Matematika A3a 2008/7. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Stokes-tétel)
(Cirkulációmentesség)
166. sor: 166. sor:
 
Ami, a C-R-egyenletek miatt igaz.
 
Ami, a C-R-egyenletek miatt igaz.
  
===Green-tétel===
 
  
Nehany topologiai fogalom.
 
 
Egy ''D'' nyilt halmaz '''C'''-ben egyszeresen osszefuggo, ha benne minden zart gorbe ''pontra deformalhato''.
 
Ez utobbi a kovetkezot jelenti. Azt mondjuk, hogy a &gamma;:[a,b]<math>\to</math>''D'' zart gorbe  a <math>z_0</math>  ''D''-beli pontra deformalhato a ''D'' tartomanyban, ha letezik olyan &Gamma;:[0,1]<math>\to</math> <math>D^{[a,b]}</math> gorbe erteku fuggveny, melyre &Gamma;(1)=&gamma;, &Gamma;(0)=<math>z_0</math> konstans gorbe es &Gamma; az [a,b] es <math>D^{[a,b]}</math> terek kozott hato folytonos lekepezes a szupremumnorma szerint.
 
 
''Csillagszeru'' egy ''H'' halmaz '''C'''-ben, ha van olyan ''H''-beli pont ''c'' pont, hogy barmely ''H''-beli ''z'' pontra a [''cz''] szakasz ''H''-ban van.
 
 
''Pelda.'' Egy csillagszeru tartomany egyszeresen osszefuggo, mert a csillagpontra valo [0,1]-beli aranyszammal parameterezett kozeppontos kicsinyites kepei alkotta parameteres gorbesereg ilyen.
 
 
Tetel:
 
 
:<math>\int_G Pdx+Qdy=\int_D\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}dxdy</math>
 
  
 
===Goursat-lemma, Cauchy-féle integráltétel===
 
===Goursat-lemma, Cauchy-féle integráltétel===
193. sor: 180. sor:
 
'''Főtétel.''' Ha a ''D'' tartományon egyszeresen összefüggő tartoányon reguláris az ''f'' komplex függvény, akkor a tartományban minden zárt G görbén a függvény integrálja nulla:
 
'''Főtétel.''' Ha a ''D'' tartományon egyszeresen összefüggő tartoányon reguláris az ''f'' komplex függvény, akkor a tartományban minden zárt G görbén a függvény integrálja nulla:
 
:<math>\oint\limits_{G} f=0\,</math>
 
:<math>\oint\limits_{G} f=0\,</math>
 +
 +
===Nehany topologiai fogalom===
 +
 +
Egy ''D'' nyilt halmaz '''C'''-ben egyszeresen osszefuggo, ha benne minden zart gorbe ''pontra deformalhato''.
 +
Ez utobbi a kovetkezot jelenti. Azt mondjuk, hogy a &gamma;:[a,b]<math>\to</math>''D'' zart gorbe  a <math>z_0</math>  ''D''-beli pontra deformalhato a ''D'' tartomanyban, ha letezik olyan &Gamma;:[0,1]<math>\to</math> <math>D^{[a,b]}</math> gorbe erteku fuggveny, melyre &Gamma;(1)=&gamma;, &Gamma;(0)=<math>z_0</math> konstans gorbe es &Gamma; az [a,b] es <math>D^{[a,b]}</math> terek kozott hato folytonos lekepezes a szupremumnorma szerint.
 +
 +
''Csillagszeru'' egy ''H'' halmaz '''C'''-ben, ha van olyan ''H''-beli pont ''c'' pont, hogy barmely ''H''-beli ''z'' pontra a [''cz''] szakasz ''H''-ban van.
 +
 +
''Pelda.'' Egy csillagszeru tartomany egyszeresen osszefuggo, mert a csillagpontra valo [0,1]-beli aranyszammal parameterezett kozeppontos kicsinyites kepei alkotta parameteres gorbesereg ilyen.
 +
 +
Green-tetel:
 +
 +
:<math>\int_G Pdx+Qdy=\int_D\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}dxdy</math>
  
  
  
 
[[Kategória:Matematika A3]]
 
[[Kategória:Matematika A3]]

A lap 2013. október 31., 14:22-kori változata

<Matematika A3a 2008

Tartalomjegyzék

Komplex integrál

Görbék a komplex síkon

Ha a Γ C-beli halmaz olyan, hogy van olyan G:[a,b]\toC, t\mapstoz(t) folytonos, veges sok kivetellel folytonosan differenciálható fuggveny, aminek az ertekkeszlete Γ, akkor Γ-t görbének nevezzük. A Γ görbe egyszerű, ha nem metszi át saját magát, azaz minden t1, t2-re, ha z(t1) = z(t2), akkor t1 = t2. G zárt, ha z(a) = z(b). A görbe t-beli irányvektorán a

\dot{z}(t)=\dot{x}(t)+\mathrm{i}\dot{y}(t)

komplex számot értjük.

Tobb parameterezes is elo tudja allitani a Γ gorbet. Ezek kozul kettot, a z1-et es a z2-t ekvivalensnek nevezunk, ha van olyan g:[a,b]\to[c,d] folytonos valos fuggveny, ami (a,b)-n differencialhato, g'>0 es z_2=z_1\circ g. Az osszes parameterezesek halmaza ket osztalyra esik szet, ezek a gorbe ellentetes parameterezeseit adjak.

Példák

1. Legyen t∈[a,b]-re z(t) = x(t) + iy(t) olyan, hogy x(t) = x0 + w1t és y(t) = y0 + w2t, azaz z(t) = z0 + wt. Ekkor z(t) egy egyenes szakasz.

És ekkor:

\dot{z}(t)=w

2. Az origó középpontú R sugarú kör:

z(t) = Reit t∈[0,2π]

És ekkor

\dot{z}(t)=R\mathrm{i}e^{\mathrm{i}t}

hiszen

\dot{z}(t)=R\dot{\cos(t)+\mathrm{i}\sin(t)}=-R\sin(t)+\mathrm{i}R\cos(t)=\mathrm{i}(R\mathrm{i}\sin(t)+R\cos(t))

Komplex vonalmenti integrál

Definíció. Ha G:[a,b]\toC görbe és f olyan komplex függvény, melyre Ran(G)⊆Dom(f), és f folytonos, akkor belátható, hogy létezik a

\begin{matrix}
\sum\limits_{i=1}^nf(\zeta_i)\cdot \Delta z_i & \longrightarrow & \int\limits_{G}f(z)\,\mathrm{d}z\\
 & n\to \infty & \\
 & \forall z_i\in G, \;\forall \zeta_i\in \Delta z_i &\\
 & |\Delta z_i|\to 0 &  
\end{matrix}

határérték, mely egy speciális Riemann-közelítőösszeg határértéke. Itt a görbén kijelöltük a véges sok zi pontot, melyek a szigorúan monoton (ti)-khez tartoznak a zi = z(ti) definícióval. Ezen [z(ti),z(ti + 1)] görbeszakaszokon belül felvettük tetszőlegesen a ζi közbülső pontokat, és a Δzi=[z(ti),z(ti + 1)] szakaszokkal elkészítettük az f(ζi)Δzi komplex szorzatokat. A határérték ezek görbére vett összegének határértéke. Ez a határérték az f függvény G-re vett komplex integrálja.


Kiszámítási formula. Belátható, hogy a fenti integrál a következőkkel egyenlő:


\int\limits_{G}f(z)\mathrm{d}z=\int\limits_{a}^b f(z(t))\cdot \dot{z}(t)\,\mathrm{d}t

Megjegyzes A helyettesiteses integralas tetelenek felhasznalasaval belathato, hogy ez az integral fuggetlen a parametertezestol, ha azok ugyanazt az iranyitast hatarozzak meg.

Megj. A kiszamitasi formulaban skalarvaltozos vektorerteku fuggveny integralja szerepel. Ezt a kovetkezokeppen kell kiszamitani:

\int\limits_a^b\begin{pmatrix}f_1(t)\\f_2(t)\end{pmatrix}\,dt=\begin{pmatrix}\int\limits_a^b f_1(t) \,dt\\ \int\limits_a^b  f_2(t)\,dt\end{pmatrix}

Példa

1. Legyen G a komplex egységkör pozitívan irányítva.

\int\limits_{|z|=1}\frac{1}{z}\mathrm{d}z=\int\limits_{0}^{2\pi} \frac{1}{e^{\mathrm{i}t}}\cdot \mathrm{i}e^{\mathrm{i}t}\,\mathrm{d}t=\int\limits_{0}^{2\pi} \mathrm{i}\,\mathrm{d}t=2\pi\mathrm{i}

Ahol a valós Newton--Leibniz-formulát alkalmaztuk a komponensfüggvényekre.

2. Legyen G a z(t)=(1+2i)t, ahol t∈[0,1].

\int\limits_{G}\overline{z}\mathrm{d}z=\int\limits_{0}^{1} (1-2\mathrm{i})t\cdot (1+2\mathrm{i})\,\mathrm{d}t=\int\limits_{0}^{1}5t\,\mathrm{d}t=\frac{5}{2}

3. Legyen G a komplex egységkör felső fele, pozitívan irányítva.

\int\limits_{|z|=1,\mathrm{Im}(z)\geq 0}\overline{z}^2\mathrm{d}z=\int\limits_{0}^{\pi}e^{-2\mathrm{i}t}\cdot \mathrm{i}e^{\mathrm{i}t}\,\mathrm{d}t=\int\limits_{0}^{\pi}e^{-\mathrm{i}t}\,\mathrm{d}t=1-(-1)=2

Komplex Newton--Leibniz-formula

Ha az f komplex függvény, olyan, hogy van olyan komplex differenciálható F, melyre F'=f, akkor azt mondjuk, hogy a F az f primitív függvénye.

Komplex Newton--Leibniz-formula. Ha a nyílt halmazon értelmezett f komplex függvénynek primitív függvénye az F és f folytonos, akkor minden az f értelmezési tartományában haladó G:[a,b]\toC görbére:

\int\limits_{G}f(z)\,\mathrm{d}z=F(b)-F(a)

Például:

4. Legyen f(z)=\frac{1}{z^2}. Mi az egységkörre az integrálja?

F(z)=-\frac{1}{z}

primitívfüggvénye f-nek, ezért

\int\limits_{|z|=1}\frac{1}{z^2}\,\mathrm{d}z=0

hiszen zárt a görbe, azaz a pr. fv. a kezdő és végpontban ugyanannyi.

Bizonyitas. A vonalintegralra vonatkozo Newton--Leibniz-tetel (I. gradiens tetel) a kovetkezo. G vegpontjai: a es b.

\int\limits_{G}\mathrm{grad}\,\Phi\mathrm{d}\mathbf{r}=\Phi(b)-\Phi(a)
\int\limits_{G}f(z)\mathrm{d}z = \int\limits_{G} u\mathrm{d}x-v\mathrm{d }y + i\int\limits_{G} u\mathrm{d}y+v\mathrm{d }x=
=\int\limits_{G} u\mathrm{d}x-v\mathrm{d }y + i\int\limits_{G} v\mathrm{d }x+u\mathrm{d}y
F = Φ + iΨ
f=F'=\partial_x\Phi+i\partial_y(-\Phi)=u+vi
f=F'=\partial_y(\Psi)+i\partial_x(\Psi)=u+vi
\mathrm{grad}\,\Phi = (u,-v)
\mathrm{grad}\,\Psi = (v,u)
=\int\limits_{G} u\mathrm{d}x-v\mathrm{d }y + i\int\limits_{G} v\mathrm{d }x+u\mathrm{d}y=\Phi(b)-\Phi(a)+i(\Psi(b)-\Psi(a))

Cirkulációmentesség

Visszavezetés valós vonalintegrálra es feluleti integralra

Az integrál kifejezhető vonalintegrállal. Ha ugyanis f= u + iv, akkor az f=(u,v) vektormezőnek olyan differenciálforma szerinti integrálja a komplex pályamenti integrál, mely az f=(u,v) vektor és a dz=(dx,dy) infinitezimális elmozdulásvektor komplex szorzásaként jön létre:

\int\limits_{G}f(z)\mathrm{d}z = \int\limits_{G} u\mathrm{d}x-v\mathrm{d }y + i\int\limits_{G} u\mathrm{d}y+v\mathrm{d }x

Ebben a felírásban az (u,-v) és (v,u) olyan segédvektormezők, melyek vonalintegráljai adják meg a komplex integrál valós és képzetes részét. Tehát az integrált a

\mathbf{P}=\begin{pmatrix}u\\-v\end{pmatrix} és \mathbf{Q}=\begin{pmatrix}v\\u\end{pmatrix}

segédvektormezők síkbeli vonalintegráljai

\int\limits_{G}\mathbf{P}\,d\mathbf{r}+i\int\limits_{G}\mathbf{Q}\,d\mathbf{r}

vagy

\mathbf{P}'=\begin{pmatrix}-v\\-u\end{pmatrix} és \mathbf{Q}'=\begin{pmatrix}u\\-v\end{pmatrix}

segédvektormezők síkbeli felületi integráljai

\int\limits_{F}\mathbf{P}'\,d\mathbf{f}+i\int\limits_{F}\mathbf{Q}'\,d\mathbf{f}

szolgáltatják.

Itt érdemes feleleveníteni, hogy az v = (v1, v2) síkvektormező felületi integráljat a (v1, v2)(df1, df2) "differencialforma" integralasa adja. Itt az infinitezimalis feluletelem (df1, df2)=(dy,-dx).

\int\limits_{F} \mathbf{S}\,\mathrm{d}\mathbf{f}=\int\limits_{F} v_1 \mathrm{d}y-v_2\mathrm{d}x.

Tétel. Ha a D tartományon értelmezett f függvénynek van primitív függvénye, akkor a körintegrál minden a D-ben haladó folytonosan differenciálható (ill. ilyenek véges összekapcsolásain) zárt görbén eltűnik:

\oint f=0\,

További információhoz akkor jutunk, ha a többváltozós analízis cirkulációmentességi feltételeit vizsgáljuk. Ehhez a vissza kell vezetni a komplex integrált a vonalintegrálra.

Gauss-tétel

Lássuk először Gauss-tétellel, hogyan következtethetünk a körintegrál eltűnésére.

Gauss-tétel (R3-ra) Legyen v nyílt halmazon értelmezett C1-függvény, V merheto térrész és legyen ∂V pereme kifelé irányított felület. Ha V a peremével együtt Dom(v)-ben van, akkor

\oint\limits_{\partial V} \mathbf{v}\;\mathrm{d}\mathbf{A}=\int\limits_{V} \mathrm{div}\,\mathbf{v}\;\mathrm{d}V

Megjegyzes. Az itt szereplő fogalmak közül néhányról beszélnünk kell.

Felület. Legyenek a φi:Di \to R3 függvények folytonosan differenciálhatóak és injektívek int(Di)-n, melyek mérhető tartományok R2-ben. Ha a képeik egymásba nem nyúlók, azaz int(φi(Di)) ∩ int(φj(Dj)) üres, ha ij, és a képek uniója összefüggő halmaz, akkor U Ran(φi)-t előállítottuk paraméteres felületként.

Példaként említhetjük a kúp paraméterezését:

\mathbf{r}_1(\varphi, h)=\left\{\begin{matrix} h\sin\vartheta\cos \varphi\\ h\sin\vartheta\sin\varphi\\ h\end{matrix}\right., ha φ ∈ [0,2π] és h ∈ [0,H]
\mathbf{r}_2(\varphi, h)=\left\{\begin{matrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi \\ H\end{matrix}\right., ha φ ∈ [0,2π] és r ∈ [0,R]

ahol H a kúp magassága, R az alapkörsugara, θ a félkúpszöge (z a tengelye, O a csúcsa). Tehát itt a paramétertartományok [0,2π] × [0,H] és [0,2π] × [0,R].

C1-ség. Ez azért kell, mert a térfogati integrált a D paramétertartományon a

\int\limits_{V} \mathrm{div}\,\mathbf{v}\;\mathrm{d}V=\int\limits_{\mathbf{r}^{-1}(V)}\mathrm{div}\,\mathbf{v}(\mathbf{r}(u,v,w))|\mathrm{J}^{\mathbf{r}}(u,v,w)|\;\mathrm{d}u\mathrm{d}v\mathrm{d}w

képlettel számoljuk és ahhoz, hogy ez létezzen, ahhoz pl. az kell, hogy ne csak az r = r(u,v,w) legyen folytonosan diff.-ható, de a divergencia is folytonos legyen.

Gauss-tétel (R2-re) Legyen D egyszeresen összefüggő, mérhető síktartomány és legyen G ≡ r(t) ennek határát paraméterező zárt görbe. Ha v folytonosan R-differenciálható a D lezártján, akkor

\oint\limits_{G} \mathbf{v}(\mathbf{r})\mathrm{d}\mathbf{A}=\int\limits_{D} \mathrm{div}\,(\mathbf{v})\mathrm{d}A

Így tehát a komplex vonalintegrál kiszámításához csak a v ' és w ' felületi integrálját kell kiszámítanunk, amihez a Gauss-tétel miatt beli divergenciákat kell kiszámítanunk:

\mathrm{div}\mathbf{v}'=-\frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}=0
\mathrm{div}\mathbf{w}'=\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial v}{\partial y}=0

Ami, a C-R-egyenletek miatt igaz.

Innen

\int\limits_{G}f(z)\mathrm{d}z=0

Stokes-tétel

Nézzük meg Stokes-tétellel is a bizonyítást.

Stokes-tétel (R3-ra) Legyen a nyílt halmazon értelmezett v vektorfüggvény folytonosan differenciálható, a Dom(v)-beli F felület pereme legyen a szintén Dom(v)-beli G zárt, F-nek megfelelően irányított görbe. Ekkor

\oint\limits_{G} \mathbf{v}(\mathbf{r})\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{F} \mathrm{rot}\,\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{F}

Megjegyzes. A térbeli cirkulációmentességre vonatkozó nevezetes tétel ezzel a tétellel kapcsolatos. Ebben az esetben, bár az egyszeres összefüggőség nincs megkötve Dom(v)-re vonatkozólag, előjön a következményében:

Következmény. Ha az egyszeresen összefűggő D nyílt halmazon értelmezett v vektortér folytonosan differenciálható, akkor az alábbi három kijelentés ekvivalens egymással:

  1. rot v eltűnik D-n.
  2. minden D-ben haladó zárt görbén a v körintegrálja nulla
  3. létezik v-nek D-n potenciálja, azaz olyan Φ : D \to R3 függvény, melyre grad Φ = v.

Itt az egyszeres összefüggőség azért kell, mert annyit biztosan tudunk, hogy ilyen esetben a zárt görbéhez található olyan felület, mely a tartományban halad és pereme a görbe.

Stokes-tétel (R2-re) Legyen a D síkbeli tartomany határán a G zárt görbe ( r(t) ). Ha v folytonosan R-differenciálható, akkor

\oint\limits_{G} \mathbf{v}(\mathbf{r})\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{D} \mathrm{rot}(\mathbf{v})\mathrm{d}A

Világos, hogy a D tartománynak egyszeresen összefüggőnek kell lennie ahhoz, hogy a G a határa legyen a D-nek. Ekkor csak a rotációt kell kiszámítanunk:

\mathrm{rot}\mathbf{v}=\frac{\partial u}{\partial y} - \left(-\frac{\partial v}{\partial x}\right)=0
\mathrm{rot}\mathbf{w}=\frac{\partial v}{\partial y} - \frac{\partial u}{\partial x}=0

Ami, a C-R-egyenletek miatt igaz.


Goursat-lemma, Cauchy-féle integráltétel

Goursat ennél is mélyebb eredményt talált:


Goursat-lemma. A T háromszöglapon reguláris f komplex függvény integrálja a háromszög határán nulla:

\oint\limits_{\partial T}f=0\,

Innen már könnyen adódik a komplex analízis főtétele, melyet először Cauchy modott ki ugyan csak folytonosan diffható komplex függvényre, de Goursat ezt megfejelte a gyengített feltételével:

Főtétel. Ha a D tartományon egyszeresen összefüggő tartoányon reguláris az f komplex függvény, akkor a tartományban minden zárt G görbén a függvény integrálja nulla:

\oint\limits_{G} f=0\,

Nehany topologiai fogalom

Egy D nyilt halmaz C-ben egyszeresen osszefuggo, ha benne minden zart gorbe pontra deformalhato. Ez utobbi a kovetkezot jelenti. Azt mondjuk, hogy a γ:[a,b]\toD zart gorbe a z0 D-beli pontra deformalhato a D tartomanyban, ha letezik olyan Γ:[0,1]\to D[a,b] gorbe erteku fuggveny, melyre Γ(1)=γ, Γ(0)=z0 konstans gorbe es Γ az [a,b] es D[a,b] terek kozott hato folytonos lekepezes a szupremumnorma szerint.

Csillagszeru egy H halmaz C-ben, ha van olyan H-beli pont c pont, hogy barmely H-beli z pontra a [cz] szakasz H-ban van.

Pelda. Egy csillagszeru tartomany egyszeresen osszefuggo, mert a csillagpontra valo [0,1]-beli aranyszammal parameterezett kozeppontos kicsinyites kepei alkotta parameteres gorbesereg ilyen.

Green-tetel:

\int_G Pdx+Qdy=\int_D\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}dxdy
Személyes eszközök