Matematika A3a 2008/6. gyakorlat
Elemi függvények
Hatványfüggvények
A
típusú függvények komplex hatványfüggvények. n ∈ Z esetén, komplex deriváltjuk kiszámítható, n ≠ -1 esetben komplex primitív függvényük is van a következő értelemben:
Mivel
ezért n ≠ -1 esetén az az F(z) függvény, melyre nem más, mint
ahol C komplex konstans. n ≠ -1-re nincs primitív függvénye, mert a logaritmus nem egyértékű a komplex számok között.
Komplex vonalintegrál értelmezhető a G: [a,b] C folytonos függvény, mint görbe esetén azzal a különlegességgel, hogy a szorzás a komplex szorzás:
Feltéve persze, hogy létezik és véges. Itt zi mindig a G görbe valamely pontját jelöli, amit az [a,b] egy felosztásának osztópontjainak G általi képeiből kapunk.
Ekkor fennáll a komplex Newton-Leibniz-formula. Ha z1 és z2 a G két végpontja (a és b képe), akkor a komplex integrál kiszámítható:
Feladat. Legyen G a 3 középpontú, 1 sugarú kör felső félköre (pozitív irányítással). Számítsuk ki a
integrált.
A hatványfüggvények inverzei szintén nem egyértékű függvények.