Matematika A3a 2008/6. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Elemi függvények) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Trigonometikus függvények) |
||
54. sor: | 54. sor: | ||
:<math>\cos z=_{\mathrm{def}}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{z^{2n}}{(2n)!}\,</math> | :<math>\cos z=_{\mathrm{def}}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{z^{2n}}{(2n)!}\,</math> | ||
+ | Világos, hogy valós φ-re: | ||
+ | :<math>e^{i\varphi}=\cos(\varphi)+i\sin(\varphi)\,</math> | ||
+ | A hiperbolikus függvényekhez hasonlóan a trigonometrikus függvények is előállnak de a komplex exponenciális segítségével: | ||
+ | :<math>\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}</math> | ||
+ | :<math>\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2} </math> | ||
+ | '''4. Feladat.''' Igazoljuk, hogy fennáll | ||
+ | :<math>\sin^2 z+ \cos^2z = 1\,</math> | ||
+ | |||
+ | '''5. Feladat.''' Oldjuk meg az | ||
+ | :<math>\sin 4z=0\,</math> | ||
+ | egyenletet! | ||
[[Kategória:Matematika A3]] | [[Kategória:Matematika A3]] |
A lap 2008. október 30., 12:57-kori változata
Tartalomjegyzék |
Elemi függvények
Hatványfüggvények
A
típusú függvények komplex hatványfüggvények. n ∈ Z esetén, komplex deriváltjuk kiszámítható, n ≠ -1 esetben komplex primitív függvényük is van a következő értelemben:
Mivel
ezért n ≠ -1 esetén az az F(z) függvény, melyre nem más, mint
ahol C komplex konstans. n ≠ -1-re nincs primitív függvénye, mert a logaritmus nem egyértékű a komplex számok között.
Komplex vonalintegrál értelmezhető a G: [a,b] C folytonos függvény, mint görbe esetén azzal a különlegességgel, hogy a szorzás a komplex szorzás:
Feltéve persze, hogy létezik és véges. Itt zi mindig a G görbe valamely pontját jelöli, amit az [a,b] egy felosztásának osztópontjainak G általi képeiből kapunk.
Ekkor fennáll a komplex Newton-Leibniz-formula. Ha a G görbe olyan nyílt halmazban halad, melyben az f-nek van primitív függvénye (egyértékű függvénye!) akkor z1 és z2 a végpontok esetén (a és b képe), a komplex integrál kiszámítható így:
Ha a görbe belép az f értelmezési tartományának olyan részére, melyben a függvénynek nincs egyértelmű primitív függvénye, akkor az integrál értéke függhet a G úttól.
1. Feladat. Legyen G a 3 középpontú, 1 sugarú kör felső félköre (pozitív irányítással). Számítsuk ki a
integrált.
2. Feladat. Legyen G az origó körüli 2 sugarú kör vonal. Mennyi az
integrál.
A hatványfüggvények inverzei szintén nem egyértékű függvények.
Exponenciális függvény
Ebbőkkiderül az exponenciális függvény sok tulajdonsága. Például, ha z = x + iy, akkor
Ebből rögtön következik, hogy komplex exponenciális függvény periodikus, periódusa a p = 2πi:
3. Feladat. Oldjuk meg az
egyenletet!
Írjuk át 1+i-t exponenciális alakba:
így
Trigonometikus függvények
Világos, hogy valós φ-re:
A hiperbolikus függvényekhez hasonlóan a trigonometrikus függvények is előállnak de a komplex exponenciális segítségével:
4. Feladat. Igazoljuk, hogy fennáll
5. Feladat. Oldjuk meg az
egyenletet!