak a kapcsolatát írjuk fel. Legyen ugyanis
azaz  
+
:<math>z=\frac{x+\mathrm{i}y}{1-h}\,</math> és <math>w=\frac{x+\mathrm{i}y}{1+h}\,</math>
:<math>\Delta v\equiv 0\,</math> és fordítva.
+
Ekkor a ''z'' konjugáltját a ''w''-vel összeszorozva azt kapjuk, hogy:
 +
:<math>w\cdot \overline{z}=1\,</math>
 +
Amiből az következik, hogy a végpontok origótól vett távolságának a szorzata 1, azaz 1 a két szám hosszának mértani közepe. Ez viszont azt jelenti, hogy ''w'' nem más, mint a ''z'' ''inverziója'' az egységkörre vonakozóan és az inverziót kifejező komplex függvény a 
 +
:<math>w=\frac{1}{\,\overline{z}\,}\,</math>
 +
leképezés.
 +
Eszerint a reciprok-konjugált (de a reciprok is) egy origón át nem menő kört körbe, az origón átmenő kört egyenesbe, egy origón át nem haladó egyenes egy origón átmenő körbe és egy origón áthaladó egyenest saját magába képezi.  
  
Általában az a feladat, hogy ha adott u, akkor keressük az ő harmonikus társát, v-t, mellyel u+iv reguláris. Ha tehát adott u, akkor van F és G, hogy
 
:<math>F=v_y'\,</math>
 
:<math>G=-v_x'\,</math>
 
Ami az egzakt differenciálegynlet megoldásánál tanult parciális differenciálegyenlet megoldását igényli v-re, mint potenciálfüggvényre (ekkor f-et komplex pontenciálnak nevezzük, mármint a (<math>v'_x(x,y)</math>,<math>v_y'(x,y)</math>) síkbeli vektormező komplex pontenciáljának; a v valódi pontenciálja lenne. Ennek szükséges utánanézni máshol is!)
 
  
'''1..''' Keressünk harmonikus párt az
+
Ha tehát a '''C'''-hez hozzáveszünk egy &infin;-nel jelölt objektumot, és ennek megfeleltetjük a ''P'' pólust, akkor a
:<math>u=x^4+y^4-6x^2y^2\,</math>
+
:<math>\overline{\mathbf{C}}=\mathbf{C}\cup\{\infty\}\,</math>
függvényhez!
+
halmaz kölcsönösen egyértelmű megfeleltetésbe hozható a Riemann-gömbfelülettel. Ahhoz, hogy ennek folytonosságáról beszélhessünk, definiálnunk kell &infin; gömbi környezeteit.
 +
Ezek a következő alakú halmazok lesznek:
 +
:<math>\mathrm{B}_r(\infty)=\left\{z\in \mathbf{C}: |z|>\frac{1}{r}\right\}\cup\{\infty\}\,</math>  
 +
ahol ''r'' > 0.
  
''Mo.'' Van neki, ha &Delta;=0. Ezt ellenőrizni kell, majd az előző módszerrel megkeresi v-t, amivel u+iv reguláris.
+
'''Feladat.''' Igazoljuk, hogy '''C'''U{&infin;} ''kompakt'' (toplologikusan, ill. gyakorlásképpen sorozatkompakt)!
  
==Komplex integrál==
+
''(Útmutatás: az elsőhöz az origó körüli zárt gömbök kompaktságát, a másodikhoz a Bolzano-Weierstrass-féle kiválasztási tételt kell használni (persze korlátos sorozatra).)''
  
===Görbék a komplex síkon===
+
Ha '''C'''U{&infin;}-t lefedi egy nyílt halmazrendszer, akkor &infin;-t is lefedi belőlük egy, mondjuk ''U''. ''U'' lefedi az &infin; egy gömbi környezetét, mondjuk B<sub>r</sub>(&infin;)-t. Elegendő tehát tekintenünk '''C'''U{&infin;} lefedéséhez a halmazrendszerből az ''U''-t és a B<sub>r</sub>(&infin;) komplementerét lefedő halmazokat. De ez utóbbiakból véges sok is van melyek még mindig lefedik, mert B<sub>r</sub>(&infin;) komplemetere a 0 középponttú 1/r sugarú zárt körlap, mely kompakt.
 
+
==Komplex sorozatok==
Ha ''G'':[''a'',''b'']<math>\to</math>'''C''', ''t''<math>\mapsto</math>''z''(''t'') folytonosan differenciálható, akkor ''G''-t görbének nevezzük. (Esetleg a folytonos, véges sok helyen nem folytonosan differenciálható előbbi ''G''-ket is görbéknek nevezzük.) A ''G'' görbe ''egyszerű'', ha nem metszi át saját magát, azaz minden <math>t_1</math>, <math>t_2</math>-re, ha <math>z(t_1)=z(t_2)</math>, akkor <math>t_1=t_2</math>. ''G'' zárt, ha <math>z(a)=z(b)</math>. A görbe ''t''-beli irányvektorán a  
+
Minthogy '''C''' &equiv; '''R'''<sup>2</sup> (mint normált vektortér), a komplex sorozatok azon tulajdonságai, melyek a vektortérműveletekkel és az | . | &equiv; || . ||<sub>2</sub> euklideszi normával kapcsolatosak mind '''R'''<sup>2</sup>-ből ismertnek tekinthetők. A sorozatok konvergenciáját ugyanúgy definiáljuk, mint  '''R'''<sup>2</sup>-ben:
:<math>\dot{z}(t)=\dot{x}(t)+\mathrm{i}\dot{y}(t)</math>
+
:<math>
komplex számot értjük.
+
\begin{matrix}
 
+
(z_n)\in\mathbf{C}^{\mathbf{Z}^+}\mbox{ konvergens }\\
====Példák====
+
\\
'''1.''' Legyen ''t''&isin;[a,b]-re ''z''(''t'') = ''x''(''t'') + i''y''(''t'') olyan, hogy <math>x(t)=x_0+w_1t</math> és <math>y(t)=y_0+w_2t</math>, azaz <math>z(t)=z_0+w t</math>. Ekkor ''z''(''t'') egy egyenes szakasz.
+
\Updownarrow\mathrm{def}\\
 
+
\\
És ekkor:
+
\exists z\in \mathbf{C}\quad \forall \varepsilon\in\mathbf{R}^+\quad \exists N\in \mathbf{Z}^+\quad \forall n\in\mathbf{Z}^+ \quad(n> N\;\Rightarrow\;|z_n-z|<\varepsilon)
:<math>\dot{z}(t)=w</math>
+
'''2.''' Az origó középpontú R sugarú kör:
+
:<math>z(t)=Re^{\mathrm{i}t}</math> ''t''&isin;[0,2&pi;]
+
És ekkor
+
:<math>\dot{z}(t)=R\mathrm{i}e^{\mathrm{i}t}</math>
+
hiszen
+
:<math>\dot{z}(t)=R\dot{\cos(t)+\mathrm{i}\sin(t)}=-R\sin(t)+\mathrm{i}R\cos(t)=\mathrm{i}(R\mathrm{i}\sin(t)+R\cos(t))</math>
+
===Komplex vonalmenti integrál===
+
'''Definíció.''' Ha ''G'':[a,b]<math>\to</math>'''C''' görbe és f olyan komplex függvény, melyre Ran(G)&sube;Dom(f), és f folytonos, akkor belátható, hogy létezik a
+
 
+
:<math>\begin{matrix}
+
\sum\limits_{i=1}^nf(\zeta_i)\cdot \Delta z_i & \longrightarrow & \int\limits_{G}f(z)\,\mathrm{d}z\\
+
& n\to \infty & \\
+
& \forall z_i\in G, \;\forall \zeta_i\in \Delta z_i &\\
+
& |\Delta z_i|\to 0 & 
+
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
határérték, mely egy speciális Riemann-közelítőösszeg határértéke. Itt a görbén kijelöltük a véges sok <math>z_i</math> pontot, melyek a szigorúan monoton (<math>t_i</math>)-khez tartoznak a <math>z_i=z(t_i)</math> definícióval. Ezen <math>[z(t_i),z(t_{i+1})]</math> görbeszakaszokon belül felvettük tetszőlegesen a &zeta;<sub>i</sub> közbülső pontokat, és a &Delta;z<sub>i</sub>=<math>[z(t_i),z(t_{i+1})]</math> szakaszokkal elkészítettük az f(&zeta;<sub>i</sub>)&Delta;z<sub>i</sub> komplex szorzatokat. A határérték ezek görbére vett összegének határértéke. Ez a határérték az f függvény ''G''-re vett komplex integrálja.
+
Ekkor a fenti ''z'' egyértelmű, és ez a sorozat határértéke (lim(''z''<sub>n</sub>))
  
 +
A legfontosabb jellemzése tehát a konvergenciának az '''R'''<sup>2</sup>-ből kölcsönzött, a komponensekre vonatkozó kritérium:
  
'''Kiszámítási formula.''' Belátható, hogy a fenti integrál a következőkkel egyenlő:
+
'''Tétel''' – A '''C'''-beli (''z''<sub>n</sub>) = (''a''<sub>n</sub> + i''b''<sub>n</sub>) sorozat konvergens akkor és csak akkor, ha
:<math>
+
:(''a''<sub>n</sub>) konvergens és
\int\limits_{G}f(z)\mathrm{d}z=\int\limits_{a}^b f(z(t))\cdot \dot{z}(t)\,\mathrm{d}t</math>
+
:(''b''<sub>n</sub>) konvergens.
  
===Példa===
+
Ekkor lim(''z''<sub>n</sub>) = lim(''a''<sub>n</sub>) + i<math>\cdot</math>lim(''b''<sub>n</sub>)
'''1.''' Legyen ''G'' a komplex egységkör pozitívan irányítva.
+
:<math>\int\limits_{|z|=1}\frac{1}{z}\mathrm{d}z=\int\limits_{0}^{2\pi} \frac{1}{e^{\mathrm{i}t}}\cdot \mathrm{i}e^{\mathrm{i}t}\,\mathrm{d}t=\int\limits_{0}^{2\pi} \mathrm{i}\,\mathrm{d}t=2\pi\mathrm{i}</math>
+
Ahol a valós Newton--Leibniz-formulát alkalmaztuk a komponensfüggvényekre.
+
  
'''2.''' Legyen ''G'' a z(t)=(1+2i)t, ahol t&isin;[0,1].
+
Fontos látni a kapcsolatot a sorozathatárék és a függvényhatárérték között. Egy (''&zeta;''<sub>n</sub>) komplex sorozat nem más, mint egy
:<math>\int\limits_{G}\overline{z}\mathrm{d}z=\int\limits_{0}^{1} (1-2\mathrm{i})t\cdot (1+2\mathrm{i})\,\mathrm{d}t=\int\limits_{0}^{1}5t\,\mathrm{d}t=\frac{5}{2}</math>
+
:<math>\zeta: \mathbf{Z}^+\to \mathbf{C}</math>
 +
függvény. Ha '''Z'''<sup></sup>-t komplex részhalmaznak gondoljuk (ahogy az is), akkor az egyetlen torlódási pontja a &infin;. Ezért egy sorozatnak pontosan akkor létezik határértéke és ez a w szám, ha mint függvénynek létezik határértéke és az a w. Azaz:
 +
:<math>\exists\lim\limits_{n\to \infty}z_n=w\in\overline{\mathbf{C}}\quad\Longleftrightarrow\quad\exists\lim\limits_{\infty}\zeta=w\in\overline{\mathbf{C}}</math>
 +
Ebből következik, hogy a függvényhatárértékre vonatkozó minden műveleti szabály öröklődik a sorozathatárértékre.
 +
===Nullsorozatok===
  
'''3.''' Legyen ''G'' a komplex egységkör felső fele, pozitívan irányítva.
+
A 0 komplex számhoz tartó sorozatok nullsorozatok. Az abszolútérték és a szorzás jó tulajdonságai miatt öröklődnek a valós sorozatok alábbi tulajdonságai.
:<math>\int\limits_{|z|=1,\mathrm{Im}(z)\geq 0}\overline{z}^2\mathrm{d}z=\int\limits_{0}^{\pi}e^{-2\mathrm{i}t}\cdot \mathrm{i}e^{\mathrm{i}t}\,\mathrm{d}t=\int\limits_{0}^{\pi}e^{-\mathrm{i}t}\,\mathrm{d}t=1-(-1)=2</math>
+
  
===Komplex Newton--Leibniz-formula===
+
'''Állítás''' – Legyen (''z''<sub>n</sub>) komplex számsorozat.
Ha az f komplex függvény, olyan, hogy van olyan komplex differenciálható F, melyre F'=f, akkor azt mondjuk, hogy a F az f primitív függvénye.
+
# ''abszolútérték:'' ''z''<sub>n</sub> <math>\to</math> 0 akkor és csak akkor, ha |''z''<sub>n</sub>| <math>\to</math> 0
 +
# ''eltolás:'' ''z''<sub>n</sub> <math>\to</math> ''z'' akkor és csak akkor, ha (''z''<sub>n</sub> – ''z'') <math>\to</math> 0
 +
# ''"K <math> \cdot</math> 0":'' ha (''w''<sub>n</sub>) korlátos és ''z''<sub>n</sub> <math>\to</math> 0, akkor  (''w''<sub>n</sub> <math>\cdot</math> ''z''<sub>n</sub>) <math>\to</math> 0
 +
# ''majoráns:'' ha (&delta;<sub>n</sub>) <math>\to</math> 0 valós és |''z''<sub>n</sub>| < &delta;<sub>n</sub>, akkor ''z''<sub>n</sub> <math>\to</math> 0
 +
# ''hányadoskritérium:'' ha <math>\limsup\left|\frac{z_{n+1}}{z_n}\right|<1\,</math>, akkor  ''z''<sub>n</sub> <math>\to</math> 0
 +
# ''gyökkritérium:'' ha <math>\limsup\sqrt[n]{|z_n|}<1\,</math>, akkor  ''z''<sub>n</sub> <math>\to</math> 0
  
'''Komplex Newton--Leibniz-formula.''' Ha a nyílt halmazon értelmezett f komplex függvénynek primitív függvénye az F és f folytonos, akkor minden az f értelmezési tartományában haladó ''G'':[a,b]<math>\to</math>'''C''' görbére:
 
:<math>\int\limits_{G}f(z)\,\mathrm{d}z=F(b)-F(a)</math>
 
  
Például:
+
Ezek közül '''C'''-ben a legjellegzetesebb a ''"K <math> \cdot</math> 0"'', hiszen ez azt állítja, hogy nem csak a &lambda;<sub>n</sub>.''z''<sub>n</sub> skalárral történő szorzás esetén igaz a "korlátos - nullához" tartó kritérium (mindkét változóban), hanem komplex szorzás is ilyen.
  
'''4.''' Legyen <math>f(z)=\frac{1}{z^2}</math>. Mi az egységkörre az integrálja?
 
:<math>F(z)=-\frac{1}{z}</math>
 
primitívfüggvénye f-nek, ezért
 
:<math>\int\limits_{|z|=1}\frac{1}{z^2}\,\mathrm{d}z=0</math>
 
hiszen zárt a görbe, azaz a pr. fv. a kezdő és végpontban ugyanannyi.
 
  
 +
'''1. Feladat'''
 +
:<math>\left(\frac{\sqrt{2}+i}{\sqrt{3n}}\right)^n\to ?</math>
  
 +
''(Útmutatás: hivatkozzunk a "korlátos szor nullához tartó" kritériumra.)''
 +
 +
:<math>\left(\frac{\sqrt{2}+i}{\sqrt{3n}}\right)^n=\left(\frac{\sqrt{2}+i}{\sqrt{3}}\right)^n\frac{1}{\sqrt{n^n}}</math>
  
==Cirkulációmentesség==
+
'''2. Feladat.'''
 +
:<math>\frac{\sqrt[n]{n^3+2n}}{i+1}\to ?</math>
 +
ahol az ''n''-edik gyök a valós számból vont valós gyök.
  
'''Visszavezetés valós vonalintegrálra.'''
+
''(Útmutatás: "i-telenítsük" a nevezőt.)''
Az integrál kifejezhető vonalintegrállal. Ha ugyanis f= u + iv, akkor az f=(u,v) vektormezőnek olyan differenciálforma szerinti integrálja a komplex pályamenti integrál, mely az f=(u,v) vektor és a dz=(dx,dy) infinitezimális elmozdulásvektor komplex szorzásaként jön létre:
+
:<math>\int\limits_{G}f(z)\mathrm{d}z = \int\limits_{G} u\mathrm{d}x-v\mathrm{d }y + i\int\limits_{G} u\mathrm{d}y+v\mathrm{d }x</math>
+
Ebben a felírásban az (u,-v) és (v,u) olyan segédvektormezők, melyek vonalintegráljai adják meg a komplex integrál valós és képzetes részét. Tehát az integrált a 
+
:<math>\mathbf{P}=\begin{pmatrix}u\\-v\end{pmatrix}</math> és <math>\mathbf{Q}=\begin{pmatrix}v\\u\end{pmatrix}</math>
+
segédvektormezők síkbeli '''vonalintegráljai''', vagy a
+
:<math>\mathbf{P}'=\begin{pmatrix}-v\\-u\end{pmatrix}</math> és <math>\mathbf{Q}'=\begin{pmatrix}u\\-v\end{pmatrix}</math>
+
segédvektormezők síkbeli '''felületi integráljai''' szolgáltatják.
+
  
Itt érdemes feleleveníteni, hogy az '''S''' = (<math>s_1</math>, <math>s_2</math>) síkvektormező felületi integrálja nem más, mint a (<math>-s_2</math>, <math>s_1</math>) vektormező vonalintegrálja (a megfelelő irányítással).
+
:<math>\frac{\sqrt[n]{n^3+2n}}{i+1}=\frac{(i-1)\sqrt[n]{n^3+2n}}{-1-1}=\frac{i\sqrt[n]{n^3+2n}-\sqrt[n]{n^3+2n}}{-2}\to \frac{1}{2}-\frac{1}{2}i</math>
 +
ugyanis
 +
: <math>1\leftarrow\sqrt[n]{n}^3=\sqrt[n]{n^3}\leq\sqrt[n]{n^3+2n}\leq\sqrt[n]{n^3+\frac{n^3}{2}}=\sqrt[n]{\frac{3}{2}n^3}=\sqrt[n]{\frac{3}{2}}\sqrt[n]{n}^3\to 1</math>
  
:<math>\int\limits_{F} \mathbf{S}\,\mathrm{d}\mathbf{f}=\int\limits_{''F''} s_1 \mathrm{d}y-s_2\mathrm{d}x</math>
 
megfelelő módon irányítva az F felületet, ill ennek "F" görbe mivoltát. 
 
  
(Azaz a s_2dx - s_1 dy differenciálforma integrálja. ''Differenciálforma'' -- nemes egyszerűséggel -- egy olyan kifejezése, ahol dx, dy, dz-k és egy vektormező komponensei vannak összeszorozva-összeadva.)
+
'''3. Feladat.'''
 +
:<math>\left(\frac{n+i}{n}\right)^n\to ?</math>
  
 +
''(Útmutatás: használjunk trigonometrikus alakot és hatványozzunk.)''
  
'''Tétel.''' Ha a ''D'' tartományon értelmezett ''f'' függvénynek van primitív függvénye, akkor a körintegrál minden a ''D''-ben haladó folytonosan differenciálható (ill. ilyenek véges összekapcsolásain) zárt görbén eltűnik:
+
:<math>\left(\frac{n+i}{n}\right)^n=\left(\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}\right)^n\cdot\left(\cos\left(n\,\mathrm{arc\,tg}\left(\frac{1}{n}\right)\right)+i\sin\left(n\,\mathrm{arc\,tg}\left(\frac{1}{n}\right)\right)\right)\to </math>
:<math>\oint f=0\,</math>
+
:: <math>\to \cos1+i\sin 1\,</math>
 +
Mert a szögfüggvények argumentumában lévő sorozat az 1-hez tart (pl L'Hospital-szabállyal majd átviteli elvvel ellenőrizhető), a első szorzó pedig az 1-ehez tart (rendőrelvvel). Az argumentumokban lévő értéket tertmészetesen radiánban kell venni: nem 1˚, hanem 1 rad.
  
További információhoz akkor jutunk, ha a többváltozós analízis cirkuálciómentességi feltételeit vizsgáljuk. Ehhez a vissza kell vezetni a komplex integrált a vonalintegrálra.
 
  
Legyen ''f''(''z'') = ''f''(''x'',''y'') = ''u''(''x'',''y'') + i''v''(''x'',''y''). Ekkor ''f'' felfogható '''R'''<sup>2</sup> <math>\supset\!\to</math> '''R'''<sup>2</sup> függvényként, melynek vonalintegrálja a
+
==Komplex sorok==
:<math>G:z(t)\equiv\mathbf{r}(t)=(x(t),y(t))\,</math>
+
vonal mentén:
+
:<math>\int\limits_{G}f(z)\mathrm{d}z = \int\limits_{G} u\mathrm{d}x-v\mathrm{d }y + i\int\limits_{G} u\mathrm{d}y+v\mathrm{d }x</math>
+
amiben az
+
:<math>\mathbf{v}=\begin{pmatrix}u\\-v\end{pmatrix}</math> és <math>\mathbf{w}=\begin{pmatrix}v\\u\end{pmatrix}</math>
+
vektorterek integráljai szerepelnek.
+
  
Vagy kétdimenziós felületi integrálként:
+
Minden normált térben definiálhatók sorok és ezek konvergenciája, így '''C'''-ben is. Az (''z''<sub>n</sub>) sorozat
 +
: <math>s_n=\sum\limits_{k=1}^n z_k</math>
 +
részletösszegeinek (''s''<sub>n</sub>) sorozatát a (''z''<sub>n</sub>) -ből képzett '''sor'''nak nevezzük és &sum;(''z''<sub>n</sub>)-nel jelöljük. Azt mondjuk, hogy a &sum;(''z''<sub>n</sub>) sor konvergens és összege a ''w'' komplex szám, ha (''z''<sub>n</sub>) részletösszegeinek sorozata konvergens és határértéke ''w''. Ekkor az összeget a 
 +
:<math>\sum\limits_{n=1}^{\infty}z_n</math>
 +
szimbólummal jelöljük.
  
:<math>\mathbf{v}'=\begin{pmatrix}-v\\-u\end{pmatrix}</math> és <math>\mathbf{w}'=\begin{pmatrix}u\\-v\end{pmatrix}</math>
+
===Komponensek===
  
Ugyanis a komplex vonalintegrált síkbeli felületi integrállá lehet alakítani:  
+
Az egyik módja, hogy a komplex sorok konvergenciáját visszavezessük a valósokra, ha a komponenssorozatokat vesszük:
:<math>\int \mathbf{v}\mathrm{d}\mathbf{A}=\int \mathbf{v}\times\mathrm{d}\mathbf{r}=\int v_1 \mathrm{d}y-v_2\mathrm{d}x</math>
+
:<math>\sum(z_n)=\sum(x_n+iy_n)\,  </math>
 +
esetén az összegeket elképzelve, azokból az i kiemelhető, így
 +
:<math>\sum(z_n)=\sum(x_n)+i\sum(y_n)\</math>
 +
ahol az összeget és a szorzást tagonként végezzük. Ekkor egy sor ponrosan akkor konvergens, ha mindkét komponense konvergens.
  
 +
===Cauchy-kritérium és abszolút konvergencia===
  
===Green-tétel===
+
Világos, hogy egy sor, mint részletösszegsorozat pontosan akkor konvergens, ha Cauchy-sorozat. Ez a Cauchy-kritérium sorokra.
  
Nehany topologiai fogalom.  
+
Létezik az abszolút konvergencia fogalmai is. Egy sor abszolút konvergens, ha a tagjai abszolútértékéből képezett sorozat konvergens. Igaz az, hogy egy normált tér akkor és csak akkor teljes, ha minden abszolút konvergens sor konvergens benne. (És '''C''' teljes, mert minden Cauchy-sorozat konvergál benne, ami pont annak a módja, hogy belássuk az előbbi kritériumot.) Persze az előfordul a teljes terekben is, hogy konvergens sorozatok nem lesznek abszolút konvergensek.  
  
Egy ''D'' nyilt halmaz '''C'''-ben egyszeresen osszefuggo, ha benne minden zart gorbe ''pontra deformalhato''.
+
===Kritériumok az abszolút konvergenciára===
Ez utobbi a kovetkezot jelenti. Azt mondjuk, hogy a &gamma;:[a,b]<math>\to</math>''D'' zart gorbe  a <math>z_0</math>  ''D''-beli pontra deformalhato a ''D'' tartomanyban, ha letezik olyan &Gamma;:[0,1]<math>\to</math> <math>D^{[a,b]}</math> gorbe erteku fuggveny, melyre &Gamma;(1)=&gamma;, &Gamma;(0)=<math>z_0</math> konstans gorbe es &Gamma; az [a,b] es <math>D^{[a,b]}</math> terek kozott hato folytonos lekepezes a szupremumnorma szerint.
+
  
''Csillagszeru'' egy ''H'' halmaz '''C'''-ben, ha van olyan ''H''-beli pont ''c'' pont, hogy barmely ''H''-beli ''z'' pontra a [''cz''] szakasz ''H''-ban van.
+
Az abszolút konvergencia fenti kritériumából egy sor komplex sorokra vonatkozó kritérium adódik a valósból.
  
''Pelda.'' Egy csillagszeru tartomany egyszeresen osszefuggo, mert a csillagpontra valo [0,1]-beli aranyszammal parameterezett kozeppontos kicsinyites kepei alkotta parameteres gorbesereg ilyen.
+
'''Tétel''' – Legyen (''z''<sub>n</sub>) komplex számsorozat.
 +
# '''Szükséges kritérium:''' Ha  &sum;(''z''<sub>n</sub>) konvergens, akkor (''z''<sub>n</sub>) nulsorozat.
 +
# '''Geometriai sor:''' ha |''z''| < 1, akkor <math>\sum\limits_{(0)} (z^n)</math> konvergens és az összege:
 +
#:<math>\sum\limits_{n=0}^\infty z^n=\frac{1}{1-z}</math>
 +
# '''Összehasonlító kritérium:'''  ha az &sum;(''r''<sub>n</sub>) valós sor konvergens és |''z''<sub>n</sub>| ≤ ''r''<sub>n</sub> majdnem minden ''n''-re, akkor  &sum;(''z''<sub>n</sub>) abszolút konvergens (''majoráns-kritérium''). Ha az &sum;(''r''<sub>n</sub>) pozitív valós sor divergens és  ''r''<sub>n</sub> ≤ |''z''<sub>n</sub>| m.m., akkor &sum;(''z''<sub>n</sub>) divergens (''minoráns-kritérium'').
 +
# '''p-edik hatvány próba:''' ha ''p'' > 1  valós, akkor a <math>(\sum\limits_{1}\frac{1}{n^p})</math> valós sor konvergens.
 +
#: Ha 0 ≤ ''p'' ≤ 1, akkor a <math>(\sum\limits_{1}\frac{1}{n^p})</math> valós sor divergens.
 +
# '''Hányadoskritérium:''' ha <math>\limsup\left|\frac{z_{n+1}}{z_n}\right|<1\,</math>, akkor &sum;(''z''<sub>n</sub>) abszolút konvergens. Ha a "liminf" > 1, akkor divergens
 +
# '''Gyökkritérium:''' ha <math>\limsup\sqrt[n]{|z_n|}<1\,</math>, akkor  &sum;(''z''<sub>n</sub>) abszolút konvergens. Ha a "limsup" > 1, akkor divergens.
  
===Differencialformak===
 
Emlekezzunk arra, hogy egy valos ereteku parcialisan ketszer derivalhato fuggveny ketszeres derivalhatosaga a kovetkezokkel volt ekvivalens. Letezik olyan &epsilon; valos fuggveny, mely folytonos az u pontban, &epsilon;(u)=0 es
 
:<math>f(x)=f(u)+\mathrm{J}^f(u)(x-u)+\frac{1}{2}(x-u)\mathrm{H}^f(u)(x-u)+\varepsilon(x)||x-u||^2</math>
 
ahol J a Jacobi-matrix, H a Hesse-matrix. Az ebben a kepletben szereplo linaris ill. bilinearis lekepezesek olyan olyan jellegzetes alakok, amik alkalmasak arra, hogy altalanositsuk oket.
 
:<math>(P,Q)\,</math><math>{dx}\choose{dy}</math><math>=Pdx + Qdy\,</math>
 
:<math>\frac{1}{2}(dx,dy)\,</math><math>\begin{pmatrix}a & b \\c & d\end{pmatrix}</math><math>{dx}\choose{dy}</math>
 
  
Tekintsuk az &omega;=Pdx + Qdy alaku formalis kifejezest, ahol P, Q folytonosan differencialhato fuggvenyek. Ertelmezzuk ennek a derivaltjat a kovetkezokeppen.
+
'''Megjegyezzük,''' hogy ha a gyökök és hányadosok sorozata konvergál, akkor ugyanahhoz a számhoz konvergálnak.
  
===Gauss-tétel===
 
Lássuk először Gauss-tételle, hogyan következtethetünk a körintegrál eltűnésére.
 
  
'''Gauss-tétel''' ('''R'''<sup>3</sup>-ra) Legyen '''v''' nyílt halmazon értelmezett C<sup>1</sup>-függvény, ''V'' egyszeresen összefüggő, mérhető térrész és legyen ennek &part;''V'' határa kifelé irányított felület. Ha ''V'' a határával együtt Dom('''v''')-ben van, akkor
+
'''4.'''
:<math>\oint\limits_{\partial V} \mathbf{v}\;\mathrm{d}\mathbf{A}=\int\limits_{V} \mathrm{div}\,\mathbf{v}\;\mathrm{d}V</math>
+
Konvergens-e illetve abszolút konvergens-e?
 +
:<math>\sum\left(\frac{i^n}{n}\right)</math>
  
Az itt szereplő fogalmak közül néhányról beszélnünk kell.
+
'''5.'''
 +
#Konvergens-e és mi a határértéke: <math>\frac{n!}{n^n}i^n</math>
 +
#Konvergens-e <math>\sum\left(\frac{n!}{n^n}i^n\right)</math>
 +
#Milyen ''z''-re konvergens: <math>\sum\left(\frac{n!}{n^n}z^n\right)</math>
  
'''Felület.''' Legyenek a &phi;<sup>i</sup>:D<sub>i</sub> <math>\to</math> '''R'''<sup>3</sup> függvények folytonosan differenciálhatóak és injektívek int(''D''<sub>i</sub>)-n, melyek mérhető tarományok '''R'''<sup>2</sup>-ben. Ha a képeik egymásba nem nyúlók, azaz int(&phi;<sub>i</sub>(''D''<sub>i</sub>)) &cap; int(&phi;<sub>j</sub>(''D''<sub>j</sub>)) üres, ha ''i'' &ne; ''j'', és a képek uniója összefüggő halmaz, akkor U Ran(&phi;<sup>i</sup>)-t előállítottuk paraméteres felületként.
+
''(Útmutatás: használjuk a hányadoskritériumot, vagy vizsgáljuk, hogy milyen rendben tartanak a végtelenhez az összetevősorozatok.)''
  
Példaként említhetjük a kúp paraméterezését:
+
:<math>\frac{\left|\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}i^{n+1}\right|}{\left|\frac{n!}{n^n}i^n\right|}=\frac{n+1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\cdot(n+1)}\to\frac{1}{e}<1 </math>
 +
azaz 0-hoz tart-
  
:<math>\mathbf{r}_1(\varphi, h)=\left\{\begin{matrix} h\sin\vartheta\cos \varphi\\ h\sin\vartheta\sin\varphi\\ h\end{matrix}\right.</math>, ha &phi; &isin; [0,2&pi;] és ''h'' &isin; [0,''H'']
 
:<math>\mathbf{r}_2(\varphi, h)=\left\{\begin{matrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi \\ H\end{matrix}\right.</math>, ha &phi; &isin; [0,2&pi;] és ''r'' &isin; [0,''R'']
 
ahol H a kúp magassága, R az alapkörsugara, &theta; a félkúpszöge (z a tengelye, O a csúcsa). Tehát itt a paramétertartományok [0,2&pi;] &times; [0,''H''] és [0,2&pi;] &times; [0,''R''].
 
  
'''C<sup>1</sup>-ség'''. Ez azért kell, mert a térfogati integrált a ''D'' paramétertartományon a  
+
'''6.'''  
:<math>\int\limits_{V} \mathrm{div}\,\mathbf{v}\;\mathrm{d}V=\int\limits_{\mathbf{r}^{-1}(V)}\mathrm{div}\,\mathbf{v}(\mathbf{r}(u,v,w))|\mathrm{J}^{\mathbf{r}}(u,v,w)|\;\mathrm{d}u\mathrm{d}v\mathrm{d}w</math>
+
#Konvergens-e és mi a határértéke: <math>\frac{1}{\left(1+\frac{i}{n}\right)^{n^4}}</math>
képlettel számoljuk és ahhoz, hogy ez lézetten, ahhoz pl az kell, hogy ne csak az '''r''' = '''r'''(u,v,w) legyen folytonosan diff.-ható, de a divergencia is folytonos legyen.
+
#Konvergens-e <math>\sum\left(\frac{1}{\left(1+\frac{i}{n}\right)^{n^4}}\right)</math>
 
+
#Milyen ''z''-re konvergens:<math>\sum\left(\frac{1}{\left(1+\frac{i|z|}{n}\right)^{n^4}}\right)</math>
'''Egyszeresen összefüggő tartomány.''' A G<sub>1</sub>: [a,b] <math>\to</math> '''R'''<sup>3</sup> és a G<sub>2</sub>: [a,b] <math>\to</math> '''R'''<sup>3</sup> görbék homotópak, ha létezik olyan ''F'': [0,1] &times; [a,b] <math>\to</math> '''R'''<sup>3</sup> folytonos függvény, hogy F(0,.) &equiv; G<sub>1</sub> és F(1,.) &equiv; G<sub>2</sub>.Ez gyakorlatilag azt jelenti, hogy a G<sub>1</sub> a G<sub>2</sub>-be folytonos transzformációval átvihető. Egyszeresen összefüggő egy tartomány, ha benne minden zárt görbe homotóp a konstans görbével.
+
 
+
Az egyszeres összefüggőség lényeges feltétel. Gondoljunk a '''v'''('''r''') = '''r'''/''r''<sup>3</sup> vektortérre. Ennek divergenciája 0, de az origó körüli zárt gömbfelület integrálja 4&pi;.
+
 
+
'''Gauss-tétel''' ('''R'''<sup>2</sup>-re) Legyen D egyszeresen összefüggő, mérhető síktartomány és legyen G &equiv; '''r'''(t) ennek határát paraméterező zárt görbe. Ha '''v''' folytonosan '''R'''-differenciálható a D lezártján, akkor
+
:<math>\oint\limits_{G} \mathbf{v}(\mathbf{r})\mathrm{d}\mathbf{A}=\int\limits_{D} \mathrm{div}\,(\mathbf{v})\mathrm{d}A</math>
+
 
+
Így tehát a komplex vonalintegrál kiszámításához csak a '''v''' ' és '''w''' ' felületi integrálját kell kiszámítanunk, amihez a Gauss-tétel miatt beli divergenciákat kell kiszámítanunk:
+
:<math>\mathrm{div}\mathbf{v}'=-\frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}=0</math>
+
:<math>\mathrm{div}\mathbf{w}'=\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial v}{\partial y}=0</math>
+
Ami, a C-R-egyenletek miatt igaz.
+
 
+
Innen
+
:<math>\int\limits_{G}f(z)\mathrm{d}z=0</math>
+
 
+
===Stokes-tétel===
+
 
+
Nézzük meg Stokes-tétellel is a bizonyítást.
+
 
+
'''Stokes-tétel''' ('''R'''<sup>3</sup>-ra) Legyen a nyílt halmazon értelmezett '''v''' vektorfüggvény folytonosan differenciálható, a Dom('''v''')-beli F felület pereme legyen a szintén Dom('''v''')-beli G zárt, F-nek megfelelően irányított görbe. Ekkor 
+
:<math>\oint\limits_{G} \mathbf{v}(\mathbf{r})\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{F} \mathrm{rot}(\mathbf{v})\mathrm{d}\mathbf{F}</math>
+
 
+
A térbeli cirkulációmentességre vonatkozó nevezetes tétel ezzel a tétellel kapcsoltos. Ebben az esetben, bár az egyszeres összefüggőség nincs megkötve Dom('''v''')-re vonatkozólag, előjön a következményében:
+
 
+
'''Következmény.''' Ha az egyszeresen összefűggő ''D'' nyílt halmazon értelmezett '''v''' vektortér folytonosan differenciálható, akkor az alábbi három kijelentés ekvivaléens egymással:
+
# rot '''v''' eltűnik ''D''-n.
+
# minden ''D''-ben haladó zárt görbén a '''v''' körintegrálja nulla
+
# létezik '''v'''-nek ''D''-n potenciálja, azaz olyan &Phi; : ''D'' <math>\to</math> '''R'''<sup>3</sup> függvény, melyre grad &Phi; = '''v'''.
+
 
+
Itt az egyszeres összefüggőség azért kell, mert annyit biztosan tudunk, hogy ilyen esetben a zárt görbéhez található olyan felület, mely a tartományban halad és pereme a görbe.
+
 
+
'''Stokes-tétel''' ('''R'''<sup>2</sup>-re) Legyen a D síkbeli felület határán a G zárt görbe ( '''r'''(t) ). Ha '''v''' folytonosan '''R'''-differenciálható, akkor
+
:<math>\oint\limits_{G} \mathbf{v}(\mathbf{r})\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{D} \mathrm{rot}(\mathbf{v})\mathrm{d}A</math>
+
 
+
Világos, hogy a D tartománynak egyszeresen összefüggőnek kell lennie ahhoz, hogy a G a határa legyen a D-nek. Ekkor csak a rotációt kell kiszámítanunk:
+
 
+
:<math>\mathrm{rot}\mathbf{v}=\frac{\partial u}{\partial y} - \left(-\frac{\partial v}{\partial x}\right)=0</math>
+
:<math>\mathrm{rot}\mathbf{w}=\frac{\partial v}{\partial y} - \frac{\partial u}{\partial x}=0</math>
+
 
+
Ami, a C-R-egyenletek miatt igaz.
+
 
+
===Goursat-lemma, Cauchy-féle integráltétel===
+
 
+
Goursat ennél is mélyebb eredményt talált:
+
 
+
 
+
'''Goursat-lemma'''. A T háromszöglapon reguláris ''f'' komplex függvény integrálja a háromszög határán nulla:
+
:<math>\oint\limits_{\partial T}f=0\,</math>
+
 
+
Innen már könnyen adódik a komplex analízis főtétele, melyet először Cauchy modott ki ugyan csak folytonosan diffható komplex függvényre, de Goursat ezt megfejelte a gyengített feltételével:
+
+
'''Főtétel.''' Ha a ''D'' tartományon egyszeresen összefüggő tartoányon reguláris az ''f'' komplex függvény, akkor a tartományban minden zárt G görbén a függvény integrálja nulla:
+
:<math>\oint\limits_{G} f=0\,</math>
+
  
 +
''(Útmutatás: használjuk a gyökkritériumot.)''
  
 +
:<math>\sqrt[n]{\left|1+\frac{i}{n}\right|^{n^4}}=\left|1+\frac{i}{n}\right|^{n^3}=\left(\sqrt{\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}}\right)^n\geq (1+\varepsilon)^n\to +\infty</math>
 +
Így a reciproka a 0-hoz tart, azaz a limszup < 1.
  
  
[[Kategória:Matematika A3]]
+
<center>
 +
{| class="wikitable" style="text-align:center"
 +
|- bgcolor="#efefef"
 +
|[[Matematika A3a 2008/5. gyakorlat |5. gyakorlat]]
 +
|}
 +
{| class="wikitable" style="text-align:center"
 +
|- bgcolor="#efefef"
 +
|[[Matematika A3a 2008/7. gyakorlat |7. gyakorlat]]
 +
|}
 +
</center>

A lap jelenlegi, 2016. március 21., 09:38-kori változata

<Matematika A3a 2008


Tartalomjegyzék

Komplex számkör és reprezentációi

A komplex számok C halmazát és műveleteit legalább három, lényegesen más szemszögből lehet láttatni. A meghatározottság kedvéért összefoglaljuk a komplex számok legfontosabb algebrai tulajdonságait. Nem térünk ki minden egyes műveleti tulajdonságra, ezek megtalálhatók a komplex számok algebráját leíró tankönyvekben.

Algebrai modell

A komplex számok olyan

a+b\mathrm{i}\,

alakú formális kifejezések, ahol a és b valós számok, i pedig azzal a speciális tulajdonsággal rendelkezik, hogy

\mathrm{i}^2=-1\,

A komplex számok halmazát a C szimbólummal jelöljük, tehát

z\in \mathbf{C}\quad\Leftrightarrow\quad z=a+bi\quad\quad(a,b\in \mathbf{R})

itt a-t a z valós részének nevezzük és Re(z)-vel jelöljük, b-t a z képzetes részének nevezzük és Im(z)-vel jelöljük. Világos, hogy Im(z) ∈ R, azaz "tiszta" valós.

Megjegyzés. A kevéssé informatív "formális kifejezés" helyett bevezethetjük a komplex számokat valódi algebrai objektumokként. A komplex számok halmazát egy a maradékos osztással rendelkező halmazból konstrulájuk: a valós együtthatós polinomok R[X] halmazából. Közismert, hogy a valósegyütthatós, egyhatározatlanú polinomokal, azaz a

a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n\,

alakú kifejezésekkel, ahol az ai-k valós számok, n pedig nemnegatív egész, lehet maradékosan osztani (polinomosztás). Ekkor

\mathbf{C}=_{\mathrm{def}}\mathbf{R}[X]/(x^2+1)

azaz a komplex számok halmaza a valósegyütthatós polinomok x2+1 polinommal történő osztási maradékai. Világos, hogy minden ilyen maradék előáll

m(x)=a+bx\,

alakban, azaz legfeljebb elsőfokú polinom alakjában. Ebben a számkörben az összeadás a polinomösszeadás, a szorzás a polinomok szorzása (illetve ezen eredményének x2+1-vel történő osztási maradéka). Amikor két elsőfokú polinom szorzata másodfokú, akkor sem lépünk ki a számkörből, hisz a

m(x)^2+1=0\,

polinomegyenlet megoldható, éspedig az m(x)=x polinom (az identitás) megoldás. Ekkor

m(x)^2=-1\,

azaz ebben a számkörben létezik a -1-nek négyzetgyöke. Az m(x)=x polinom az, mely az i egység szerepét játssza és így is jelöljük ezt ezentúl.


Akárcsak a legfeljebb elsőfokú a + bx alakú polinomok esetén, a C-t alkotó formális kifejezések között is értelmezhetjük az összeadást és a szorzást. Ezeket pontosan úgy definiáljuk, mint az a + bx alakú polinomok összegét és szorzatát, azzal a specialitással, hogy ahol a polinomok a szorzást követően másodfokúvá válnak, ott a komplex számok az i2=-1 egyenlőség miatt visszaérkeznek az a + bi alakú kifejezések körébe. Ezért lesz C zárt arra a szorzásra, amit a polinomok mintájára definiálunk.

Már innen is látszik, hogy a komplex számok halmaza kétdimenziós valós test feletti vektortér. Kimondhatjuk tehát:

Állítás. A C számkör a komplex számok

(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i összeadásával és a
λ(a+bi) = λa + λbi, a λ valós számmal való szorzással

kétdimenziós valós vektorteret alkotnak és így lineárisan izomorfak a valós számpárok R2 vektorterével.

Halmazelméleti modell

Az algebrai modellben nem teljesen világos, hogy mi is az i elem. Az előző állítás azonban lehetőséget biztosít arra, hogy konkrétan megadjuk a komplex számok halmazát mindenféle olyan kifejezés használata nélkül, mint "formális kifejezés" stb. (Valójában persze az algebrai modell is jól értelmezett módon adja meg a komplex számok halmazát, ha az a + bi alakú formális kifejezéseken az R[X] polinomgyűrűnek az (1+X2) polinommal történő maradékos osztásának maradékait értjük).

A számpár reprezentációban:

\mathbf{C}=\mathbf{R}^{2}\,

az összeadás az R2-beli vektorösszeadás, a szorzás, pedig a

(a+b\mathrm{i})(c+d\mathrm{i})=(ac-db)+(ad+bc)\mathrm{i}\,

művelet, mely természetesen a "polinomszorzásnak" az előző állításbeli izomorfizmus által létesített képe.

Ez az interpretáció azért fontos, mert explicitté teszi, hogy a C örökli az R2 topológiáját.

Geometriai modell

A szorzással együtt C egységelemes, nullosztómentes algebrát alkot (tehát vektortér és van egy mindkét változójában lineáris belső szorzás, melyben van egység és „nullával nem lehet osztani”). Felmerülhet a gyanúnk, hogy talán reprezentálhatjuk a komplex számokat a 2×2-es valós mátrixon M2×2 (R) algebrájának egy részalgebrájaként. Ezt a komplex számok trigonometrikus alakja segítségével tehetjük meg. Ismert, hogy a komplex számmal való szorzás forgatva nyújtás, azaz lineáris leképezés az R2 síkon:

\mathbf{C}\ni z=r\cdot(\cos\varphi+\mathrm{i}\sin\varphi)\;\equiv\;
\begin{pmatrix}
r\cos\varphi  & -r\sin\varphi\\
r\sin\varphi  & r\cos\varphi
\end{pmatrix}\in \mathrm{M}_{2\times 2}(\mathbf{R})

Világos, hogy ekkor az a + bi kanonikus alakot használva a komplex számoknak megfelelő mátrixok halmaza:

\left\{\begin{pmatrix}
a  & -b\\
b  & \;\;a
\end{pmatrix}\in\mathrm{M}_{2\times 2}(\mathbf{R}): a,b\in \mathbf{R}\right\}

Ez a mátrixhalmaz kétdimenziós altér az M2×2 (R) algebrában, melyet például a közvetve onnan is láthatjuk, hogy forgatva nyújtások is alteret alkotnak a lineáris leképezések terében.

Komplex számkör unicitása

C, azaz a komplex számok teste kétdimenziós valós vektortér. C elemei reprezentálhatók az R2 síkon, a következő megfeleltetésekkel:

\mathbf{C}\ni a+bi\equiv (a,b)\in \mathbf{R}^2

a vektortérműveletek pedig:

\mathbf{C}\ni (a+bi)+(c+di)\equiv (a,b)+(c,d)\in \mathbf{R}^2 vektorösszeadás (a, b, c, dR)
\mathbf{C}\ni \lambda\cdot(a+bi)\equiv \lambda.(a,b)\in \mathbf{R}^2 valós számmal való szorzás (λ, a, bR)

A komplex számok körét a komplex szorzás tulajdonságai egyértelműsítik. C nem csak kétdimenziós valós vektortér, de a szorzással algebra is, sőt C az egyetlen kétdimenziós kommutatív, nullosztómentes valós algebra -- izomorfizmus erejéig. Sok megjelenési formája lehet a komplex számoknak, de bármely két reprezentáció olyan, hogy található olyan kölcsönösen egyértelmű leképezés köztük, mely lineáris és megtartja a szorzást is (azaz algebra izomorfizmus).

A nullosztómentesség és a kommutativitás jellemzően a mátrixalgebrákban nemtriviális tulajdonság. A komplex számok olyan lineáris leképezéseknek felelnek meg, melyek mátrixa

\begin{pmatrix} 
a & -b\\
b & a
\end{pmatrix}

A komplex számok szorzása itt a mátrixszorzás.


C topológiája

R2 gömbi környezetei lesznek C gömbi környezetei. Általában, minden topologikus fogalom C-ben R2-re vezetünk vissza. Tehát, adott r > 0 valós számra és z0C számra:

\mathrm{B}_r(z_0)\;=\;\{z\in \mathbf{C}\mid |z-z_0|<r\}

az r sugarú z0 középpontú nyílt gömbi környezet. Itt a | . | abszolútérték helyett, mely a || . ||2 euklideszi norma, elvileg R2 bármelyik normája alkalmas lenne, hisz véges dimenziós normált térben minden norma ekvivalens, azaz ugyanazokat a nyílt halmazokat határozzák meg. Szokásos módon értelmezettek az előbb említett nyílt halmazok is. Ω ⊆ C nyílt, ha minden pontjával együtt, annak egy nyílt gömbi környezetét is tartalmazza:

\forall z\in \Omega\quad \exists r>0\quad \mathrm{B}_r(z)\subseteq \Omega

Egy AC halmaz belsején értjük azon pontok halmazát, melyeknek egy egész gömbi környezete benne van A-ban

\mathrm{int}(A)=\{z\in \mathbf{C}\mid  \exists r>0\quad \mathrm{B}_r(z)\subseteq A\}

Mivel R2-ben minden norma ekvivalens (ugyanazokat a nyílt halmazokat határozzák meg), ezért adott feladatokban tetszőleges, a feladathoz jól illeszkedő normát választhatunk. Topologikus szempontokból a komplex és R2-R2 függvények között a következő azonosítással élhetünk. Ha f: C\rightarrowC függvény, akkor z = x + iy, f(z)=u(x,y)+iv(x,y), ill.

f\equiv\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}

C kompaktifikálása

Kompakt egy K halmaz, ha teljesül rá, hogy akárhogy is fedjük le nyílt halmazok rendszerével, azok közül már véges sok halmaz is lefedi a K-t. Szimbolikusan:

K kompakt, ha minden (Ωi)i∈I halmazrendszerhez, melyre
  1. Ωi nyílt minden i∈I-re és
  2. K ⊆ U(Ωi)i∈I
létezik J ⊆ I véges indexhalmaz, hogy K ⊆ U(Ωi)i∈J

RN-ben egy halmaz pontosan akkor kompakt, ha korlátos és zárt. Tehát maga C nem kompakt, hisz nem korlátos (bár zárt). Viszont C egyetlen egy ponttal kibővítve már kompakttá tehető, ugyanis egy ideális pont hozzávételével C kölcsönösen egyértelmű és folytonos kapcsolatba hozható a gömbfelülettel, mely R3-ban kompakt. Ezt a sztereografikus projekcióval oldjuk meg.


A Riemann-gömb konstrukciójához vegyük az R3-ban az origó középponttú egységgömböt és gondoljunk úgy az [xy] síkra, mint a C komplex számsíkra. Az egységgömb pontjait a következő módon feleltetjük meg a komplex számoknak. Tekintsük a gömbön a (0,0,1) koordinátájú P pólust és egy a + bi komplex szám esetén az (a,b,0) pontot kössük össze P-vel egy e egyenes által. Ekkor az e egyetlen pontban metszi az egységgömböt, mely kijelöli az a + bi-nek megfelelő pontot. Ha az a + bi-nek megfeleltetett Riemann-gömbfelületbeli pont koordinátái (x,y,z), akkor ezek kapcsolata:

a+b\mathrm{i}=\frac{x+\mathrm{i}y}{1-z}\,

Megjegyzés. Ismerős geometriai leképezésre bukkanhatunk, ha a Riemann-gömbfelület egy (x,y,h) és (x,y,-h) pontjának megfelelő komplex számnak a kapcsolatát írjuk fel. Legyen ugyanis

z=\frac{x+\mathrm{i}y}{1-h}\, és w=\frac{x+\mathrm{i}y}{1+h}\,

Ekkor a z konjugáltját a w-vel összeszorozva azt kapjuk, hogy:

w\cdot \overline{z}=1\,

Amiből az következik, hogy a végpontok origótól vett távolságának a szorzata 1, azaz 1 a két szám hosszának mértani közepe. Ez viszont azt jelenti, hogy w nem más, mint a z inverziója az egységkörre vonakozóan és az inverziót kifejező komplex függvény a

w=\frac{1}{\,\overline{z}\,}\,

leképezés. Eszerint a reciprok-konjugált (de a reciprok is) egy origón át nem menő kört körbe, az origón átmenő kört egyenesbe, egy origón át nem haladó egyenes egy origón átmenő körbe és egy origón áthaladó egyenest saját magába képezi.


Ha tehát a C-hez hozzáveszünk egy ∞-nel jelölt objektumot, és ennek megfeleltetjük a P pólust, akkor a

\overline{\mathbf{C}}=\mathbf{C}\cup\{\infty\}\,

halmaz kölcsönösen egyértelmű megfeleltetésbe hozható a Riemann-gömbfelülettel. Ahhoz, hogy ennek folytonosságáról beszélhessünk, definiálnunk kell ∞ gömbi környezeteit. Ezek a következő alakú halmazok lesznek:

\mathrm{B}_r(\infty)=\left\{z\in \mathbf{C}: |z|>\frac{1}{r}\right\}\cup\{\infty\}\,

ahol r > 0.

Feladat. Igazoljuk, hogy CU{∞} kompakt (toplologikusan, ill. gyakorlásképpen sorozatkompakt)!

(Útmutatás: az elsőhöz az origó körüli zárt gömbök kompaktságát, a másodikhoz a Bolzano-Weierstrass-féle kiválasztási tételt kell használni (persze korlátos sorozatra).)

Ha CU{∞}-t lefedi egy nyílt halmazrendszer, akkor ∞-t is lefedi belőlük egy, mondjuk U. U lefedi az ∞ egy gömbi környezetét, mondjuk Br(∞)-t. Elegendő tehát tekintenünk CU{∞} lefedéséhez a halmazrendszerből az U-t és a Br(∞) komplementerét lefedő halmazokat. De ez utóbbiakból véges sok is van melyek még mindig lefedik, mert Br(∞) komplemetere a 0 középponttú 1/r sugarú zárt körlap, mely kompakt.

Komplex sorozatok

Minthogy CR2 (mint normált vektortér), a komplex sorozatok azon tulajdonságai, melyek a vektortérműveletekkel és az | . | ≡ || . ||2 euklideszi normával kapcsolatosak mind R2-ből ismertnek tekinthetők. A sorozatok konvergenciáját ugyanúgy definiáljuk, mint R2-ben:


\begin{matrix}
(z_n)\in\mathbf{C}^{\mathbf{Z}^+}\mbox{ konvergens }\\
\\
\Updownarrow\mathrm{def}\\
\\
\exists z\in \mathbf{C}\quad \forall \varepsilon\in\mathbf{R}^+\quad \exists N\in \mathbf{Z}^+\quad \forall n\in\mathbf{Z}^+ \quad(n> N\;\Rightarrow\;|z_n-z|<\varepsilon)
\end{matrix}

Ekkor a fenti z egyértelmű, és ez a sorozat határértéke (lim(zn))

A legfontosabb jellemzése tehát a konvergenciának az R2-ből kölcsönzött, a komponensekre vonatkozó kritérium:

Tétel – A C-beli (zn) = (an + ibn) sorozat konvergens akkor és csak akkor, ha

(an) konvergens és
(bn) konvergens.

Ekkor lim(zn) = lim(an) + i\cdotlim(bn)

Fontos látni a kapcsolatot a sorozathatárék és a függvényhatárérték között. Egy (ζn) komplex sorozat nem más, mint egy

\zeta: \mathbf{Z}^+\to \mathbf{C}

függvény. Ha Z-t komplex részhalmaznak gondoljuk (ahogy az is), akkor az egyetlen torlódási pontja a ∞. Ezért egy sorozatnak pontosan akkor létezik határértéke és ez a w szám, ha mint függvénynek létezik határértéke és az a w. Azaz:

\exists\lim\limits_{n\to \infty}z_n=w\in\overline{\mathbf{C}}\quad\Longleftrightarrow\quad\exists\lim\limits_{\infty}\zeta=w\in\overline{\mathbf{C}}

Ebből következik, hogy a függvényhatárértékre vonatkozó minden műveleti szabály öröklődik a sorozathatárértékre.

Nullsorozatok

A 0 komplex számhoz tartó sorozatok nullsorozatok. Az abszolútérték és a szorzás jó tulajdonságai miatt öröklődnek a valós sorozatok alábbi tulajdonságai.

Állítás – Legyen (zn) komplex számsorozat.

  1. abszolútérték: zn \to 0 akkor és csak akkor, ha |zn| \to 0
  2. eltolás: zn \to z akkor és csak akkor, ha (znz) \to 0
  3. "K  \cdot 0": ha (wn) korlátos és zn \to 0, akkor (wn \cdot zn) \to 0
  4. majoráns: ha (δn) \to 0 valós és |zn| < δn, akkor zn \to 0
  5. hányadoskritérium: ha \limsup\left|\frac{z_{n+1}}{z_n}\right|<1\,, akkor zn \to 0
  6. gyökkritérium: ha \limsup\sqrt[n]{|z_n|}<1\,, akkor zn \to 0


Ezek közül C-ben a legjellegzetesebb a "K  \cdot 0", hiszen ez azt állítja, hogy nem csak a λn.zn skalárral történő szorzás esetén igaz a "korlátos - nullához" tartó kritérium (mindkét változóban), hanem komplex szorzás is ilyen.


1. Feladat

\left(\frac{\sqrt{2}+i}{\sqrt{3n}}\right)^n\to ?

(Útmutatás: hivatkozzunk a "korlátos szor nullához tartó" kritériumra.)

\left(\frac{\sqrt{2}+i}{\sqrt{3n}}\right)^n=\left(\frac{\sqrt{2}+i}{\sqrt{3}}\right)^n\frac{1}{\sqrt{n^n}}

2. Feladat.

\frac{\sqrt[n]{n^3+2n}}{i+1}\to ?

ahol az n-edik gyök a valós számból vont valós gyök.

(Útmutatás: "i-telenítsük" a nevezőt.)

\frac{\sqrt[n]{n^3+2n}}{i+1}=\frac{(i-1)\sqrt[n]{n^3+2n}}{-1-1}=\frac{i\sqrt[n]{n^3+2n}-\sqrt[n]{n^3+2n}}{-2}\to \frac{1}{2}-\frac{1}{2}i

ugyanis

1\leftarrow\sqrt[n]{n}^3=\sqrt[n]{n^3}\leq\sqrt[n]{n^3+2n}\leq\sqrt[n]{n^3+\frac{n^3}{2}}=\sqrt[n]{\frac{3}{2}n^3}=\sqrt[n]{\frac{3}{2}}\sqrt[n]{n}^3\to 1


3. Feladat.

\left(\frac{n+i}{n}\right)^n\to ?

(Útmutatás: használjunk trigonometrikus alakot és hatványozzunk.)

\left(\frac{n+i}{n}\right)^n=\left(\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}\right)^n\cdot\left(\cos\left(n\,\mathrm{arc\,tg}\left(\frac{1}{n}\right)\right)+i\sin\left(n\,\mathrm{arc\,tg}\left(\frac{1}{n}\right)\right)\right)\to
\to \cos1+i\sin 1\,

Mert a szögfüggvények argumentumában lévő sorozat az 1-hez tart (pl L'Hospital-szabállyal majd átviteli elvvel ellenőrizhető), a első szorzó pedig az 1-ehez tart (rendőrelvvel). Az argumentumokban lévő értéket tertmészetesen radiánban kell venni: nem 1˚, hanem 1 rad.


Komplex sorok

Minden normált térben definiálhatók sorok és ezek konvergenciája, így C-ben is. Az (zn) sorozat

s_n=\sum\limits_{k=1}^n z_k

részletösszegeinek (sn) sorozatát a (zn) -ből képzett sornak nevezzük és ∑(zn)-nel jelöljük. Azt mondjuk, hogy a ∑(zn) sor konvergens és összege a w komplex szám, ha (zn) részletösszegeinek sorozata konvergens és határértéke w. Ekkor az összeget a

\sum\limits_{n=1}^{\infty}z_n

szimbólummal jelöljük.

Komponensek

Az egyik módja, hogy a komplex sorok konvergenciáját visszavezessük a valósokra, ha a komponenssorozatokat vesszük:

\sum(z_n)=\sum(x_n+iy_n)\,

esetén az összegeket elképzelve, azokból az i kiemelhető, így

\sum(z_n)=\sum(x_n)+i\sum(y_n)\,

ahol az összeget és a szorzást tagonként végezzük. Ekkor egy sor ponrosan akkor konvergens, ha mindkét komponense konvergens.

Cauchy-kritérium és abszolút konvergencia

Világos, hogy egy sor, mint részletösszegsorozat pontosan akkor konvergens, ha Cauchy-sorozat. Ez a Cauchy-kritérium sorokra.

Létezik az abszolút konvergencia fogalmai is. Egy sor abszolút konvergens, ha a tagjai abszolútértékéből képezett sorozat konvergens. Igaz az, hogy egy normált tér akkor és csak akkor teljes, ha minden abszolút konvergens sor konvergens benne. (És C teljes, mert minden Cauchy-sorozat konvergál benne, ami pont annak a módja, hogy belássuk az előbbi kritériumot.) Persze az előfordul a teljes terekben is, hogy konvergens sorozatok nem lesznek abszolút konvergensek.

Kritériumok az abszolút konvergenciára

Az abszolút konvergencia fenti kritériumából egy sor komplex sorokra vonatkozó kritérium adódik a valósból.

Tétel – Legyen (zn) komplex számsorozat.

  1. Szükséges kritérium: Ha ∑(zn) konvergens, akkor (zn) nulsorozat.
  2. Geometriai sor: ha |z| < 1, akkor \sum\limits_{(0)} (z^n) konvergens és az összege:
    \sum\limits_{n=0}^\infty z^n=\frac{1}{1-z}
  3. Összehasonlító kritérium: ha az ∑(rn) valós sor konvergens és |zn| ≤ rn majdnem minden n-re, akkor ∑(zn) abszolút konvergens (majoráns-kritérium). Ha az ∑(rn) pozitív valós sor divergens és rn ≤ |zn| m.m., akkor ∑(zn) divergens (minoráns-kritérium).
  4. p-edik hatvány próba: ha p > 1 valós, akkor a (\sum\limits_{1}\frac{1}{n^p}) valós sor konvergens.
    Ha 0 ≤ p ≤ 1, akkor a (\sum\limits_{1}\frac{1}{n^p}) valós sor divergens.
  5. Hányadoskritérium: ha \limsup\left|\frac{z_{n+1}}{z_n}\right|<1\,, akkor ∑(zn) abszolút konvergens. Ha a "liminf" > 1, akkor divergens
  6. Gyökkritérium: ha \limsup\sqrt[n]{|z_n|}<1\,, akkor ∑(zn) abszolút konvergens. Ha a "limsup" > 1, akkor divergens.


Megjegyezzük, hogy ha a gyökök és hányadosok sorozata konvergál, akkor ugyanahhoz a számhoz konvergálnak.


4. Konvergens-e illetve abszolút konvergens-e?

\sum\left(\frac{i^n}{n}\right)

5.

  1. Konvergens-e és mi a határértéke: \frac{n!}{n^n}i^n
  2. Konvergens-e \sum\left(\frac{n!}{n^n}i^n\right)
  3. Milyen z-re konvergens: \sum\left(\frac{n!}{n^n}z^n\right)

(Útmutatás: használjuk a hányadoskritériumot, vagy vizsgáljuk, hogy milyen rendben tartanak a végtelenhez az összetevősorozatok.)

\frac{\left|\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}i^{n+1}\right|}{\left|\frac{n!}{n^n}i^n\right|}=\frac{n+1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\cdot(n+1)}\to\frac{1}{e}<1

azaz 0-hoz tart-


6.

  1. Konvergens-e és mi a határértéke: \frac{1}{\left(1+\frac{i}{n}\right)^{n^4}}
  2. Konvergens-e \sum\left(\frac{1}{\left(1+\frac{i}{n}\right)^{n^4}}\right)
  3. Milyen z-re konvergens:\sum\left(\frac{1}{\left(1+\frac{i|z|}{n}\right)^{n^4}}\right)

(Útmutatás: használjuk a gyökkritériumot.)

\sqrt[n]{\left|1+\frac{i}{n}\right|^{n^4}}=\left|1+\frac{i}{n}\right|^{n^3}=\left(\sqrt{\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}}\right)^n\geq (1+\varepsilon)^n\to +\infty

Így a reciproka a 0-hoz tart, azaz a limszup < 1.


5. gyakorlat
7. gyakorlat
Személyes eszközök