Matematika A3a 2008/6. gyakorlat

A MathWikiből

(Változatok közti eltérés)

Ugrás: navigáció, keresés

A lap 2012. november 2., 19:27-kori változata

_{<Matematika A3a 2008}

Tartalomjegyzék

1 Differenciálhatóság
- 1.1 R-differenciálhatóság
2 C-differenciálhatóság
3 Elemi függvények

Differenciálhatóság

R-differenciálhatóság

Legyen f : C ⊃ $\to$ C komplex függvény. Ekkor f azonosítható az

$f\equiv \begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}:\mathbf{R}^2\supset\to\mathbf{R}^2$

vektorértékű kétváltozós függvénnyel az

$f(z)=f(x+iy)\equiv u(x,y)+iv(x,y)\,$

szerint (itt u és v kétváltozós valós függvények, rendre az f valós és képzetes része).

f abban az értelemen R-differenciálható, ahogy az (u,v):R² $\supset\to$ R² függvény differenciálható, azaz

Definíció -- Valós deriválhatóság -- Legyen g:R² $\supset\to$ R², x₀∈IntDom(g). Ekkor a g differenciálható az x₀ pontban, ha létezik olyan A: R² $\to$ R² lineáris leképezés, melyre

$\exists \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)-A(x-x_0)}{||x-x_0||}=0$

ahol ||.|| tetszőleges norma (például az ||.||₂=|.| komplex abszolútérték) R²-ben.

Ekkor a fenti A lineáris leképezés egyértelmű és a jelölése: dg(x₀).

Ekkor például a hozzáadás, mint affin függvény R-differenciálható, és R-differenciálja az identitás:

$a_w:z\mapsto w+ z\,$ akkor $\mathrm{d}_\mathbf{R}(a_w)z=z$

A komplex számmal szorzás R-differenciálját közvetlenül a definíciójából számíthatjuk ki:

$m_w:z\mapsto w\cdot z\,$ akkor $\mathrm{J}_\mathbf{R}^{a_w}(z)=\begin{pmatrix} w_1 & -w_2\\ w_2 & w_1 \end{pmatrix}$

Rendkívül érdekes észrevétel tanúi lehetünk ekkor. z $\mapsto$ w $\cdot$ z R-deriváltja maga w komplex számnak megfelelő mátrix, azaz

$\mathrm{J}_\mathbf{R}^{a_w}(z)=w$

ha mátrixreprezentációt veszünk. Sőt, visszanézve ez az összeadásra is igaz:

$\mathrm{J}_\mathbf{R}^{a_w}(z)=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Feladat. Számítsuk ki az f(z) = z² R-differenciálját!

Legyen z = x + i y. Ekkor z² = x² - y² +i(2xy)

$\mathrm{J}_\mathbf{R}^f(x,y)=\begin{pmatrix} 2x & -2y\\ 2y & 2x \end{pmatrix}=2z$

Feladat. Számítsuk ki az $\scriptstyle{f(z)=\overline{z}}$ R-differenciálját!

Ha z = x + i y, akkor $\scriptstyle{\overline{z}=x-\mathrm{i}y}$ , így:

$\mathrm{J}^{\overline{z}}_{\mathbf{R}}(z)=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}\not\in\mathbf{C}$

És ezzel már ki is mondhatjuk a Cauchy-Riemann-féle szükséges feltételt:

Annak a szükséges feltétele, hogy az f:R² $\to$ R² R-differenciálható függvény differenciálja egy komplex szám mátrixreprezentációja legyen, az, hogy:

$\partial_1 f_1=\partial_2 f_2$ és $\partial_1 f_2=-\partial_2 f_1$

C-differenciálhatóság

A fenti példa motiválja a C-differenciálhatóság fogalmát. Legyen a szituáció az előbbi, azaz legyen f(z) totálisan differenciálható (mint kétváltozós függvény) a z₀ pontban és a Jacobi-mátrixa ott legyen a w ∈ C szám mátrixreprezentációja. Ekkor

$\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)-w\cdot (z-z_0)}{|z-z_0|}=0$

Itt w $\cdot$ (z-z₀) egyfelől a mátrixszorzás, másfelől a komplex szorzás. Ekkor:

$\lim\limits_{z\to z_0}\left(\frac{f(z)-f(z_0)}{|z-z_0|}-\frac{w\cdot (z-z_0)}{|z-z_0|}\right)=0$

Ha h(z)=(z-z₀)/|z-z₀|, ami a komplex "egységgömbön" "futó" függvény, akkor a komplex szorzás tulajdonságai miatt:

$\lim\limits_{z\to z_0}\left(h(z)\cdot \left(\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-w\right)\right)=0$

Innen a következő gondolatunk támadhat. Teljesen az egyváltozós valós derivált tulajdonságait mutató deriváltfogalmat kapunk, ha bevezetődne a következő

Definíció - Komplex differenciálhatóság, komplex derivált - Legyen f a z₀ egy környezetében értelmezett függvény. Azt mondjuk, hogy f C-deriválható z₀-ban és deriváltja a w szám, ha

$\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=w$

Most gondoljuk végig, hogy milyen kapcsolatban van az R'- és a C-deriválhatóság. Ha a fenti gondolamenetet felfelé nézzük, akkor a h(z) korlátossága miatt a "korlátos szor nullához" tartó függvényt kapunk, így a szorzat határértéke 0. Persze ehhez kellene a "korlátos szor nullához tartó" lemma komplex szorzásra.

Ha lefelé gondolkodunk, akkor indirekten kell eljárnunk. Tegyük fel, hogy a második tényező nem nulla határértékű. Amikor nem létezik, vagy nem az adott szám a határérték, akkor "cáfoló" sorozatot szoktunk megadni. Az átviteli elv miatt létezik olyan z(n) konvergens komplex sorozat, mely nem a 0-hoz tart. De a h(z(n)) ekkor az egységkörön van, így a szorzat biztosan "elerüli a nullát" (az abszolút értéke nem a 0-hoz tart). Következésképpen:

Tétel. A definícióbeli f pontosan akkor komplex differenciálható, ha differenciálható és a deriváltja komplex szám (mátrix reprezentációja). Továbbá f pontosan akkor komplex differenciálható, ha differenciálható és a parciális deriváltjai teljesítik a Cauchy-Riemann-egyenleteket.

Feladat. Komplex deriváljuk az f(z) = zⁿ függvényt!

Feladat. Komplex deriválható-e: $\scriptstyle{f(z)=z\cdot\overline{z}}$ , vagy a $\scriptstyle{f(z)=z^2\cdot\overline{z}}$ ?

Feladat. Igazoljuk, hogy ha f korlátos komplex függvény a D ⊆ C halmazon és lim_wg = 0, akkor lim_w fg = 0. (w ∈ int D).

Elemi függvények

Hatványfüggvények

A

$w=z^n\,$

típusú függvények komplex hatványfüggvények. n ∈ Z esetén, komplex deriváltjuk kiszámítható, n ≠ -1 esetben komplex primitív függvényük is van a következő értelemben:

Mivel

$(z^n)'=nz^{n-1}\,$

ezért n ≠ -1 esetén az az F(z) függvény, melyre $\scriptstyle{F'(z)=z^n}$ nem más, mint

$F(z)=\frac{z^{n+1}}{n+1}+C\,$

ahol C komplex konstans. n ≠ -1-re nincs primitív függvénye, mert a logaritmus nem egyértékű a komplex számok között.

Komplex vonalintegrál értelmezhető a G: [a,b] $\to$ C folytonos függvény, mint görbe esetén azzal a különlegességgel, hogy a szorzás a komplex szorzás:

$\int\limits_{G}f(z)\,\mathrm{d}z\,=_{\mathrm{def}}\lim\limits_{n \to \infty}\sum\limits_{i=1}^nf(z_i)\cdot\Delta z_i$

Feltéve persze, hogy létezik és véges. Itt z_i mindig a G görbe valamely pontját jelöli, amit az [a,b] egy felosztásának osztópontjainak G általi képeiből kapunk.

Ekkor fennáll a komplex Newton-Leibniz-formula. Ha a G görbe olyan nyílt halmazban halad, melyben az f-nek van primitív függvénye (egyértékű függvénye!) és f komplex integrálható, akkor z₁ és z₂ a végpontok esetén (a és b képe), a komplex integrál kiszámítható így:

$F(z_2)-F(z_1)=\int\limits_{G}f(z)\,\mathrm{d}z\,$

Ha a görbe belép az f értelmezési tartományának olyan részére, melyben a függvénynek nincs egyértelmű primitív függvénye, akkor az integrál értéke függhet a G úttól.

1. Feladat. Legyen G a 3 középpontú, 1 sugarú kör felső félköre (pozitív irányítással). Számítsuk ki a

$\int\limits_{G}3z^2+1\,\mathrm{d}z\,$

integrált.

2. Feladat. Legyen G az origó körüli 2 sugarú kör vonal. Mennyi az

a) $\int\limits_{G}\frac{1}{z^2}\,\mathrm{d}z\,$ és a b) $\int\limits_{G}\frac{z+1}{z}\,\mathrm{d}z\,$

integrál.

A hatványfüggvények inverzei szintén nem egyértékű függvények.

Exponenciális függvény

$e^z=_{\mathrm{def}}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}\,$

Ebbőkkiderül az exponenciális függvény sok tulajdonsága. Például, ha z = x + iy, akkor

$e^{x+iy}=e^x\cdot e^{iy}=e^x\cdot (\cos y + i\sin y)\,$

Ebből rögtön következik, hogy komplex exponenciális függvény periodikus, periódusa a p = 2πi:

$e^{z+2\pi i}=e^z\cdot e^{2\pi i}=e^z\cdot e^0\cdot (\cos 2\pi + i\sin 2\pi)=e^z(1+0i)\,$

3. Feladat. Oldjuk meg az

$e^z=1+i\;$

egyenletet!

Írjuk át 1+i-t exponenciális alakba:

$1+i=e^{\ln \sqrt{2}}\cdot e^{i\frac{\pi}{4}}\,$

így

$z=\ln\sqrt{2} +i\frac{\pi}{4}+2\pi i\,$

4. Feladat. Oldjuk meg az

$e^{iz}+ie^{-4iz}=0\,$

egyenletet!

Komplex logaritmus és a reciprok integrálja

Tekintsük a

$w=e^z\,$

hozzárendelést! Ha w-t exponenciális alakban írjuk, megfeleltethetjük egymásnak a z algebrai alakját w trigonometrikus alakjával:

$w=re^{i\varphi}=e^{x+iy}=e^x\cdot e^{iy}\,$

azaz

$r=e^x\,$ és $\varphi= y\,$

Ebből is látható, hogy a fordított leképezés végtelen sok értkű, hiszen ha y₁ = 2π + y, akkor w(x+iy)= w(x+iy₁ ). Ekkor a Riemann-felület egy végtelen sok Riemann-levélből áll.

Feladat. Számítsuk ki az alábbi integrálokat:

$\int\limits_{G_1}\frac{1}{z}\,\mathrm{d}x$

$\int\limits_{G_2}\frac{1}{z}\,\mathrm{d}x$

ahol G₁ az egységkör a + irányban i-től -i-ig, G₂ az egységkör a - irányban i-től -i-ig.

$\int\limits_{i,\,(G_1)}^{-i}\frac{1}{z}\mathrm{d}z=[\mathrm{Log}(z)]_{i}^-i=\mathrm{Log}(e^{i\frac{3}{2}\pi})-\mathrm{Log}(e^{\frac{1}{2}\pi})=i\pi\,$

ahol Log a logaritmus főrésze, hisz a görbe a egy Rieman-levélen belül marad, míg

$\int\limits_{i,\,(G_2)}^{-i}\frac{1}{z}\mathrm{d}z=[\mathrm{Log}(z)]_{i}^-i=\mathrm{Log}(e^{-i\frac{1}{2}\pi})-\mathrm{Log}(e^{\frac{1}{2}\pi})=-i\pi\,$

mivel itt áthalad a görbe a következő Riemann-levélre.

Más számítással:

$\int\limits_{i,\,(G_1)}^{-i}\frac{1}{z}\mathrm{d}z=\int\limits_{t=\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}\frac{1}{z(t)}\cdot\frac{\mathrm{d}z(t)}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{d}t=\int\limits_{t=\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}e^{-it}ie^{it}\mathrm{d}t=[it]_{t=\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}$

Trigonometikus függvények

$\sin z=_{\mathrm{def}}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}\,$

$\cos z=_{\mathrm{def}}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{z^{2n}}{(2n)!}\,$

Világos, hogy valós φ-re:

$e^{i\varphi}=\cos(\varphi)+i\sin(\varphi)\,$

A hiperbolikus függvényekhez hasonlóan a trigonometrikus függvények is előállnak de a komplex exponenciális segítségével:

$\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$

$\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$

5. Feladat. Igazoljuk, hogy fennáll

$\sin^2 z+ \cos^2z = 1\,$

6. Feladat. Oldjuk meg az

$\sin 4z=0\,$

egyenletet!

Hiperbolikus függvények

$\mathrm{sh}\, z=\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}$

$\mathrm{ch}\, z=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2}$

7. Feladat. Határozzuk meg az w = sh(iz) függvény valós és képzetes részét!

Mo.

$\mathrm{sh}\, iz=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2}$

8. Feladat. G az egységkör. Számítsuk ki

$\int\limits_{(G)}\frac{e^z}{z}\mathrm{d}z\,$

$\int\limits_{(G)}\frac{\sin(z)}{z^4}\mathrm{d}z\,$

Mo.

$\int\limits_{(G)}\frac{1}{z}+1+\frac{1}{2}z+...\mathrm{d}z\,=2\pi i$

$\int\limits_{(G)}\frac{1}{z^3}-\frac{1}{2z}+\frac{1}{4!}z+...\mathrm{d}z\,=-\pi i$

@@ 9. sor: / 9. sor: @@
 szerint (itt ''u'' és ''v'' kétváltozós valós függvények, rendre az ''f'' valós és képzetes része).
-''f'' abban az értelemen '''R'''-differenciálható, ahogy az (''u'',''v''):'''R'''<sup>2</sup> <math>\sup\to</math> '''R'''<sup>2</sup> függvény differenciálható, azaz
+''f'' abban az értelemen '''R'''-differenciálható, ahogy az (''u'',''v''):'''R'''<sup>2</sup> <math>\supset\to</math> '''R'''<sup>2</sup> függvény differenciálható, azaz
-'''Definíció''' -- Valós deriválhatóság -- Legyen ''g'':'''R'''<sup>2</sup> <math>\sup\to</math> '''R'''<sup>2</sup>, ''x''<sub>0</sub>&isin;IntDom(g). Ekkor a ''g'' differenciálható az ''x''<sub>0</sub> pontban, ha létezik olyan ''A'': '''R'''<sup>2</sup> <math>\to</math> '''R'''<sup>2</sup> lineáris leképezés, melyre
+'''Definíció''' -- Valós deriválhatóság -- Legyen ''g'':'''R'''<sup>2</sup> <math>\supset\to</math> '''R'''<sup>2</sup>, ''x''<sub>0</sub>&isin;IntDom(g). Ekkor a ''g'' differenciálható az ''x''<sub>0</sub> pontban, ha létezik olyan ''A'': '''R'''<sup>2</sup> <math>\to</math> '''R'''<sup>2</sup> lineáris leképezés, melyre
 :<math>\exists \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)-A(x-x_0)}{||x-x_0||}=0</math>
 ahol ||.|| tetszőleges norma (például az ||.||<sub>2</sub>=|.| komplex abszolútérték) '''R'''<sup>2</sup>-ben.

Matematika A3a 2008/6. gyakorlat

A lap 2012. november 2., 19:27-kori változata

Tartalomjegyzék

Differenciálhatóság

R-differenciálhatóság

C-differenciálhatóság

Elemi függvények

Hatványfüggvények

Exponenciális függvény

Komplex logaritmus és a reciprok integrálja

Trigonometikus függvények

Hiperbolikus függvények

Nézetek

Személyes eszközök

Navigáció

Keresés

Eszközök