|
|
190. sor: |
190. sor: |
| :<math>\lim\limits_{t\to +\infty} f(t+0.i)=\lim\limits_{t\to +\infty} \frac{t^2}{t^2-1}= 1\,</math> | | :<math>\lim\limits_{t\to +\infty} f(t+0.i)=\lim\limits_{t\to +\infty} \frac{t^2}{t^2-1}= 1\,</math> |
| :<math>\lim\limits_{t\to +\infty} f(t.i)=\lim\limits_{t\to +\infty} \frac{-t^2}{t^2-1}= -1\,</math> | | :<math>\lim\limits_{t\to +\infty} f(t.i)=\lim\limits_{t\to +\infty} \frac{-t^2}{t^2-1}= -1\,</math> |
− | ==Differenciálhatóság==
| |
− | ==='''R'''-differenciálhatóság===
| |
− | Legyen ''f'' : '''C''' ⊃<math>\to</math> '''C''' komplex függvény. Ekkor ''f'' azonosítható az
| |
− | :<math>f\equiv \begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}:\mathbf{R}^2\supset\to\mathbf{R}^2</math>
| |
− | vektorértékű kétváltozós függvénnyel az
| |
− | :<math>f(z)=f(x+iy)\equiv u(x,y)+iv(x,y)\,</math>
| |
− | szerint (itt ''u'' és ''v'' kétváltozós valós függvények, rendre az ''f'' valós és képzetes része).
| |
| | | |
− | ''f'' abban az értelemen '''R'''-differenciálható, ahogy az (''u'',''v''):'''R'''<sup>2</sup> <math>\supset\to</math> '''R'''<sup>2</sup> függvény differenciálható, azaz
| |
− |
| |
− | '''Definíció''' -- Valós deriválhatóság -- Legyen ''g'':'''R'''<sup>2</sup> <math>\supset\to</math> '''R'''<sup>2</sup>, ''x''<sub>0</sub>∈IntDom(g). Ekkor a ''g'' differenciálható az ''x''<sub>0</sub> pontban, ha létezik olyan ''A'': '''R'''<sup>2</sup> <math>\to</math> '''R'''<sup>2</sup> lineáris leképezés, melyre
| |
− | :<math>\exists \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)-A(x-x_0)}{||x-x_0||}=0</math>
| |
− | ahol ||.|| tetszőleges norma (például az ||.||<sub>2</sub>=|.| komplex abszolútérték) '''R'''<sup>2</sup>-ben.
| |
− |
| |
− | Ekkor a fenti ''A'' lineáris leképezés egyértelmű és a jelölése: d''g''(''x''<sub>0</sub>). Azt, hogy a g valósan differenciálható (totálisan differenciálható) az ''x''<sub>0</sub>-ban, még úgy is jelöljük, hogy
| |
− | :<math>g\in \mathrm{Diff}_{\mathbf{R}}(x_0)</math>.
| |
− |
| |
− | A d''f''(''x''<sub>0</sub>,''y''<sub>0</sub>) leképezés sztenderd bázisban felírt koordinátamátrixát nevezzük Jacobi-mátrixnak, mely a következő. Ha f komponensfüggvényei: (x,y) <math>\mapsto</math> f(x,y) = (u(x,y),v(x,y)), akkor
| |
− | :<math>\mathrm{J}^g(x_0,y_0)=[\mathrm{d}f(x_0,y_0)]=\begin{bmatrix}\partial_x u & \partial_y u \\\partial_x v & \partial_y v\end{bmatrix}(x_0,y_0) </math>
| |
− | És persze, ha ''f'' differenciálható (értsd: totálisan differenciálhat, vagy valósan differenciálható), akkor parciálisan is deriválható, azaz a komponensfüggvényeinek az adott pontban léteznek a parciális deriváltjai, tehát felírható a Jacobi-mátrix.
| |
− | ====Példák====
| |
− | '''1.''' Legyen ''w'' ∈ '''C''' tetszőlegesen rögzített és legyen
| |
− | :<math>f(z)=w\cdot z</math>
| |
− | Ekkor a komponensfüggvények (f valós és képzetes része):
| |
− | :<math>f(z)=f(x+iy)=(w_1+iw_2)\cdot (x+iy)=w_1x-w_2y+i(w_1y+w_2x)\equiv \begin{bmatrix}
| |
− | w_1x-w_2y\\
| |
− | w_1y+w_2x
| |
− | \end{bmatrix}</math>
| |
− | És a derivált:
| |
− | :<math>\mathrm{J}^{f}(z)=\begin{bmatrix}
| |
− | w_1 & -w_2\\
| |
− | w_2 & w_1
| |
− | \end{bmatrix}
| |
− | </math>
| |
− | Vegyük észre, hogy az imént kijött derivált éppen a ''w'' komplex szám mártixreprezentációja, hiszen általában egy ''z'' = ''a'' +' 'b''i komplex szám mátrixreprezentációja:
| |
− | :<math>[z]=\begin{bmatrix}
| |
− | a & -b\\
| |
− | b & a
| |
− | \end{bmatrix}
| |
− | </math>
| |
− | a valós rész a főátlóban, a képzetes rész a -, + -szal a mellékátlóban van. Tehát:
| |
− | :<math>\mathrm{J}^{f}(z)\in \mathbf{C}</math>
| |
− | '''2.'''
| |
− |
| |
− | ''f''(''z'') = ''z''<sup>2</sup>
| |
− |
| |
− | Legyen ''z'' = ''x'' + i ''y''. Ekkor ''z''<sup>2</sup> = ''x''<sup>2</sup> - ''y''<sup>2</sup> +i(2''xy'')
| |
− | :<math>\mathrm{J}_\mathbf{R}^f(x,y)=\begin{pmatrix}
| |
− | 2x & -2y\\
| |
− | 2y & 2x
| |
− | \end{pmatrix}</math>
| |
− | azaz amit kaptunk, pont a 2z szám mátrixreprezentációja:
| |
− | :<math>\mathrm{J}^{f}(z)=[2z]\in\mathbf{C}
| |
− | </math>
| |
− |
| |
− | '''3.''' Számítsuk ki az <math>\scriptstyle{f(z)=\overline{z}}</math> '''R'''-differenciálját!
| |
− |
| |
− | Ha ''z'' = ''x'' + i ''y'', akkor <math>\scriptstyle{\overline{z}=x-\mathrm{i}y}</math>, így:
| |
− | :<math>\mathrm{J}^{\overline{z}}_{\mathbf{R}}(z)=\begin{pmatrix}
| |
− | 1 & 0\\
| |
− | 0 & -1
| |
− | \end{pmatrix}\not\in\mathbf{C} </math>
| |
− | azaz nem mátrixreprezentáció alakú a Jacobi-mátrix. Ám, azt jegyezzük meg, hogy az iménti leképezés lineáris (ez az x tengelyre vonatkozó tükrözés), tehát folytonos, sőt totálisan (végtelenszer) differenciálható és a valós deriváltja pont saját maga:
| |
− | :<math>\mathrm{d}f(x,y)=f\,</math>
| |
− | csak nem komplex számot reprezentál a Jacobi-mátrix.
| |
− |
| |
− | =='''C'''-differenciálhatóság==
| |
− | A komplex differenciálhatóság az előző észrevételekkel szoros kapcsolatban lesz. Egyfelől
| |
− | :<math>(w\cdot z)'=w\in \mathbf{C}</math>
| |
− | :<math>(z^2)'=2z\in \mathbf{C}</math>
| |
− | mutaja, hogy ha a Jacobi-mártix hasonlóképpen viselkedik a komplex számok mátrixreprezentációjában, mint az egyváltozós valós derivált. Másrészt a
| |
− | :<math>(\overline{z})'=(\begin{smallmatrix} 1 & 0\\0 & -1\end{smallmatrix})\notin \mathbf{C}</math>
| |
− | mutatja, hogy nem minden valósan deriválható függvény lesz komplex deriválható. Nézzük akkor az egyváltozós valós mintájára a definíciót majd lássuk a komplex differenciálhatóság jellemzését.
| |
− |
| |
− | '''Definíció''' - ''Komplex differenciálhatóság, komplex derivált'' - Legyen ''f'' a ''z''<sub>0</sub> egy környezetében értelmezett függvény. Azt mondjuk, hogy ''f'' '''C'''-deriválható ''z''<sub>0</sub>-ban és deriváltja a ''w'' szám, ha
| |
− | :<math>\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=w</math>
| |
− |
| |
− | Jelölése: <math>f'(z_0)</math>.
| |
− |
| |
− | Azt, hogy az f a ''z''<sub>0</sub>-ban komplex deriválható még úgy is jelöljük, hogy
| |
− | :<math>f\in \mathrm{Diff}_{\mathbf{C}}(z_0)</math>.
| |
− |
| |
− | Pontbeli deriváltra példa a következő.
| |
− |
| |
− | '''Példa.''' Milyen ''n'' egész számokra deriválható a 0-ban az alábbi függvény?
| |
− | :<math>f(z)=\begin{cases}\overline{z}\cdot z^n, & z\ne 0\\
| |
− | 0, & z=0
| |
− | \end{cases}
| |
− | </math>
| |
− | ''Mo.'' Ha ''n''>0, akkor a különbségi hányados:
| |
− | :<math>\frac{\overline{z}\cdot z^n-0}{z-0}=\frac{\overline{z}\cdot z^n}{z}=\overline{z}\cdot z^{n-1}\to 0</math> ha ''z'' <math>\to</math> 0.
| |
− | Ha ''n'' = 0, akkor
| |
− | :<math>\frac{\overline{z}-0}{z-0}=\frac{\overline{z}}{z}=e^{i(-2\varphi)}</math>
| |
− | aminek nincs határértéke a 0-ban (az egységkörön mozog a végpont).
| |
− |
| |
− | Ha ''n'' < 0, akkor
| |
− | :<math>\frac{\overline{z}z^n-0}{z-0}=\frac{\overline{z}}{z^{-n+1}}=\frac{\overline{z}}{z}\frac{1}{z^{-n}}</math>
| |
− | ami a 0-ban a komplex végtelenbe tart, mert a hossza a végtelenbe tart.
| |
− |
| |
− | Tehát ''n'' > 0-ra a függvény komplex deriválható a 0-ban, más ''n'' < 1-re nem deriválható.
| |
− |
| |
− | '''Tétel.''' - ''A komplex differenciálhatóság jellemzése'' - Legyen ''f'' a ''z''<sub>0</sub> = ''x''<sub>0</sub> + i''y''<sub>0</sub> egy környezetében értelmezett függvény. Ekkor az alábbiak ekvivalensek:
| |
− | :1) <math>f\in \mathrm{Diff}_{\mathbf{C}}(z_0)</math>
| |
− | :2) <math>f\in \mathrm{Diff}_{\mathbf{R}}(x_0,y_0)</math> és <math>[\mathrm{d}f(x_0,y_0)]\in\mathbf{C}</math>.
| |
− |
| |
− | ''Bizonyítás.'' Legyen ''f'' a ''z''<sub>0</sub> = ''x''<sub>0</sub> + i''y''<sub>0</sub> egy környezetében értelmezett függvény és ''w'' komplex szám.
| |
− | Tekintsük a következő határértéket:
| |
− | :<math>\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)-[w]\cdot (z-z_0)}{|z-z_0|}=0</math>
| |
− | ahol az ''z'', ''z''<sub>0</sub>, ''f''(''z''), ''f''(''z''<sub>0</sub>) mennyisegekre ugy tekintunk, mint vektorokra.
| |
− | Ez ekvivalens a következővel:
| |
− | :<math>\lim\limits_{z\to z_0}\left|\frac{f(z)-f(z_0)}{|z-z_0|}-\frac{w\cdot (z-z_0)}{|z-z_0|}\right|=0</math>
| |
− | ahol az elobb emlitettek mar algebrai ertelemben komplex szamok, nem feltetlenul vektorok. Azaz
| |
− | :<math>\lim\limits_{z\to z_0}\left|\frac{z-z_0}{|z-z_0|}\left(\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-w\right)\right|=0</math>
| |
− | Itt (''z''-''z''<sub>0</sub>)/|''z''-''z''<sub>0</sub>| a komplex egységkörön "futó" függvény, hossza 1, ezért a fenti ekvivalnes a következővel:
| |
− | :<math>\lim\limits_{z\to z_0}\left|\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-w\right|=0</math>
| |
− | Ami viszont ugyanakkor igaz mint:
| |
− | :<math>\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=w</math>
| |
− | Ha a következtetésben felfelé vizsgálódunk, tehát feltesszük a komplex deriválhatóságot ahol ''w'' a komplex derivált, akkor azt kapjuk, hogy a ''w'' mátrixreprezentációjával való mátrixszorzás alkalmas lineáris leképezés a valós derivált számára, azaz létezik [df(z<sub>0</sub>)]=[w].
| |
− |
| |
− | Másfelől, ha f valósan deriválható és a deriváltja a ''w'' komplex számot reprezentálja, akkor komplexen is deriválható es komplex derivaltja pont ''w''.
| |
− |
| |
− | '''Cauchy--Riemann-egyenletek''' A fenti tételben a [df(z)] ∈ '''C''' feltétel (természetesen a totális deriválhatóság esetén) ekvivalens az alábbiakkal. Ha ''f'' = ''u'' + i''v'' és ''z'' = ''x'' +i''y'', akkor
| |
− | :<math>\begin{cases}
| |
− | \partial_xu=\partial_yv\\
| |
− | \partial_yu=-\partial_x v
| |
− | \end{cases}</math>
| |
| | | |
| <center> | | <center> |
A lap 2016. március 6., 21:18-kori változata
<Matematika A3a 2008
Feladat folytonosságra
Feladat. Legyen w ∈ C. Igazoljuk, hogy az alábbi függvények folytonosak!
-
-
-
-
Megoldás.
Az 1. az R2-ben eltolás a w-nek megfelelő vektorral (Re(w), Im(w))-vel, így affin leképezés, ami folytonos.
2. a w mátrixreprezentációjának megfelelő mátrixszal való szorzás, azaz lineáris leképezés, s így folytonos.
3. azaz a konjugálás: (x,y) (x,–y) a valós tengelyre való tükrözés, ami szintén lineáris.
Végül a reciprok:
-
így, mint R2 ⊃ R2 függvény:
-
amely olyan, hogy mindkét komponensfüggvénye folytonos valós függvényekből van összeállítva a folytonosságot megőrző módon, azaz az értelmezési tartománya minden pontjában folytonos.
Feladat. Folytonos-e a z = 0-ban az
-
Megoldás.
Ha z = x + iy és (x,y) ≠ (0,0), akkor:
-
A komponensfüggvények felírhatók egy 0-hoz tartó és egy korlátos függvény szorzataként:
-
és
-
így (x,y)(0,0) esetén a 0-hoz tartanak, így a függvény maga a (0,0)-hoz, azaz a komplex 0-hoz. Mivel itt a függvény értéke 0, ezért f a 0-ban folytonos.
Ha folytonos komplex függvényekből alapműveletek segítségével alkottunk függvényeket, akkor azok is folytonosak maradnak, mert a megfelelő R2-beli függvények ekkor olyanok lesznek, melyek mindegyik komponensfüggvénye a valós alapműveletek segítségével vannak definiálva. Ám, ezek megőrzik a folytonosságot.
Állítás. Ha f és g komplex függvények és az z0 pontban (mindketten értelmezettek és) folytonosak, akkor
- f + g
- f g
-
- g(z0) ≠ 0 esetén f/g
is folytonos z0-ban.
Folytonos függvények kompozíciója is folytonos (az kompozíció értelmezési tartományán).
Feladat. Folytonos-e a z = i-ben az
-
Ha z = x + iy és (x,y) ≠ (0,1), akkor:
-
Már az első komponens határértéke sem létezik, hisz (x,y)=(0,y) mentén alulról a (0,1)-hez tartva a határérték -1, az x=y-1 mentén pedig -1/gyök kettő.
A második tényező szintén nem.
Feladatok határértékre
Feladat. Igazoljuk definíció szerint, hogy
-
-
1. Legyen ε > 0. Ekkor azt kell belátnuk, hogy létezik δ > 0, hogy teljesüljön |z| < δ esetén, hogy a függvényérték a ∞ ε sugarú környezetébe esik, azaz:
-
Világos, hogy ezt azt jelenti, hogy
-
amit reciprokvonással kaptunk. Ha tehát ha δ := ε és |z| < δ, akkor "felfelé" következtetve kijön a kívánt egyenlőtlenség.
2. Legyen ε > 0. Ekkor azt kell belátnuk, hogy létezik δ > 0, hogy teljesüljön |z| > 1/δ esetén, hogy a függvényérték a 0-nak ε sugarú környezetébe esik, azaz:
-
Világos, hogy ezt azt jelenti, hogy
-
amit reciprokvonással kaptunk. Ha tehát ha δ := ε és |z| > 1/δ, akkor "felfelé" következtetve kijön a kívánt egyenlőtlenség.
A végtelen határérékkel történő számolás szabályai előtt definiálnunk kell néhány kibővített műveletet. Ezt a következők szellemében tesszük:
- Ha a és b valamelyike a ∞ szimbólum (a másik, ha nem ilyen, akkor komplex szám), akkor az a * b alapműveletet akkor értelmezzük a c szimbólumként (mely szintén vagy komplex szám, vagy az ∞), ha minden a határértékű f függvény esetén és minden b határértékű g függvény esetén a f*g szükségszerűen a c-hez tart. Ekkor mondjuk tehát, hogy az
- a * b = c
- definíció jó.
Például a ∞ + ∞ művelet feltétlenül értelmezett és értéke a ∞, mert könnyen látható, hogy bármely két, a ∞-hez tartó függvény összege is a ∞-hez tart. De a 0 ∞ művelet nem értelmezhető, mert van két függvénypár, mely ilyen alakú határértékekkel rendelkezik, de a szorzatuk máshoz tart. Pl.: (1/Re(z)) Re(z) 1, a z=0-ban, de (1/Re(z)) 2 Re(z) 2 a z=0-ban.
Definíció – Végtelen és alapműveletek – Az alábbi műveleti szabályokat vezetjük be a ∞, szimbólumra vonatkozóan, az alábbiakban z tetszőleges komplex szám, n tetszőleges nemnulla komplex szám:
- ,
- ,
- ,
- ,
továbbá a szorzás és az összeadás kommutatív.
Megjegyezzük még, hogy , azaz a végtelen konjugáltja saját maga.
Definíció – Határozatlan esetek – Az alábbi alapműveletek nem értelmezhetők:
- ,
- ,
- ,
-
Tétel – Végtelen határérték és alapműveletek – Ha az f és g komplex függvényeknek létezik határértékük az helyen, az f * g alapművelettl elkészített függvény értelmezési tartományának torlódási pontja u és a limu f * limu g alapművelet elvégezhető, akkor az f * g függvénynek is van határértéke u-ban és ez:
-
Ezenkívül a határozatlan esetekben, amikor a határértékekkel végzett műveletek nem értelmezettek, az alapműveletekkel elkészített függvények határértékeire nem adható általános képlet (mert alkalmasan választott esetekben máshoz és máshoz tartanak).
A bizonyításról. Ennek a tételnek a bizonyítása minden nehézség nélkül elvégezhető vagy az R2-beli sorozatokra vonatkozó átviteli elv vagy a komponensfüggvények határértékére történő hivatkozás útján. Minenekelőtt azt kell szem előtt tartanunk, hogy a végtelenhez való tartás, a függvény abszolútértékének plusz végtelenhez tartását jelenti:
-
Feladat. Adjuk példákat arra, hogy a határozatlan alakú határértékeket valóban nem lehet definiálni.
Nézzük a 0-ban az alábbi függvényeket:
- miközben
miközben
- miközben
miközben
Feladat. Számítsuk ki az alábbi határértékeket, ha léteznek!
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
Megoldás.
1. nemnulla z-re:
-
de ekkor például az első komponensfüggvény x = 0 felől közelítve 0, míg az x = y-felől:1/2, azaz nem létezik az első komponensnek a (0,0)-ban határértéke, azaz a komplex függvénynek sem.
2.
3.
-
4.
csak a valós részt nézve:
-
az (x,y)=(x,0) esetben a (0,0)-hoz tartva: végtelen, de (x,y)=(0,y), akkor 0. tehát nincs határérték.
5. .
Feladat. Adjuk meg minden z0 ∈ C számra az alábbi függvény határértékét!
- ,
- ,
1.
Folytonos az értelmezési tartományában. A határon:
-
z0 ≠ 0 esetén
-
z0 = 0 esetén:
-
ismert, hogy nincs határérték.
2.
Az egységkör pontjaitól különbözőkre folytonos, az egységkörön a végtelen, a végtelenben pedig nincs határérték. Ugyanis:
- ,
így az egységkörön a számláló az 1-hez, a nevező a nullához tart. A végtelenben pedig t valóssal:
-
-