Matematika A3a 2008/6. gyakorlat

A MathWikiből

(Változatok közti eltérés)

Ugrás: navigáció, keresés

A lap 2013. október 23., 07:46-kori változata

_{<Matematika A3a 2008}

Tartalomjegyzék

1 C-differenciálhatóság
- 1.1 Harmonikus társ keresése
2 Komplex integrál
3 Cirkulációmentesség

C-differenciálhatóság

A komplex differenciálhatóság az előző észrevételekkel szoros kapcsolatban lesz. Egyfelől

$(w\cdot z)'=w\in \mathbf{C}$

$(z^2)'=2z\in \mathbf{C}$

mutaja, hogy ha a Jacobi-mártix hasonlóképpen viselkedik a komplex számok mátrixreprezentációjában, mint az egyváltozós valós derivált. Másrészt a

$(\overline{z})'=(\begin{smallmatrix} 1 & 0\\0 & -1\end{smallmatrix})\notin \mathbf{C}$

mutatja, hogy nem minden valósan deriválható függvény lesz komplex deriválható. Nézzük akkor az egyváltozós valós mintájára a definíciót majd lássuk a komplex differenciálhatóság jellemzését.

Definíció - Komplex differenciálhatóság, komplex derivált - Legyen f a z₀ egy környezetében értelmezett függvény. Azt mondjuk, hogy f C-deriválható z₀-ban és deriváltja a w szám, ha

$\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=w$

Jelölése: $f'(z 0)$ .

Azt, hogy az f a z₀-ban komplex deriválható még úgy is jelöljük, hogy

$f\in \mathrm{Diff}_{\mathbf{C}}(z_0)$ .

Pontbeli deriváltra példa a következő.

Példa. Milyen n egész számokra deriválható a 0-ban az alábbi függvény?

$f(z)=\begin{cases}\overline{z}\cdot z^n, & z\ne 0\\ 0, & z=0 \end{cases}$

Mo. Ha n>0, akkor a különbségi hányados:

$\frac{\overline{z}\cdot z^n-0}{z-0}=\frac{\overline{z}\cdot z^n}{z}=\overline{z}\cdot z^{n-1}\to 0$ ha z $\to$ 0.

Ha n = 0, akkor

$\frac{\overline{z}-0}{z-0}=\frac{\overline{z}}{z}=e^{i(-2\varphi)}$

aminek nincs határértéke a 0-ban (az egységkörön mozog a végpont).

Ha n < 0, akkor

$\frac{\overline{z}z^n-0}{z-0}=\frac{\overline{z}}{z^{-n+1}}=\frac{\overline{z}}{z}\frac{1}{z^{-n}}$

ami a 0-ban a komplex végtelenbe tart, mert a hossza a végtelenbe tart.

Tehát n > 0-ra a függvény komplex deriválható a 0-ban, más n < 1-re nem deriválható.

Tétel. - A komplex differenciálhatóság jellemzése - Legyen f a z₀ = x₀ + iy₀ egy környezetében értelmezett függvény. Ekkor az alábbiak ekvivalensek:

1) $f\in \mathrm{Diff}_{\mathbf{C}}(z_0)$

2) $f\in \mathrm{Diff}_{\mathbf{R}}(x_0,y_0)$ és $[\mathrm{d}f(x_0,y_0)]\in\mathbf{C}$ .

Bizonyítás. Legyen f a z₀ = x₀ + iy₀ egy környezetében értelmezett függvény és w' komplex szám. Tekintsük a következő határértéket:

$\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)-w\cdot (z-z_0)}{|z-z_0|}=0$

Ha ez létezik, akkor ekvivalens a következővel:

$\lim\limits_{z\to z_0}\left|\frac{f(z)-f(z_0)}{|z-z_0|}-\frac{w\cdot (z-z_0)}{|z-z_0|}\right|=0$

Azaz

$\lim\limits_{z\to z_0}\left|\frac{z-z_0}{|z-z_0|}\left(\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-w\right)\right|=0$

Itt (z-z₀)/|z-z₀| a komplex egységkörön "futó" függvény, ezért a fenti ekvivalnes a következővel:

$\lim\limits_{z\to z_0}\left|\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-w\right|=0$

Ami viszont ugyanakkor igaz mint:

$\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=w$

Ha a következtetésben felfelé vizsgálódunk, tehát feltesszük a komplex deriválhatóságot ahol w a komplex derivált, akkor azt kapjuk, hogy a w mátrixreprezentációjával való mátrixszorzás alkalmas lineáris leképezés a valós derivált számára, azaz létezik [df(z₀)]=[w].

Másfelől, ha f valósan deriválható és a deriváltja a w komplex számot reprezentálja, akkor komplexen is deriválható.

Cauchy--Riemann-egyenletek A fenti tételben a [df(z)] ∈ C feltétel (természetesen a totális deriválhatóság esetén) ekvivalens az alábbiakkal. Ha f = u + iv és z = x +iy, akkor

$\begin{cases} \partial_xu=\partial_yv\\ \partial_yu=-\partial_x v \end{cases}$

Komplex deriváltfüggvény Ahol egy f komplex függvény komplex deriválható, ott a deriváltja:

$f'(z)=\partial_x u+\mathrm{i}\partial_xv=\partial_y v+\mathrm{i}\partial_xv=\partial_xu-\mathrm{i}\partial_yu=\partial_y v-\mathrm{i}\partial_yu$

Definíció - Regularitás - Az f komplex függvény reguláris a z pontban, ha f a z egy egész környezetén értelmezett, és a teljes környezetben komplex deriválható.

Feladat. Legyen f(x+iy)=|x|+i|y|. Hol komplex deriválható és hol reguláris f?

Feladat. Legyen $f (x + i y) = x 2 + i y 3$ . Hol komplex deriválható és hol reguláris f?

Harmonikus társ keresése

Azt mondjuk, hogy a kétszer differenciálható u=u(x,y) valós függvény harmonikus, ha

$u_{xx}''+u_{yy}''\equiv \Delta u\equiv 0\,$

itt Δ a Laplace-operátor (nem a Laplace-transzformátor!, hanem a vektoranalízisbeli vektormezőre Hesse-mátrix nyoma).

A C--R-egyenletek mutatják, hogy ha f=u+iv reguláris, akkor u és v harmonikus függvények. Ugyanis:

$u_x'=v_y'\,$ és

$v_x'=-u_y'\,$

De u és v Hesse-mátrixa is szimmetrikus, ezért:

$v_{yy}''=u_{xy}''=u_{yx}''=-v_{xx}''\,$

azaz

$\Delta v\equiv 0\,$ és fordítva.

Általában az a feladat, hogy ha adott u, akkor keressük az ő harmonikus társát, v-t, mellyel u+iv reguláris. Ha tehát adott u, akkor van F és G, hogy

$F=v_y'\,$

$G=-v_x'\,$

Ami az egzakt differenciálegynlet megoldásánál tanult parciális differenciálegyenlet megoldását igényli v-re, mint potenciálfüggvényre (ekkor f-et komplex pontenciálnak nevezzük, mármint a ( $v' x (x, y)$ , $v y'(x, y)$ ) síkbeli vektormező komplex pontenciáljának; a v valódi pontenciálja lenne. Ennek szükséges utánanézni máshol is!)

1.. Keressünk harmonikus párt az

$u=x^4+y^4-6x^2y^2\,$

függvényhez!

Mo. Van neki, ha Δ=0. Ezt ellenőrizni kell, majd az előző módszerrel megkeresi v-t, amivel u+iv reguláris.

Komplex integrál

Görbék a komplex síkon

Ha G:[a,b] $\to$ C, t $\mapsto$ z(t) folytonosan differenciálható, akkor G-t görbének nevezzük. (Esetleg a folytonos, véges sok helyen nem folytonosan differenciálható előbbi G-ket is görbéknek nevezzük.) A G görbe egyszerű, ha nem metszi át saját magát, azaz minden $t 1$ , $t 2$ -re, ha $z (t 1) = z (t 2)$ , akkor $t 1 = t 2$ . G zárt, ha $z (a) = z (b)$ . A görbe t-beli irányvektorán a

$\dot{z}(t)=\dot{x}(t)+\mathrm{i}\dot{y}(t)$

komplex számot értjük.

Példák

1. Legyen t∈[a,b]-re z(t) = x(t) + iy(t) olyan, hogy $x (t) = x 0 + w 1 t$ és $y (t) = y 0 + w 2 t$ , azaz $z (t) = z 0 + w t$ . Ekkor z(t) egy egyenes szakasz.

És ekkor:

$\dot{z}(t)=w$

2. Az origó középpontú R sugarú kör:

z (t) = R e i t

t∈[0,2π]

És ekkor

$\dot{z}(t)=R\mathrm{i}e^{\mathrm{i}t}$

hiszen

$\dot{z}(t)=R\dot{\cos(t)+\mathrm{i}\sin(t)}=-R\sin(t)+\mathrm{i}R\cos(t)=\mathrm{i}(R\mathrm{i}\sin(t)+R\cos(t))$

Komplex vonalmenti integrál

Definíció. Ha G:[a,b] $\to$ C görbe és f olyan komplex függvény, melyre Ran(G)⊆Dom(f), és f folytonos, akkor belátható, hogy létezik a

$\begin{matrix} \sum\limits_{i=1}^nf(\zeta_i)\cdot \Delta z_i & \longrightarrow & \int\limits_{G}f(z)\,\mathrm{d}z\\ & n\to \infty & \\ & \forall z_i\in G, \;\forall \zeta_i\in \Delta z_i &\\ & |\Delta z_i|\to 0 & \end{matrix}$

határérték, mely egy speciális Riemann-közelítőösszeg határértéke. Itt a görbén kijelöltük a véges sok $z i$ pontot, melyek a szigorúan monoton ( $t i$ )-khez tartoznak a $z i = z (t i)$ definícióval. Ezen $[z (t i), z (t i + 1)]$ görbeszakaszokon belül felvettük tetszőlegesen a ζ_i közbülső pontokat, és a Δz_i= $[z (t i), z (t i + 1)]$ szakaszokkal elkészítettük az f(ζ_i)Δz_i komplex szorzatokat. A határérték ezek görbére vett összegének határértéke. Ez a határérték az f függvény G-re vett komplex integrálja.

Visszavezetés valós vonalintegrálra. Az integrál kifejezhető vonalintegrállal. Ha ugyanis f= u + iv, akkor az f=(u,v) vektormezőnek olyan differenciálforma szerinti integrálja a komplex pályamenti integrál, mely az f=(u,v) vektor és a dz=(dx,dy) infinitezimális elmozdulásvektor komplex szorzásaként jön létre:

$\int\limits_{G}f(z)\mathrm{d}z = \int\limits_{G} u\mathrm{d}x-v\mathrm{d }y + i\int\limits_{G} u\mathrm{d}y+v\mathrm{d }x$

Ebben a felírásban az (u,-v) és (v,u) olyan segédvektormezők, melyek vonalintegráljai adják meg a komplex integrál valós és képzetes részét. Tehát az integrált a

$\mathbf{P}=\begin{pmatrix}u\\-v\end{pmatrix}$ és $\mathbf{Q}=\begin{pmatrix}v\\u\end{pmatrix}$

segédvektormezők síkbeli vonalintegráljai, vagy a

$\mathbf{P}'=\begin{pmatrix}-v\\-u\end{pmatrix}$ és $\mathbf{Q}'=\begin{pmatrix}u\\-v\end{pmatrix}$

segédvektormezők síkbeli felületi integráljai szolgáltatják.

Itt érdemes feleleveníteni, hogy az S = ( $s 1$ , $s 2$ ) síkvektormező felületi integrálja nem más, mint a ( $- s 2$ , $s 1$ ) vektormező vonalintegrálja (a megfelelő irányítással).

$\int\limits_{F} \mathbf{S}\,\mathrm{d}\mathbf{f}=\int\limits_{''F''} s_1 \mathrm{d}y-s_2\mathrm{d}x$

megfelelő módon irányítva az F felületet, ill ennek "F" görbe mivoltát.

(Azaz a s_2dx - s_1 dy differenciálforma integrálja. Differenciálforma -- nemes egyszerűséggel -- egy olyan kifejezése, ahol dx, dy, dz-k és egy vektormező komponensei vannak összeszorozva-összeadva.)

Kiszámítási formula. Belátható, hogy a fenti integrál a következőkkel egyenlő:

$\int\limits_{G}f(z)\mathrm{d}z=\int\limits_{a}^b f(z(t))\cdot \dot{z}(t)\,\mathrm{d}t$

Példa

1. Legyen G a komplex egységkör pozitívan irányítva.

$\int\limits_{|z|=1}\frac{1}{z}\mathrm{d}z=\int\limits_{0}^{2\pi} \frac{1}{e^{\mathrm{i}t}}\cdot \mathrm{i}e^{\mathrm{i}t}\,\mathrm{d}t=\int\limits_{0}^{2\pi} \mathrm{i}\,\mathrm{d}t=2\pi\mathrm{i}$

Ahol a valós Newton--Leibniz-formulát alkalmaztuk a komponensfüggvényekre.

2. Legyen G a z(t)=(1+2i)t, ahol t∈[0,1].

$\int\limits_{G}\overline{z}\mathrm{d}z=\int\limits_{0}^{1} (1-2\mathrm{i})t\cdot (1+2\mathrm{i})\,\mathrm{d}t=\int\limits_{0}^{1}5t\,\mathrm{d}t=\frac{5}{2}$

3. Legyen G a komplex egységkör felső fele, pozitívan irányítva.

$\int\limits_{|z|=1,\mathrm{Im}(z)\geq 0}\overline{z}^2\mathrm{d}z=\int\limits_{0}^{\pi}e^{-2\mathrm{i}t}\cdot \mathrm{i}e^{\mathrm{i}t}\,\mathrm{d}t=\int\limits_{0}^{\pi}e^{-\mathrm{i}t}\,\mathrm{d}t=1-(-1)=2$

Komplex Newton--Leibniz-formula

Ha az f komplex függvény, olyan, hogy van olyan komplex differenciálható F, melyre F'=f, akkor azt mondjuk, hogy a F az f primitív függvénye.

Komplex Newton--Leibniz-formula. Ha a nyílt halmazon értelmezett f komplex függvénynek primitív függvénye az F és f folytonos, akkor minden az f értelmezési tartományában haladó G:[a,b] $\to$ C görbére:

$\int\limits_{G}f(z)\,\mathrm{d}z=F(b)-F(a)$

Például:

4. Legyen $f(z)=\frac{1}{z^2}$ . Mi az egységkörre az integrálja?

$F(z)=-\frac{1}{z}$

primitívfüggvénye f-nek, ezért

$\int\limits_{|z|=1}\frac{1}{z^2}\,\mathrm{d}z=0$

hiszen zárt a görbe, azaz a pr. fv. a kezdő és végpontban ugyanannyi.

Cirkulációmentesség

Tétel. Ha a D tartományon értelmezett f függvénynek van primitív függvénye, akkor a körintegrál minden a D-ben haladó folytonosan differenciálható (ill. ilyenek véges összekapcsolásain) zárt görbén eltűnik:

$\oint f=0\,$

További információhoz akkor jutunk, ha a többváltozós analízis cirkuálciómentességi feltételeit vizsgáljuk. Ehhez a vissza kell vezetni a komplex integrált a vonalintegrálra.

Legyen f(z) = f(x,y) = u(x,y) + iv(x,y). Ekkor f felfogható R² $\supset\!\to$ R² függvényként, melynek vonalintegrálja a

$G:z(t)\equiv\mathbf{r}(t)=(x(t),y(t))\,$

vonal mentén:

$\int\limits_{G}f(z)\mathrm{d}z = \int\limits_{G} u\mathrm{d}x-v\mathrm{d }y + i\int\limits_{G} u\mathrm{d}y+v\mathrm{d }x$

amiben az

$\mathbf{v}=\begin{pmatrix}u\\-v\end{pmatrix}$ és $\mathbf{w}=\begin{pmatrix}v\\u\end{pmatrix}$

vektorterek integráljai szerepelnek.

Vagy kétdimenziós felületi integrálként:

$\mathbf{v}'=\begin{pmatrix}-v\\-u\end{pmatrix}$ és $\mathbf{w}'=\begin{pmatrix}u\\-v\end{pmatrix}$

Ugyanis a komplex vonalintegrált síkbeli felületi integrállá lehet alakítani:

$\int \mathbf{v}\mathrm{d}\mathbf{A}=\int \mathbf{v}\times\mathrm{d}\mathbf{r}=\int v_1 \mathrm{d}y-v_2\mathrm{d}x$

Gauss-tétel

Lássuk először Gauss-tételle, hogyan következtethetünk a körintegrál eltűnésére.

Gauss-tétel (R³-ra) Legyen v nyílt halmazon értelmezett C¹-függvény, V egyszeresen összefüggő, mérhető térrész és legyen ennek ∂V határa kifelé irányított felület. Ha V a határával együtt Dom(v)-ben van, akkor

$\oint\limits_{\partial V} \mathbf{v}\;\mathrm{d}\mathbf{A}=\int\limits_{V} \mathrm{div}\,\mathbf{v}\;\mathrm{d}V$

Az itt szereplő fogalmak közül néhányról beszélnünk kell.

Felület. Legyenek a φⁱ:D_i $\to$ R³ függvények folytonosan differenciálhatóak és injektívek int(D_i)-n, melyek mérhető tarományok R²-ben. Ha a képeik egymásba nem nyúlók, azaz int(φ_i(D_i)) ∩ int(φ_j(D_j)) üres, ha i ≠ j, és a képek uniója összefüggő halmaz, akkor U Ran(φⁱ)-t előállítottuk paraméteres felületként.

Példaként említhetjük a kúp paraméterezését:

$\mathbf{r}_1(\varphi, h)=\left\{\begin{matrix} h\sin\vartheta\cos \varphi\\ h\sin\vartheta\sin\varphi\\ h\end{matrix}\right.$ , ha φ ∈ [0,2π] és h ∈ [0,H]

$\mathbf{r}_2(\varphi, h)=\left\{\begin{matrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi \\ H\end{matrix}\right.$ , ha φ ∈ [0,2π] és r ∈ [0,R]

ahol H a kúp magassága, R az alapkörsugara, θ a félkúpszöge (z a tengelye, O a csúcsa). Tehát itt a paramétertartományok [0,2π] × [0,H] és [0,2π] × [0,R].

C¹-ség. Ez azért kell, mert a térfogati integrált a D paramétertartományon a

$\int\limits_{V} \mathrm{div}\,\mathbf{v}\;\mathrm{d}V=\int\limits_{\mathbf{r}^{-1}(V)}\mathrm{div}\,\mathbf{v}(\mathbf{r}(u,v,w))|\mathrm{J}^{\mathbf{r}}(u,v,w)|\;\mathrm{d}u\mathrm{d}v\mathrm{d}w$

képlettel számoljuk és ahhoz, hogy ez lézetten, ahhoz pl az kell, hogy ne csak az r = r(u,v,w) legyen folytonosan diff.-ható, de a divergencia is folytonos legyen.

Egyszeresen összefüggő tartomány. A G₁: [a,b] $\to$ R³ és a G₂: [a,b] $\to$ R³ görbék homotópak, ha létezik olyan F: [0,1] × [a,b] $\to$ R³ folytonos függvény, hogy F(0,.) ≡ G₁ és F(1,.) ≡ G₂.Ez gyakorlatilag azt jelenti, hogy a G₁ a G₂-be folytonos transzformációval átvihető. Egyszeresen összefüggő egy tartomány, ha benne minden zárt görbe homotóp a konstans görbével.

Az egyszeres összefüggőség lényeges feltétel. Gondoljunk a v(r) = r/r³ vektortérre. Ennek divergenciája 0, de az origó körüli zárt gömbfelület integrálja 4π.

Gauss-tétel (R²-re) Legyen D egyszeresen összefüggő, mérhető síktartomány és legyen G ≡ r(t) ennek határát paraméterező zárt görbe. Ha v folytonosan R-differenciálható a D lezártján, akkor

$\oint\limits_{G} \mathbf{v}(\mathbf{r})\mathrm{d}\mathbf{A}=\int\limits_{D} \mathrm{div}\,(\mathbf{v})\mathrm{d}A$

Így tehát a komplex vonalintegrál kiszámításához csak a v ' és w ' felületi integrálját kell kiszámítanunk, amihez a Gauss-tétel miatt beli divergenciákat kell kiszámítanunk:

$\mathrm{div}\mathbf{v}'=-\frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}=0$

$\mathrm{div}\mathbf{w}'=\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial v}{\partial y}=0$

Ami, a C-R-egyenletek miatt igaz.

Innen

$\int\limits_{G}f(z)\mathrm{d}z=0$

Stokes-tétel

Nézzük meg Stokes-tétellel is a bizonyítást.

Stokes-tétel (R³-ra) Legyen a nyílt halmazon értelmezett v vektorfüggvény folytonosan differenciálható, a Dom(v)-beli F felület pereme legyen a szintén Dom(v)-beli G zárt, F-nek megfelelően irányított görbe. Ekkor

$\oint\limits_{G} \mathbf{v}(\mathbf{r})\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{F} \mathrm{rot}(\mathbf{v})\mathrm{d}\mathbf{F}$

A térbeli cirkulációmentességre vonatkozó nevezetes tétel ezzel a tétellel kapcsoltos. Ebben az esetben, bár az egyszeres összefüggőség nincs megkötve Dom(v)-re vonatkozólag, előjön a következményében:

Következmény. Ha az egyszeresen összefűggő D nyílt halmazon értelmezett v vektortér folytonosan differenciálható, akkor az alábbi három kijelentés ekvivaléens egymással:

rot v eltűnik D-n.
minden D-ben haladó zárt görbén a v körintegrálja nulla
létezik v-nek D-n potenciálja, azaz olyan Φ : D $\to$ R³ függvény, melyre grad Φ = v.

Itt az egyszeres összefüggőség azért kell, mert annyit biztosan tudunk, hogy ilyen esetben a zárt görbéhez található olyan felület, mely a tartományban halad és pereme a görbe.

Stokes-tétel (R²-re) Legyen a D síkbeli felület határán a G zárt görbe ( r(t) ). Ha v folytonosan R-differenciálható, akkor

$\oint\limits_{G} \mathbf{v}(\mathbf{r})\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{D} \mathrm{rot}(\mathbf{v})\mathrm{d}A$

Világos, hogy a D tartománynak egyszeresen összefüggőnek kell lennie ahhoz, hogy a G a határa legyen a D-nek. Ekkor csak a rotációt kell kiszámítanunk:

$\mathrm{rot}\mathbf{v}=\frac{\partial u}{\partial y} - \left(-\frac{\partial v}{\partial x}\right)=0$

$\mathrm{rot}\mathbf{w}=\frac{\partial v}{\partial y} - \frac{\partial u}{\partial x}=0$

Ami, a C-R-egyenletek miatt igaz.

Goursat-lemma, Cauchy-féle integráltétel

Goursat ennél is mélyebb eredményt talált:

Goursat-lemma. A T háromszöglapon reguláris f komplex függvény integrálja a háromszög határán nulla:

$\oint\limits_{\partial T}f=0\,$

Innen már könnyen adódik a komplex analízis főtétele, melyet először Cauchy modott ki ugyan csak folytonosan diffható komplex függvényre, de Goursat ezt megfejelte a gyengített feltételével:

Főtétel. Ha a D tartományon egyszeresen összefüggő tartoányon reguláris az f komplex függvény, akkor a tartományban minden zárt G görbén a függvény integrálja nulla:

$\oint\limits_{G} f=0\,$