|
|
| 1. sor: |
1. sor: |
| | ''<sub><[[Matematika A3a 2008]]</sub>'' | | ''<sub><[[Matematika A3a 2008]]</sub>'' |
| − | ==Komplex integrál==
| |
| − |
| |
| − | ===Görbék a komplex síkon===
| |
| − |
| |
| − | Ha ''G'':[''a'',''b'']<math>\to</math>'''C''', ''t''<math>\mapsto</math>''z''(''t'') folytonosan differenciálható, akkor ''G''-t görbének nevezzük. (Esetleg a folytonos, véges sok helyen nem folytonosan differenciálható előbbi ''G''-ket is görbéknek nevezzük.) A ''G'' görbe ''egyszerű'', ha nem metszi át saját magát, azaz minden <math>t_1</math>, <math>t_2</math>-re, ha <math>z(t_1)=z(t_2)</math>, akkor <math>t_1=t_2</math>. ''G'' zárt, ha <math>z(a)=z(b)</math>. A görbe ''t''-beli irányvektorán a
| |
| − | :<math>\dot{z}(t)=\dot{x}(t)+\mathrm{i}\dot{y}(t)</math>
| |
| − | komplex számot értjük.
| |
| − |
| |
| − | ====Példák====
| |
| − | '''1.''' Legyen ''t''∈[a,b]-re ''z''(''t'') = ''x''(''t'') + i''y''(''t'') olyan, hogy <math>x(t)=x_0+w_1t</math> és <math>y(t)=y_0+w_2t</math>, azaz <math>z(t)=z_0+w t</math>. Ekkor ''z''(''t'') egy egyenes szakasz.
| |
| − |
| |
| − | És ekkor:
| |
| − | :<math>\dot{z}(t)=w</math>
| |
| − | '''2.''' Az origó középpontú R sugarú kör:
| |
| − | :<math>z(t)=Re^{\mathrm{i}t}</math> ''t''∈[0,2π]
| |
| − | És ekkor
| |
| − | :<math>\dot{z}(t)=R\mathrm{i}e^{\mathrm{i}t}</math>
| |
| − | hiszen
| |
| − | :<math>\dot{z}(t)=R\dot{\cos(t)+\mathrm{i}\sin(t)}=-R\sin(t)+\mathrm{i}R\cos(t)=\mathrm{i}(R\mathrm{i}\sin(t)+R\cos(t))</math>
| |
| − | ===Komplex vonalmenti integrál===
| |
| − | '''Definíció.''' Ha ''G'':[a,b]<math>\to</math>'''C''' görbe és f olyan komplex függvény, melyre Ran(G)⊆Dom(f), és f folytonos, akkor belátható, hogy létezik a
| |
| − |
| |
| − | :<math>\begin{matrix}
| |
| − | \sum\limits_{i=1}^nf(\zeta_i)\cdot \Delta z_i & \longrightarrow & \int\limits_{G}f(z)\,\mathrm{d}z\\
| |
| − | & n\to \infty & \\
| |
| − | & \forall z_i\in G, \;\forall \zeta_i\in \Delta z_i &\\
| |
| − | & |\Delta z_i|\to 0 &
| |
| − | \end{matrix}</math>
| |
| − | határérték, mely egy speciális Riemann-közelítőösszeg határértéke. Itt a görbén kijelöltük a véges sok <math>z_i</math> pontot, melyek a szigorúan monoton (<math>t_i</math>)-khez tartoznak a <math>z_i=z(t_i)</math> definícióval. Ezen <math>[z(t_i),z(t_{i+1})]</math> görbeszakaszokon belül felvettük tetszőlegesen a ζ<sub>i</sub> közbülső pontokat, és a Δz<sub>i</sub>=<math>[z(t_i),z(t_{i+1})]</math> szakaszokkal elkészítettük az f(ζ<sub>i</sub>)Δz<sub>i</sub> komplex szorzatokat. A határérték ezek görbére vett összegének határértéke. Ez a határérték az f függvény ''G''-re vett komplex integrálja.
| |
| − |
| |
| − | '''Visszavezetés valós vonalintegrálra.'''
| |
| − | Az integrál kifejezhető vonalintegrállal. Ha ugyanis f= u + iv, akkor az f=(u,v) vektormezőnek olyan differenciálforma szerinti integrálja a komplex pályamenti integrál, mely az f=(u,v) vektor és a dz=(dx,dy) infinitezimális elmozdulásvektor komplex szorzásaként jön létre:
| |
| − | :<math>\int\limits_{G}f(z)\mathrm{d}z = \int\limits_{G} u\mathrm{d}x-v\mathrm{d }y + i\int\limits_{G} u\mathrm{d}y+v\mathrm{d }x</math>
| |
| − | Ebben a felírásban az (u,-v) és (v,u) olyan segédvektormezők, melyek vonalintegráljai adják meg a komplex integrál valós és képzetes részét. Tehát az integrált a
| |
| − | :<math>\mathbf{P}=\begin{pmatrix}u\\-v\end{pmatrix}</math> és <math>\mathbf{Q}=\begin{pmatrix}v\\u\end{pmatrix}</math>
| |
| − | segédvektormezők síkbeli '''vonalintegráljai''', vagy a
| |
| − | :<math>\mathbf{P}'=\begin{pmatrix}-v\\-u\end{pmatrix}</math> és <math>\mathbf{Q}'=\begin{pmatrix}u\\-v\end{pmatrix}</math>
| |
| − | segédvektormezők síkbeli '''felületi integráljai''' szolgáltatják.
| |
| − |
| |
| − | Itt érdemes feleleveníteni, hogy az '''S''' = (<math>s_1</math>, <math>s_2</math>) síkvektormező felületi integrálja nem más, mint a (<math>-s_2</math>, <math>s_1</math>) vektormező vonalintegrálja (a megfelelő irányítással).
| |
| − |
| |
| − | :<math>\int\limits_{F} \mathbf{S}\,\mathrm{d}\mathbf{f}=\int\limits_{''F''} s_1 \mathrm{d}y-s_2\mathrm{d}x</math>
| |
| − | megfelelő módon irányítva az F felületet, ill ennek "F" görbe mivoltát.
| |
| − |
| |
| − | (Azaz a s_2dx - s_1 dy differenciálforma integrálja. ''Differenciálforma'' -- nemes egyszerűséggel -- egy olyan kifejezése, ahol dx, dy, dz-k és egy vektormező komponensei vannak összeszorozva-összeadva.)
| |
| − |
| |
| − | '''Kiszámítási formula.''' Belátható, hogy a fenti integrál a következőkkel egyenlő:
| |
| − | :<math>
| |
| − | \int\limits_{G}f(z)\mathrm{d}z=\int\limits_{a}^b f(z(t))\cdot \dot{z}(t)\,\mathrm{d}t</math>
| |
| − | ===Példa===
| |
| − | '''1.''' Legyen ''G'' a komplex egységkör pozitívan irányítva.
| |
| − | :<math>\int\limits_{|z|=1}\frac{1}{z}\mathrm{d}z=\int\limits_{0}^{2\pi} \frac{1}{e^{\mathrm{i}t}}\cdot \mathrm{i}e^{\mathrm{i}t}\,\mathrm{d}t=\int\limits_{0}^{2\pi} \mathrm{i}\,\mathrm{d}t=2\pi\mathrm{i}</math>
| |
| − | Ahol a valós Newton--Leibniz-formulát alkalmaztuk a komponensfüggvényekre.
| |
| − |
| |
| − | '''2.''' Legyen ''G'' a z(t)=(1+2i)t, ahol t∈[0,1].
| |
| − | :<math>\int\limits_{G}\overline{z}\mathrm{d}z=\int\limits_{0}^{1} (1-2\mathrm{i})t\cdot (1+2\mathrm{i})\,\mathrm{d}t=\int\limits_{0}^{1}5t\,\mathrm{d}t=\frac{5}{2}</math>
| |
| − |
| |
| − | '''3.''' Legyen ''G'' a komplex egységkör felső fele, pozitívan irányítva.
| |
| − | :<math>\int\limits_{|z|=1,\mathrm{Im}(z)\geq 0}\overline{z}^2\mathrm{d}z=\int\limits_{0}^{\pi}e^{-2\mathrm{i}t}\cdot \mathrm{i}e^{\mathrm{i}t}\,\mathrm{d}t=\int\limits_{0}^{\pi}e^{-\mathrm{i}t}\,\mathrm{d}t=1-(-1)=2</math>
| |
| − |
| |
| − | ===Komplex Newton--Leibniz-formula===
| |
| − | Ha az f komplex függvény, olyan, hogy van olyan komplex differenciálható F, melyre F'=f, akkor azt mondjuk, hogy a F az f primitív függvénye.
| |
| − |
| |
| − | '''Komplex Newton--Leibniz-formula.''' Ha a nyílt halmazon értelmezett f komplex függvénynek primitív függvénye az F és f folytonos, akkor minden az f értelmezési tartományában haladó ''G'':[a,b]<math>\to</math>'''C''' görbére:
| |
| − | :<math>\int\limits_{G}f(z)\,\mathrm{d}z=F(b)-F(a)</math>
| |
| − |
| |
| − | Például:
| |
| − |
| |
| − | '''4.''' Legyen <math>f(z)=\frac{1}{z^2}</math>. Mi az egységkörre az integrálja?
| |
| − | :<math>F(z)=-\frac{1}{z}</math>
| |
| − | primitívfüggvénye f-nek, ezért
| |
| − | :<math>\int\limits_{|z|=1}\frac{1}{z^2}\,\mathrm{d}z=0</math>
| |
| − | hiszen zárt a görbe, azaz a pr. fv. a kezdő és végpontban ugyanannyi.
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | ==Cirkulációmentesség==
| |
| − | '''Tétel.''' Ha a ''D'' tartományon értelmezett ''f'' függvénynek van primitív függvénye, akkor a körintegrál minden a ''D''-ben haladó folytonosan differenciálható (ill. ilyenek véges összekapcsolásain) zárt görbén eltűnik:
| |
| − | :<math>\oint f=0\,</math>
| |
| − |
| |
| − | További információhoz akkor jutunk, ha a többváltozós analízis cirkuálciómentességi feltételeit vizsgáljuk. Ehhez a vissza kell vezetni a komplex integrált a vonalintegrálra.
| |
| − |
| |
| − | Legyen ''f''(''z'') = ''f''(''x'',''y'') = ''u''(''x'',''y'') + i''v''(''x'',''y''). Ekkor ''f'' felfogható '''R'''<sup>2</sup> <math>\supset\!\to</math> '''R'''<sup>2</sup> függvényként, melynek vonalintegrálja a
| |
| − | :<math>G:z(t)\equiv\mathbf{r}(t)=(x(t),y(t))\,</math>
| |
| − | vonal mentén:
| |
| − | :<math>\int\limits_{G}f(z)\mathrm{d}z = \int\limits_{G} u\mathrm{d}x-v\mathrm{d }y + i\int\limits_{G} u\mathrm{d}y+v\mathrm{d }x</math>
| |
| − | amiben az
| |
| − | :<math>\mathbf{v}=\begin{pmatrix}u\\-v\end{pmatrix}</math> és <math>\mathbf{w}=\begin{pmatrix}v\\u\end{pmatrix}</math>
| |
| − | vektorterek integráljai szerepelnek.
| |
| − |
| |
| − | Vagy kétdimenziós felületi integrálként:
| |
| − |
| |
| − | :<math>\mathbf{v}'=\begin{pmatrix}-v\\-u\end{pmatrix}</math> és <math>\mathbf{w}'=\begin{pmatrix}u\\-v\end{pmatrix}</math>
| |
| − |
| |
| − | Ugyanis a komplex vonalintegrált síkbeli felületi integrállá lehet alakítani:
| |
| − | :<math>\int \mathbf{v}\mathrm{d}\mathbf{A}=\int \mathbf{v}\times\mathrm{d}\mathbf{r}=\int v_1 \mathrm{d}y-v_2\mathrm{d}x</math>
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | ===Gauss-tétel===
| |
| − | Lássuk először Gauss-tételle, hogyan következtethetünk a körintegrál eltűnésére.
| |
| − |
| |
| − | '''Gauss-tétel''' ('''R'''<sup>3</sup>-ra) Legyen '''v''' nyílt halmazon értelmezett C<sup>1</sup>-függvény, ''V'' egyszeresen összefüggő, mérhető térrész és legyen ennek ∂''V'' határa kifelé irányított felület. Ha ''V'' a határával együtt Dom('''v''')-ben van, akkor
| |
| − | :<math>\oint\limits_{\partial V} \mathbf{v}\;\mathrm{d}\mathbf{A}=\int\limits_{V} \mathrm{div}\,\mathbf{v}\;\mathrm{d}V</math>
| |
| − |
| |
| − | Az itt szereplő fogalmak közül néhányról beszélnünk kell.
| |
| − |
| |
| − | '''Felület.''' Legyenek a φ<sup>i</sup>:D<sub>i</sub> <math>\to</math> '''R'''<sup>3</sup> függvények folytonosan differenciálhatóak és injektívek int(''D''<sub>i</sub>)-n, melyek mérhető tarományok '''R'''<sup>2</sup>-ben. Ha a képeik egymásba nem nyúlók, azaz int(φ<sub>i</sub>(''D''<sub>i</sub>)) ∩ int(φ<sub>j</sub>(''D''<sub>j</sub>)) üres, ha ''i'' ≠ ''j'', és a képek uniója összefüggő halmaz, akkor U Ran(φ<sup>i</sup>)-t előállítottuk paraméteres felületként.
| |
| − |
| |
| − | Példaként említhetjük a kúp paraméterezését:
| |
| − |
| |
| − | :<math>\mathbf{r}_1(\varphi, h)=\left\{\begin{matrix} h\sin\vartheta\cos \varphi\\ h\sin\vartheta\sin\varphi\\ h\end{matrix}\right.</math>, ha φ ∈ [0,2π] és ''h'' ∈ [0,''H'']
| |
| − | :<math>\mathbf{r}_2(\varphi, h)=\left\{\begin{matrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi \\ H\end{matrix}\right.</math>, ha φ ∈ [0,2π] és ''r'' ∈ [0,''R'']
| |
| − | ahol H a kúp magassága, R az alapkörsugara, θ a félkúpszöge (z a tengelye, O a csúcsa). Tehát itt a paramétertartományok [0,2π] × [0,''H''] és [0,2π] × [0,''R''].
| |
| − |
| |
| − | '''C<sup>1</sup>-ség'''. Ez azért kell, mert a térfogati integrált a ''D'' paramétertartományon a
| |
| − | :<math>\int\limits_{V} \mathrm{div}\,\mathbf{v}\;\mathrm{d}V=\int\limits_{\mathbf{r}^{-1}(V)}\mathrm{div}\,\mathbf{v}(\mathbf{r}(u,v,w))|\mathrm{J}^{\mathbf{r}}(u,v,w)|\;\mathrm{d}u\mathrm{d}v\mathrm{d}w</math>
| |
| − | képlettel számoljuk és ahhoz, hogy ez lézetten, ahhoz pl az kell, hogy ne csak az '''r''' = '''r'''(u,v,w) legyen folytonosan diff.-ható, de a divergencia is folytonos legyen.
| |
| − |
| |
| − | '''Egyszeresen összefüggő tartomány.''' A G<sub>1</sub>: [a,b] <math>\to</math> '''R'''<sup>3</sup> és a G<sub>2</sub>: [a,b] <math>\to</math> '''R'''<sup>3</sup> görbék homotópak, ha létezik olyan ''F'': [0,1] × [a,b] <math>\to</math> '''R'''<sup>3</sup> folytonos függvény, hogy F(0,.) ≡ G<sub>1</sub> és F(1,.) ≡ G<sub>2</sub>.Ez gyakorlatilag azt jelenti, hogy a G<sub>1</sub> a G<sub>2</sub>-be folytonos transzformációval átvihető. Egyszeresen összefüggő egy tartomány, ha benne minden zárt görbe homotóp a konstans görbével.
| |
| − |
| |
| − | Az egyszeres összefüggőség lényeges feltétel. Gondoljunk a '''v'''('''r''') = '''r'''/''r''<sup>3</sup> vektortérre. Ennek divergenciája 0, de az origó körüli zárt gömbfelület integrálja 4π.
| |
| − |
| |
| − | '''Gauss-tétel''' ('''R'''<sup>2</sup>-re) Legyen D egyszeresen összefüggő, mérhető síktartomány és legyen G ≡ '''r'''(t) ennek határát paraméterező zárt görbe. Ha '''v''' folytonosan '''R'''-differenciálható a D lezártján, akkor
| |
| − | :<math>\oint\limits_{G} \mathbf{v}(\mathbf{r})\mathrm{d}\mathbf{A}=\int\limits_{D} \mathrm{div}\,(\mathbf{v})\mathrm{d}A</math>
| |
| − |
| |
| − | Így tehát a komplex vonalintegrál kiszámításához csak a '''v''' ' és '''w''' ' felületi integrálját kell kiszámítanunk, amihez a Gauss-tétel miatt beli divergenciákat kell kiszámítanunk:
| |
| − | :<math>\mathrm{div}\mathbf{v}'=-\frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}=0</math>
| |
| − | :<math>\mathrm{div}\mathbf{w}'=\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial v}{\partial y}=0</math>
| |
| − | Ami, a C-R-egyenletek miatt igaz.
| |
| − |
| |
| − | Innen
| |
| − | :<math>\int\limits_{G}f(z)\mathrm{d}z=0</math>
| |
| − |
| |
| − | ===Stokes-tétel===
| |
| − |
| |
| − | Nézzük meg Stokes-tétellel is a bizonyítást.
| |
| − |
| |
| − | '''Stokes-tétel''' ('''R'''<sup>3</sup>-ra) Legyen a nyílt halmazon értelmezett '''v''' vektorfüggvény folytonosan differenciálható, a Dom('''v''')-beli F felület pereme legyen a szintén Dom('''v''')-beli G zárt, F-nek megfelelően irányított görbe. Ekkor
| |
| − | :<math>\oint\limits_{G} \mathbf{v}(\mathbf{r})\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{F} \mathrm{rot}(\mathbf{v})\mathrm{d}\mathbf{F}</math>
| |
| − |
| |
| − | A térbeli cirkulációmentességre vonatkozó nevezetes tétel ezzel a tétellel kapcsoltos. Ebben az esetben, bár az egyszeres összefüggőség nincs megkötve Dom('''v''')-re vonatkozólag, előjön a következményében:
| |
| − |
| |
| − | '''Következmény.''' Ha az egyszeresen összefűggő ''D'' nyílt halmazon értelmezett '''v''' vektortér folytonosan differenciálható, akkor az alábbi három kijelentés ekvivaléens egymással:
| |
| − | # rot '''v''' eltűnik ''D''-n.
| |
| − | # minden ''D''-ben haladó zárt görbén a '''v''' körintegrálja nulla
| |
| − | # létezik '''v'''-nek ''D''-n potenciálja, azaz olyan Φ : ''D'' <math>\to</math> '''R'''<sup>3</sup> függvény, melyre grad Φ = '''v'''.
| |
| − |
| |
| − | Itt az egyszeres összefüggőség azért kell, mert annyit biztosan tudunk, hogy ilyen esetben a zárt görbéhez található olyan felület, mely a tartományban halad és pereme a görbe.
| |
| − |
| |
| − | '''Stokes-tétel''' ('''R'''<sup>2</sup>-re) Legyen a D síkbeli felület határán a G zárt görbe ( '''r'''(t) ). Ha '''v''' folytonosan '''R'''-differenciálható, akkor
| |
| − | :<math>\oint\limits_{G} \mathbf{v}(\mathbf{r})\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{D} \mathrm{rot}(\mathbf{v})\mathrm{d}A</math>
| |
| − |
| |
| − | Világos, hogy a D tartománynak egyszeresen összefüggőnek kell lennie ahhoz, hogy a G a határa legyen a D-nek. Ekkor csak a rotációt kell kiszámítanunk:
| |
| − |
| |
| − | :<math>\mathrm{rot}\mathbf{v}=\frac{\partial u}{\partial y} - \left(-\frac{\partial v}{\partial x}\right)=0</math>
| |
| − | :<math>\mathrm{rot}\mathbf{w}=\frac{\partial v}{\partial y} - \frac{\partial u}{\partial x}=0</math>
| |
| − |
| |
| − | Ami, a C-R-egyenletek miatt igaz.
| |
| − |
| |
| − | ===Goursat-lemma, Cauchy-féle integráltétel===
| |
| − |
| |
| − | Goursat ennél is mélyebb eredményt talált:
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | '''Goursat-lemma'''. A T háromszöglapon reguláris ''f'' komplex függvény integrálja a háromszög határán nulla:
| |
| − | :<math>\oint\limits_{\partial T}f=0\,</math>
| |
| − |
| |
| − | Innen már könnyen adódik a komplex analízis főtétele, melyet először Cauchy modott ki ugyan csak folytonosan diffható komplex függvényre, de Goursat ezt megfejelte a gyengített feltételével:
| |
| − |
| |
| − | '''Főtétel.''' Ha a ''D'' tartományon egyszeresen összefüggő tartoányon reguláris az ''f'' komplex függvény, akkor a tartományban minden zárt G görbén a függvény integrálja nulla:
| |
| − | :<math>\oint\limits_{G} f=0\,</math>
| |
| − |
| |
| − |
| |
| | [[Kategória:Matematika A3]] | | [[Kategória:Matematika A3]] |
