Matematika A3a 2008/6. gyakorlat

_{<Matematika A3a 2008}

Differenciálhatóság

R-differenciálhatóság

Legyen f : C ⊃$\to$ C komplex függvény. Ekkor f azonosítható az

$f\equiv \begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}:\mathbf{R}^2\supset\to\mathbf{R}^2$

vektorértékű kétváltozós függvénnyel az

$f(z)=f(x+iy)\equiv u(x,y)+iv(x,y)\,$

szerint (itt u és v kétváltozós valós függvények, rendre az f valós és képzetes része).

f abban az értelemen R-differenciálható, ahogy az (u,v):R² $\supset\to$ R² függvény differenciálható, azaz

Definíció -- Valós deriválhatóság -- Legyen g:R² $\supset\to$ R², x₀∈IntDom(g). Ekkor a g differenciálható az x₀ pontban, ha létezik olyan A: R² $\to$ R² lineáris leképezés, melyre

$\exists \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)-A(x-x_0)}{||x-x_0||}=0$

ahol ||.|| tetszőleges norma (például az ||.||₂=|.| komplex abszolútérték) R²-ben.

Ekkor a fenti A lineáris leképezés egyértelmű és a jelölése: dg(x₀). Azt, hogy a g valósan differenciálható (totálisan differenciálható) az x₀-ban, még úgy is jelöljük, hogy

$g\in \mathrm{Diff}_{\mathbf{R}}(x_0)$.

A df(x₀,y₀) leképezés sztenderd bázisban felírt koordinátamátrixát nevezzük Jacobi-mátrixnak, mely a következő. Ha f komponensfüggvényei: (x,y) $\mapsto$ f(x,y) = (u(x,y),v(x,y)), akkor

$\mathrm{J}^g(x_0,y_0)=[\mathrm{d}f(x_0,y_0)]=\begin{bmatrix}\partial_x u & \partial_y u \\\partial_x v & \partial_y v\end{bmatrix}(x_0,y_0)$

És persze, ha f differenciálható (értsd: totálisan differenciálhat, vagy valósan differenciálható), akkor parciálisan is deriválható, azaz a komponensfüggvényeinek az adott pontban léteznek a parciális deriváltjai, tehát felírható a Jacobi-mátrix.

Példák

1. Legyen w ∈ C tetszőlegesen rögzített és legyen

$f(z)=w\cdot z$

Ekkor a komponensfüggvények (f valós és képzetes része):

$f(z)=f(x+iy)=(w_1+iw_2)\cdot (x+iy)=w_1x-w_2y+i(w_1y+w_2x)\equiv \begin{bmatrix} w_1x-w_2y\\ w_1y+w_2x \end{bmatrix}$

És a derivált:

$\mathrm{J}^{f}(z)=\begin{bmatrix} w_1 & -w_2\\ w_2 & w_1 \end{bmatrix}$

Vegyük észre, hogy az imént kijött derivált éppen a w komplex szám mártixreprezentációja, hiszen általában egy z = a +' 'bi komplex szám mátrixreprezentációja:

$[z]=\begin{bmatrix} a & -b\\ b & a \end{bmatrix}$

a valós rész a főátlóban, a képzetes rész a -, + -szal a mellékátlóban van. Tehát:

$\mathrm{J}^{f}(z)\in \mathbf{C}$

2.

f(z) = z²

Legyen z = x + i y. Ekkor z² = x² - y² +i(2xy)

$\mathrm{J}_\mathbf{R}^f(x,y)=\begin{pmatrix} 2x & -2y\\ 2y & 2x \end{pmatrix}$

azaz amit kaptunk, pont a 2z szám mátrixreprezentációja:

$\mathrm{J}^{f}(z)=[2z]\in\mathbf{C}$

3. Számítsuk ki az $\scriptstyle{f(z)=\overline{z}}$ R-differenciálját!

Ha z = x + i y, akkor $\scriptstyle{\overline{z}=x-\mathrm{i}y}$, így:

$\mathrm{J}^{\overline{z}}_{\mathbf{R}}(z)=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}\not\in\mathbf{C}$

azaz nem mátrixreprezentáció alakú a Jacobi-mátrix. Ám, azt jegyezzük meg, hogy az iménti leképezés lineáris (ez az x tengelyre vonatkozó tükrözés), tehát folytonos, sőt totálisan (végtelenszer) differenciálható és a valós deriváltja pont saját maga:

$\mathrm{d}f(x,y)=f\,$

csak nem komplex számot reprezentál a Jacobi-mátrix.

C-differenciálhatóság

A komplex differenciálhatóság az előző észrevételekkel szoros kapcsolatban lesz. Egyfelől

$(w\cdot z)'=w\in \mathbf{C}$

$(z^2)'=2z\in \mathbf{C}$

mutaja, hogy ha a Jacobi-mártix hasonlóképpen viselkedik a komplex számok mátrixreprezentációjában, mint az egyváltozós valós derivált. Másrészt a

$(\overline{z})'=(\begin{smallmatrix} 1 & 0\\0 & -1\end{smallmatrix})\notin \mathbf{C}$

mutatja, hogy nem minden valósan deriválható függvény lesz komplex deriválható. Nézzük akkor az egyváltozós valós mintájára a definíciót majd lássuk a komplex differenciálhatóság jellemzését.

Definíció - Komplex differenciálhatóság, komplex derivált - Legyen f a z₀ egy környezetében értelmezett függvény. Azt mondjuk, hogy f C-deriválható z₀-ban és deriváltja a w szám, ha

$\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=w$

Jelölése: f'(z₀).

Azt, hogy az f a z₀-ban komplex deriválható még úgy is jelöljük, hogy

$f\in \mathrm{Diff}_{\mathbf{C}}(z_0)$.

Pontbeli deriváltra példa a következő.

Példa. Milyen n egész számokra deriválható a 0-ban az alábbi függvény?

$f(z)=\begin{cases}\overline{z}\cdot z^n, & z\ne 0\\ 0, & z=0 \end{cases}$

Mo. Ha n>0, akkor a különbségi hányados:

$\frac{\overline{z}\cdot z^n-0}{z-0}=\frac{\overline{z}\cdot z^n}{z}=\overline{z}\cdot z^{n-1}\to 0$ ha z $\to$ 0.

Ha n = 0, akkor

$\frac{\overline{z}-0}{z-0}=\frac{\overline{z}}{z}=e^{i(-2\varphi)}$

aminek nincs határértéke a 0-ban (az egységkörön mozog a végpont).

Ha n < 0, akkor

$\frac{\overline{z}z^n-0}{z-0}=\frac{\overline{z}}{z^{-n+1}}=\frac{\overline{z}}{z}\frac{1}{z^{-n}}$

ami a 0-ban a komplex végtelenbe tart, mert a hossza a végtelenbe tart.

Tehát n > 0-ra a függvény komplex deriválható a 0-ban, más n < 1-re nem deriválható.

Tétel. - A komplex differenciálhatóság jellemzése - Legyen f a z₀ = x₀ + iy₀ egy környezetében értelmezett függvény. Ekkor az alábbiak ekvivalensek:

1) $f\in \mathrm{Diff}_{\mathbf{C}}(z_0)$

2) $f\in \mathrm{Diff}_{\mathbf{R}}(x_0,y_0)$ és $[\mathrm{d}f(x_0,y_0)]\in\mathbf{C}$.

Bizonyítás. Legyen f a z₀ = x₀ + iy₀ egy környezetében értelmezett függvény és w' komplex szám. Tekintsük a következő határértéket:

$\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)-w\cdot (z-z_0)}{|z-z_0|}=0</math Ha ez létezik, akkor ekvivalens a következővel: :<math>\lim\limits_{z\to z_0}\left|\frac{f(z)-f(z_0)}{|z-z_0|}-\frac{w\cdot (z-z_0)}{|z-z_0|}\right|=0$

Itt (z-z₀)/|z-z₀| a komplex egységkörön "futó" függvény, ezért a fenti ekvivalnes a következővel:

$\lim\limits_{z\to z_0}\left|\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-w\right|=0$

Ami viszont ugyanakkor igaz mint:

$\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=w$

Ha a következtetésben felfelé vizsgálódunk, tehát feltesszük a komplex deriválhatóságot ahol w a komplex derivált, akkor azt kapjuk, hogy a w mátrixreprezentációjával való mátrixszorzás alkalmas lineáris leképezés a valós derivált számára, azaz létezik [df(z₀)]=[w].

Másfelől, ha f valósan deriválható és a deriváltja a w komplex számot reprezentálja, akkor komplexen is deriválható.

Cauchy--Riemann-egyenletek A fenti tételben a [df(z)] ∈ C feltétel (természetesen a totális deriválhatóság esetén) ekvivalens az alábbiakkal. Ha f = u + iv és z = x +iy, akkor

$\begin{cases} \partial_xu=\partial_yv\\ \partial_yu=-\partial_x v \end{cases}$

Feladat. Komplex deriváljuk az f(z) = zⁿ függvényt!

Feladat. Komplex deriválható-e: $\scriptstyle{f(z)=z\cdot\overline{z}}$, vagy a $\scriptstyle{f(z)=z^2\cdot\overline{z}}$?

Feladat. Igazoljuk, hogy ha f korlátos komplex függvény a D ⊆ C halmazon és lim_wg = 0, akkor lim_w fg = 0. (w ∈ int D).

Elemi függvények

Hatványfüggvények

A

$w=z^n\,$

típusú függvények komplex hatványfüggvények. n ∈ Z esetén, komplex deriváltjuk kiszámítható, n ≠ -1 esetben komplex primitív függvényük is van a következő értelemben:

Mivel

$(z^n)'=nz^{n-1}\,$

ezért n ≠ -1 esetén az az F(z) függvény, melyre $\scriptstyle{F'(z)=z^n}$ nem más, mint

$F(z)=\frac{z^{n+1}}{n+1}+C\,$

ahol C komplex konstans. n ≠ -1-re nincs primitív függvénye, mert a logaritmus nem egyértékű a komplex számok között.

Komplex vonalintegrál értelmezhető a G: [a,b] $\to$ C folytonos függvény, mint görbe esetén azzal a különlegességgel, hogy a szorzás a komplex szorzás:

$\int\limits_{G}f(z)\,\mathrm{d}z\,=_{\mathrm{def}}\lim\limits_{n \to \infty}\sum\limits_{i=1}^nf(z_i)\cdot\Delta z_i$

Feltéve persze, hogy létezik és véges. Itt z_i mindig a G görbe valamely pontját jelöli, amit az [a,b] egy felosztásának osztópontjainak G általi képeiből kapunk.

Ekkor fennáll a komplex Newton-Leibniz-formula. Ha a G görbe olyan nyílt halmazban halad, melyben az f-nek van primitív függvénye (egyértékű függvénye!) és f komplex integrálható, akkor z₁ és z₂ a végpontok esetén (a és b képe), a komplex integrál kiszámítható így:

$F(z_2)-F(z_1)=\int\limits_{G}f(z)\,\mathrm{d}z\,$

Ha a görbe belép az f értelmezési tartományának olyan részére, melyben a függvénynek nincs egyértelmű primitív függvénye, akkor az integrál értéke függhet a G úttól.

1. Feladat. Legyen G a 3 középpontú, 1 sugarú kör felső félköre (pozitív irányítással). Számítsuk ki a

$\int\limits_{G}3z^2+1\,\mathrm{d}z\,$

integrált.

2. Feladat. Legyen G az origó körüli 2 sugarú kör vonal. Mennyi az

a) $\int\limits_{G}\frac{1}{z^2}\,\mathrm{d}z\,$ és a b) $\int\limits_{G}\frac{z+1}{z}\,\mathrm{d}z\,$

integrál.

A hatványfüggvények inverzei szintén nem egyértékű függvények.

Exponenciális függvény

$e^z=_{\mathrm{def}}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}\,$

Ebbőkkiderül az exponenciális függvény sok tulajdonsága. Például, ha z = x + iy, akkor

$e^{x+iy}=e^x\cdot e^{iy}=e^x\cdot (\cos y + i\sin y)\,$

Ebből rögtön következik, hogy komplex exponenciális függvény periodikus, periódusa a p = 2πi:

$e^{z+2\pi i}=e^z\cdot e^{2\pi i}=e^z\cdot e^0\cdot (\cos 2\pi + i\sin 2\pi)=e^z(1+0i)\,$

3. Feladat. Oldjuk meg az

$e^z=1+i\;$

egyenletet!

Írjuk át 1+i-t exponenciális alakba:

$1+i=e^{\ln \sqrt{2}}\cdot e^{i\frac{\pi}{4}}\,$

így

$z=\ln\sqrt{2} +i\frac{\pi}{4}+2\pi i\,$

4. Feladat. Oldjuk meg az

$e^{iz}+ie^{-4iz}=0\,$

egyenletet!

Komplex logaritmus és a reciprok integrálja

Tekintsük a

$w=e^z\,$

hozzárendelést! Ha w-t exponenciális alakban írjuk, megfeleltethetjük egymásnak a z algebrai alakját w trigonometrikus alakjával:

$w=re^{i\varphi}=e^{x+iy}=e^x\cdot e^{iy}\,$

azaz

$r=e^x\,$ és $\varphi= y\,$

Ebből is látható, hogy a fordított leképezés végtelen sok értkű, hiszen ha y₁ = 2π + y, akkor w(x+iy)= w(x+iy₁ ). Ekkor a Riemann-felület egy végtelen sok Riemann-levélből áll.

Feladat. Számítsuk ki az alábbi integrálokat:

$\int\limits_{G_1}\frac{1}{z}\,\mathrm{d}x$

$\int\limits_{G_2}\frac{1}{z}\,\mathrm{d}x$

ahol G₁ az egységkör a + irányban i-től -i-ig, G₂ az egységkör a - irányban i-től -i-ig.

$\int\limits_{i,\,(G_1)}^{-i}\frac{1}{z}\mathrm{d}z=[\mathrm{Log}(z)]_{i}^-i=\mathrm{Log}(e^{i\frac{3}{2}\pi})-\mathrm{Log}(e^{\frac{1}{2}\pi})=i\pi\,$

ahol Log a logaritmus főrésze, hisz a görbe a egy Rieman-levélen belül marad, míg

$\int\limits_{i,\,(G_2)}^{-i}\frac{1}{z}\mathrm{d}z=[\mathrm{Log}(z)]_{i}^-i=\mathrm{Log}(e^{-i\frac{1}{2}\pi})-\mathrm{Log}(e^{\frac{1}{2}\pi})=-i\pi\,$

mivel itt áthalad a görbe a következő Riemann-levélre.

Más számítással:

$\int\limits_{i,\,(G_1)}^{-i}\frac{1}{z}\mathrm{d}z=\int\limits_{t=\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}\frac{1}{z(t)}\cdot\frac{\mathrm{d}z(t)}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{d}t=\int\limits_{t=\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}e^{-it}ie^{it}\mathrm{d}t=[it]_{t=\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}$

Trigonometikus függvények

$\sin z=_{\mathrm{def}}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}\,$

$\cos z=_{\mathrm{def}}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{z^{2n}}{(2n)!}\,$

Világos, hogy valós φ-re:

$e^{i\varphi}=\cos(\varphi)+i\sin(\varphi)\,$

A hiperbolikus függvényekhez hasonlóan a trigonometrikus függvények is előállnak de a komplex exponenciális segítségével:

$\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$

$\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$

5. Feladat. Igazoljuk, hogy fennáll

$\sin^2 z+ \cos^2z = 1\,$

6. Feladat. Oldjuk meg az

$\sin 4z=0\,$

egyenletet!

Hiperbolikus függvények

$\mathrm{sh}\, z=\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}$

$\mathrm{ch}\, z=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2}$

7. Feladat. Határozzuk meg az w = sh(iz) függvény valós és képzetes részét!

Mo.

$\mathrm{sh}\, iz=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2}$

8. Feladat. G az egységkör. Számítsuk ki

$\int\limits_{(G)}\frac{e^z}{z}\mathrm{d}z\,$

$\int\limits_{(G)}\frac{\sin(z)}{z^4}\mathrm{d}z\,$

Mo.

$\int\limits_{(G)}\frac{1}{z}+1+\frac{1}{2}z+...\mathrm{d}z\,=2\pi i$

$\int\limits_{(G)}\frac{1}{z^3}-\frac{1}{2z}+\frac{1}{4!}z+...\mathrm{d}z\,=-\pi i$