|
|
| 1. sor: |
1. sor: |
| − | ''<sub><[[Matematika A3a 2008]]</sub>''
| |
| | | | |
| − | ==Komplex integrál==
| |
| − |
| |
| − | ===Görbék a komplex síkon===
| |
| − |
| |
| − | Ha a Γ '''C'''-beli halmaz olyan, hogy van olyan ''G'':[''a'',''b'']<math>\to</math>'''C''', ''t''<math>\mapsto</math>''z''(''t'') folytonos, veges sok kivetellel folytonosan differenciálható fuggveny, aminek az ertekkeszlete Γ, akkor Γ-t görbének nevezzük. A Γ görbe ''egyszerű'', ha nem metszi át saját magát, azaz minden <math>t_1</math>, <math>t_2</math>-re, ha <math>z(t_1)=z(t_2)</math>, akkor <math>t_1=t_2</math>. ''G'' zárt, ha <math>z(a)=z(b)</math>. A görbe ''t''-beli irányvektorán a
| |
| − | :<math>\dot{z}(t)=\dot{x}(t)+\mathrm{i}\dot{y}(t)</math>
| |
| − | komplex számot értjük.
| |
| − |
| |
| − | Tobb parameterezes is elo tudja allitani a Γ gorbet. Ezek kozul kettot, a <math>z_1</math>-et es a <math>z_2</math>-t ekvivalensnek nevezunk, ha van olyan g:[a,b]<math>\to</math>[c,d] folytonos valos fuggveny, ami (a,b)-n differencialhato, g'>0 es <math>z_2=z_1\circ g</math>. Az osszes parameterezesek halmaza ket osztalyra esik szet, ezek a gorbe ellentetes parameterezeseit adjak.
| |
| − |
| |
| − | ====Példák====
| |
| − | '''1.''' Legyen ''t''∈[a,b]-re ''z''(''t'') = ''x''(''t'') + i''y''(''t'') olyan, hogy <math>x(t)=x_0+w_1t</math> és <math>y(t)=y_0+w_2t</math>, azaz <math>z(t)=z_0+w t</math>. Ekkor ''z''(''t'') egy egyenes szakasz.
| |
| − |
| |
| − | És ekkor:
| |
| − | :<math>\dot{z}(t)=w</math>
| |
| − | '''2.''' Az origó középpontú R sugarú kör:
| |
| − | :<math>z(t)=Re^{\mathrm{i}t}</math> ''t''∈[0,2π]
| |
| − | És ekkor
| |
| − | :<math>\dot{z}(t)=R\mathrm{i}e^{\mathrm{i}t}</math>
| |
| − | hiszen
| |
| − | :<math>\dot{z}(t)=R\dot{\cos(t)+\mathrm{i}\sin(t)}=-R\sin(t)+\mathrm{i}R\cos(t)=\mathrm{i}(R\mathrm{i}\sin(t)+R\cos(t))</math>
| |
| − |
| |
| − | ===Komplex vonalmenti integrál===
| |
| − | '''Definíció.''' Ha ''G'':[a,b]<math>\to</math>'''C''' görbe és f olyan komplex függvény, melyre Ran(G)⊆Dom(f), és f folytonos, akkor belátható, hogy létezik a
| |
| − |
| |
| − | :<math>\begin{matrix}
| |
| − | \sum\limits_{i=1}^nf(\zeta_i)\cdot \Delta z_i & \longrightarrow & \int\limits_{G}f(z)\,\mathrm{d}z\\
| |
| − | & n\to \infty & \\
| |
| − | & \forall z_i\in G, \;\forall \zeta_i\in \Delta z_i &\\
| |
| − | & |\Delta z_i|\to 0 &
| |
| − | \end{matrix}</math>
| |
| − | határérték, mely egy speciális Riemann-közelítőösszeg határértéke. Itt a görbén kijelöltük a véges sok <math>z_i</math> pontot, melyek a szigorúan monoton (<math>t_i</math>)-khez tartoznak a <math>z_i=z(t_i)</math> definícióval. Ezen <math>[z(t_i),z(t_{i+1})]</math> görbeszakaszokon belül felvettük tetszőlegesen a ζ<sub>i</sub> közbülső pontokat, és a Δz<sub>i</sub>=<math>[z(t_i),z(t_{i+1})]</math> szakaszokkal elkészítettük az f(ζ<sub>i</sub>)Δz<sub>i</sub> komplex szorzatokat. A határérték ezek görbére vett összegének határértéke. Ez a határérték az f függvény ''G''-re vett komplex integrálja.
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | '''Kiszámítási formula.''' Belátható, hogy a fenti integrál a következőkkel egyenlő:
| |
| − | :<math>
| |
| − | \int\limits_{G}f(z)\mathrm{d}z=\int\limits_{a}^b f(z(t))\cdot \dot{z}(t)\,\mathrm{d}t</math>
| |
| − |
| |
| − | '''Megjegyzes''' A helyettesiteses integralas tetelenek felhasznalasaval belathato, hogy ez az integral fuggetlen a parametertezestol, ha azok ugyanazt az iranyitast hatarozzak meg.
| |
| − |
| |
| − | '''Megj.''' A kiszamitasi formulaban skalarvaltozos vektorerteku fuggveny integralja szerepel. Ezt a kovetkezokeppen kell kiszamitani:
| |
| − |
| |
| − | <math>\int\limits_a^b\begin{pmatrix}f_1(t)\\f_2(t)\end{pmatrix}\,dt=\begin{pmatrix}\int\limits_a^b f_1(t) \,dt\\ \int\limits_a^b f_2(t)\,dt\end{pmatrix}
| |
| − | </math>
| |
| − |
| |
| − | ===Példa===
| |
| − | '''1.''' Legyen ''G'' a komplex egységkör pozitívan irányítva.
| |
| − | :<math>\int\limits_{|z|=1}\frac{1}{z}\mathrm{d}z=\int\limits_{0}^{2\pi} \frac{1}{e^{\mathrm{i}t}}\cdot \mathrm{i}e^{\mathrm{i}t}\,\mathrm{d}t=\int\limits_{0}^{2\pi} \mathrm{i}\,\mathrm{d}t=2\pi\mathrm{i}</math>
| |
| − | Ahol a valós Newton--Leibniz-formulát alkalmaztuk a komponensfüggvényekre.
| |
| − |
| |
| − | '''2.''' Legyen ''G'' a z(t)=(1+2i)t, ahol t∈[0,1].
| |
| − | :<math>\int\limits_{G}\overline{z}\mathrm{d}z=\int\limits_{0}^{1} (1-2\mathrm{i})t\cdot (1+2\mathrm{i})\,\mathrm{d}t=\int\limits_{0}^{1}5t\,\mathrm{d}t=\frac{5}{2}</math>
| |
| − |
| |
| − | '''3.''' Legyen ''G'' a komplex egységkör felső fele, pozitívan irányítva.
| |
| − | :<math>\int\limits_{|z|=1,\mathrm{Im}(z)\geq 0}\overline{z}^2\mathrm{d}z=\int\limits_{0}^{\pi}e^{-2\mathrm{i}t}\cdot \mathrm{i}e^{\mathrm{i}t}\,\mathrm{d}t=\int\limits_{0}^{\pi}e^{-\mathrm{i}t}\,\mathrm{d}t=1-(-1)=2</math>
| |
| − |
| |
| − | ===Komplex Newton--Leibniz-formula===
| |
| − | Ha az f komplex függvény, olyan, hogy van olyan komplex differenciálható F, melyre F'=f, akkor azt mondjuk, hogy az F az f primitív függvénye.
| |
| − |
| |
| − | '''Komplex Newton--Leibniz-formula.''' Ha a nyílt halmazon értelmezett f komplex függvénynek primitív függvénye az F, akkor minden az f értelmezési tartományában haladó ''G'':[a,b]<math>\to</math>'''C''' görbére:
| |
| − | :<math>\int\limits_{G}f(z)\,\mathrm{d}z=F(b)-F(a)</math>
| |
| − |
| |
| − | (Ha még nem tudjuk, hogy reguláris függvény analitikus, akkor f-ről fel kell tennünk, hogy folytonos.)
| |
| − |
| |
| − | '''4.''' Legyen <math>f(z)=\frac{1}{z^2}</math>. Mi az egységkörre az integrálja?
| |
| − | :<math>F(z)=-\frac{1}{z}</math>
| |
| − | primitívfüggvénye f-nek, ezért
| |
| − | :<math>\int\limits_{|z|=1}\frac{1}{z^2}\,\mathrm{d}z=0</math>
| |
| − | hiszen zárt a görbe, azaz a pr. fv. a kezdő és végpontban ugyanannyi.
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | ===Visszavezetés valós vonalintegrálra es feluleti integralra===
| |
| − | Az integrál kifejezhető vonalintegrállal. Ha ugyanis f= u + iv, akkor az f=(u,v) vektormezőnek olyan differenciálforma szerinti integrálja a komplex pályamenti integrál, mely az f=(u,v) vektor és a dz=(dx,dy) infinitezimális elmozdulásvektor komplex szorzásaként jön létre:
| |
| − | :<math>\int\limits_{G}f(z)\mathrm{d}z = \int\limits_{G} u\mathrm{d}x-v\mathrm{d }y + i\int\limits_{G} u\mathrm{d}y+v\mathrm{d }x</math>
| |
| − | Ebben a felírásban az (u,-v) és (v,u) olyan segédvektormezők, melyek vonalintegráljai adják meg a komplex integrál valós és képzetes részét. Tehát az integrált a
| |
| − | :<math>\mathbf{P}=\begin{pmatrix}u\\-v\end{pmatrix}</math> és <math>\mathbf{Q}=\begin{pmatrix}v\\u\end{pmatrix}</math>
| |
| − | segédvektormezők síkbeli '''vonalintegráljai'''
| |
| − | :<math>\int\limits_{G}\mathbf{P}\,\mathrm{d}\mathbf{r}+i\int\limits_{G}\mathbf{Q}\,\mathrm{d}\mathbf{r}</math>
| |
| − |
| |
| − | vagy
| |
| − | :<math>\mathbf{P}'=\begin{pmatrix}-v\\-u\end{pmatrix}</math> és <math>\mathbf{Q}'=\begin{pmatrix}u\\-v\end{pmatrix}</math>
| |
| − | segédvektormezők síkbeli '''felületi integráljai'''
| |
| − | :<math>\int\limits_{F}\mathbf{P}'\,\mathrm{d}\mathbf{f}+i\int\limits_{F}\mathbf{Q}'\,\mathrm{d}\mathbf{f}</math>
| |
| − | szolgáltatják.
| |
| − |
| |
| − | Itt érdemes feleleveníteni, hogy az '''v''' = (<math>v_1</math>, <math>v_2</math>) síkvektormező felületi integráljat a (<math>v_1</math>, <math>v_2</math>)(<math>df_1</math>, <math>df_2</math>) "differencialforma" integralasa adja. Itt az infinitezimalis feluletelem (<math>df_1</math>, <math>df_2</math>)=(<math>dy</math>,-<math>dx</math>).
| |
| − | :<math>\int\limits_{F} \mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{f}=\int\limits_{F} v_1 \mathrm{d}y-v_2\mathrm{d}x</math>.
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | '''A N.--L.-tétel bizonyitasa.''' A vonalintegrálra vonatkozó Newton--Leibniz-tétel (I. gradiens tétel) a következő: ha Φ folytonosan differenciálható, az értelmezési tartományában haladó G görge végpontjai: a és b, akkor
| |
| − | :<math>\int\limits_{G}\mathrm{grad}\,\Phi\mathrm{d}\mathbf{r}=\Phi(b)-\Phi(a)</math>
| |
| − | Ezt a segédvektormezőkre fogjuk alkalmazni.
| |
| − |
| |
| − | :<math>\int\limits_{G}f(z)\mathrm{d}z = \int\limits_{G} u\mathrm{d}x-v\mathrm{d }y + i\int\limits_{G} u\mathrm{d}y+v\mathrm{d }x=</math>
| |
| − | :<math>=\int\limits_{G} u\mathrm{d}x-v\mathrm{d }y + i\int\limits_{G} v\mathrm{d }x+u\mathrm{d}y</math>
| |
| − |
| |
| − | :<math>F=\Phi+i\Psi</math>
| |
| − | :<math>f=F'=\partial_x\Phi+i\partial_y(-\Phi)=u+vi</math>
| |
| − | :<math>f=F'=\partial_y(\Psi)+i\partial_x(\Psi)=u+vi</math>
| |
| − | :<math>\mathrm{grad}\,\Phi = (u,-v)</math>
| |
| − | :<math>\mathrm{grad}\,\Psi = (v,u)</math>
| |
| − |
| |
| − | :<math>=\int\limits_{G} u\mathrm{d}x-v\mathrm{d }y + i\int\limits_{G} v\mathrm{d }x+u\mathrm{d}y=\Phi(b)-\Phi(a)+i(\Psi(b)-\Psi(a))</math>
| |
| − |
| |
| − | u,v folytonos differenciálhatósága sajnos csak egy későbbi tétel következménye, miszerint reguláris függvény analitikus. Addig a tételben ideiglenesen ki kell kötnünk, hogy ''f'' folytonos.
| |
| − |
| |
| − | '''Tétel.''' Ha a ''D'' nyílt halmazon értelmezett ''f'' függvénynek van primitív függvénye, akkor ''f'' körintegrálja minden a ''D''-ben haladó zárt görbére nulla:
| |
| − | :<math>\oint\limits_{G} f=0\,</math>
| |
| − |
| |
| − | További információhoz akkor jutunk, ha a többváltozós analízis cirkulációmentességi feltételeit vizsgáljuk. Ehhez a vissza kell vezetni a komplex integrált a vonalintegrálra.
| |
| − |
| |
| − | ==Cirkulációmentesség==
| |
| − |
| |
| − | ===Gauss-tétel===
| |
| − | Lássuk először Gauss-tétellel, hogyan következtethetünk a körintegrál eltűnésére.
| |
| − |
| |
| − | '''Gauss-tétel''' ('''R'''<sup>3</sup>-ra) Legyen '''v''' nyílt halmazon értelmezett C<sup>1</sup>-függvény, ''V'' merheto, peremes térrész és legyen ennek pereme a ∂''V'' kifelé irányított felület. Ha ''V'' a peremével együtt Dom('''v''')-ben van, akkor
| |
| − | :<math>\oint\limits_{\partial V} \mathbf{v}\;\mathrm{d}\mathbf{f}=\int\limits_{V} \mathrm{div}\,\mathbf{v}\;\mathrm{d}V</math>
| |
| − |
| |
| − | '''Megjegyzes.''' Az itt szereplő fogalmak közül néhányról beszélnünk kell.
| |
| − |
| |
| − | ''Felület.'' Legyenek a φ<sup>i</sup>:D<sub>i</sub> <math>\to</math> '''R'''<sup>3</sup> függvények folytonosan differenciálhatóak és injektívek int(''D''<sub>i</sub>)-n, melyek mérhető tartományok '''R'''<sup>2</sup>-ben. Ha a képeik egymásba nem nyúlók, azaz int(φ<sub>i</sub>(''D''<sub>i</sub>)) ∩ int(φ<sub>j</sub>(''D''<sub>j</sub>)) üres, ha ''i'' ≠ ''j'', és a képek uniója összefüggő halmaz, akkor U Ran(φ<sup>i</sup>)-t előállítottuk paraméteres felületként.
| |
| − |
| |
| − | Példaként említhetjük a kúp paraméterezését:
| |
| − |
| |
| − | :<math>\mathbf{r}_1(\varphi, h)=\left\{\begin{matrix} h\sin\vartheta\cos \varphi\\ h\sin\vartheta\sin\varphi\\ h\end{matrix}\right.</math>, ha φ ∈ [0,2π] és ''h'' ∈ [0,''H'']
| |
| − | :<math>\mathbf{r}_2(\varphi, h)=\left\{\begin{matrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi \\ H\end{matrix}\right.</math>, ha φ ∈ [0,2π] és ''r'' ∈ [0,''R'']
| |
| − | ahol H a kúp magassága, R az alapkörsugara, θ a félkúpszöge (z a tengelye, O a csúcsa). Tehát itt a paramétertartományok [0,2π] × [0,''H''] és [0,2π] × [0,''R''].
| |
| − |
| |
| − | ''C<sup>1</sup>-ség''. Ez azért kell, mert a térfogati integrált a ''D'' paramétertartományon a
| |
| − | :<math>\int\limits_{V} \mathrm{div}\,\mathbf{v}\;\mathrm{d}V=\int\limits_{\mathbf{r}^{-1}(V)}\mathrm{div}\,\mathbf{v}(\mathbf{r}(u,v,w))|\mathrm{J}^{\mathbf{r}}(u,v,w)|\;\mathrm{d}u\mathrm{d}v\mathrm{d}w</math>
| |
| − | képlettel számoljuk és ahhoz, hogy ez létezzen, ahhoz pl. az kell, hogy ne csak az '''r''' = '''r'''(u,v,w) legyen folytonosan diff.-ható, de a divergencia is folytonos legyen.
| |
| − |
| |
| − | '''Gauss-tétel''' ('''R'''<sup>2</sup>-re) Legyen ''D'' mérhető peremes síkrész, melynek perme, azaz a ∂D halmaz kifelé irányított síkbeli felület. Ha '''v''' nyílt halmazon értelmezett folytonosan '''R'''-differenciálható és Dom('''v''') tartalmazza ''D'' lezártját, akkor
| |
| − | :<math>\oint\limits_{\partial D} \mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{f}=\int\limits_{D} \mathrm{div}\,(\mathbf{v})\mathrm{d}\mathbf{A}</math>
| |
| − | ahol ∫d'''f''' kétdimenziós felületi integrált jelöl, ∫d'''A''' pedig kétdimenziós tartományi integrált.
| |
| − |
| |
| − | Így tehát a komplex vonalintegrál kiszámításához csak a '''P'''' és '''Q'''' felületi integrálját kell kiszámítanunk, amihez a Gauss-tételbeli divergenciákat kell kiszámítanunk:
| |
| − | :<math>\mathrm{div}\mathbf{P}'=-\frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}=0</math>
| |
| − | :<math>\mathrm{div}\mathbf{Q}'=\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial v}{\partial y}=0</math>
| |
| − | Ami, a C-R-egyenletek miatt igaz.
| |
| − |
| |
| − | Innen
| |
| − | :<math>\int\limits_{\partial D}f(z)\mathrm{d}z=0</math>
| |
| − |
| |
| − | ===Stokes-tétel===
| |
| − |
| |
| − | Nézzük meg Stokes-tétellel is a bizonyítást.
| |
| − |
| |
| − | '''Stokes-tétel''' ('''R'''<sup>3</sup>-ra) Legyen a nyílt halmazon értelmezett '''v''' vektorfüggvény folytonosan differenciálható, a Dom('''v''')-beli ''F'' felületen, aminek a ∂''F'' pereme legyen szintén Dom('''v''')-beli és ''F''-hez ''megfelelően irányított'' görbe. Ekkor
| |
| − | :<math>\oint\limits_{\partial F} \mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{F} \mathrm{rot}\,\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{f}</math>
| |
| − |
| |
| − | '''Megjegyzes.''' A térbeli cirkulációmentességre vonatkozó nevezetes tétel ezzel a tétellel kapcsolatos. Ebben az esetben, bár az egyszeres összefüggőség nincs megkötve Dom('''v''')-re vonatkozólag, előjön a következményében:
| |
| − |
| |
| − | ''Következmény.'' Ha az egyszeresen összefűggő ''U'' nyílt halmazon értelmezett '''v''' vektormező folytonosan differenciálható, akkor az alábbi három kijelentés ekvivalens egymással:
| |
| − | # rot '''v''' eltűnik ''U''-n,
| |
| − | # minden ''U''-ban haladó zárt görbén a '''v''' körintegrálja nulla,
| |
| − | # létezik '''v'''-nek ''U''-n potenciálja, azaz olyan Φ : ''U'' <math>\to</math> '''R''' függvény, melyre grad Φ = '''v'''.
| |
| − |
| |
| − | Itt az egyszeres összefüggőség azért kell, mert ilyen esetben a zárt görbéhez található olyan felület, mely a tartományban halad és pereme a görbe.
| |
| − |
| |
| − | '''Stokes-tétel''' ('''R'''<sup>2</sup>-re) Legyen a ''D'' síkbeli tartomany határa a ∂D zárt görbe, megfelelően irányítva. Ha '''v''' folytonosan '''R'''-differenciálható egy nyílt halmazon, mely tartalmazza ''D'' lezártját, akkor
| |
| − | :<math>\oint\limits_{\partial D} \mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{D} \mathrm{rot}(\mathbf{v})\,\mathrm{d}A</math>
| |
| − |
| |
| − | Ekkor csak a rotációt kell kiszámítanunk:
| |
| − |
| |
| − | :<math>\mathrm{rot}\mathbf{P}=\frac{\partial u}{\partial y} - \left(-\frac{\partial v}{\partial x}\right)=0</math>
| |
| − | :<math>\mathrm{rot}\mathbf{Q}=\frac{\partial v}{\partial y} - \frac{\partial u}{\partial x}=0</math>
| |
| − |
| |
| − | Ami, a C-R-egyenletek miatt igaz.
| |
| − |
| |
| − | Mindezekből tehát következik, hogy ha a ''D'' peremes síktartomány lezártján az ''f'' komplex függvény (értelmezett és) analitikus, akkor ''D'' peremén az ''f'' integrálja eltünik. A következőkben élesítjük úgy a tételt, hogy elegendő legyen feltenni benne, hogy ''f'' egyszer komplexen deriválható, egyszeresen összefüggő nyílt halmazon értelmezett és a görbe egy benne haladó egyszerű zárt görbe.
| |
| − |
| |
| − | ===Green-tétel===
| |
| − |
| |
| − | A síkbeli Stokes-tételt néha Green-tételnek is nevezik, ha az alábbi alakban van írva. Ez a következő. Legyen a ''D'' síkbeli tartomany határa a ∂D zárt görbe, megfelelően irányítva. Ha a (P,Q) síkbeli vektormező folytonosan '''R'''-differenciálható egy nyílt halmazon, mely tartalmazza ''D'' lezártját, akkor
| |
| − | :<math>\oint\limits_{\partial D} P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y=\int\limits_{D} \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y</math>
| |
| − |
| |
| − | HF: Bizonyítsuk be a tételt síkbeli normáltartományra, azaz olyan ''D''-re, melyre:
| |
| − | :<math>D=\{(x,y)\in \mathbf{R}^2\mid a\leq x\leq b, \;\psi(x)\leq y\leq \varphi(x)\}</math>
| |
| − | ahol minden x∈[a,b]-re ψ(x)≤φ(x). Itt ψ, φ folytonosan differenciálható.
| |
| − |
| |
| − | ===Goursat-lemma, Cauchy-féle integráltétel===
| |
| − |
| |
| − | Goursat ennél is mélyebb eredményt talált:
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | '''Goursat-lemma'''. A T háromszöglapon reguláris ''f'' komplex függvény integrálja a háromszög határán nulla:
| |
| − | :<math>\oint\limits_{\partial T}f=0\,</math>
| |
| − |
| |
| − | ''Bizonyitas.'' A haromszoget osszuk fel 4 egybevago haromszogre: Δ=Δ<sub>1</sub>∪Δ<sub>2</sub>∪Δ<sub>3</sub>∪Δ<sub>4</sub>. Ha jol iranyitjuk a kis haromszogek hatarat, akkor
| |
| − | :<math>\int\limits_{\Delta}f=\int\limits_{\Delta_1}f+\int\limits_{\Delta_2}f+\int\limits_{\Delta_3}f+\int\limits_{\Delta_4}f</math>
| |
| − | Ezt felulbecsulhetjuk a kovetkezovel:
| |
| − | :<math>\left|\int\limits_{\Delta}f\right|\leq\sum\limits_{i=1}^4\left|\int\limits_{\Delta_i}f\right|\leq 4\max\limits_{i=1}^4\left|\int\limits_{\Delta_i}f\right|=4\left|\int\limits_{\Delta^{(1)}}f\right|</math>
| |
| − | most Δ<sup>(1)</sup>-et bontjuk fel es folytatva a felosztast egy nullahoz tarto nagysagu haromszogekbol allo egymasba skatulyazott (Δ<sup>(''n'')</sup>) haromszogsorozatot kapunk, mely egy ponthoz, a ''z''<sub>0</sub>-hoz tart. A haromszogek kerulete K/2<sup>''n''</sup>, ha K az eredeti haromszog kerulete. Erra a sorozatra tovabba:
| |
| − | :<math>\left|\int\limits_{\Delta}f\right|\leq 4^n\left|\int\limits_{\Delta^{(n)}}f\right|</math>
| |
| − | igaz.
| |
| − |
| |
| − | Most felhasznaljuk a komplex differencialhatosagot. Tetszoleges ε>0 szamra van olyan kornyezete ''z''<sub>0</sub>-nak, es a haromszogsorozatnak olyan N indexe, melyre az n-edik tagok mar a kornyezetben vannak es az alabbi formulaban az |ε(z)|<ε:
| |
| − | :<math>f(z)-f(z_0)-f'(z_0)(z-z_0)-\varepsilon(z)(z-z_0)</math>
| |
| − | Ezt integralva a haromszogre:
| |
| − | :<math>|\int\limits_{\Delta^{(n)}}f(z)|=|\int\limits_{\Delta^{(n)}}f(z_0)+f'(z_0)(z-z_0)+\varepsilon(z)(z-z_0)\,dz|=|\int\limits_{\Delta^{(n)}}\varepsilon(z)(z-z_0)\,dz|=</math>
| |
| − | Itt az utolso kifejezest az ivhossz integrallal felulbecsuljuk:
| |
| − | :<math>\leq\int\limits_{\Delta^{(n)}}|\varepsilon(z)||(z-z_0)|\,d|z|<\varepsilon K^2/4^n</math>
| |
| − | Mivel ε tetszoleges volt, ezert az integral eltunik.
| |
| − |
| |
| − | Innen már könnyen adódik a komplex analízis főtétele, melyet először Cauchy modott ki ugyan csak folytonosan diffható komplex függvényre, de Goursat ezt megfejelte a gyengített feltételével:
| |
| − |
| |
| − | '''Főtétel.''' Ha a ''D'' egyszeresen összefüggő tartományon reguláris az ''f'' komplex függvény, akkor a tartományban minden zárt G egyszeru görbén a függvény integrálja nulla:
| |
| − | :<math>\oint\limits_{G} f=0\,</math>
| |
| − |
| |
| − | ===Nehany topologiai fogalom===
| |
| − |
| |
| − | Egy ''D'' nyilt halmaz '''C'''-ben egyszeresen osszefuggo, ha benne minden zart gorbe ''pontra deformalhato''.
| |
| − | Ez utobbi a kovetkezot jelenti. Azt mondjuk, hogy a γ:[a,b]<math>\to</math>''D'' zart gorbe a <math>z_0</math> ''D''-beli pontra deformalhato a ''D'' tartomanyban, ha letezik olyan Γ:[0,1]<math>\to</math> <math>D^{[a,b]}</math> gorbe erteku fuggveny, melyre Γ(1)=γ, Γ(0)=<math>z_0</math> konstans gorbe es Γ az [a,b] es <math>D^{[a,b]}</math> terek kozott hato folytonos lekepezes a szupremumnorma szerint.
| |
| − |
| |
| − | ''Csillagszeru'' egy ''H'' halmaz '''C'''-ben, ha van olyan ''H''-beli pont ''c'' pont, hogy barmely ''H''-beli ''z'' pontra a [''cz''] szakasz ''H''-ban van.
| |
| − |
| |
| − | ''Pelda.'' Egy csillagszeru tartomany egyszeresen osszefuggo, mert a csillagpontra valo [0,1]-beli aranyszammal parameterezett kozeppontos kicsinyites kepei alkotta parameteres gorbesereg ilyen.
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | [[Kategória:Matematika A3]]
| |
