Matematika A3a 2008/6. gyakorlat

A MathWikiből

(Változatok közti eltérés)

Ugrás: navigáció, keresés

A lap 2008. október 30., 14:49-kori változata

_{<Matematika A3a 2008}

Tartalomjegyzék

1 Elemi függvények

Elemi függvények

Hatványfüggvények

A

$w=z^n\,$

típusú függvények komplex hatványfüggvények. n ∈ Z esetén, komplex deriváltjuk kiszámítható, n ≠ -1 esetben komplex primitív függvényük is van a következő értelemben:

Mivel

$(z^n)'=nz^{n-1}\,$

ezért n ≠ -1 esetén az az F(z) függvény, melyre $\scriptstyle{F'(z)=z^n}$ nem más, mint

$F(z)=\frac{z^{n+1}}{n+1}+C\,$

ahol C komplex konstans. n ≠ -1-re nincs primitív függvénye, mert a logaritmus nem egyértékű a komplex számok között.

Komplex vonalintegrál értelmezhető a G: [a,b] $\to$ C folytonos függvény, mint görbe esetén azzal a különlegességgel, hogy a szorzás a komplex szorzás:

$\int\limits_{G}f(z)\,\mathrm{d}z\,=_{\mathrm{def}}\lim\limits_{n \to \infty}\sum\limits_{i=1}^nf(z_i)\cdot\Delta z_i$

Feltéve persze, hogy létezik és véges. Itt z_i mindig a G görbe valamely pontját jelöli, amit az [a,b] egy felosztásának osztópontjainak G általi képeiből kapunk.

Ekkor fennáll a komplex Newton-Leibniz-formula. Ha a G görbe olyan nyílt halmazban halad, melyben az f-nek van primitív függvénye (egyértékű függvénye!) akkor z₁ és z₂ a végpontok esetén (a és b képe), a komplex integrál kiszámítható így:

$F(z_2)-F(z_1)=\int\limits_{G}f(z)\,\mathrm{d}z\,$

Ha a görbe belép az f értelmezési tartományának olyan részére, melyben a függvénynek nincs egyértelmű primitív függvénye, akkor az integrál értéke függhet a G úttól.

1. Feladat. Legyen G a 3 középpontú, 1 sugarú kör felső félköre (pozitív irányítással). Számítsuk ki a

$\int\limits_{G}3z^2+1\,\mathrm{d}z\,$

integrált.

2. Feladat. Legyen G az origó körüli 2 sugarú kör vonal. Mennyi az

$\int\limits_{G}\frac{1}{z^2}\,\mathrm{d}z\,$

integrál.

A hatványfüggvények inverzei szintén nem egyértékű függvények.

Exponenciális függvény

$e^z=_{\mathrm{def}}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}\,$

Ebbőkkiderül az exponenciális függvény sok tulajdonsága. Például, ha z = x + iy, akkor

$e^{x+iy}=e^x\cdot e^{iy}=e^x\cdot (\cos y + i\sin y)\,$

Ebből rögtön következik, hogy komplex exponenciális függvény periodikus, periódusa a p = 2πi:

$e^{z+2\pi i}=e^z\cdot e^{2\pi i}=e^z\cdot e^0\cdot (\cos 2\pi + i\sin 2\pi)=e^z(1+0i)\,$

3. Feladat. Oldjuk meg az

$e^z=1+i\;$

egyenletet!

Írjuk át 1+i-t exponenciális alakba:

$1+i=e^{\ln \sqrt{2}}\cdot e^{i\frac{\pi}{4}}\,$

így

$z=\ln\sqrt{2} +i\frac{\pi}{4}+2\pi i\,$

4. Feladat. Oldjuk meg az

$e^{iz}+ie^{-4iz}=0\,$

egyenletet!

Komplex logaritmus és a reciprok integrálja

Tekintsük a

$w=e^z\,$

hozzárendelést! Ha w-t exponenciális alakban írjuk, megfeleltethetjük egymásnak a z algebrai alakját w trigonometrikus alakjával:

$w=re^{i\varphi}=e^{x+iy}=e^x\cdot e^{iy}\,$

azaz

$r=e^x\,$ és $\varphi= y\,$

Ebből is látható, hogy a fordított leképezés végtelen sok értkű, hiszen ha y₁ = 2π + y, akkor w(x+iy)= w(x+iy₁ ). Ekkor a Riemann-felület egy végtelen sok Riemann-levélből áll.

Feladat. Számítsuk ki az alábbi integrálokat:

$\int\limits_{G_1}\frac{1}{z}\,\mathrm{d}x$

$\int\limits_{G_2}\frac{1}{z}\,\mathrm{d}x$

ahol G₁ az egységkör a + irányban i-től -i-ig, G₂ az egységkör a - irányban i-től -i-ig.

$\int\limits_{i,\,(G_1)}^{-i}\frac{1}{z}\mathrm{d}z=[\mathrm{Log}(z)]_{i}^-i=\mathrm{Log}(e^{i\frac{3}{2}\pi})-\mathrm{Log}(e^{\frac{1}{2}\pi})=i\pi\,$

ahol Log a logaritmus főrésze, hisz a görbe a egy Rieman-levélen belül marad, míg

$\int\limits_{i,\,(G_2)}^{-i}\frac{1}{z}\mathrm{d}z=[\mathrm{Log}(z)]_{i}^-i=\mathrm{Log}(e^{-i\frac{1}{2}\pi})-\mathrm{Log}(e^{\frac{1}{2}\pi})=-i\pi\,$

mivel itt áthalad a görbe a következő Riemann-levélre.

Más számítással:

$\int\limits_{i,\,(G_1)}^{-i}\frac{1}{z}\mathrm{d}z=\int\limits_{t=\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}\frac{1}{z(t)}\cdot\frac{\mathrm{d}z(t)}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{d}t=\int\limits_{t=\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}e^{-it}ie^{it}\mathrm{d}t=[it]_{t=\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}$

Trigonometikus függvények

$\sin z=_{\mathrm{def}}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}\,$

$\cos z=_{\mathrm{def}}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{z^{2n}}{(2n)!}\,$

Világos, hogy valós φ-re:

$e^{i\varphi}=\cos(\varphi)+i\sin(\varphi)\,$

A hiperbolikus függvényekhez hasonlóan a trigonometrikus függvények is előállnak de a komplex exponenciális segítségével:

$\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$

$\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$

5. Feladat. Igazoljuk, hogy fennáll

$\sin^2 z+ \cos^2z = 1\,$

6. Feladat. Oldjuk meg az

$\sin 4z=0\,$

egyenletet!

Hiperbolikus függvények

$\mathrm{sh}\, z=\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}$

$\mathrm{ch}\, z=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2}$

7. Feladat. Határozzuk meg az w = sh(iz) függvény valós és képzetes részét!

Mo.

$\mathrm{sh}\, iz=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2}$

8. Feladat. G az egységkör. Számítsuk ki

$\int\limits_{(G)}\frac{e^z}{z}\mathrm{d}z\,$

$\int\limits_{(G)}\frac{\sin(z)}{z^4}\mathrm{d}z\,$

$\int\limits_{(G)}\frac{1}{z}+1+\frac{1}{2}z+...\mathrm{d}z\,=2\pi i$

$\int\limits_{(G)}\frac{1}{z^3}-\frac{1}{2z}+\frac{1}{4!}z+...\mathrm{d}z\,=-\pi i$

@@ 111. sor: / 111. sor: @@
 '''8. Feladat.''' G az egységkör. Számítsuk ki
-:<math>\int\limits_{(G)}\frac{e^x}{z}\mathrm{d}z\,</math>
+:<math>\int\limits_{(G)}\frac{e^z}{z}\mathrm{d}z\,</math>
+:<math>\int\limits_{(G)}\frac{\sin(z)}{z^4}\mathrm{d}z\,</math>
 :<math>\int\limits_{(G)}\frac{1}{z}+1+\frac{1}{2}z+...\mathrm{d}z\,=2\pi i</math>
+:<math>\int\limits_{(G)}\frac{1}{z^3}-\frac{1}{2z}+\frac{1}{4!}z+...\mathrm{d}z\,=-\pi i</math>
 [[Kategória:Matematika A3]]

Matematika A3a 2008/6. gyakorlat

A lap 2008. október 30., 14:49-kori változata

Tartalomjegyzék

Elemi függvények

Hatványfüggvények

Exponenciális függvény

Komplex logaritmus és a reciprok integrálja

Trigonometikus függvények

Hiperbolikus függvények

Nézetek

Személyes eszközök

Navigáció

Keresés

Eszközök