Matematika A3a 2008/6. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(C-differenciálhatóság)
98. sor: 98. sor:
  
 
''Mo.'' Van neki, ha Δ=0. Ezt ellenőrizni kell, majd az előző módszerrel megkeresi v-t, amivel u+iv reguláris.
 
''Mo.'' Van neki, ha Δ=0. Ezt ellenőrizni kell, majd az előző módszerrel megkeresi v-t, amivel u+iv reguláris.
 
==Komplex integrál==
 
 
===Görbék a komplex síkon===
 
 
Ha ''G'':[''a'',''b'']<math>\to</math>'''C''', ''t''<math>\mapsto</math>''z''(''t'') folytonosan differenciálható, akkor ''G''-t görbének nevezzük. (Esetleg a folytonos, véges sok helyen nem folytonosan differenciálható előbbi ''G''-ket is görbéknek nevezzük.) A ''G'' görbe ''egyszerű'', ha nem metszi át saját magát, azaz minden <math>t_1</math>, <math>t_2</math>-re, ha <math>z(t_1)=z(t_2)</math>, akkor <math>t_1=t_2</math>. ''G'' zárt, ha <math>z(a)=z(b)</math>. A görbe ''t''-beli irányvektorán a
 
:<math>\dot{z}(t)=\dot{x}(t)+\mathrm{i}\dot{y}(t)</math>
 
komplex számot értjük.
 
 
====Példák====
 
'''1.''' Legyen ''t''&isin;[a,b]-re ''z''(''t'') = ''x''(''t'') + i''y''(''t'') olyan, hogy <math>x(t)=x_0+w_1t</math> és <math>y(t)=y_0+w_2t</math>, azaz <math>z(t)=z_0+w t</math>. Ekkor ''z''(''t'') egy egyenes szakasz.
 
 
És ekkor:
 
:<math>\dot{z}(t)=w</math>
 
'''2.''' Az origó középpontú R sugarú kör:
 
:<math>z(t)=Re^{\mathrm{i}t}</math> ''t''&isin;[0,2&pi;]
 
És ekkor
 
:<math>\dot{z}(t)=R\mathrm{i}e^{\mathrm{i}t}</math>
 
hiszen
 
:<math>\dot{z}(t)=R\dot{\cos(t)+\mathrm{i}\sin(t)}=-R\sin(t)+\mathrm{i}R\cos(t)=\mathrm{i}(R\mathrm{i}\sin(t)+R\cos(t))</math>
 
===Komplex vonalmenti integrál===
 
'''Definíció.''' Ha ''G'':[a,b]<math>\to</math>'''C''' görbe és f olyan komplex függvény, melyre Ran(G)&sube;Dom(f), és f folytonos, akkor belátható, hogy létezik a
 
 
:<math>\begin{matrix}
 
\sum\limits_{i=1}^nf(\zeta_i)\cdot \Delta z_i & \longrightarrow & \int\limits_{G}f(z)\,\mathrm{d}z\\
 
& n\to \infty & \\
 
& \forall z_i\in G, \;\forall \zeta_i\in \Delta z_i &\\
 
& |\Delta z_i|\to 0 & 
 
\end{matrix}</math>
 
határérték, mely egy speciális Riemann-közelítőösszeg határértéke. Itt a görbén kijelöltük a véges sok <math>z_i</math> pontot, melyek a szigorúan monoton (<math>t_i</math>)-khez tartoznak a <math>z_i=z(t_i)</math> definícióval. Ezen <math>[z(t_i),z(t_{i+1})]</math> görbeszakaszokon belül felvettük tetszőlegesen a &zeta;<sub>i</sub> közbülső pontokat, és a &Delta;z<sub>i</sub>=<math>[z(t_i),z(t_{i+1})]</math> szakaszokkal elkészítettük az f(&zeta;<sub>i</sub>)&Delta;z<sub>i</sub> komplex szorzatokat. A határérték ezek görbére vett összegének határértéke. Ez a határérték az f függvény ''G''-re vett komplex integrálja.
 
 
 
'''Kiszámítási formula.''' Belátható, hogy a fenti integrál a következőkkel egyenlő:
 
:<math>
 
\int\limits_{G}f(z)\mathrm{d}z=\int\limits_{a}^b f(z(t))\cdot \dot{z}(t)\,\mathrm{d}t</math>
 
 
===Példa===
 
'''1.''' Legyen ''G'' a komplex egységkör pozitívan irányítva.
 
:<math>\int\limits_{|z|=1}\frac{1}{z}\mathrm{d}z=\int\limits_{0}^{2\pi} \frac{1}{e^{\mathrm{i}t}}\cdot \mathrm{i}e^{\mathrm{i}t}\,\mathrm{d}t=\int\limits_{0}^{2\pi} \mathrm{i}\,\mathrm{d}t=2\pi\mathrm{i}</math>
 
Ahol a valós Newton--Leibniz-formulát alkalmaztuk a komponensfüggvényekre.
 
 
'''2.''' Legyen ''G'' a z(t)=(1+2i)t, ahol t&isin;[0,1].
 
:<math>\int\limits_{G}\overline{z}\mathrm{d}z=\int\limits_{0}^{1} (1-2\mathrm{i})t\cdot (1+2\mathrm{i})\,\mathrm{d}t=\int\limits_{0}^{1}5t\,\mathrm{d}t=\frac{5}{2}</math>
 
 
'''3.''' Legyen ''G'' a komplex egységkör felső fele, pozitívan irányítva.
 
:<math>\int\limits_{|z|=1,\mathrm{Im}(z)\geq 0}\overline{z}^2\mathrm{d}z=\int\limits_{0}^{\pi}e^{-2\mathrm{i}t}\cdot \mathrm{i}e^{\mathrm{i}t}\,\mathrm{d}t=\int\limits_{0}^{\pi}e^{-\mathrm{i}t}\,\mathrm{d}t=1-(-1)=2</math>
 
 
===Komplex Newton--Leibniz-formula===
 
Ha az f komplex függvény, olyan, hogy van olyan komplex differenciálható F, melyre F'=f, akkor azt mondjuk, hogy a F az f primitív függvénye.
 
 
'''Komplex Newton--Leibniz-formula.''' Ha a nyílt halmazon értelmezett f komplex függvénynek primitív függvénye az F és f folytonos, akkor minden az f értelmezési tartományában haladó ''G'':[a,b]<math>\to</math>'''C''' görbére:
 
:<math>\int\limits_{G}f(z)\,\mathrm{d}z=F(b)-F(a)</math>
 
 
Például:
 
 
'''4.''' Legyen <math>f(z)=\frac{1}{z^2}</math>. Mi az egységkörre az integrálja?
 
:<math>F(z)=-\frac{1}{z}</math>
 
primitívfüggvénye f-nek, ezért
 
:<math>\int\limits_{|z|=1}\frac{1}{z^2}\,\mathrm{d}z=0</math>
 
hiszen zárt a görbe, azaz a pr. fv. a kezdő és végpontban ugyanannyi.
 
 
''Bizonyitas.'' A vonalintegralra vonatkozo Newton--Leibniz-tetel (I. gradiens tetel) a kovetkezo. G vegpontjai: a es b.
 
:<math>\int\limits_{G}\mathrm{grad}\,\Phi\mathrm{d}\mathbf{r}=\Phi(b)-\Phi(a)</math>
 
 
:<math>\int\limits_{G}f(z)\mathrm{d}z = \int\limits_{G} u\mathrm{d}x-v\mathrm{d }y + i\int\limits_{G} u\mathrm{d}y+v\mathrm{d }x=</math>
 
:<math>=\int\limits_{G} u\mathrm{d}x-v\mathrm{d }y + i\int\limits_{G} v\mathrm{d }x+u\mathrm{d}y</math>
 
 
:<math>F=\Phi+i\Psi</math>
 
:<math>f=F'=\partial_x\Phi+i\partial_y(-\Phi)=u+vi</math>
 
:<math>f=F'=\partial_y(\Psi)+i\partial_x(\Psi)=u+vi</math>
 
:<math>\mathrm{grad}\,\Phi = (u,-v)</math>
 
:<math>\mathrm{grad}\,\Psi = (v,u)</math>
 
 
:<math>=\int\limits_{G} u\mathrm{d}x-v\mathrm{d }y + i\int\limits_{G} v\mathrm{d }x+u\mathrm{d}y=\Phi(b)-\Phi(a)+i(\Psi(b)-\Psi(a))</math>
 
 
 
==Cirkulációmentesség==
 
 
'''Visszavezetés valós vonalintegrálra.'''
 
Az integrál kifejezhető vonalintegrállal. Ha ugyanis f= u + iv, akkor az f=(u,v) vektormezőnek olyan differenciálforma szerinti integrálja a komplex pályamenti integrál, mely az f=(u,v) vektor és a dz=(dx,dy) infinitezimális elmozdulásvektor komplex szorzásaként jön létre:
 
:<math>\int\limits_{G}f(z)\mathrm{d}z = \int\limits_{G} u\mathrm{d}x-v\mathrm{d }y + i\int\limits_{G} u\mathrm{d}y+v\mathrm{d }x</math>
 
Ebben a felírásban az (u,-v) és (v,u) olyan segédvektormezők, melyek vonalintegráljai adják meg a komplex integrál valós és képzetes részét. Tehát az integrált a 
 
:<math>\mathbf{P}=\begin{pmatrix}u\\-v\end{pmatrix}</math> és <math>\mathbf{Q}=\begin{pmatrix}v\\u\end{pmatrix}</math>
 
segédvektormezők síkbeli '''vonalintegráljai''', vagy a
 
:<math>\mathbf{P}'=\begin{pmatrix}-v\\-u\end{pmatrix}</math> és <math>\mathbf{Q}'=\begin{pmatrix}u\\-v\end{pmatrix}</math>
 
segédvektormezők síkbeli '''felületi integráljai''' szolgáltatják.
 
 
Itt érdemes feleleveníteni, hogy az '''S''' = (<math>s_1</math>, <math>s_2</math>) síkvektormező felületi integrálja nem más, mint a (<math>-s_2</math>, <math>s_1</math>) vektormező vonalintegrálja (a megfelelő irányítással).
 
 
:<math>\int\limits_{F} \mathbf{S}\,\mathrm{d}\mathbf{f}=\int\limits_{''F''} s_1 \mathrm{d}y-s_2\mathrm{d}x</math>
 
megfelelő módon irányítva az F felületet, ill ennek "F" görbe mivoltát. 
 
 
(Azaz a s_2dx - s_1 dy differenciálforma integrálja. ''Differenciálforma'' -- nemes egyszerűséggel -- egy olyan kifejezése, ahol dx, dy, dz-k és egy vektormező komponensei vannak összeszorozva-összeadva.)
 
 
 
'''Tétel.''' Ha a ''D'' tartományon értelmezett ''f'' függvénynek van primitív függvénye, akkor a körintegrál minden a ''D''-ben haladó folytonosan differenciálható (ill. ilyenek véges összekapcsolásain) zárt görbén eltűnik:
 
:<math>\oint f=0\,</math>
 
 
További információhoz akkor jutunk, ha a többváltozós analízis cirkuálciómentességi feltételeit vizsgáljuk. Ehhez a vissza kell vezetni a komplex integrált a vonalintegrálra.
 
 
Legyen ''f''(''z'') = ''f''(''x'',''y'') = ''u''(''x'',''y'') + i''v''(''x'',''y''). Ekkor ''f'' felfogható '''R'''<sup>2</sup> <math>\supset\!\to</math> '''R'''<sup>2</sup> függvényként, melynek vonalintegrálja a
 
:<math>G:z(t)\equiv\mathbf{r}(t)=(x(t),y(t))\,</math>
 
vonal mentén:
 
:<math>\int\limits_{G}f(z)\mathrm{d}z = \int\limits_{G} u\mathrm{d}x-v\mathrm{d }y + i\int\limits_{G} u\mathrm{d}y+v\mathrm{d }x</math>
 
amiben az
 
:<math>\mathbf{v}=\begin{pmatrix}u\\-v\end{pmatrix}</math> és <math>\mathbf{w}=\begin{pmatrix}v\\u\end{pmatrix}</math>
 
vektorterek integráljai szerepelnek.
 
 
Vagy kétdimenziós felületi integrálként:
 
 
:<math>\mathbf{v}'=\begin{pmatrix}-v\\-u\end{pmatrix}</math> és <math>\mathbf{w}'=\begin{pmatrix}u\\-v\end{pmatrix}</math>
 
 
Ugyanis a komplex vonalintegrált síkbeli felületi integrállá lehet alakítani:
 
:<math>\int \mathbf{v}\mathrm{d}\mathbf{A}=\int \mathbf{v}\times\mathrm{d}\mathbf{r}=\int v_1 \mathrm{d}y-v_2\mathrm{d}x</math>
 
 
 
===Green-tétel===
 
 
Nehany topologiai fogalom.
 
 
Egy ''D'' nyilt halmaz '''C'''-ben egyszeresen osszefuggo, ha benne minden zart gorbe ''pontra deformalhato''.
 
Ez utobbi a kovetkezot jelenti. Azt mondjuk, hogy a &gamma;:[a,b]<math>\to</math>''D'' zart gorbe  a <math>z_0</math>  ''D''-beli pontra deformalhato a ''D'' tartomanyban, ha letezik olyan &Gamma;:[0,1]<math>\to</math> <math>D^{[a,b]}</math> gorbe erteku fuggveny, melyre &Gamma;(1)=&gamma;, &Gamma;(0)=<math>z_0</math> konstans gorbe es &Gamma; az [a,b] es <math>D^{[a,b]}</math> terek kozott hato folytonos lekepezes a szupremumnorma szerint.
 
 
''Csillagszeru'' egy ''H'' halmaz '''C'''-ben, ha van olyan ''H''-beli pont ''c'' pont, hogy barmely ''H''-beli ''z'' pontra a [''cz''] szakasz ''H''-ban van.
 
 
''Pelda.'' Egy csillagszeru tartomany egyszeresen osszefuggo, mert a csillagpontra valo [0,1]-beli aranyszammal parameterezett kozeppontos kicsinyites kepei alkotta parameteres gorbesereg ilyen.
 
 
Tetel:
 
 
:<math>\int_G Pdx+Qdy=\int_D\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}dxdy</math>
 
 
===Gauss-tétel===
 
Lássuk először Gauss-tételle, hogyan következtethetünk a körintegrál eltűnésére.
 
 
'''Gauss-tétel''' ('''R'''<sup>3</sup>-ra) Legyen '''v''' nyílt halmazon értelmezett C<sup>1</sup>-függvény, ''V'' egyszeresen összefüggő, mérhető térrész és legyen ennek &part;''V'' határa kifelé irányított felület. Ha ''V'' a határával együtt Dom('''v''')-ben van, akkor
 
:<math>\oint\limits_{\partial V} \mathbf{v}\;\mathrm{d}\mathbf{A}=\int\limits_{V} \mathrm{div}\,\mathbf{v}\;\mathrm{d}V</math>
 
 
Az itt szereplő fogalmak közül néhányról beszélnünk kell.
 
 
'''Felület.''' Legyenek a &phi;<sup>i</sup>:D<sub>i</sub> <math>\to</math> '''R'''<sup>3</sup> függvények folytonosan differenciálhatóak és injektívek int(''D''<sub>i</sub>)-n, melyek mérhető tarományok '''R'''<sup>2</sup>-ben. Ha a képeik egymásba nem nyúlók, azaz int(&phi;<sub>i</sub>(''D''<sub>i</sub>)) &cap; int(&phi;<sub>j</sub>(''D''<sub>j</sub>)) üres, ha ''i'' &ne; ''j'', és a képek uniója összefüggő halmaz, akkor U Ran(&phi;<sup>i</sup>)-t előállítottuk paraméteres felületként.
 
 
Példaként említhetjük a kúp paraméterezését:
 
 
:<math>\mathbf{r}_1(\varphi, h)=\left\{\begin{matrix} h\sin\vartheta\cos \varphi\\ h\sin\vartheta\sin\varphi\\ h\end{matrix}\right.</math>, ha &phi; &isin; [0,2&pi;] és ''h'' &isin; [0,''H'']
 
:<math>\mathbf{r}_2(\varphi, h)=\left\{\begin{matrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi \\ H\end{matrix}\right.</math>, ha &phi; &isin; [0,2&pi;] és ''r'' &isin; [0,''R'']
 
ahol H a kúp magassága, R az alapkörsugara, &theta; a félkúpszöge (z a tengelye, O a csúcsa). Tehát itt a paramétertartományok [0,2&pi;] &times; [0,''H''] és [0,2&pi;] &times; [0,''R''].
 
 
'''C<sup>1</sup>-ség'''. Ez azért kell, mert a térfogati integrált a ''D'' paramétertartományon a
 
:<math>\int\limits_{V} \mathrm{div}\,\mathbf{v}\;\mathrm{d}V=\int\limits_{\mathbf{r}^{-1}(V)}\mathrm{div}\,\mathbf{v}(\mathbf{r}(u,v,w))|\mathrm{J}^{\mathbf{r}}(u,v,w)|\;\mathrm{d}u\mathrm{d}v\mathrm{d}w</math>
 
képlettel számoljuk és ahhoz, hogy ez lézetten, ahhoz pl az kell, hogy ne csak az '''r''' = '''r'''(u,v,w) legyen folytonosan diff.-ható, de a divergencia is folytonos legyen.
 
 
'''Egyszeresen összefüggő tartomány.''' A G<sub>1</sub>: [a,b] <math>\to</math> '''R'''<sup>3</sup> és a G<sub>2</sub>: [a,b] <math>\to</math> '''R'''<sup>3</sup> görbék homotópak, ha létezik olyan ''F'': [0,1] &times; [a,b] <math>\to</math> '''R'''<sup>3</sup> folytonos függvény, hogy F(0,.) &equiv; G<sub>1</sub> és F(1,.) &equiv; G<sub>2</sub>.Ez gyakorlatilag azt jelenti, hogy a G<sub>1</sub> a G<sub>2</sub>-be folytonos transzformációval átvihető. Egyszeresen összefüggő egy tartomány, ha benne minden zárt görbe homotóp a konstans görbével.
 
 
Az egyszeres összefüggőség lényeges feltétel. Gondoljunk a '''v'''('''r''') = '''r'''/''r''<sup>3</sup> vektortérre. Ennek divergenciája 0, de az origó körüli zárt gömbfelület integrálja 4&pi;.
 
 
'''Gauss-tétel''' ('''R'''<sup>2</sup>-re) Legyen D egyszeresen összefüggő, mérhető síktartomány és legyen G &equiv; '''r'''(t) ennek határát paraméterező zárt görbe. Ha '''v''' folytonosan '''R'''-differenciálható a D lezártján, akkor
 
:<math>\oint\limits_{G} \mathbf{v}(\mathbf{r})\mathrm{d}\mathbf{A}=\int\limits_{D} \mathrm{div}\,(\mathbf{v})\mathrm{d}A</math>
 
 
Így tehát a komplex vonalintegrál kiszámításához csak a '''v''' ' és '''w''' ' felületi integrálját kell kiszámítanunk, amihez a Gauss-tétel miatt beli divergenciákat kell kiszámítanunk:
 
:<math>\mathrm{div}\mathbf{v}'=-\frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}=0</math>
 
:<math>\mathrm{div}\mathbf{w}'=\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial v}{\partial y}=0</math>
 
Ami, a C-R-egyenletek miatt igaz.
 
 
Innen
 
:<math>\int\limits_{G}f(z)\mathrm{d}z=0</math>
 
 
===Stokes-tétel===
 
 
Nézzük meg Stokes-tétellel is a bizonyítást.
 
 
'''Stokes-tétel''' ('''R'''<sup>3</sup>-ra) Legyen a nyílt halmazon értelmezett '''v''' vektorfüggvény folytonosan differenciálható, a Dom('''v''')-beli F felület pereme legyen a szintén Dom('''v''')-beli G zárt, F-nek megfelelően irányított görbe. Ekkor 
 
:<math>\oint\limits_{G} \mathbf{v}(\mathbf{r})\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{F} \mathrm{rot}(\mathbf{v})\mathrm{d}\mathbf{F}</math>
 
 
A térbeli cirkulációmentességre vonatkozó nevezetes tétel ezzel a tétellel kapcsoltos. Ebben az esetben, bár az egyszeres összefüggőség nincs megkötve Dom('''v''')-re vonatkozólag, előjön a következményében:
 
 
'''Következmény.''' Ha az egyszeresen összefűggő ''D'' nyílt halmazon értelmezett '''v''' vektortér folytonosan differenciálható, akkor az alábbi három kijelentés ekvivaléens egymással:
 
# rot '''v''' eltűnik ''D''-n.
 
# minden ''D''-ben haladó zárt görbén a '''v''' körintegrálja nulla
 
# létezik '''v'''-nek ''D''-n potenciálja, azaz olyan &Phi; : ''D'' <math>\to</math> '''R'''<sup>3</sup> függvény, melyre grad &Phi; = '''v'''.
 
 
Itt az egyszeres összefüggőség azért kell, mert annyit biztosan tudunk, hogy ilyen esetben a zárt görbéhez található olyan felület, mely a tartományban halad és pereme a görbe.
 
 
'''Stokes-tétel''' ('''R'''<sup>2</sup>-re) Legyen a D síkbeli felület határán a G zárt görbe ( '''r'''(t) ). Ha '''v''' folytonosan '''R'''-differenciálható, akkor
 
:<math>\oint\limits_{G} \mathbf{v}(\mathbf{r})\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{D} \mathrm{rot}(\mathbf{v})\mathrm{d}A</math>
 
 
Világos, hogy a D tartománynak egyszeresen összefüggőnek kell lennie ahhoz, hogy a G a határa legyen a D-nek. Ekkor csak a rotációt kell kiszámítanunk:
 
 
:<math>\mathrm{rot}\mathbf{v}=\frac{\partial u}{\partial y} - \left(-\frac{\partial v}{\partial x}\right)=0</math>
 
:<math>\mathrm{rot}\mathbf{w}=\frac{\partial v}{\partial y} - \frac{\partial u}{\partial x}=0</math>
 
 
Ami, a C-R-egyenletek miatt igaz.
 
 
===Goursat-lemma, Cauchy-féle integráltétel===
 
 
Goursat ennél is mélyebb eredményt talált:
 
 
 
'''Goursat-lemma'''. A T háromszöglapon reguláris ''f'' komplex függvény integrálja a háromszög határán nulla:
 
:<math>\oint\limits_{\partial T}f=0\,</math>
 
 
Innen már könnyen adódik a komplex analízis főtétele, melyet először Cauchy modott ki ugyan csak folytonosan diffható komplex függvényre, de Goursat ezt megfejelte a gyengített feltételével:
 
 
'''Főtétel.''' Ha a ''D'' tartományon egyszeresen összefüggő tartoányon reguláris az ''f'' komplex függvény, akkor a tartományban minden zárt G görbén a függvény integrálja nulla:
 
:<math>\oint\limits_{G} f=0\,</math>
 
 
  
  
  
 
[[Kategória:Matematika A3]]
 
[[Kategória:Matematika A3]]

A lap 2013. október 31., 11:22-kori változata

<Matematika A3a 2008

C-differenciálhatóság

A komplex differenciálhatóság az előző észrevételekkel szoros kapcsolatban lesz. Egyfelől

(w\cdot z)'=w\in \mathbf{C}
(z^2)'=2z\in \mathbf{C}

mutaja, hogy ha a Jacobi-mártix hasonlóképpen viselkedik a komplex számok mátrixreprezentációjában, mint az egyváltozós valós derivált. Másrészt a

(\overline{z})'=(\begin{smallmatrix} 1 & 0\\0 & -1\end{smallmatrix})\notin \mathbf{C}

mutatja, hogy nem minden valósan deriválható függvény lesz komplex deriválható. Nézzük akkor az egyváltozós valós mintájára a definíciót majd lássuk a komplex differenciálhatóság jellemzését.

Definíció - Komplex differenciálhatóság, komplex derivált - Legyen f a z0 egy környezetében értelmezett függvény. Azt mondjuk, hogy f C-deriválható z0-ban és deriváltja a w szám, ha

\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=w

Jelölése: f'(z0).

Azt, hogy az f a z0-ban komplex deriválható még úgy is jelöljük, hogy

f\in \mathrm{Diff}_{\mathbf{C}}(z_0).

Pontbeli deriváltra példa a következő.

Példa. Milyen n egész számokra deriválható a 0-ban az alábbi függvény?

f(z)=\begin{cases}\overline{z}\cdot z^n, & z\ne 0\\
0, & z=0
\end{cases}

Mo. Ha n>0, akkor a különbségi hányados:

\frac{\overline{z}\cdot z^n-0}{z-0}=\frac{\overline{z}\cdot z^n}{z}=\overline{z}\cdot z^{n-1}\to 0 ha z \to 0.

Ha n = 0, akkor

\frac{\overline{z}-0}{z-0}=\frac{\overline{z}}{z}=e^{i(-2\varphi)}

aminek nincs határértéke a 0-ban (az egységkörön mozog a végpont).

Ha n < 0, akkor

\frac{\overline{z}z^n-0}{z-0}=\frac{\overline{z}}{z^{-n+1}}=\frac{\overline{z}}{z}\frac{1}{z^{-n}}

ami a 0-ban a komplex végtelenbe tart, mert a hossza a végtelenbe tart.

Tehát n > 0-ra a függvény komplex deriválható a 0-ban, más n < 1-re nem deriválható.

Tétel. - A komplex differenciálhatóság jellemzése - Legyen f a z0 = x0 + iy0 egy környezetében értelmezett függvény. Ekkor az alábbiak ekvivalensek:

1) f\in \mathrm{Diff}_{\mathbf{C}}(z_0)
2) f\in \mathrm{Diff}_{\mathbf{R}}(x_0,y_0) és [\mathrm{d}f(x_0,y_0)]\in\mathbf{C}.

Bizonyítás. Legyen f a z0 = x0 + iy0 egy környezetében értelmezett függvény és w komplex szám. Tekintsük a következő határértéket:

\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)-[w]\cdot (z-z_0)}{|z-z_0|}=0

ahol az z, z0, f(z), f(z0) mennyisegekre ugy tekintunk, mint vektorokra. Ez ekvivalens a következővel:

\lim\limits_{z\to z_0}\left|\frac{f(z)-f(z_0)}{|z-z_0|}-\frac{w\cdot (z-z_0)}{|z-z_0|}\right|=0

ahol az elobb emlitettek mar algebrai ertelemben komplex szamok, nem feltetlenul vektorok. Azaz

\lim\limits_{z\to z_0}\left|\frac{z-z_0}{|z-z_0|}\left(\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-w\right)\right|=0

Itt (z-z0)/|z-z0| a komplex egységkörön "futó" függvény, hossza 1, ezért a fenti ekvivalnes a következővel:

\lim\limits_{z\to z_0}\left|\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-w\right|=0

Ami viszont ugyanakkor igaz mint:

\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=w

Ha a következtetésben felfelé vizsgálódunk, tehát feltesszük a komplex deriválhatóságot ahol w a komplex derivált, akkor azt kapjuk, hogy a w mátrixreprezentációjával való mátrixszorzás alkalmas lineáris leképezés a valós derivált számára, azaz létezik [df(z0)]=[w].

Másfelől, ha f valósan deriválható és a deriváltja a w komplex számot reprezentálja, akkor komplexen is deriválható es komplex derivaltja pont w.

Cauchy--Riemann-egyenletek A fenti tételben a [df(z)] ∈ C feltétel (természetesen a totális deriválhatóság esetén) ekvivalens az alábbiakkal. Ha f = u + iv és z = x +iy, akkor

\begin{cases}
\partial_xu=\partial_yv\\
\partial_yu=-\partial_x v
\end{cases}

Komplex deriváltfüggvény Ahol egy f komplex függvény komplex deriválható, ott a deriváltja:

f'(z)=\partial_x u+\mathrm{i}\partial_xv=\partial_y v+\mathrm{i}\partial_xv=\partial_xu-\mathrm{i}\partial_yu=\partial_y v-\mathrm{i}\partial_yu

Definíció - Regularitás - Az f komplex függvény reguláris a z pontban, ha f a z egy egész környezetén értelmezett, és a teljes környezetben komplex deriválható.

Feladat. Legyen f(x+iy)=|x|+i|y|. Hol komplex deriválható és hol reguláris f?

Feladat. Legyen f(x + iy) = x2 + iy3. Hol komplex deriválható és hol reguláris f?


Harmonikus társ keresése

Azt mondjuk, hogy a kétszer differenciálható u=u(x,y) valós függvény harmonikus, ha

u_{xx}''+u_{yy}''\equiv \Delta u\equiv 0\,

itt Δ a Laplace-operátor (nem a Laplace-transzformátor!, hanem a vektoranalízisbeli vektormezőre Hesse-mátrix nyoma).

A C--R-egyenletek mutatják, hogy ha f=u+iv reguláris, akkor u és v harmonikus függvények. Ugyanis:

u_x'=v_y'\, és
v_x'=-u_y'\,

De u és v Hesse-mátrixa is szimmetrikus, ezért:

v_{yy}''=u_{xy}''=u_{yx}''=-v_{xx}''\,

azaz

\Delta v\equiv 0\, és fordítva.

Általában az a feladat, hogy ha adott u, akkor keressük az ő harmonikus társát, v-t, mellyel u+iv reguláris. Ha tehát adott u, akkor van F és G, hogy

F=v_y'\,
G=-v_x'\,

Ami az egzakt differenciálegynlet megoldásánál tanult parciális differenciálegyenlet megoldását igényli v-re, mint potenciálfüggvényre (ekkor f-et komplex pontenciálnak nevezzük, mármint a (v'x(x,y),vy'(x,y)) síkbeli vektormező komplex pontenciáljának; a v valódi pontenciálja lenne. Ennek szükséges utánanézni máshol is!)

1.. Keressünk harmonikus párt az

u=x^4+y^4-6x^2y^2\,

függvényhez!

Mo. Van neki, ha Δ=0. Ezt ellenőrizni kell, majd az előző módszerrel megkeresi v-t, amivel u+iv reguláris.

Személyes eszközök