Matematika A3a 2008/6. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→R-differenciálhatóság) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Példák) |
||
21. sor: | 21. sor: | ||
És persze, ha ''f'' differenciálható (értsd: totálisan differenciálhat, vagy valósan differenciálható), akkor parciálisan is deriválható, azaz a komponensfüggvényeinek az adott pontban léteznek a parciális deriváltjai, tehát felírható a Jacobi-mátrix. | És persze, ha ''f'' differenciálható (értsd: totálisan differenciálhat, vagy valósan differenciálható), akkor parciálisan is deriválható, azaz a komponensfüggvényeinek az adott pontban léteznek a parciális deriváltjai, tehát felírható a Jacobi-mátrix. | ||
====Példák==== | ====Példák==== | ||
− | Legyen ''w'' ∈ '''C''' tetszőlegesen rögzített és legyen | + | '''1.''' Legyen ''w'' ∈ '''C''' tetszőlegesen rögzített és legyen |
:<math>f(z)=w\cdot z</math> | :<math>f(z)=w\cdot z</math> | ||
− | Ekkor a komponensfüggvények: | + | Ekkor a komponensfüggvények (f valós és képzetes része): |
− | :<math>f(z)=f(x+iy)=(w_1+iw_2)\cdot (x+iy)=w_1x-w_2y+i(w_1y+w_2x)\equiv \begin{ | + | :<math>f(z)=f(x+iy)=(w_1+iw_2)\cdot (x+iy)=w_1x-w_2y+i(w_1y+w_2x)\equiv \begin{bmatrix} |
w_1x-w_2y\\ | w_1x-w_2y\\ | ||
w_1y+w_2x | w_1y+w_2x | ||
− | \end{ | + | \end{bmatrix}</math> |
− | :<math>\mathrm{J | + | És a derivált: |
+ | :<math>\mathrm{J}^{f}(z)=\begin{bmatrix} | ||
w_1 & -w_2\\ | w_1 & -w_2\\ | ||
w_2 & w_1 | w_2 & w_1 | ||
− | \end{ | + | \end{bmatrix} |
</math> | </math> | ||
− | + | Vegyük észre, hogy az imént kijött derivált éppen a ''w'' komplex szám mártixreprezentációja, hiszen általában egy ''z'' = ''a'' +' 'b''i komplex szám mátrixreprezentációja: | |
− | :<math>\ | + | :<math>[z]=\begin{bmatrix} |
+ | a & -b\\ | ||
+ | b & a | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
</math> | </math> | ||
− | + | a valós rész a főátlóban, a képzetes rész a -, + -szal a mellékátlóban van. Tehát: | |
− | :<math>\mathrm{J | + | :<math>\mathrm{J}^{f}(z)\in \mathbf{C}</math> |
− | + | '''2.''' | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ''f''(''z'') = ''z''<sup>2</sup> | |
Legyen ''z'' = ''x'' + i ''y''. Ekkor ''z''<sup>2</sup> = ''x''<sup>2</sup> - ''y''<sup>2</sup> +i(2''xy'') | Legyen ''z'' = ''x'' + i ''y''. Ekkor ''z''<sup>2</sup> = ''x''<sup>2</sup> - ''y''<sup>2</sup> +i(2''xy'') | ||
48. sor: | 50. sor: | ||
2x & -2y\\ | 2x & -2y\\ | ||
2y & 2x | 2y & 2x | ||
− | \end{pmatrix} | + | \end{pmatrix}</math> |
− | + | azaz amit kaptunk, pont a 2z szám mátrixreprezentációja: | |
− | + | :<math>\mathrm{J}^{f}(z)=[2z]\in\mathbf{C} | |
− | + | </math> | |
+ | '''3.''' Számítsuk ki az <math>\scriptstyle{f(z)=\overline{z}}</math> '''R'''-differenciálját! | ||
Ha ''z'' = ''x'' + i ''y'', akkor <math>\scriptstyle{\overline{z}=x-\mathrm{i}y}</math>, így: | Ha ''z'' = ''x'' + i ''y'', akkor <math>\scriptstyle{\overline{z}=x-\mathrm{i}y}</math>, így: | ||
59. sor: | 62. sor: | ||
0 & -1 | 0 & -1 | ||
\end{pmatrix}\not\in\mathbf{C} </math> | \end{pmatrix}\not\in\mathbf{C} </math> | ||
+ | azaz nem mátrixreprezentáció alakú a Jacobi-mátrix. Ám, azt jegyezzük meg, hogy az iménti leképezés lineáris (ez az x tengelyre vonatkozó tükrözés), tehát folytonos, sőt totálisan (végtelenszer) differenciálható és a valós deriváltja pont saját maga: | ||
+ | :<math>\mathrm{d}f(x,y)=f\,</math> | ||
+ | csak nem komplex számot reprezentál a Jacobi-mátrix. | ||
+ | |||
És ezzel már ki is mondhatjuk a ''Cauchy-Riemann-féle szükséges feltételt'': | És ezzel már ki is mondhatjuk a ''Cauchy-Riemann-féle szükséges feltételt'': |
A lap 2012. november 2., 19:51-kori változata
Tartalomjegyzék |
Differenciálhatóság
R-differenciálhatóság
Legyen f : C ⊃ C komplex függvény. Ekkor f azonosítható az
vektorértékű kétváltozós függvénnyel az
szerint (itt u és v kétváltozós valós függvények, rendre az f valós és képzetes része).
f abban az értelemen R-differenciálható, ahogy az (u,v):R2 R2 függvény differenciálható, azaz
Definíció -- Valós deriválhatóság -- Legyen g:R2 R2, x0∈IntDom(g). Ekkor a g differenciálható az x0 pontban, ha létezik olyan A: R2 R2 lineáris leképezés, melyre
ahol ||.|| tetszőleges norma (például az ||.||2=|.| komplex abszolútérték) R2-ben.
Ekkor a fenti A lineáris leképezés egyértelmű és a jelölése: dg(x0).
A df(x0,y0) leképezés sztenderd bázisban felírt koordinátamátrixát nevezzük Jacobi-mátrixnak, mely a következő. Ha f komponensfüggvényei: (x,y) f(x,y) = (u(x,y),v(x,y)), akkor
És persze, ha f differenciálható (értsd: totálisan differenciálhat, vagy valósan differenciálható), akkor parciálisan is deriválható, azaz a komponensfüggvényeinek az adott pontban léteznek a parciális deriváltjai, tehát felírható a Jacobi-mátrix.
Példák
1. Legyen w ∈ C tetszőlegesen rögzített és legyen
Ekkor a komponensfüggvények (f valós és képzetes része):
És a derivált:
Vegyük észre, hogy az imént kijött derivált éppen a w komplex szám mártixreprezentációja, hiszen általában egy z = a +' 'bi komplex szám mátrixreprezentációja:
a valós rész a főátlóban, a képzetes rész a -, + -szal a mellékátlóban van. Tehát:
2.
f(z) = z2
Legyen z = x + i y. Ekkor z2 = x2 - y2 +i(2xy)
azaz amit kaptunk, pont a 2z szám mátrixreprezentációja:
3. Számítsuk ki az R-differenciálját!
Ha z = x + i y, akkor , így:
azaz nem mátrixreprezentáció alakú a Jacobi-mátrix. Ám, azt jegyezzük meg, hogy az iménti leképezés lineáris (ez az x tengelyre vonatkozó tükrözés), tehát folytonos, sőt totálisan (végtelenszer) differenciálható és a valós deriváltja pont saját maga:
csak nem komplex számot reprezentál a Jacobi-mátrix.
És ezzel már ki is mondhatjuk a Cauchy-Riemann-féle szükséges feltételt:
- Annak a szükséges feltétele, hogy az f:R2 R2 R-differenciálható függvény differenciálja egy komplex szám mátrixreprezentációja legyen, az, hogy:
- és
C-differenciálhatóság
A fenti példa motiválja a C-differenciálhatóság fogalmát. Legyen a szituáció az előbbi, azaz legyen f(z) totálisan differenciálható (mint kétváltozós függvény) a z0 pontban és a Jacobi-mátrixa ott legyen a w ∈ C szám mátrixreprezentációja. Ekkor
Itt w(z-z0) egyfelől a mátrixszorzás, másfelől a komplex szorzás. Ekkor:
Ha h(z)=(z-z0)/|z-z0|, ami a komplex "egységgömbön" "futó" függvény, akkor a komplex szorzás tulajdonságai miatt:
Innen a következő gondolatunk támadhat. Teljesen az egyváltozós valós derivált tulajdonságait mutató deriváltfogalmat kapunk, ha bevezetődne a következő
Definíció - Komplex differenciálhatóság, komplex derivált - Legyen f a z0 egy környezetében értelmezett függvény. Azt mondjuk, hogy f C-deriválható z0-ban és deriváltja a w szám, ha
Most gondoljuk végig, hogy milyen kapcsolatban van az R'- és a C-deriválhatóság. Ha a fenti gondolamenetet felfelé nézzük, akkor a h(z) korlátossága miatt a "korlátos szor nullához" tartó függvényt kapunk, így a szorzat határértéke 0. Persze ehhez kellene a "korlátos szor nullához tartó" lemma komplex szorzásra.
Ha lefelé gondolkodunk, akkor indirekten kell eljárnunk. Tegyük fel, hogy a második tényező nem nulla határértékű. Amikor nem létezik, vagy nem az adott szám a határérték, akkor "cáfoló" sorozatot szoktunk megadni. Az átviteli elv miatt létezik olyan z(n) konvergens komplex sorozat, mely nem a 0-hoz tart. De a h(z(n)) ekkor az egységkörön van, így a szorzat biztosan "elerüli a nullát" (az abszolút értéke nem a 0-hoz tart). Következésképpen:
Tétel. A definícióbeli f pontosan akkor komplex differenciálható, ha differenciálható és a deriváltja komplex szám (mátrix reprezentációja). Továbbá f pontosan akkor komplex differenciálható, ha differenciálható és a parciális deriváltjai teljesítik a Cauchy-Riemann-egyenleteket.
Feladat. Komplex deriváljuk az f(z) = zn függvényt!
Feladat. Komplex deriválható-e: , vagy a ?
Feladat. Igazoljuk, hogy ha f korlátos komplex függvény a D ⊆ C halmazon és limwg = 0, akkor limw fg = 0. (w ∈ int D).
Elemi függvények
Hatványfüggvények
A
típusú függvények komplex hatványfüggvények. n ∈ Z esetén, komplex deriváltjuk kiszámítható, n ≠ -1 esetben komplex primitív függvényük is van a következő értelemben:
Mivel
ezért n ≠ -1 esetén az az F(z) függvény, melyre nem más, mint
ahol C komplex konstans. n ≠ -1-re nincs primitív függvénye, mert a logaritmus nem egyértékű a komplex számok között.
Komplex vonalintegrál értelmezhető a G: [a,b] C folytonos függvény, mint görbe esetén azzal a különlegességgel, hogy a szorzás a komplex szorzás:
Feltéve persze, hogy létezik és véges. Itt zi mindig a G görbe valamely pontját jelöli, amit az [a,b] egy felosztásának osztópontjainak G általi képeiből kapunk.
Ekkor fennáll a komplex Newton-Leibniz-formula. Ha a G görbe olyan nyílt halmazban halad, melyben az f-nek van primitív függvénye (egyértékű függvénye!) és f komplex integrálható, akkor z1 és z2 a végpontok esetén (a és b képe), a komplex integrál kiszámítható így:
Ha a görbe belép az f értelmezési tartományának olyan részére, melyben a függvénynek nincs egyértelmű primitív függvénye, akkor az integrál értéke függhet a G úttól.
1. Feladat. Legyen G a 3 középpontú, 1 sugarú kör felső félköre (pozitív irányítással). Számítsuk ki a
integrált.
2. Feladat. Legyen G az origó körüli 2 sugarú kör vonal. Mennyi az
- a) és a b)
integrál.
A hatványfüggvények inverzei szintén nem egyértékű függvények.
Exponenciális függvény
Ebbőkkiderül az exponenciális függvény sok tulajdonsága. Például, ha z = x + iy, akkor
Ebből rögtön következik, hogy komplex exponenciális függvény periodikus, periódusa a p = 2πi:
3. Feladat. Oldjuk meg az
egyenletet!
Írjuk át 1+i-t exponenciális alakba:
így
4. Feladat. Oldjuk meg az
egyenletet!
Komplex logaritmus és a reciprok integrálja
Tekintsük a
hozzárendelést! Ha w-t exponenciális alakban írjuk, megfeleltethetjük egymásnak a z algebrai alakját w trigonometrikus alakjával:
azaz
- és
Ebből is látható, hogy a fordított leképezés végtelen sok értkű, hiszen ha y1 = 2π + y, akkor w(x+iy)= w(x+iy1 ). Ekkor a Riemann-felület egy végtelen sok Riemann-levélből áll.
Feladat. Számítsuk ki az alábbi integrálokat:
ahol G1 az egységkör a + irányban i-től -i-ig, G2 az egységkör a - irányban i-től -i-ig.
ahol Log a logaritmus főrésze, hisz a görbe a egy Rieman-levélen belül marad, míg
mivel itt áthalad a görbe a következő Riemann-levélre.
Más számítással:
Trigonometikus függvények
Világos, hogy valós φ-re:
A hiperbolikus függvényekhez hasonlóan a trigonometrikus függvények is előállnak de a komplex exponenciális segítségével:
5. Feladat. Igazoljuk, hogy fennáll
6. Feladat. Oldjuk meg az
egyenletet!
Hiperbolikus függvények
7. Feladat. Határozzuk meg az w = sh(iz) függvény valós és képzetes részét!
Mo.
8. Feladat. G az egységkör. Számítsuk ki
Mo.