Matematika A3a 2008/6. gyakorlat

A MathWikiből
A lap korábbi változatát látod, amilyen Mozo (vitalap | szerkesztései) 2013. október 24., 14:05-kor történt szerkesztése után volt.

<Matematika A3a 2008

Tartalomjegyzék

C-differenciálhatóság

A komplex differenciálhatóság az előző észrevételekkel szoros kapcsolatban lesz. Egyfelől

(w\cdot z)'=w\in \mathbf{C}
(z^2)'=2z\in \mathbf{C}

mutaja, hogy ha a Jacobi-mártix hasonlóképpen viselkedik a komplex számok mátrixreprezentációjában, mint az egyváltozós valós derivált. Másrészt a

(\overline{z})'=(\begin{smallmatrix} 1 & 0\\0 & -1\end{smallmatrix})\notin \mathbf{C}

mutatja, hogy nem minden valósan deriválható függvény lesz komplex deriválható. Nézzük akkor az egyváltozós valós mintájára a definíciót majd lássuk a komplex differenciálhatóság jellemzését.

Definíció - Komplex differenciálhatóság, komplex derivált - Legyen f a z0 egy környezetében értelmezett függvény. Azt mondjuk, hogy f C-deriválható z0-ban és deriváltja a w szám, ha

\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=w

Jelölése: f'(z0).

Azt, hogy az f a z0-ban komplex deriválható még úgy is jelöljük, hogy

f\in \mathrm{Diff}_{\mathbf{C}}(z_0).

Pontbeli deriváltra példa a következő.

Példa. Milyen n egész számokra deriválható a 0-ban az alábbi függvény?

f(z)=\begin{cases}\overline{z}\cdot z^n, & z\ne 0\\
0, & z=0
\end{cases}

Mo. Ha n>0, akkor a különbségi hányados:

\frac{\overline{z}\cdot z^n-0}{z-0}=\frac{\overline{z}\cdot z^n}{z}=\overline{z}\cdot z^{n-1}\to 0 ha z \to 0.

Ha n = 0, akkor

\frac{\overline{z}-0}{z-0}=\frac{\overline{z}}{z}=e^{i(-2\varphi)}

aminek nincs határértéke a 0-ban (az egységkörön mozog a végpont).

Ha n < 0, akkor

\frac{\overline{z}z^n-0}{z-0}=\frac{\overline{z}}{z^{-n+1}}=\frac{\overline{z}}{z}\frac{1}{z^{-n}}

ami a 0-ban a komplex végtelenbe tart, mert a hossza a végtelenbe tart.

Tehát n > 0-ra a függvény komplex deriválható a 0-ban, más n < 1-re nem deriválható.

Tétel. - A komplex differenciálhatóság jellemzése - Legyen f a z0 = x0 + iy0 egy környezetében értelmezett függvény. Ekkor az alábbiak ekvivalensek:

1) f\in \mathrm{Diff}_{\mathbf{C}}(z_0)
2) f\in \mathrm{Diff}_{\mathbf{R}}(x_0,y_0) és [\mathrm{d}f(x_0,y_0)]\in\mathbf{C}.

Bizonyítás. Legyen f a z0 = x0 + iy0 egy környezetében értelmezett függvény és w' komplex szám. Tekintsük a következő határértéket:

\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)-w\cdot (z-z_0)}{|z-z_0|}=0

Ha ez létezik, akkor ekvivalens a következővel:

\lim\limits_{z\to z_0}\left|\frac{f(z)-f(z_0)}{|z-z_0|}-\frac{w\cdot (z-z_0)}{|z-z_0|}\right|=0

Azaz

\lim\limits_{z\to z_0}\left|\frac{z-z_0}{|z-z_0|}\left(\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-w\right)\right|=0

Itt (z-z0)/|z-z0| a komplex egységkörön "futó" függvény, ezért a fenti ekvivalnes a következővel:

\lim\limits_{z\to z_0}\left|\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-w\right|=0

Ami viszont ugyanakkor igaz mint:

\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=w

Ha a következtetésben felfelé vizsgálódunk, tehát feltesszük a komplex deriválhatóságot ahol w a komplex derivált, akkor azt kapjuk, hogy a w mátrixreprezentációjával való mátrixszorzás alkalmas lineáris leképezés a valós derivált számára, azaz létezik [df(z0)]=[w].

Másfelől, ha f valósan deriválható és a deriváltja a w komplex számot reprezentálja, akkor komplexen is deriválható.

Cauchy--Riemann-egyenletek A fenti tételben a [df(z)] ∈ C feltétel (természetesen a totális deriválhatóság esetén) ekvivalens az alábbiakkal. Ha f = u + iv és z = x +iy, akkor

\begin{cases}
\partial_xu=\partial_yv\\
\partial_yu=-\partial_x v
\end{cases}

Komplex deriváltfüggvény Ahol egy f komplex függvény komplex deriválható, ott a deriváltja:

f'(z)=\partial_x u+\mathrm{i}\partial_xv=\partial_y v+\mathrm{i}\partial_xv=\partial_xu-\mathrm{i}\partial_yu=\partial_y v-\mathrm{i}\partial_yu

Definíció - Regularitás - Az f komplex függvény reguláris a z pontban, ha f a z egy egész környezetén értelmezett, és a teljes környezetben komplex deriválható.

Feladat. Legyen f(x+iy)=|x|+i|y|. Hol komplex deriválható és hol reguláris f?

Feladat. Legyen f(x + iy) = x2 + iy3. Hol komplex deriválható és hol reguláris f?


Harmonikus társ keresése

Azt mondjuk, hogy a kétszer differenciálható u=u(x,y) valós függvény harmonikus, ha

u_{xx}''+u_{yy}''\equiv \Delta u\equiv 0\,

itt Δ a Laplace-operátor (nem a Laplace-transzformátor!, hanem a vektoranalízisbeli vektormezőre Hesse-mátrix nyoma).

A C--R-egyenletek mutatják, hogy ha f=u+iv reguláris, akkor u és v harmonikus függvények. Ugyanis:

u_x'=v_y'\, és
v_x'=-u_y'\,

De u és v Hesse-mátrixa is szimmetrikus, ezért:

v_{yy}''=u_{xy}''=u_{yx}''=-v_{xx}''\,

azaz

\Delta v\equiv 0\, és fordítva.

Általában az a feladat, hogy ha adott u, akkor keressük az ő harmonikus társát, v-t, mellyel u+iv reguláris. Ha tehát adott u, akkor van F és G, hogy

F=v_y'\,
G=-v_x'\,

Ami az egzakt differenciálegynlet megoldásánál tanult parciális differenciálegyenlet megoldását igényli v-re, mint potenciálfüggvényre (ekkor f-et komplex pontenciálnak nevezzük, mármint a (v'x(x,y),vy'(x,y)) síkbeli vektormező komplex pontenciáljának; a v valódi pontenciálja lenne. Ennek szükséges utánanézni máshol is!)

1.. Keressünk harmonikus párt az

u=x^4+y^4-6x^2y^2\,

függvényhez!

Mo. Van neki, ha Δ=0. Ezt ellenőrizni kell, majd az előző módszerrel megkeresi v-t, amivel u+iv reguláris.

Komplex integrál

Görbék a komplex síkon

Ha G:[a,b]\toC, t\mapstoz(t) folytonosan differenciálható, akkor G-t görbének nevezzük. (Esetleg a folytonos, véges sok helyen nem folytonosan differenciálható előbbi G-ket is görbéknek nevezzük.) A G görbe egyszerű, ha nem metszi át saját magát, azaz minden t1, t2-re, ha z(t1) = z(t2), akkor t1 = t2. G zárt, ha z(a) = z(b). A görbe t-beli irányvektorán a

\dot{z}(t)=\dot{x}(t)+\mathrm{i}\dot{y}(t)

komplex számot értjük.

Példák

1. Legyen t∈[a,b]-re z(t) = x(t) + iy(t) olyan, hogy x(t) = x0 + w1t és y(t) = y0 + w2t, azaz z(t) = z0 + wt. Ekkor z(t) egy egyenes szakasz.

És ekkor:

\dot{z}(t)=w

2. Az origó középpontú R sugarú kör:

z(t) = Reit t∈[0,2π]

És ekkor

\dot{z}(t)=R\mathrm{i}e^{\mathrm{i}t}

hiszen

\dot{z}(t)=R\dot{\cos(t)+\mathrm{i}\sin(t)}=-R\sin(t)+\mathrm{i}R\cos(t)=\mathrm{i}(R\mathrm{i}\sin(t)+R\cos(t))

Komplex vonalmenti integrál

Definíció. Ha G:[a,b]\toC görbe és f olyan komplex függvény, melyre Ran(G)⊆Dom(f), és f folytonos, akkor belátható, hogy létezik a

\begin{matrix}
\sum\limits_{i=1}^nf(\zeta_i)\cdot \Delta z_i & \longrightarrow & \int\limits_{G}f(z)\,\mathrm{d}z\\
 & n\to \infty & \\
 & \forall z_i\in G, \;\forall \zeta_i\in \Delta z_i &\\
 & |\Delta z_i|\to 0 &  
\end{matrix}

határérték, mely egy speciális Riemann-közelítőösszeg határértéke. Itt a görbén kijelöltük a véges sok zi pontot, melyek a szigorúan monoton (ti)-khez tartoznak a zi = z(ti) definícióval. Ezen [z(ti),z(ti + 1)] görbeszakaszokon belül felvettük tetszőlegesen a ζi közbülső pontokat, és a Δzi=[z(ti),z(ti + 1)] szakaszokkal elkészítettük az f(ζi)Δzi komplex szorzatokat. A határérték ezek görbére vett összegének határértéke. Ez a határérték az f függvény G-re vett komplex integrálja.


Kiszámítási formula. Belátható, hogy a fenti integrál a következőkkel egyenlő:


\int\limits_{G}f(z)\mathrm{d}z=\int\limits_{a}^b f(z(t))\cdot \dot{z}(t)\,\mathrm{d}t

Példa

1. Legyen G a komplex egységkör pozitívan irányítva.

\int\limits_{|z|=1}\frac{1}{z}\mathrm{d}z=\int\limits_{0}^{2\pi} \frac{1}{e^{\mathrm{i}t}}\cdot \mathrm{i}e^{\mathrm{i}t}\,\mathrm{d}t=\int\limits_{0}^{2\pi} \mathrm{i}\,\mathrm{d}t=2\pi\mathrm{i}

Ahol a valós Newton--Leibniz-formulát alkalmaztuk a komponensfüggvényekre.

2. Legyen G a z(t)=(1+2i)t, ahol t∈[0,1].

\int\limits_{G}\overline{z}\mathrm{d}z=\int\limits_{0}^{1} (1-2\mathrm{i})t\cdot (1+2\mathrm{i})\,\mathrm{d}t=\int\limits_{0}^{1}5t\,\mathrm{d}t=\frac{5}{2}

3. Legyen G a komplex egységkör felső fele, pozitívan irányítva.

\int\limits_{|z|=1,\mathrm{Im}(z)\geq 0}\overline{z}^2\mathrm{d}z=\int\limits_{0}^{\pi}e^{-2\mathrm{i}t}\cdot \mathrm{i}e^{\mathrm{i}t}\,\mathrm{d}t=\int\limits_{0}^{\pi}e^{-\mathrm{i}t}\,\mathrm{d}t=1-(-1)=2

Komplex Newton--Leibniz-formula

Ha az f komplex függvény, olyan, hogy van olyan komplex differenciálható F, melyre F'=f, akkor azt mondjuk, hogy a F az f primitív függvénye.

Komplex Newton--Leibniz-formula. Ha a nyílt halmazon értelmezett f komplex függvénynek primitív függvénye az F és f folytonos, akkor minden az f értelmezési tartományában haladó G:[a,b]\toC görbére:

\int\limits_{G}f(z)\,\mathrm{d}z=F(b)-F(a)

Például:

4. Legyen f(z)=\frac{1}{z^2}. Mi az egységkörre az integrálja?

F(z)=-\frac{1}{z}

primitívfüggvénye f-nek, ezért

\int\limits_{|z|=1}\frac{1}{z^2}\,\mathrm{d}z=0

hiszen zárt a görbe, azaz a pr. fv. a kezdő és végpontban ugyanannyi.


Cirkulációmentesség

Visszavezetés valós vonalintegrálra. Az integrál kifejezhető vonalintegrállal. Ha ugyanis f= u + iv, akkor az f=(u,v) vektormezőnek olyan differenciálforma szerinti integrálja a komplex pályamenti integrál, mely az f=(u,v) vektor és a dz=(dx,dy) infinitezimális elmozdulásvektor komplex szorzásaként jön létre:

\int\limits_{G}f(z)\mathrm{d}z = \int\limits_{G} u\mathrm{d}x-v\mathrm{d }y + i\int\limits_{G} u\mathrm{d}y+v\mathrm{d }x

Ebben a felírásban az (u,-v) és (v,u) olyan segédvektormezők, melyek vonalintegráljai adják meg a komplex integrál valós és képzetes részét. Tehát az integrált a

\mathbf{P}=\begin{pmatrix}u\\-v\end{pmatrix} és \mathbf{Q}=\begin{pmatrix}v\\u\end{pmatrix}

segédvektormezők síkbeli vonalintegráljai, vagy a

\mathbf{P}'=\begin{pmatrix}-v\\-u\end{pmatrix} és \mathbf{Q}'=\begin{pmatrix}u\\-v\end{pmatrix}

segédvektormezők síkbeli felületi integráljai szolgáltatják.

Itt érdemes feleleveníteni, hogy az S = (s1, s2) síkvektormező felületi integrálja nem más, mint a (s2, s1) vektormező vonalintegrálja (a megfelelő irányítással).

\int\limits_{F} \mathbf{S}\,\mathrm{d}\mathbf{f}=\int\limits_{''F''} s_1 \mathrm{d}y-s_2\mathrm{d}x

megfelelő módon irányítva az F felületet, ill ennek "F" görbe mivoltát.

(Azaz a s_2dx - s_1 dy differenciálforma integrálja. Differenciálforma -- nemes egyszerűséggel -- egy olyan kifejezése, ahol dx, dy, dz-k és egy vektormező komponensei vannak összeszorozva-összeadva.)


Tétel. Ha a D tartományon értelmezett f függvénynek van primitív függvénye, akkor a körintegrál minden a D-ben haladó folytonosan differenciálható (ill. ilyenek véges összekapcsolásain) zárt görbén eltűnik:

\oint f=0\,

További információhoz akkor jutunk, ha a többváltozós analízis cirkuálciómentességi feltételeit vizsgáljuk. Ehhez a vissza kell vezetni a komplex integrált a vonalintegrálra.

Legyen f(z) = f(x,y) = u(x,y) + iv(x,y). Ekkor f felfogható R2 \supset\!\to R2 függvényként, melynek vonalintegrálja a

G:z(t)\equiv\mathbf{r}(t)=(x(t),y(t))\,

vonal mentén:

\int\limits_{G}f(z)\mathrm{d}z = \int\limits_{G} u\mathrm{d}x-v\mathrm{d }y + i\int\limits_{G} u\mathrm{d}y+v\mathrm{d }x

amiben az

\mathbf{v}=\begin{pmatrix}u\\-v\end{pmatrix} és \mathbf{w}=\begin{pmatrix}v\\u\end{pmatrix}

vektorterek integráljai szerepelnek.

Vagy kétdimenziós felületi integrálként:

\mathbf{v}'=\begin{pmatrix}-v\\-u\end{pmatrix} és \mathbf{w}'=\begin{pmatrix}u\\-v\end{pmatrix}

Ugyanis a komplex vonalintegrált síkbeli felületi integrállá lehet alakítani:

\int \mathbf{v}\mathrm{d}\mathbf{A}=\int \mathbf{v}\times\mathrm{d}\mathbf{r}=\int v_1 \mathrm{d}y-v_2\mathrm{d}x


Green-tétel

Nehany topologiai fogalom.

Egy D nyilt halmaz C-ben egyszeresen osszefuggo, ha benne minden zart gorbe pontra deformalhato. Ez utobbi a kovetkezot jelenti. Azt mondjuk, hogy a γ:[a,b]\toD zart gorbe a z0 D-beli pontra deformalhato a D tartomanyban, ha letezik olyan Γ:[0,1]\to D[a,b] gorbe erteku fuggveny, melyre Γ(1)=γ, Γ(0)=z0 konstans gorbe es Γ az [a,b] es D[a,b] terek kozott hato folytonos lekepezes a szupremumnorma szerint.

Csillagszeru egy H halmaz C-ben, ha van olyan H-beli pont c pont, hogy barmely H-beli z pontra a [cz] szakasz H-ban van.

Pelda. Egy csillagszeru tartomany egyszeresen osszefuggo, mert a csillagpontra valo [0,1]-beli aranyszammal parameterezett kozeppontos kicsinyites kepei alkotta parameteres gorbesereg ilyen.

Differencialformak

Emlekezzunk arra, hogy egy valos ereteku parcialisan ketszer derivalhato fuggveny ketszeres derivalhatosaga a kovetkezokkel volt ekvivalens. Letezik olyan ε valos fuggveny, mely folytonos az u pontban, ε(u)=0 es

f(x)=f(u)+\mathrm{J}^f(u)(x-u)+\frac{1}{2}(x-u)\mathrm{H}^f(u)(x-u)+\varepsilon(x)||x-u||^2

ahol J a Jacobi-matrix, H a Hesse-matrix. Az ebben a kepletben szereplo linaris ill. bilinearis lekepezesek olyan olyan jellegzetes alakok, amik alkalmasak arra, hogy altalanositsuk oket.

(P,Q)\,{dx}\choose{dy}=Pdx + Qdy\,
(dx,dy)\,\begin{pmatrix}a & b \\c & d\end{pmatrix}{dx}\choose{dy}

Tekintsuk az ω=Pdx + Qdy alaku formalis kifejezest, ahol P, Q folytonosan differencialhato fuggvenyek. Ertelmezzuk ennek a derivaltjat a kovetkezokeppen. A a (P,Q) fuggvenypar Jacobi-matrixanak antiszimmetrikus resze:

A=\frac{1}{2}\left(\begin{pmatrix}\partial_x P & \partial_y P\\ \partial_x Q & \partial_y Q\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\partial_x P & \partial_x Q\\ \partial_y P & \partial_y Q\end{pmatrix}\right)=
\frac{1}{2}\begin{pmatrix}0 & \partial_y P-\partial_x Q\\ \partial_x Q-\partial_y P & 0\end{pmatrix}=\frac{1}{2}
\begin{pmatrix}0 & -c\\ c& 0\end{pmatrix}

Ez eltunne, ha szendvicselnenek xAx-kent. Ezert atterunk a (0,c,c,0) matrixra es ezt szendvicseljuk, amibol

(\partial_x Q-\partial_y P) dxdy

jon ki. Ez lesz az ω=Pdx + Qdy forma De Rham-derivaltja.

Gauss-tétel

Lássuk először Gauss-tételle, hogyan következtethetünk a körintegrál eltűnésére.

Gauss-tétel (R3-ra) Legyen v nyílt halmazon értelmezett C1-függvény, V egyszeresen összefüggő, mérhető térrész és legyen ennek ∂V határa kifelé irányított felület. Ha V a határával együtt Dom(v)-ben van, akkor

\oint\limits_{\partial V} \mathbf{v}\;\mathrm{d}\mathbf{A}=\int\limits_{V} \mathrm{div}\,\mathbf{v}\;\mathrm{d}V

Az itt szereplő fogalmak közül néhányról beszélnünk kell.

Felület. Legyenek a φi:Di \to R3 függvények folytonosan differenciálhatóak és injektívek int(Di)-n, melyek mérhető tarományok R2-ben. Ha a képeik egymásba nem nyúlók, azaz int(φi(Di)) ∩ int(φj(Dj)) üres, ha ij, és a képek uniója összefüggő halmaz, akkor U Ran(φi)-t előállítottuk paraméteres felületként.

Példaként említhetjük a kúp paraméterezését:

\mathbf{r}_1(\varphi, h)=\left\{\begin{matrix} h\sin\vartheta\cos \varphi\\ h\sin\vartheta\sin\varphi\\ h\end{matrix}\right., ha φ ∈ [0,2π] és h ∈ [0,H]
\mathbf{r}_2(\varphi, h)=\left\{\begin{matrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi \\ H\end{matrix}\right., ha φ ∈ [0,2π] és r ∈ [0,R]

ahol H a kúp magassága, R az alapkörsugara, θ a félkúpszöge (z a tengelye, O a csúcsa). Tehát itt a paramétertartományok [0,2π] × [0,H] és [0,2π] × [0,R].

C1-ség. Ez azért kell, mert a térfogati integrált a D paramétertartományon a

\int\limits_{V} \mathrm{div}\,\mathbf{v}\;\mathrm{d}V=\int\limits_{\mathbf{r}^{-1}(V)}\mathrm{div}\,\mathbf{v}(\mathbf{r}(u,v,w))|\mathrm{J}^{\mathbf{r}}(u,v,w)|\;\mathrm{d}u\mathrm{d}v\mathrm{d}w

képlettel számoljuk és ahhoz, hogy ez lézetten, ahhoz pl az kell, hogy ne csak az r = r(u,v,w) legyen folytonosan diff.-ható, de a divergencia is folytonos legyen.

Egyszeresen összefüggő tartomány. A G1: [a,b] \to R3 és a G2: [a,b] \to R3 görbék homotópak, ha létezik olyan F: [0,1] × [a,b] \to R3 folytonos függvény, hogy F(0,.) ≡ G1 és F(1,.) ≡ G2.Ez gyakorlatilag azt jelenti, hogy a G1 a G2-be folytonos transzformációval átvihető. Egyszeresen összefüggő egy tartomány, ha benne minden zárt görbe homotóp a konstans görbével.

Az egyszeres összefüggőség lényeges feltétel. Gondoljunk a v(r) = r/r3 vektortérre. Ennek divergenciája 0, de az origó körüli zárt gömbfelület integrálja 4π.

Gauss-tétel (R2-re) Legyen D egyszeresen összefüggő, mérhető síktartomány és legyen G ≡ r(t) ennek határát paraméterező zárt görbe. Ha v folytonosan R-differenciálható a D lezártján, akkor

\oint\limits_{G} \mathbf{v}(\mathbf{r})\mathrm{d}\mathbf{A}=\int\limits_{D} \mathrm{div}\,(\mathbf{v})\mathrm{d}A

Így tehát a komplex vonalintegrál kiszámításához csak a v ' és w ' felületi integrálját kell kiszámítanunk, amihez a Gauss-tétel miatt beli divergenciákat kell kiszámítanunk:

\mathrm{div}\mathbf{v}'=-\frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}=0
\mathrm{div}\mathbf{w}'=\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial v}{\partial y}=0

Ami, a C-R-egyenletek miatt igaz.

Innen

\int\limits_{G}f(z)\mathrm{d}z=0

Stokes-tétel

Nézzük meg Stokes-tétellel is a bizonyítást.

Stokes-tétel (R3-ra) Legyen a nyílt halmazon értelmezett v vektorfüggvény folytonosan differenciálható, a Dom(v)-beli F felület pereme legyen a szintén Dom(v)-beli G zárt, F-nek megfelelően irányított görbe. Ekkor

\oint\limits_{G} \mathbf{v}(\mathbf{r})\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{F} \mathrm{rot}(\mathbf{v})\mathrm{d}\mathbf{F}

A térbeli cirkulációmentességre vonatkozó nevezetes tétel ezzel a tétellel kapcsoltos. Ebben az esetben, bár az egyszeres összefüggőség nincs megkötve Dom(v)-re vonatkozólag, előjön a következményében:

Következmény. Ha az egyszeresen összefűggő D nyílt halmazon értelmezett v vektortér folytonosan differenciálható, akkor az alábbi három kijelentés ekvivaléens egymással:

  1. rot v eltűnik D-n.
  2. minden D-ben haladó zárt görbén a v körintegrálja nulla
  3. létezik v-nek D-n potenciálja, azaz olyan Φ : D \to R3 függvény, melyre grad Φ = v.

Itt az egyszeres összefüggőség azért kell, mert annyit biztosan tudunk, hogy ilyen esetben a zárt görbéhez található olyan felület, mely a tartományban halad és pereme a görbe.

Stokes-tétel (R2-re) Legyen a D síkbeli felület határán a G zárt görbe ( r(t) ). Ha v folytonosan R-differenciálható, akkor

\oint\limits_{G} \mathbf{v}(\mathbf{r})\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{D} \mathrm{rot}(\mathbf{v})\mathrm{d}A

Világos, hogy a D tartománynak egyszeresen összefüggőnek kell lennie ahhoz, hogy a G a határa legyen a D-nek. Ekkor csak a rotációt kell kiszámítanunk:

\mathrm{rot}\mathbf{v}=\frac{\partial u}{\partial y} - \left(-\frac{\partial v}{\partial x}\right)=0
\mathrm{rot}\mathbf{w}=\frac{\partial v}{\partial y} - \frac{\partial u}{\partial x}=0

Ami, a C-R-egyenletek miatt igaz.

Goursat-lemma, Cauchy-féle integráltétel

Goursat ennél is mélyebb eredményt talált:


Goursat-lemma. A T háromszöglapon reguláris f komplex függvény integrálja a háromszög határán nulla:

\oint\limits_{\partial T}f=0\,

Innen már könnyen adódik a komplex analízis főtétele, melyet először Cauchy modott ki ugyan csak folytonosan diffható komplex függvényre, de Goursat ezt megfejelte a gyengített feltételével:

Főtétel. Ha a D tartományon egyszeresen összefüggő tartoányon reguláris az f komplex függvény, akkor a tartományban minden zárt G görbén a függvény integrálja nulla:

\oint\limits_{G} f=0\,
Személyes eszközök