Matematika A3a 2008/7. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
||
1. sor: | 1. sor: | ||
''<sub><[[Matematika A3a 2008]]</sub>'' | ''<sub><[[Matematika A3a 2008]]</sub>'' | ||
+ | ==Komplex integrál== | ||
+ | |||
+ | ===Görbék a komplex síkon=== | ||
+ | |||
+ | Ha ''G'':[''a'',''b'']<math>\to</math>'''C''', ''t''<math>\mapsto</math>''z''(''t'') folytonosan differenciálható, akkor ''G''-t görbének nevezzük. (Esetleg a folytonos, véges sok helyen nem folytonosan differenciálható előbbi ''G''-ket is görbéknek nevezzük.) A ''G'' görbe ''egyszerű'', ha nem metszi át saját magát, azaz minden <math>t_1</math>, <math>t_2</math>-re, ha <math>z(t_1)=z(t_2)</math>, akkor <math>t_1=t_2</math>. ''G'' zárt, ha <math>z(a)=z(b)</math>. A görbe ''t''-beli irányvektorán a | ||
+ | :<math>\dot{z}(t)=\dot{x}(t)+\mathrm{i}\dot{y}(t)</math> | ||
+ | komplex számot értjük. | ||
+ | |||
+ | ====Példák==== | ||
+ | '''1.''' Legyen ''t''∈[a,b]-re ''z''(''t'') = ''x''(''t'') + i''y''(''t'') olyan, hogy <math>x(t)=x_0+w_1t</math> és <math>y(t)=y_0+w_2t</math>, azaz <math>z(t)=z_0+w t</math>. Ekkor ''z''(''t'') egy egyenes szakasz. | ||
+ | |||
+ | És ekkor: | ||
+ | :<math>\dot{z}(t)=w</math> | ||
+ | '''2.''' Az origó középpontú R sugarú kör: | ||
+ | :<math>z(t)=Re^{\mathrm{i}t}</math> ''t''∈[0,2π] | ||
+ | És ekkor | ||
+ | :<math>\dot{z}(t)=R\mathrm{i}e^{\mathrm{i}t}</math> | ||
+ | hiszen | ||
+ | :<math>\dot{z}(t)=R\dot{\cos(t)+\mathrm{i}\sin(t)}=-R\sin(t)+\mathrm{i}R\cos(t)=\mathrm{i}(R\mathrm{i}\sin(t)+R\cos(t))</math> | ||
+ | ===Komplex vonalmenti integrál=== | ||
+ | '''Definíció.''' Ha ''G'':[a,b]<math>\to</math>'''C''' görbe és f olyan komplex függvény, melyre Ran(G)⊆Dom(f), és f folytonos, akkor belátható, hogy létezik a | ||
+ | |||
+ | :<math>\begin{matrix} | ||
+ | \sum\limits_{i=1}^nf(\zeta_i)\cdot \Delta z_i & \longrightarrow & \int\limits_{G}f(z)\,\mathrm{d}z\\ | ||
+ | & n\to \infty & \\ | ||
+ | & \forall z_i\in G, \;\forall \zeta_i\in \Delta z_i &\\ | ||
+ | & |\Delta z_i|\to 0 & | ||
+ | \end{matrix}</math> | ||
+ | határérték, mely egy speciális Riemann-közelítőösszeg határértéke. Itt a görbén kijelöltük a véges sok <math>z_i</math> pontot, melyek a szigorúan monoton (<math>t_i</math>)-khez tartoznak a <math>z_i=z(t_i)</math> definícióval. Ezen <math>[z(t_i),z(t_{i+1})]</math> görbeszakaszokon belül felvettük tetszőlegesen a ζ<sub>i</sub> közbülső pontokat, és a Δz<sub>i</sub>=<math>[z(t_i),z(t_{i+1})]</math> szakaszokkal elkészítettük az f(ζ<sub>i</sub>)Δz<sub>i</sub> komplex szorzatokat. A határérték ezek görbére vett összegének határértéke. Ez a határérték az f függvény ''G''-re vett komplex integrálja. | ||
+ | |||
+ | '''Visszavezetés valós vonalintegrálra.''' | ||
+ | Az integrál kifejezhető vonalintegrállal. Ha ugyanis f= u + iv, akkor az f=(u,v) vektormezőnek olyan differenciálforma szerinti integrálja a komplex pályamenti integrál, mely az f=(u,v) vektor és a dz=(dx,dy) infinitezimális elmozdulásvektor komplex szorzásaként jön létre: | ||
+ | :<math>\int\limits_{G}f(z)\mathrm{d}z = \int\limits_{G} u\mathrm{d}x-v\mathrm{d }y + i\int\limits_{G} u\mathrm{d}y+v\mathrm{d }x</math> | ||
+ | Ebben a felírásban az (u,-v) és (v,u) olyan segédvektormezők, melyek vonalintegráljai adják meg a komplex integrál valós és képzetes részét. Tehát az integrált a | ||
+ | :<math>\mathbf{P}=\begin{pmatrix}u\\-v\end{pmatrix}</math> és <math>\mathbf{Q}=\begin{pmatrix}v\\u\end{pmatrix}</math> | ||
+ | segédvektormezők síkbeli '''vonalintegráljai''', vagy a | ||
+ | :<math>\mathbf{P}'=\begin{pmatrix}-v\\-u\end{pmatrix}</math> és <math>\mathbf{Q}'=\begin{pmatrix}u\\-v\end{pmatrix}</math> | ||
+ | segédvektormezők síkbeli '''felületi integráljai''' szolgáltatják. | ||
+ | |||
+ | Itt érdemes feleleveníteni, hogy az '''S''' = (<math>s_1</math>, <math>s_2</math>) síkvektormező felületi integrálja nem más, mint a (<math>-s_2</math>, <math>s_1</math>) vektormező vonalintegrálja (a megfelelő irányítással). | ||
+ | |||
+ | :<math>\int\limits_{F} \mathbf{S}\,\mathrm{d}\mathbf{f}=\int\limits_{''F''} s_1 \mathrm{d}y-s_2\mathrm{d}x</math> | ||
+ | megfelelő módon irányítva az F felületet, ill ennek "F" görbe mivoltát. | ||
+ | |||
+ | (Azaz a s_2dx - s_1 dy differenciálforma integrálja. ''Differenciálforma'' -- nemes egyszerűséggel -- egy olyan kifejezése, ahol dx, dy, dz-k és egy vektormező komponensei vannak összeszorozva-összeadva.) | ||
+ | |||
+ | '''Kiszámítási formula.''' Belátható, hogy a fenti integrál a következőkkel egyenlő: | ||
+ | :<math> | ||
+ | \int\limits_{G}f(z)\mathrm{d}z=\int\limits_{a}^b f(z(t))\cdot \dot{z}(t)\,\mathrm{d}t</math> | ||
+ | ===Példa=== | ||
+ | '''1.''' Legyen ''G'' a komplex egységkör pozitívan irányítva. | ||
+ | :<math>\int\limits_{|z|=1}\frac{1}{z}\mathrm{d}z=\int\limits_{0}^{2\pi} \frac{1}{e^{\mathrm{i}t}}\cdot \mathrm{i}e^{\mathrm{i}t}\,\mathrm{d}t=\int\limits_{0}^{2\pi} \mathrm{i}\,\mathrm{d}t=2\pi\mathrm{i}</math> | ||
+ | Ahol a valós Newton--Leibniz-formulát alkalmaztuk a komponensfüggvényekre. | ||
+ | |||
+ | '''2.''' Legyen ''G'' a z(t)=(1+2i)t, ahol t∈[0,1]. | ||
+ | :<math>\int\limits_{G}\overline{z}\mathrm{d}z=\int\limits_{0}^{1} (1-2\mathrm{i})t\cdot (1+2\mathrm{i})\,\mathrm{d}t=\int\limits_{0}^{1}5t\,\mathrm{d}t=\frac{5}{2}</math> | ||
+ | |||
+ | '''3.''' Legyen ''G'' a komplex egységkör felső fele, pozitívan irányítva. | ||
+ | :<math>\int\limits_{|z|=1,\mathrm{Im}(z)\geq 0}\overline{z}^2\mathrm{d}z=\int\limits_{0}^{\pi}e^{-2\mathrm{i}t}\cdot \mathrm{i}e^{\mathrm{i}t}\,\mathrm{d}t=\int\limits_{0}^{\pi}e^{-\mathrm{i}t}\,\mathrm{d}t=1-(-1)=2</math> | ||
+ | |||
+ | ===Komplex Newton--Leibniz-formula=== | ||
+ | Ha az f komplex függvény, olyan, hogy van olyan komplex differenciálható F, melyre F'=f, akkor azt mondjuk, hogy a F az f primitív függvénye. | ||
+ | |||
+ | '''Komplex Newton--Leibniz-formula.''' Ha a nyílt halmazon értelmezett f komplex függvénynek primitív függvénye az F és f folytonos, akkor minden az f értelmezési tartományában haladó ''G'':[a,b]<math>\to</math>'''C''' görbére: | ||
+ | :<math>\int\limits_{G}f(z)\,\mathrm{d}z=F(b)-F(a)</math> | ||
+ | |||
+ | Például: | ||
+ | |||
+ | '''4.''' Legyen <math>f(z)=\frac{1}{z^2}</math>. Mi az egységkörre az integrálja? | ||
+ | :<math>F(z)=-\frac{1}{z}</math> | ||
+ | primitívfüggvénye f-nek, ezért | ||
+ | :<math>\int\limits_{|z|=1}\frac{1}{z^2}\,\mathrm{d}z=0</math> | ||
+ | hiszen zárt a görbe, azaz a pr. fv. a kezdő és végpontban ugyanannyi. | ||
+ | |||
A lap 2013. szeptember 28., 15:38-kori változata
Tartalomjegyzék |
Komplex integrál
Görbék a komplex síkon
Ha G:[a,b]C, tz(t) folytonosan differenciálható, akkor G-t görbének nevezzük. (Esetleg a folytonos, véges sok helyen nem folytonosan differenciálható előbbi G-ket is görbéknek nevezzük.) A G görbe egyszerű, ha nem metszi át saját magát, azaz minden t1, t2-re, ha z(t1) = z(t2), akkor t1 = t2. G zárt, ha z(a) = z(b). A görbe t-beli irányvektorán a
komplex számot értjük.
Példák
1. Legyen t∈[a,b]-re z(t) = x(t) + iy(t) olyan, hogy x(t) = x0 + w1t és y(t) = y0 + w2t, azaz z(t) = z0 + wt. Ekkor z(t) egy egyenes szakasz.
És ekkor:
2. Az origó középpontú R sugarú kör:
- z(t) = Reit t∈[0,2π]
És ekkor
hiszen
Komplex vonalmenti integrál
Definíció. Ha G:[a,b]C görbe és f olyan komplex függvény, melyre Ran(G)⊆Dom(f), és f folytonos, akkor belátható, hogy létezik a
határérték, mely egy speciális Riemann-közelítőösszeg határértéke. Itt a görbén kijelöltük a véges sok zi pontot, melyek a szigorúan monoton (ti)-khez tartoznak a zi = z(ti) definícióval. Ezen [z(ti),z(ti + 1)] görbeszakaszokon belül felvettük tetszőlegesen a ζi közbülső pontokat, és a Δzi=[z(ti),z(ti + 1)] szakaszokkal elkészítettük az f(ζi)Δzi komplex szorzatokat. A határérték ezek görbére vett összegének határértéke. Ez a határérték az f függvény G-re vett komplex integrálja.
Visszavezetés valós vonalintegrálra. Az integrál kifejezhető vonalintegrállal. Ha ugyanis f= u + iv, akkor az f=(u,v) vektormezőnek olyan differenciálforma szerinti integrálja a komplex pályamenti integrál, mely az f=(u,v) vektor és a dz=(dx,dy) infinitezimális elmozdulásvektor komplex szorzásaként jön létre:
Ebben a felírásban az (u,-v) és (v,u) olyan segédvektormezők, melyek vonalintegráljai adják meg a komplex integrál valós és képzetes részét. Tehát az integrált a
- és
segédvektormezők síkbeli vonalintegráljai, vagy a
- és
segédvektormezők síkbeli felületi integráljai szolgáltatják.
Itt érdemes feleleveníteni, hogy az S = (s1, s2) síkvektormező felületi integrálja nem más, mint a ( − s2, s1) vektormező vonalintegrálja (a megfelelő irányítással).
megfelelő módon irányítva az F felületet, ill ennek "F" görbe mivoltát.
(Azaz a s_2dx - s_1 dy differenciálforma integrálja. Differenciálforma -- nemes egyszerűséggel -- egy olyan kifejezése, ahol dx, dy, dz-k és egy vektormező komponensei vannak összeszorozva-összeadva.)
Kiszámítási formula. Belátható, hogy a fenti integrál a következőkkel egyenlő:
Példa
1. Legyen G a komplex egységkör pozitívan irányítva.
Ahol a valós Newton--Leibniz-formulát alkalmaztuk a komponensfüggvényekre.
2. Legyen G a z(t)=(1+2i)t, ahol t∈[0,1].
3. Legyen G a komplex egységkör felső fele, pozitívan irányítva.
Komplex Newton--Leibniz-formula
Ha az f komplex függvény, olyan, hogy van olyan komplex differenciálható F, melyre F'=f, akkor azt mondjuk, hogy a F az f primitív függvénye.
Komplex Newton--Leibniz-formula. Ha a nyílt halmazon értelmezett f komplex függvénynek primitív függvénye az F és f folytonos, akkor minden az f értelmezési tartományában haladó G:[a,b]C görbére:
Például:
4. Legyen . Mi az egységkörre az integrálja?
primitívfüggvénye f-nek, ezért
hiszen zárt a görbe, azaz a pr. fv. a kezdő és végpontban ugyanannyi.
Cirkulációmentesség
Tétel. Ha a D tartományon értelmezett f függvénynek van primitív függvénye, akkor a körintegrál minden a D-ben haladó folytonosan differenciálható (ill. ilyenek véges összekapcsolásain) zárt görbén eltűnik:
További információhoz akkor jutunk, ha a többváltozós analízis cirkuálciómentességi feltételeit vizsgáljuk. Ehhez a vissza kell vezetni a komplex integrált a vonalintegrálra.
Legyen f(z) = f(x,y) = u(x,y) + iv(x,y). Ekkor f felfogható R2 R2 függvényként, melynek vonalintegrálja a
vonal mentén:
amiben az
- és
vektorterek integráljai szerepelnek.
Vagy kétdimenziós felületi integrálként:
- és
Ugyanis a komplex vonalintegrált síkbeli felületi integrállá lehet alakítani:
Gauss-tétel
Lássuk először Gauss-tételle, hogyan következtethetünk a körintegrál eltűnésére.
Gauss-tétel (R3-ra) Legyen v nyílt halmazon értelmezett C1-függvény, V egyszeresen összefüggő, mérhető térrész és legyen ennek ∂V határa kifelé irányított felület. Ha V a határával együtt Dom(v)-ben van, akkor
Az itt szereplő fogalmak közül néhányról beszélnünk kell.
Felület. Legyenek a φi:Di R3 függvények folytonosan differenciálhatóak és injektívek int(Di)-n, melyek mérhető tarományok R2-ben. Ha a képeik egymásba nem nyúlók, azaz int(φi(Di)) ∩ int(φj(Dj)) üres, ha i ≠ j, és a képek uniója összefüggő halmaz, akkor U Ran(φi)-t előállítottuk paraméteres felületként.
Példaként említhetjük a kúp paraméterezését:
- , ha φ ∈ [0,2π] és h ∈ [0,H]
- , ha φ ∈ [0,2π] és r ∈ [0,R]
ahol H a kúp magassága, R az alapkörsugara, θ a félkúpszöge (z a tengelye, O a csúcsa). Tehát itt a paramétertartományok [0,2π] × [0,H] és [0,2π] × [0,R].
C1-ség. Ez azért kell, mert a térfogati integrált a D paramétertartományon a
képlettel számoljuk és ahhoz, hogy ez lézetten, ahhoz pl az kell, hogy ne csak az r = r(u,v,w) legyen folytonosan diff.-ható, de a divergencia is folytonos legyen.
Egyszeresen összefüggő tartomány. A G1: [a,b] R3 és a G2: [a,b] R3 görbék homotópak, ha létezik olyan F: [0,1] × [a,b] R3 folytonos függvény, hogy F(0,.) ≡ G1 és F(1,.) ≡ G2.Ez gyakorlatilag azt jelenti, hogy a G1 a G2-be folytonos transzformációval átvihető. Egyszeresen összefüggő egy tartomány, ha benne minden zárt görbe homotóp a konstans görbével.
Az egyszeres összefüggőség lényeges feltétel. Gondoljunk a v(r) = r/r3 vektortérre. Ennek divergenciája 0, de az origó körüli zárt gömbfelület integrálja 4π.
Gauss-tétel (R2-re) Legyen D egyszeresen összefüggő, mérhető síktartomány és legyen G ≡ r(t) ennek határát paraméterező zárt görbe. Ha v folytonosan R-differenciálható a D lezártján, akkor
Így tehát a komplex vonalintegrál kiszámításához csak a v ' és w ' felületi integrálját kell kiszámítanunk, amihez a Gauss-tétel miatt beli divergenciákat kell kiszámítanunk:
Ami, a C-R-egyenletek miatt igaz.
Innen
Stokes-tétel
Nézzük meg Stokes-tétellel is a bizonyítást.
Stokes-tétel (R3-ra) Legyen a nyílt halmazon értelmezett v vektorfüggvény folytonosan differenciálható, a Dom(v)-beli F felület pereme legyen a szintén Dom(v)-beli G zárt, F-nek megfelelően irányított görbe. Ekkor
A térbeli cirkulációmentességre vonatkozó nevezetes tétel ezzel a tétellel kapcsoltos. Ebben az esetben, bár az egyszeres összefüggőség nincs megkötve Dom(v)-re vonatkozólag, előjön a következményében:
Következmény. Ha az egyszeresen összefűggő D nyílt halmazon értelmezett v vektortér folytonosan differenciálható, akkor az alábbi három kijelentés ekvivaléens egymással:
- rot v eltűnik D-n.
- minden D-ben haladó zárt görbén a v körintegrálja nulla
- létezik v-nek D-n potenciálja, azaz olyan Φ : D R3 függvény, melyre grad Φ = v.
Itt az egyszeres összefüggőség azért kell, mert annyit biztosan tudunk, hogy ilyen esetben a zárt görbéhez található olyan felület, mely a tartományban halad és pereme a görbe.
Stokes-tétel (R2-re) Legyen a D síkbeli felület határán a G zárt görbe ( r(t) ). Ha v folytonosan R-differenciálható, akkor
Világos, hogy a D tartománynak egyszeresen összefüggőnek kell lennie ahhoz, hogy a G a határa legyen a D-nek. Ekkor csak a rotációt kell kiszámítanunk:
Ami, a C-R-egyenletek miatt igaz.
Goursat-lemma, Cauchy-féle integráltétel
Goursat ennél is mélyebb eredményt talált:
Goursat-lemma. A T háromszöglapon reguláris f komplex függvény integrálja a háromszög határán nulla:
Innen már könnyen adódik a komplex analízis főtétele, melyet először Cauchy modott ki ugyan csak folytonosan diffható komplex függvényre, de Goursat ezt megfejelte a gyengített feltételével:
Főtétel. Ha a D tartományon egyszeresen összefüggő tartoányon reguláris az f komplex függvény, akkor a tartományban minden zárt G görbén a függvény integrálja nulla: