Matematika A3a 2008/6. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(→Hatványfüggvények)
(→Elemi függvények)
25. sor: 25. sor:
  
 
A hatványfüggvények inverzei szintén nem egyértékű függvények.
 
A hatványfüggvények inverzei szintén nem egyértékű függvények.
 +
 +
===Exponenciális függvény===
 +
:<math>
 +
e^z=_{\mathrm{def}}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}\,</math>
 +
Ebbőkkiderül az exponenciális függvény sok tulajdonsága. Például, ha z = x + iy, akkor
 +
:<math>e^{x+iy}=e^x\cdot e^{iy}=e^x\cdot (\cos y + i\sin y)\,</math>
 +
Ebből rögtön következik, hogy komplex exponenciális függvény periodikus és periódusa az p = 2&pi;i:
 +
:<math>e^{z+2\pi i}=e^z\cdot e^{2\pi i}=e^x\cdot (\cos 2\pi + i\sin 2\pi)=e^z\,</math>
 +
  
  
  
 
[[Kategória:Matematika A3]]
 
[[Kategória:Matematika A3]]

A lap 2008. október 30., 12:16-kori változata

<Matematika A3a 2008

Elemi függvények

Hatványfüggvények

A

w=z^n\,

típusú függvények komplex hatványfüggvények. n ∈ Z esetén, komplex deriváltjuk kiszámítható, n ≠ -1 esetben komplex primitív függvényük is van a következő értelemben:

Mivel

(z^n)'=nz^{n-1}\,

ezért n ≠ -1 esetén az az F(z) függvény, melyre \scriptstyle{F'(z)=z^n} nem más, mint

F(z)=\frac{z^{n+1}}{n+1}+C\,

ahol C komplex konstans. n ≠ -1-re nincs primitív függvénye, mert a logaritmus nem egyértékű a komplex számok között.

Komplex vonalintegrál értelmezhető a G: [a,b] \to C folytonos függvény, mint görbe esetén azzal a különlegességgel, hogy a szorzás a komplex szorzás:

\int\limits_{G}f(z)\,\mathrm{d}z\,=_{\mathrm{def}}\lim\limits_{n \to \infty}\sum\limits_{i=1}^nf(z_i)\cdot\Delta z_i

Feltéve persze, hogy létezik és véges. Itt zi mindig a G görbe valamely pontját jelöli, amit az [a,b] egy felosztásának osztópontjainak G általi képeiből kapunk.

Ekkor fennáll a komplex Newton-Leibniz-formula. Ha z1 és z2 a G két végpontja (a és b képe), akkor a komplex integrál kiszámítható:

F(z_2)-F(z_1)=\int\limits_{G}f(z)\,\mathrm{d}z\,

Feladat. Legyen G a 3 középpontú, 1 sugarú kör felső félköre (pozitív irányítással). Számítsuk ki a

\int\limits_{G}3z^2+1\,\mathrm{d}z\,

integrált.

A hatványfüggvények inverzei szintén nem egyértékű függvények.

Exponenciális függvény

e^z=_{\mathrm{def}}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}\,

Ebbőkkiderül az exponenciális függvény sok tulajdonsága. Például, ha z = x + iy, akkor

e^{x+iy}=e^x\cdot e^{iy}=e^x\cdot (\cos y + i\sin y)\,

Ebből rögtön következik, hogy komplex exponenciális függvény periodikus és periódusa az p = 2πi:

e^{z+2\pi i}=e^z\cdot e^{2\pi i}=e^x\cdot (\cos 2\pi + i\sin 2\pi)=e^z\,
A lap eredeti címe: „http://wiki.math.bme.hu/index.php?title=Matematika_A3a_2008/6._gyakorlat&oldid=4405”