Matematika A3a 2008/6. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Hatványfüggvények) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Hatványfüggvények) |
||
11. sor: | 11. sor: | ||
ezért ''n'' ≠ -1 esetén az az ''F''(''z'') függvény, melyre <math> \scriptstyle{F'(z)=z^n}</math> nem más, mint | ezért ''n'' ≠ -1 esetén az az ''F''(''z'') függvény, melyre <math> \scriptstyle{F'(z)=z^n}</math> nem más, mint | ||
:<math>F(z)=\frac{z^{n+1}}{n+1}+C\,</math> | :<math>F(z)=\frac{z^{n+1}}{n+1}+C\,</math> | ||
− | ahol C komplex konstans. | + | ahol C komplex konstans. ''n'' ≠ -1-re nincs primitív függvénye, mert a logaritmus nem egyértékű a komplex számok között. |
Komplex vonalintegrál értelmezhető a G: [a,b] <math>\to</math> '''C''' folytonos függvény, mint görbe esetén azzal a különlegességgel, hogy a szorzás a komplex szorzás: | Komplex vonalintegrál értelmezhető a G: [a,b] <math>\to</math> '''C''' folytonos függvény, mint görbe esetén azzal a különlegességgel, hogy a szorzás a komplex szorzás: | ||
23. sor: | 23. sor: | ||
:<math>\int\limits_{G}3z^2+1\,\mathrm{d}z\,</math> | :<math>\int\limits_{G}3z^2+1\,\mathrm{d}z\,</math> | ||
integrált. | integrált. | ||
+ | |||
+ | A hatványfüggvények inverzei szintén nem egyértékű függvények. | ||
+ | |||
+ | |||
[[Kategória:Matematika A3]] | [[Kategória:Matematika A3]] |
A lap 2008. október 30., 11:58-kori változata
Elemi függvények
Hatványfüggvények
A
típusú függvények komplex hatványfüggvények. n ∈ Z esetén, komplex deriváltjuk kiszámítható, n ≠ -1 esetben komplex primitív függvényük is van a következő értelemben:
Mivel
ezért n ≠ -1 esetén az az F(z) függvény, melyre nem más, mint
ahol C komplex konstans. n ≠ -1-re nincs primitív függvénye, mert a logaritmus nem egyértékű a komplex számok között.
Komplex vonalintegrál értelmezhető a G: [a,b] C folytonos függvény, mint görbe esetén azzal a különlegességgel, hogy a szorzás a komplex szorzás:
Feltéve persze, hogy létezik és véges. Itt zi mindig a G görbe valamely pontját jelöli, amit az [a,b] egy felosztásának osztópontjainak G általi képeiből kapunk.
Ekkor fennáll a komplex Newton-Leibniz-formula. Ha z1 és z2 a G két végpontja (a és b képe), akkor a komplex integrál kiszámítható:
Feladat. Legyen G a 3 középpontú, 1 sugarú kör felső félköre (pozitív irányítással). Számítsuk ki a
integrált.
A hatványfüggvények inverzei szintén nem egyértékű függvények.