Matematika A3a 2008/8. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Komplex Newton--Leibniz-formula)
(Példák)
 
(egy szerkesztő 11 közbeeső változata nincs mutatva)
1. sor: 1. sor:
 
''<sub><[[Matematika A3a 2008]]</sub>''  
 
''<sub><[[Matematika A3a 2008]]</sub>''  
 +
 
==Komplex integrál==
 
==Komplex integrál==
  
 
===Görbék a komplex síkon===
 
===Görbék a komplex síkon===
  
Ha ''G'':[''a'',''b'']<math>\to</math>'''C''', ''t''<math>\mapsto</math>''z''(''t'') folytonosan differenciálható, akkor ''G''-t görbének nevezzük. (Esetleg a folytonos, véges sok helyen nem folytonosan differenciálható előbbi ''G''-ket is görbéknek nevezzük.) A ''G'' görbe ''egyszerű'', ha nem metszi át saját magát, azaz minden <math>t_1</math>, <math>t_2</math>-re, ha <math>z(t_1)=z(t_2)</math>, akkor <math>t_1=t_2</math>. ''G'' zárt, ha <math>z(a)=z(b)</math>. A görbe ''t''-beli irányvektorán a  
+
Ha a &Gamma; '''C'''-beli halmaz olyan, hogy van olyan ''G'':[''a'',''b'']<math>\to</math>'''C''', ''t''<math>\mapsto</math>''z''(''t'') folytonos, veges sok kivetellel folytonosan differenciálható fuggveny, aminek az ertekkeszlete &Gamma;, akkor &Gamma;-t görbének nevezzük. A &Gamma; görbe ''egyszerű'', ha nem metszi át saját magát, azaz minden <math>t_1</math>, <math>t_2</math>-re, ha <math>z(t_1)=z(t_2)</math>, akkor <math>t_1=t_2</math>. ''G'' zárt, ha <math>z(a)=z(b)</math>. A görbe ''t''-beli irányvektorán a  
 
:<math>\dot{z}(t)=\dot{x}(t)+\mathrm{i}\dot{y}(t)</math>
 
:<math>\dot{z}(t)=\dot{x}(t)+\mathrm{i}\dot{y}(t)</math>
 
komplex számot értjük.
 
komplex számot értjük.
 +
 +
Tobb parameterezes is elo tudja allitani a &Gamma; gorbet. Ezek kozul kettot, a <math>z_1</math>-et es a <math>z_2</math>-t ekvivalensnek nevezunk, ha van olyan g:[a,b]<math>\to</math>[c,d] folytonos valos fuggveny, ami (a,b)-n differencialhato, g'>0 es <math>z_2=z_1\circ g</math>. Az osszes parameterezesek halmaza ket osztalyra esik szet, ezek a gorbe ellentetes parameterezeseit adjak.
  
 
====Példák====
 
====Példák====
15. sor: 18. sor:
 
'''2.''' Az origó középpontú R sugarú kör:
 
'''2.''' Az origó középpontú R sugarú kör:
 
:<math>z(t)=Re^{\mathrm{i}t}</math> ''t''&isin;[0,2&pi;]
 
:<math>z(t)=Re^{\mathrm{i}t}</math> ''t''&isin;[0,2&pi;]
És ekkor  
+
Hiszen ekkor a kör egyenlete:
 +
:<math>x(t)=R\cos(t)</math>
 +
:<math>y(t)=R\sin(t)</math>
 +
ahonnan a komplex írásmódban
 +
:<math>z(t)=x(t)+iy(t)=R\cos(t)+iR\sin(t)=R(\cos(t)+i\sin(t))</math>
 +
ami az Euler-formula alapján:
 +
:<math>z(t)=Re^{it}</math>
 +
És ekkor a deriváltja:
 
:<math>\dot{z}(t)=R\mathrm{i}e^{\mathrm{i}t}</math>
 
:<math>\dot{z}(t)=R\mathrm{i}e^{\mathrm{i}t}</math>
 
hiszen
 
hiszen
 
:<math>\dot{z}(t)=R\dot{\cos(t)+\mathrm{i}\sin(t)}=-R\sin(t)+\mathrm{i}R\cos(t)=\mathrm{i}(R\mathrm{i}\sin(t)+R\cos(t))</math>
 
:<math>\dot{z}(t)=R\dot{\cos(t)+\mathrm{i}\sin(t)}=-R\sin(t)+\mathrm{i}R\cos(t)=\mathrm{i}(R\mathrm{i}\sin(t)+R\cos(t))</math>
 +
Ha a kör középpontja <math>z_0=x_0+iy_0</math>, akkor
 +
:<math>x(t)=R\cos(t)+x_0</math>
 +
:<math>y(t)=R\sin(t)+y_0</math>
 +
azaz
 +
:<math>z(t)=Re^{it}+z_0</math>
 +
 
===Komplex vonalmenti integrál===
 
===Komplex vonalmenti integrál===
 
'''Definíció.''' Ha ''G'':[a,b]<math>\to</math>'''C''' görbe és f olyan komplex függvény, melyre Ran(G)&sube;Dom(f), és f folytonos, akkor belátható, hogy létezik a
 
'''Definíció.''' Ha ''G'':[a,b]<math>\to</math>'''C''' görbe és f olyan komplex függvény, melyre Ran(G)&sube;Dom(f), és f folytonos, akkor belátható, hogy létezik a
30. sor: 46. sor:
 
határérték, mely egy speciális Riemann-közelítőösszeg határértéke. Itt a görbén kijelöltük a véges sok <math>z_i</math> pontot, melyek a szigorúan monoton (<math>t_i</math>)-khez tartoznak a <math>z_i=z(t_i)</math> definícióval. Ezen <math>[z(t_i),z(t_{i+1})]</math> görbeszakaszokon belül felvettük tetszőlegesen a &zeta;<sub>i</sub> közbülső pontokat, és a &Delta;z<sub>i</sub>=<math>[z(t_i),z(t_{i+1})]</math> szakaszokkal elkészítettük az f(&zeta;<sub>i</sub>)&Delta;z<sub>i</sub> komplex szorzatokat. A határérték ezek görbére vett összegének határértéke. Ez a határérték az f függvény ''G''-re vett komplex integrálja.
 
határérték, mely egy speciális Riemann-közelítőösszeg határértéke. Itt a görbén kijelöltük a véges sok <math>z_i</math> pontot, melyek a szigorúan monoton (<math>t_i</math>)-khez tartoznak a <math>z_i=z(t_i)</math> definícióval. Ezen <math>[z(t_i),z(t_{i+1})]</math> görbeszakaszokon belül felvettük tetszőlegesen a &zeta;<sub>i</sub> közbülső pontokat, és a &Delta;z<sub>i</sub>=<math>[z(t_i),z(t_{i+1})]</math> szakaszokkal elkészítettük az f(&zeta;<sub>i</sub>)&Delta;z<sub>i</sub> komplex szorzatokat. A határérték ezek görbére vett összegének határértéke. Ez a határérték az f függvény ''G''-re vett komplex integrálja.
  
'''Visszavezetés valós vonalintegrálra.'''
 
Az integrál kifejezhető vonalintegrállal. Ha ugyanis f= u + iv, akkor az f=(u,v) vektormezőnek olyan differenciálforma szerinti integrálja a komplex pályamenti integrál, mely az f=(u,v) vektor és a dz=(dx,dy) infinitezimális elmozdulásvektor komplex szorzásaként jön létre:
 
:<math>\int\limits_{G}f(z)\mathrm{d}z = \int\limits_{G} u\mathrm{d}x-v\mathrm{d }y + i\int\limits_{G} u\mathrm{d}y+v\mathrm{d }x</math>
 
Ebben a felírásban az (u,-v) és (v,u) olyan segédvektormezők, melyek vonalintegráljai adják meg a komplex integrál valós és képzetes részét. Tehát az integrált a 
 
:<math>\mathbf{P}=\begin{pmatrix}u\\-v\end{pmatrix}</math> és <math>\mathbf{Q}=\begin{pmatrix}v\\u\end{pmatrix}</math>
 
segédvektormezők síkbeli '''vonalintegráljai''', vagy a
 
:<math>\mathbf{P}'=\begin{pmatrix}-v\\-u\end{pmatrix}</math> és <math>\mathbf{Q}'=\begin{pmatrix}u\\-v\end{pmatrix}</math>
 
segédvektormezők síkbeli '''felületi integráljai''' szolgáltatják.
 
 
Itt érdemes feleleveníteni, hogy az '''S''' = (<math>s_1</math>, <math>s_2</math>) síkvektormező felületi integrálja nem más, mint a (<math>-s_2</math>, <math>s_1</math>) vektormező vonalintegrálja (a megfelelő irányítással).
 
 
:<math>\int\limits_{F} \mathbf{S}\,\mathrm{d}\mathbf{f}=\int\limits_{''F''} s_1 \mathrm{d}y-s_2\mathrm{d}x</math>
 
megfelelő módon irányítva az F felületet, ill ennek "F" görbe mivoltát. 
 
 
(Azaz a s_2dx - s_1 dy differenciálforma integrálja. ''Differenciálforma'' -- nemes egyszerűséggel -- egy olyan kifejezése, ahol dx, dy, dz-k és egy vektormező komponensei vannak összeszorozva-összeadva.)
 
  
 
'''Kiszámítási formula.''' Belátható, hogy a fenti integrál a következőkkel egyenlő:
 
'''Kiszámítási formula.''' Belátható, hogy a fenti integrál a következőkkel egyenlő:
 
:<math>
 
:<math>
 
\int\limits_{G}f(z)\mathrm{d}z=\int\limits_{a}^b f(z(t))\cdot \dot{z}(t)\,\mathrm{d}t</math>
 
\int\limits_{G}f(z)\mathrm{d}z=\int\limits_{a}^b f(z(t))\cdot \dot{z}(t)\,\mathrm{d}t</math>
 +
 +
'''Megjegyzes''' A helyettesiteses integralas tetelenek felhasznalasaval belathato, hogy ez az integral fuggetlen a parametertezestol, ha azok ugyanazt az iranyitast hatarozzak meg.
 +
 +
'''Megj.''' A kiszamitasi formulaban skalarvaltozos vektorerteku fuggveny integralja szerepel. Ezt a kovetkezokeppen kell kiszamitani:
 +
 +
<math>\int\limits_a^b\begin{pmatrix}f_1(t)\\f_2(t)\end{pmatrix}\,dt=\begin{pmatrix}\int\limits_a^b f_1(t) \,dt\\ \int\limits_a^b  f_2(t)\,dt\end{pmatrix}
 +
</math>
 +
 
===Példa===
 
===Példa===
'''1.''' Legyen ''G'' a komplex egységkör pozitívan irányítva.
+
'''1.''' a) Legyen ''G'' a komplex egységkör pozitívan irányítva.
 
:<math>\int\limits_{|z|=1}\frac{1}{z}\mathrm{d}z=\int\limits_{0}^{2\pi} \frac{1}{e^{\mathrm{i}t}}\cdot \mathrm{i}e^{\mathrm{i}t}\,\mathrm{d}t=\int\limits_{0}^{2\pi} \mathrm{i}\,\mathrm{d}t=2\pi\mathrm{i}</math>
 
:<math>\int\limits_{|z|=1}\frac{1}{z}\mathrm{d}z=\int\limits_{0}^{2\pi} \frac{1}{e^{\mathrm{i}t}}\cdot \mathrm{i}e^{\mathrm{i}t}\,\mathrm{d}t=\int\limits_{0}^{2\pi} \mathrm{i}\,\mathrm{d}t=2\pi\mathrm{i}</math>
 
Ahol a valós Newton--Leibniz-formulát alkalmaztuk a komponensfüggvényekre.
 
Ahol a valós Newton--Leibniz-formulát alkalmaztuk a komponensfüggvényekre.
 +
 +
:b) Integráljuk az
 +
:<math>f(z)=\frac{1}{z-z_0}</math>
 +
függvény a <math>z_0</math> középpontú ''R'' sugarú pozitívan irányított körre, azaz a <math>|z-z_0|=R</math> egyenletű görbére.
 +
 +
Ekkor a görbe paraméterezése:
 +
:<math>z(t)=Re^{it}+z_0</math>, <math>0\leq t\leq 2\pi</math>
 +
:<math>\int\limits_{|z-z_0|=R}\frac{1}{z-z_0}\mathrm{d}z=\int\limits_{0}^{2\pi} \frac{1}{Re^{\mathrm{i}t}}\cdot \mathrm{i}Re^{\mathrm{i}t}\,\mathrm{d}t=\int\limits_{0}^{2\pi} \mathrm{i}\,\mathrm{d}t= \mathrm{i}\,\int\limits_{0}^{2\pi}\,\mathrm{d}t=2\pi\mathrm{i}</math>
  
 
'''2.''' Legyen ''G'' a z(t)=(1+2i)t, ahol t&isin;[0,1].
 
'''2.''' Legyen ''G'' a z(t)=(1+2i)t, ahol t&isin;[0,1].
:<math>\int\limits_{G}\overline{z}\mathrm{d}z=\int\limits_{0}^{1} (1-2\mathrm{i})t\cdot (1+2\mathrm{i})\,\mathrm{d}t=\int\limits_{0}^{1}5t\,\mathrm{d}t=5</math>
+
:<math>\int\limits_{G}\overline{z}\mathrm{d}z=\int\limits_{0}^{1} (1-2\mathrm{i})t\cdot (1+2\mathrm{i})\,\mathrm{d}t=\int\limits_{0}^{1}5t\,\mathrm{d}t=\frac{5}{2}</math>
  
 
'''3.''' Legyen ''G'' a komplex egységkör felső fele, pozitívan irányítva.
 
'''3.''' Legyen ''G'' a komplex egységkör felső fele, pozitívan irányítva.
:<math>\int\limits_{|z|=1,\mathrm{Im}(z)\leq 0}\overline{z}^2\mathrm{d}z=\int\limits_{0}^{\pi}e^{-2\mathrm{i}t}\cdot \mathrm{i}e^{\mathrm{i}t}\,\mathrm{d}t=\int\limits_{0}^{\pi}e^{-\mathrm{i}t}\,\mathrm{d}t=1-(-1)=2</math>
+
:<math>\int\limits_{|z|=1,\mathrm{Im}(z)\geq 0}\overline{z}^2\mathrm{d}z=\int\limits_{0}^{\pi}e^{-2\mathrm{i}t}\cdot \mathrm{i}e^{\mathrm{i}t}\,\mathrm{d}t=\int\limits_{0}^{\pi}e^{-\mathrm{i}t}\,\mathrm{d}t=1-(-1)=2</math>
 +
 
 
===Komplex Newton--Leibniz-formula===
 
===Komplex Newton--Leibniz-formula===
Ha az f komplex függvény, olyan, hogy van olyan komplex differenciálható F, melyre F'=f, akkor azt mondjuk, hogy a F az f primitív függvénye.  
+
Ha az f komplex függvény, olyan, hogy van olyan komplex differenciálható F, melyre F'=f, akkor azt mondjuk, hogy az F az f primitív függvénye.  
  
'''Komplex Newton--Leibniz-formula.''' Ha a nyílt halmazon értelmezett f komplex függvénynek primitív függvénye az F és f folytonos, akkor minden az f értelmezési tartományában haladó ''G'':[a,b]<math>\to</math>'''C''' görbére:
+
'''Komplex Newton--Leibniz-formula.''' Ha a nyílt halmazon értelmezett f komplex függvénynek primitív függvénye az F, akkor minden az f értelmezési tartományában haladó ''G'':[a,b]<math>\to</math>'''C''' görbére:
 
:<math>\int\limits_{G}f(z)\,\mathrm{d}z=F(b)-F(a)</math>
 
:<math>\int\limits_{G}f(z)\,\mathrm{d}z=F(b)-F(a)</math>
  
Például:
+
(Ha még nem tudjuk, hogy reguláris függvény analitikus, akkor f-ről fel kell tennünk, hogy folytonos.)
  
 
'''4.''' Legyen <math>f(z)=\frac{1}{z^2}</math>. Mi az egységkörre az integrálja?
 
'''4.''' Legyen <math>f(z)=\frac{1}{z^2}</math>. Mi az egységkörre az integrálja?
72. sor: 90. sor:
 
:<math>\int\limits_{|z|=1}\frac{1}{z^2}\,\mathrm{d}z=0</math>
 
:<math>\int\limits_{|z|=1}\frac{1}{z^2}\,\mathrm{d}z=0</math>
 
hiszen zárt a görbe, azaz a pr. fv. a kezdő és végpontban ugyanannyi.
 
hiszen zárt a görbe, azaz a pr. fv. a kezdő és végpontban ugyanannyi.
 +
 +
 +
===Visszavezetés valós vonalintegrálra es feluleti integralra===
 +
Az integrál kifejezhető vonalintegrállal. Ha ugyanis f= u + iv, akkor az f=(u,v) vektormezőnek olyan differenciálforma szerinti integrálja a komplex pályamenti integrál, mely az f=(u,v) vektor és a dz=(dx,dy) infinitezimális elmozdulásvektor komplex szorzásaként jön létre:
 +
:<math>\int\limits_{G}f(z)\mathrm{d}z = \int\limits_{G} u\mathrm{d}x-v\mathrm{d }y + i\int\limits_{G} u\mathrm{d}y+v\mathrm{d }x</math>
 +
Ebben a felírásban az (u,-v) és (v,u) olyan segédvektormezők, melyek vonalintegráljai adják meg a komplex integrál valós és képzetes részét. Tehát az integrált a 
 +
:<math>\mathbf{P}=\begin{pmatrix}u\\-v\end{pmatrix}</math> és <math>\mathbf{Q}=\begin{pmatrix}v\\u\end{pmatrix}</math>
 +
segédvektormezők síkbeli '''vonalintegráljai'''
 +
:<math>\int\limits_{G}\mathbf{P}\,\mathrm{d}\mathbf{r}+i\int\limits_{G}\mathbf{Q}\,\mathrm{d}\mathbf{r}</math>
 +
 +
vagy
 +
:<math>\mathbf{P}'=\begin{pmatrix}-v\\-u\end{pmatrix}</math> és <math>\mathbf{Q}'=\begin{pmatrix}u\\-v\end{pmatrix}</math>
 +
segédvektormezők síkbeli '''felületi integráljai'''
 +
:<math>\int\limits_{F}\mathbf{P}'\,\mathrm{d}\mathbf{f}+i\int\limits_{F}\mathbf{Q}'\,\mathrm{d}\mathbf{f}</math>
 +
szolgáltatják.
 +
 +
Itt érdemes feleleveníteni, hogy az '''v''' = (<math>v_1</math>, <math>v_2</math>) síkvektormező felületi integráljat a (<math>v_1</math>, <math>v_2</math>)(<math>df_1</math>, <math>df_2</math>) "differencialforma" integralasa adja. Itt az infinitezimalis feluletelem (<math>df_1</math>, <math>df_2</math>)=(<math>dy</math>,-<math>dx</math>).
 +
:<math>\int\limits_{F} \mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{f}=\int\limits_{F} v_1 \mathrm{d}y-v_2\mathrm{d}x</math>.
 +
 +
 +
'''A N.--L.-tétel bizonyitasa.''' A vonalintegrálra vonatkozó Newton--Leibniz-tétel (I. gradiens tétel) a következő: ha &Phi; folytonosan differenciálható, az értelmezési tartományában haladó G görge végpontjai: a és b, akkor
 +
:<math>\int\limits_{G}\mathrm{grad}\,\Phi\mathrm{d}\mathbf{r}=\Phi(b)-\Phi(a)</math>
 +
Ezt a segédvektormezőkre fogjuk alkalmazni.
 +
 +
:<math>\int\limits_{G}f(z)\mathrm{d}z = \int\limits_{G} u\mathrm{d}x-v\mathrm{d }y + i\int\limits_{G} u\mathrm{d}y+v\mathrm{d }x=</math>
 +
:<math>=\int\limits_{G} u\mathrm{d}x-v\mathrm{d }y + i\int\limits_{G} v\mathrm{d }x+u\mathrm{d}y</math>
 +
 +
:<math>F=\Phi+i\Psi</math>
 +
:<math>f=F'=\partial_x\Phi+i\partial_y(-\Phi)=u+vi</math>
 +
:<math>f=F'=\partial_y(\Psi)+i\partial_x(\Psi)=u+vi</math>
 +
:<math>\mathrm{grad}\,\Phi = (u,-v)</math>
 +
:<math>\mathrm{grad}\,\Psi = (v,u)</math>
 +
 +
:<math>=\int\limits_{G} u\mathrm{d}x-v\mathrm{d }y + i\int\limits_{G} v\mathrm{d }x+u\mathrm{d}y=\Phi(b)-\Phi(a)+i(\Psi(b)-\Psi(a))</math>
 +
 +
u,v folytonos differenciálhatósága sajnos csak egy későbbi tétel következménye, miszerint reguláris függvény analitikus. Addig a tételben ideiglenesen ki kell kötnünk, hogy ''f'' folytonos.
 +
 +
'''Tétel.''' Ha a ''D'' nyílt halmazon értelmezett ''f'' függvénynek van primitív függvénye, akkor ''f'' körintegrálja minden a ''D''-ben haladó zárt görbére nulla:
 +
:<math>\oint\limits_{G} f=0\,</math>
 +
 +
További információhoz akkor jutunk, ha a többváltozós analízis cirkulációmentességi feltételeit vizsgáljuk. Ehhez a vissza kell vezetni a komplex integrált a vonalintegrálra.
 +
 +
==Cirkulációmentesség==
 +
 +
===Gauss-tétel===
 +
Lássuk először Gauss-tétellel, hogyan következtethetünk a körintegrál eltűnésére.
 +
 +
'''Gauss-tétel''' ('''R'''<sup>3</sup>-ra) Legyen '''v''' nyílt halmazon értelmezett C<sup>1</sup>-függvény, ''V'' merheto, peremes térrész és legyen ennek pereme a &part;''V'' kifelé irányított felület. Ha ''V'' a peremével együtt Dom('''v''')-ben van, akkor
 +
:<math>\oint\limits_{\partial V} \mathbf{v}\;\mathrm{d}\mathbf{f}=\int\limits_{V} \mathrm{div}\,\mathbf{v}\;\mathrm{d}V</math>
 +
 +
'''Megjegyzes.''' Az itt szereplő fogalmak közül néhányról beszélnünk kell.
 +
 +
''Felület.'' Legyenek a &phi;<sup>i</sup>:D<sub>i</sub> <math>\to</math> '''R'''<sup>3</sup> függvények folytonosan differenciálhatóak és injektívek int(''D''<sub>i</sub>)-n, melyek mérhető tartományok '''R'''<sup>2</sup>-ben. Ha a képeik egymásba nem nyúlók, azaz int(&phi;<sub>i</sub>(''D''<sub>i</sub>)) &cap; int(&phi;<sub>j</sub>(''D''<sub>j</sub>)) üres, ha ''i'' &ne; ''j'', és a képek uniója összefüggő halmaz, akkor U Ran(&phi;<sup>i</sup>)-t előállítottuk paraméteres felületként.
 +
 +
Példaként említhetjük a kúp paraméterezését:
 +
 +
:<math>\mathbf{r}_1(\varphi, h)=\left\{\begin{matrix} h\sin\vartheta\cos \varphi\\ h\sin\vartheta\sin\varphi\\ h\end{matrix}\right.</math>, ha &phi; &isin; [0,2&pi;] és ''h'' &isin; [0,''H'']
 +
:<math>\mathbf{r}_2(\varphi, h)=\left\{\begin{matrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi \\ H\end{matrix}\right.</math>, ha &phi; &isin; [0,2&pi;] és ''r'' &isin; [0,''R'']
 +
ahol H a kúp magassága, R az alapkörsugara, &theta; a félkúpszöge (z a tengelye, O a csúcsa). Tehát itt a paramétertartományok [0,2&pi;] &times; [0,''H''] és [0,2&pi;] &times; [0,''R''].
 +
 +
''C<sup>1</sup>-ség''. Ez azért kell, mert a térfogati integrált a ''D'' paramétertartományon a
 +
:<math>\int\limits_{V} \mathrm{div}\,\mathbf{v}\;\mathrm{d}V=\int\limits_{\mathbf{r}^{-1}(V)}\mathrm{div}\,\mathbf{v}(\mathbf{r}(u,v,w))|\mathrm{J}^{\mathbf{r}}(u,v,w)|\;\mathrm{d}u\mathrm{d}v\mathrm{d}w</math>
 +
képlettel számoljuk és ahhoz, hogy ez létezzen, ahhoz pl. az kell, hogy ne csak az '''r''' = '''r'''(u,v,w) legyen folytonosan diff.-ható, de a divergencia is folytonos legyen.
 +
 +
'''Gauss-tétel''' ('''R'''<sup>2</sup>-re) Legyen ''D'' mérhető peremes síkrész, melynek perme, azaz a &part;D halmaz kifelé irányított síkbeli felület. Ha '''v''' nyílt halmazon értelmezett folytonosan '''R'''-differenciálható és Dom('''v''') tartalmazza ''D'' lezártját, akkor
 +
:<math>\oint\limits_{\partial D} \mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{f}=\int\limits_{D} \mathrm{div}\,(\mathbf{v})\mathrm{d}\mathbf{A}</math>
 +
ahol &int;d'''f''' kétdimenziós felületi integrált jelöl, &int;d'''A''' pedig kétdimenziós tartományi integrált.
 +
 +
Így tehát a komplex vonalintegrál kiszámításához csak a '''P'''' és '''Q'''' felületi integrálját kell kiszámítanunk, amihez a Gauss-tételbeli divergenciákat kell kiszámítanunk:
 +
:<math>\mathrm{div}\mathbf{P}'=-\frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}=0</math>
 +
:<math>\mathrm{div}\mathbf{Q}'=\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial v}{\partial y}=0</math>
 +
Ami, a C-R-egyenletek miatt igaz.
 +
 +
Innen
 +
:<math>\int\limits_{\partial D}f(z)\mathrm{d}z=0</math>
 +
 +
===Stokes-tétel===
 +
 +
Nézzük meg Stokes-tétellel is a bizonyítást.
 +
 +
'''Stokes-tétel''' ('''R'''<sup>3</sup>-ra) Legyen a nyílt halmazon értelmezett '''v''' vektorfüggvény folytonosan differenciálható, a Dom('''v''')-beli ''F'' felületen, aminek a &part;''F'' pereme legyen szintén Dom('''v''')-beli és ''F''-hez ''megfelelően irányított'' görbe. Ekkor 
 +
:<math>\oint\limits_{\partial F} \mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{F} \mathrm{rot}\,\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{f}</math>
 +
 +
'''Megjegyzes.''' A térbeli cirkulációmentességre vonatkozó nevezetes tétel ezzel a tétellel kapcsolatos. Ebben az esetben, bár az egyszeres összefüggőség nincs megkötve Dom('''v''')-re vonatkozólag, előjön a következményében:
 +
 +
''Következmény.'' Ha az egyszeresen összefűggő ''U'' nyílt halmazon értelmezett '''v''' vektormező folytonosan differenciálható, akkor az alábbi három kijelentés ekvivalens egymással:
 +
# rot '''v''' eltűnik ''U''-n,
 +
# minden ''U''-ban haladó zárt görbén a '''v''' körintegrálja nulla,
 +
# létezik '''v'''-nek ''U''-n potenciálja, azaz olyan &Phi; : ''U'' <math>\to</math> '''R''' függvény, melyre grad &Phi; = '''v'''.
 +
 +
Itt az egyszeres összefüggőség azért kell, mert ilyen esetben a zárt görbéhez található olyan felület, mely a tartományban halad és pereme a görbe.
 +
 +
'''Stokes-tétel''' ('''R'''<sup>2</sup>-re) Legyen a ''D'' síkbeli tartomany határa a &part;D zárt görbe, megfelelően irányítva. Ha '''v''' folytonosan '''R'''-differenciálható egy nyílt halmazon, mely tartalmazza ''D'' lezártját, akkor
 +
:<math>\oint\limits_{\partial D} \mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{D} \mathrm{rot}(\mathbf{v})\,\mathrm{d}A</math>
 +
 +
Ekkor csak a rotációt kell kiszámítanunk:
 +
 +
:<math>\mathrm{rot}\mathbf{P}=\frac{\partial u}{\partial y} - \left(-\frac{\partial v}{\partial x}\right)=0</math>
 +
:<math>\mathrm{rot}\mathbf{Q}=\frac{\partial v}{\partial y} - \frac{\partial u}{\partial x}=0</math>
 +
 +
Ami, a C-R-egyenletek miatt igaz.
 +
 +
Mindezekből tehát következik, hogy ha a ''D'' peremes síktartomány lezártján az ''f'' komplex függvény (értelmezett és) analitikus, akkor ''D'' peremén az ''f'' integrálja eltünik. A következőkben élesítjük úgy a tételt, hogy elegendő legyen feltenni benne, hogy ''f'' egyszer komplexen deriválható, egyszeresen összefüggő nyílt halmazon értelmezett és a görbe egy benne haladó egyszerű zárt görbe.
 +
 +
===Green-tétel===
 +
 +
A síkbeli Stokes-tételt néha Green-tételnek is nevezik, ha az alábbi alakban van írva. Ez a következő. Legyen a ''D'' síkbeli tartomany határa a &part;D zárt görbe, megfelelően irányítva. Ha a (P,Q) síkbeli vektormező folytonosan '''R'''-differenciálható egy nyílt halmazon, mely tartalmazza ''D'' lezártját, akkor
 +
:<math>\oint\limits_{\partial D} P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y=\int\limits_{D} \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y</math>
 +
 +
HF: Bizonyítsuk be a tételt síkbeli normáltartományra, azaz olyan ''D''-re, melyre:
 +
:<math>D=\{(x,y)\in \mathbf{R}^2\mid a\leq x\leq b, \;\psi(x)\leq y\leq \varphi(x)\}</math>
 +
ahol minden x&isin;[a,b]-re &psi;(x)&le;&phi;(x). Itt &psi;, &phi; folytonosan differenciálható.
 +
 +
===Goursat-lemma, Cauchy-féle integráltétel===
 +
 +
Goursat ennél is mélyebb eredményt talált:
 +
 +
 +
'''Goursat-lemma'''. A T háromszöglapon reguláris ''f'' komplex függvény integrálja a háromszög határán nulla:
 +
:<math>\oint\limits_{\partial T}f=0\,</math>
 +
 +
''Bizonyitas.'' A haromszoget osszuk fel 4 egybevago haromszogre: &Delta;=&Delta;<sub>1</sub>&cup;&Delta;<sub>2</sub>&cup;&Delta;<sub>3</sub>&cup;&Delta;<sub>4</sub>. Ha jol iranyitjuk a kis haromszogek hatarat, akkor
 +
:<math>\int\limits_{\Delta}f=\int\limits_{\Delta_1}f+\int\limits_{\Delta_2}f+\int\limits_{\Delta_3}f+\int\limits_{\Delta_4}f</math>
 +
Ezt felulbecsulhetjuk a kovetkezovel:
 +
:<math>\left|\int\limits_{\Delta}f\right|\leq\sum\limits_{i=1}^4\left|\int\limits_{\Delta_i}f\right|\leq 4\max\limits_{i=1}^4\left|\int\limits_{\Delta_i}f\right|=4\left|\int\limits_{\Delta^{(1)}}f\right|</math>
 +
most &Delta;<sup>(1)</sup>-et bontjuk fel es folytatva a felosztast egy nullahoz tarto nagysagu haromszogekbol allo egymasba skatulyazott (&Delta;<sup>(''n'')</sup>) haromszogsorozatot kapunk, mely egy ponthoz, a ''z''<sub>0</sub>-hoz tart. A haromszogek kerulete K/2<sup>''n''</sup>, ha K az eredeti haromszog kerulete. Erra a sorozatra tovabba:
 +
:<math>\left|\int\limits_{\Delta}f\right|\leq 4^n\left|\int\limits_{\Delta^{(n)}}f\right|</math>
 +
igaz.
 +
 +
Most felhasznaljuk a komplex differencialhatosagot. Tetszoleges &epsilon;>0 szamra van olyan kornyezete ''z''<sub>0</sub>-nak, es a haromszogsorozatnak olyan N indexe, melyre az n-edik tagok mar a kornyezetben vannak es az alabbi formulaban az |&epsilon;(z)|<&epsilon;:
 +
:<math>f(z)-f(z_0)-f'(z_0)(z-z_0)-\varepsilon(z)(z-z_0)</math>
 +
Ezt integralva a haromszogre:
 +
:<math>|\int\limits_{\Delta^{(n)}}f(z)|=|\int\limits_{\Delta^{(n)}}f(z_0)+f'(z_0)(z-z_0)+\varepsilon(z)(z-z_0)\,dz|=|\int\limits_{\Delta^{(n)}}\varepsilon(z)(z-z_0)\,dz|=</math>
 +
Itt az utolso kifejezest az ivhossz integrallal felulbecsuljuk:
 +
:<math>\leq\int\limits_{\Delta^{(n)}}|\varepsilon(z)||(z-z_0)|\,d|z|<\varepsilon K^2/4^n</math>
 +
Mivel &epsilon; tetszoleges volt, ezert az integral eltunik.
 +
 +
Innen már könnyen adódik a komplex analízis főtétele, melyet először Cauchy modott ki ugyan csak folytonosan diffható komplex függvényre, de Goursat ezt megfejelte a gyengített feltételével:
 +
 +
'''Főtétel.''' Ha a ''D'' egyszeresen összefüggő tartományon reguláris az ''f'' komplex függvény, akkor a tartományban minden zárt G egyszeru görbén a függvény integrálja nulla:
 +
:<math>\oint\limits_{G} f=0\,</math>
 +
 +
===Nehany topologiai fogalom===
 +
 +
Egy ''D'' nyilt halmaz '''C'''-ben egyszeresen osszefuggo, ha benne minden zart gorbe ''pontra deformalhato''.
 +
Ez utobbi a kovetkezot jelenti. Azt mondjuk, hogy a &gamma;:[a,b]<math>\to</math>''D'' zart gorbe  a <math>z_0</math>  ''D''-beli pontra deformalhato a ''D'' tartomanyban, ha letezik olyan &Gamma;:[0,1]<math>\to</math> <math>D^{[a,b]}</math> gorbe erteku fuggveny, melyre &Gamma;(1)=&gamma;, &Gamma;(0)=<math>z_0</math> konstans gorbe es &Gamma; az [a,b] es <math>D^{[a,b]}</math> terek kozott hato folytonos lekepezes a szupremumnorma szerint.
 +
 +
''Csillagszeru'' egy ''H'' halmaz '''C'''-ben, ha van olyan ''H''-beli pont ''c'' pont, hogy barmely ''H''-beli ''z'' pontra a [''cz''] szakasz ''H''-ban van.
 +
 +
''Pelda.'' Egy csillagszeru tartomany egyszeresen osszefuggo, mert a csillagpontra valo [0,1]-beli aranyszammal parameterezett kozeppontos kicsinyites kepei alkotta parameteres gorbesereg ilyen.
 +
 +
 +
[[Kategória:Matematika A3]]

A lap jelenlegi, 2017. január 2., 15:39-kori változata

<Matematika A3a 2008

Tartalomjegyzék

Komplex integrál

Görbék a komplex síkon

Ha a Γ C-beli halmaz olyan, hogy van olyan G:[a,b]\toC, t\mapstoz(t) folytonos, veges sok kivetellel folytonosan differenciálható fuggveny, aminek az ertekkeszlete Γ, akkor Γ-t görbének nevezzük. A Γ görbe egyszerű, ha nem metszi át saját magát, azaz minden t1, t2-re, ha z(t1) = z(t2), akkor t1 = t2. G zárt, ha z(a) = z(b). A görbe t-beli irányvektorán a

\dot{z}(t)=\dot{x}(t)+\mathrm{i}\dot{y}(t)

komplex számot értjük.

Tobb parameterezes is elo tudja allitani a Γ gorbet. Ezek kozul kettot, a z1-et es a z2-t ekvivalensnek nevezunk, ha van olyan g:[a,b]\to[c,d] folytonos valos fuggveny, ami (a,b)-n differencialhato, g'>0 es z_2=z_1\circ g. Az osszes parameterezesek halmaza ket osztalyra esik szet, ezek a gorbe ellentetes parameterezeseit adjak.

Példák

1. Legyen t∈[a,b]-re z(t) = x(t) + iy(t) olyan, hogy x(t) = x0 + w1t és y(t) = y0 + w2t, azaz z(t) = z0 + wt. Ekkor z(t) egy egyenes szakasz.

És ekkor:

\dot{z}(t)=w

2. Az origó középpontú R sugarú kör:

z(t) = Reit t∈[0,2π]

Hiszen ekkor a kör egyenlete:

x(t) = Rcos(t)
y(t) = Rsin(t)

ahonnan a komplex írásmódban

z(t) = x(t) + iy(t) = Rcos(t) + iRsin(t) = R(cos(t) + isin(t))

ami az Euler-formula alapján:

z(t) = Reit

És ekkor a deriváltja:

\dot{z}(t)=R\mathrm{i}e^{\mathrm{i}t}

hiszen

\dot{z}(t)=R\dot{\cos(t)+\mathrm{i}\sin(t)}=-R\sin(t)+\mathrm{i}R\cos(t)=\mathrm{i}(R\mathrm{i}\sin(t)+R\cos(t))

Ha a kör középpontja z0 = x0 + iy0, akkor

x(t) = Rcos(t) + x0
y(t) = Rsin(t) + y0

azaz

z(t) = Reit + z0

Komplex vonalmenti integrál

Definíció. Ha G:[a,b]\toC görbe és f olyan komplex függvény, melyre Ran(G)⊆Dom(f), és f folytonos, akkor belátható, hogy létezik a

\begin{matrix}
\sum\limits_{i=1}^nf(\zeta_i)\cdot \Delta z_i & \longrightarrow & \int\limits_{G}f(z)\,\mathrm{d}z\\
 & n\to \infty & \\
 & \forall z_i\in G, \;\forall \zeta_i\in \Delta z_i &\\
 & |\Delta z_i|\to 0 &  
\end{matrix}

határérték, mely egy speciális Riemann-közelítőösszeg határértéke. Itt a görbén kijelöltük a véges sok zi pontot, melyek a szigorúan monoton (ti)-khez tartoznak a zi = z(ti) definícióval. Ezen [z(ti),z(ti + 1)] görbeszakaszokon belül felvettük tetszőlegesen a ζi közbülső pontokat, és a Δzi=[z(ti),z(ti + 1)] szakaszokkal elkészítettük az f(ζi)Δzi komplex szorzatokat. A határérték ezek görbére vett összegének határértéke. Ez a határérték az f függvény G-re vett komplex integrálja.


Kiszámítási formula. Belátható, hogy a fenti integrál a következőkkel egyenlő:


\int\limits_{G}f(z)\mathrm{d}z=\int\limits_{a}^b f(z(t))\cdot \dot{z}(t)\,\mathrm{d}t

Megjegyzes A helyettesiteses integralas tetelenek felhasznalasaval belathato, hogy ez az integral fuggetlen a parametertezestol, ha azok ugyanazt az iranyitast hatarozzak meg.

Megj. A kiszamitasi formulaban skalarvaltozos vektorerteku fuggveny integralja szerepel. Ezt a kovetkezokeppen kell kiszamitani:

\int\limits_a^b\begin{pmatrix}f_1(t)\\f_2(t)\end{pmatrix}\,dt=\begin{pmatrix}\int\limits_a^b f_1(t) \,dt\\ \int\limits_a^b  f_2(t)\,dt\end{pmatrix}

Példa

1. a) Legyen G a komplex egységkör pozitívan irányítva.

\int\limits_{|z|=1}\frac{1}{z}\mathrm{d}z=\int\limits_{0}^{2\pi} \frac{1}{e^{\mathrm{i}t}}\cdot \mathrm{i}e^{\mathrm{i}t}\,\mathrm{d}t=\int\limits_{0}^{2\pi} \mathrm{i}\,\mathrm{d}t=2\pi\mathrm{i}

Ahol a valós Newton--Leibniz-formulát alkalmaztuk a komponensfüggvényekre.

b) Integráljuk az
f(z)=\frac{1}{z-z_0}

függvény a z0 középpontú R sugarú pozitívan irányított körre, azaz a | zz0 | = R egyenletű görbére.

Ekkor a görbe paraméterezése:

z(t) = Reit + z0, 0\leq t\leq 2\pi
\int\limits_{|z-z_0|=R}\frac{1}{z-z_0}\mathrm{d}z=\int\limits_{0}^{2\pi} \frac{1}{Re^{\mathrm{i}t}}\cdot \mathrm{i}Re^{\mathrm{i}t}\,\mathrm{d}t=\int\limits_{0}^{2\pi} \mathrm{i}\,\mathrm{d}t= \mathrm{i}\,\int\limits_{0}^{2\pi}\,\mathrm{d}t=2\pi\mathrm{i}

2. Legyen G a z(t)=(1+2i)t, ahol t∈[0,1].

\int\limits_{G}\overline{z}\mathrm{d}z=\int\limits_{0}^{1} (1-2\mathrm{i})t\cdot (1+2\mathrm{i})\,\mathrm{d}t=\int\limits_{0}^{1}5t\,\mathrm{d}t=\frac{5}{2}

3. Legyen G a komplex egységkör felső fele, pozitívan irányítva.

\int\limits_{|z|=1,\mathrm{Im}(z)\geq 0}\overline{z}^2\mathrm{d}z=\int\limits_{0}^{\pi}e^{-2\mathrm{i}t}\cdot \mathrm{i}e^{\mathrm{i}t}\,\mathrm{d}t=\int\limits_{0}^{\pi}e^{-\mathrm{i}t}\,\mathrm{d}t=1-(-1)=2

Komplex Newton--Leibniz-formula

Ha az f komplex függvény, olyan, hogy van olyan komplex differenciálható F, melyre F'=f, akkor azt mondjuk, hogy az F az f primitív függvénye.

Komplex Newton--Leibniz-formula. Ha a nyílt halmazon értelmezett f komplex függvénynek primitív függvénye az F, akkor minden az f értelmezési tartományában haladó G:[a,b]\toC görbére:

\int\limits_{G}f(z)\,\mathrm{d}z=F(b)-F(a)

(Ha még nem tudjuk, hogy reguláris függvény analitikus, akkor f-ről fel kell tennünk, hogy folytonos.)

4. Legyen f(z)=\frac{1}{z^2}. Mi az egységkörre az integrálja?

F(z)=-\frac{1}{z}

primitívfüggvénye f-nek, ezért

\int\limits_{|z|=1}\frac{1}{z^2}\,\mathrm{d}z=0

hiszen zárt a görbe, azaz a pr. fv. a kezdő és végpontban ugyanannyi.


Visszavezetés valós vonalintegrálra es feluleti integralra

Az integrál kifejezhető vonalintegrállal. Ha ugyanis f= u + iv, akkor az f=(u,v) vektormezőnek olyan differenciálforma szerinti integrálja a komplex pályamenti integrál, mely az f=(u,v) vektor és a dz=(dx,dy) infinitezimális elmozdulásvektor komplex szorzásaként jön létre:

\int\limits_{G}f(z)\mathrm{d}z = \int\limits_{G} u\mathrm{d}x-v\mathrm{d }y + i\int\limits_{G} u\mathrm{d}y+v\mathrm{d }x

Ebben a felírásban az (u,-v) és (v,u) olyan segédvektormezők, melyek vonalintegráljai adják meg a komplex integrál valós és képzetes részét. Tehát az integrált a

\mathbf{P}=\begin{pmatrix}u\\-v\end{pmatrix} és \mathbf{Q}=\begin{pmatrix}v\\u\end{pmatrix}

segédvektormezők síkbeli vonalintegráljai

\int\limits_{G}\mathbf{P}\,\mathrm{d}\mathbf{r}+i\int\limits_{G}\mathbf{Q}\,\mathrm{d}\mathbf{r}

vagy

\mathbf{P}'=\begin{pmatrix}-v\\-u\end{pmatrix} és \mathbf{Q}'=\begin{pmatrix}u\\-v\end{pmatrix}

segédvektormezők síkbeli felületi integráljai

\int\limits_{F}\mathbf{P}'\,\mathrm{d}\mathbf{f}+i\int\limits_{F}\mathbf{Q}'\,\mathrm{d}\mathbf{f}

szolgáltatják.

Itt érdemes feleleveníteni, hogy az v = (v1, v2) síkvektormező felületi integráljat a (v1, v2)(df1, df2) "differencialforma" integralasa adja. Itt az infinitezimalis feluletelem (df1, df2)=(dy,-dx).

\int\limits_{F} \mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{f}=\int\limits_{F} v_1 \mathrm{d}y-v_2\mathrm{d}x.


A N.--L.-tétel bizonyitasa. A vonalintegrálra vonatkozó Newton--Leibniz-tétel (I. gradiens tétel) a következő: ha Φ folytonosan differenciálható, az értelmezési tartományában haladó G görge végpontjai: a és b, akkor

\int\limits_{G}\mathrm{grad}\,\Phi\mathrm{d}\mathbf{r}=\Phi(b)-\Phi(a)

Ezt a segédvektormezőkre fogjuk alkalmazni.

\int\limits_{G}f(z)\mathrm{d}z = \int\limits_{G} u\mathrm{d}x-v\mathrm{d }y + i\int\limits_{G} u\mathrm{d}y+v\mathrm{d }x=
=\int\limits_{G} u\mathrm{d}x-v\mathrm{d }y + i\int\limits_{G} v\mathrm{d }x+u\mathrm{d}y
F = Φ + iΨ
f=F'=\partial_x\Phi+i\partial_y(-\Phi)=u+vi
f=F'=\partial_y(\Psi)+i\partial_x(\Psi)=u+vi
\mathrm{grad}\,\Phi = (u,-v)
\mathrm{grad}\,\Psi = (v,u)
=\int\limits_{G} u\mathrm{d}x-v\mathrm{d }y + i\int\limits_{G} v\mathrm{d }x+u\mathrm{d}y=\Phi(b)-\Phi(a)+i(\Psi(b)-\Psi(a))

u,v folytonos differenciálhatósága sajnos csak egy későbbi tétel következménye, miszerint reguláris függvény analitikus. Addig a tételben ideiglenesen ki kell kötnünk, hogy f folytonos.

Tétel. Ha a D nyílt halmazon értelmezett f függvénynek van primitív függvénye, akkor f körintegrálja minden a D-ben haladó zárt görbére nulla:

\oint\limits_{G} f=0\,

További információhoz akkor jutunk, ha a többváltozós analízis cirkulációmentességi feltételeit vizsgáljuk. Ehhez a vissza kell vezetni a komplex integrált a vonalintegrálra.

Cirkulációmentesség

Gauss-tétel

Lássuk először Gauss-tétellel, hogyan következtethetünk a körintegrál eltűnésére.

Gauss-tétel (R3-ra) Legyen v nyílt halmazon értelmezett C1-függvény, V merheto, peremes térrész és legyen ennek pereme a ∂V kifelé irányított felület. Ha V a peremével együtt Dom(v)-ben van, akkor

\oint\limits_{\partial V} \mathbf{v}\;\mathrm{d}\mathbf{f}=\int\limits_{V} \mathrm{div}\,\mathbf{v}\;\mathrm{d}V

Megjegyzes. Az itt szereplő fogalmak közül néhányról beszélnünk kell.

Felület. Legyenek a φi:Di \to R3 függvények folytonosan differenciálhatóak és injektívek int(Di)-n, melyek mérhető tartományok R2-ben. Ha a képeik egymásba nem nyúlók, azaz int(φi(Di)) ∩ int(φj(Dj)) üres, ha ij, és a képek uniója összefüggő halmaz, akkor U Ran(φi)-t előállítottuk paraméteres felületként.

Példaként említhetjük a kúp paraméterezését:

\mathbf{r}_1(\varphi, h)=\left\{\begin{matrix} h\sin\vartheta\cos \varphi\\ h\sin\vartheta\sin\varphi\\ h\end{matrix}\right., ha φ ∈ [0,2π] és h ∈ [0,H]
\mathbf{r}_2(\varphi, h)=\left\{\begin{matrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi \\ H\end{matrix}\right., ha φ ∈ [0,2π] és r ∈ [0,R]

ahol H a kúp magassága, R az alapkörsugara, θ a félkúpszöge (z a tengelye, O a csúcsa). Tehát itt a paramétertartományok [0,2π] × [0,H] és [0,2π] × [0,R].

C1-ség. Ez azért kell, mert a térfogati integrált a D paramétertartományon a

\int\limits_{V} \mathrm{div}\,\mathbf{v}\;\mathrm{d}V=\int\limits_{\mathbf{r}^{-1}(V)}\mathrm{div}\,\mathbf{v}(\mathbf{r}(u,v,w))|\mathrm{J}^{\mathbf{r}}(u,v,w)|\;\mathrm{d}u\mathrm{d}v\mathrm{d}w

képlettel számoljuk és ahhoz, hogy ez létezzen, ahhoz pl. az kell, hogy ne csak az r = r(u,v,w) legyen folytonosan diff.-ható, de a divergencia is folytonos legyen.

Gauss-tétel (R2-re) Legyen D mérhető peremes síkrész, melynek perme, azaz a ∂D halmaz kifelé irányított síkbeli felület. Ha v nyílt halmazon értelmezett folytonosan R-differenciálható és Dom(v) tartalmazza D lezártját, akkor

\oint\limits_{\partial D} \mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{f}=\int\limits_{D} \mathrm{div}\,(\mathbf{v})\mathrm{d}\mathbf{A}

ahol ∫df kétdimenziós felületi integrált jelöl, ∫dA pedig kétdimenziós tartományi integrált.

Így tehát a komplex vonalintegrál kiszámításához csak a P' és Q' felületi integrálját kell kiszámítanunk, amihez a Gauss-tételbeli divergenciákat kell kiszámítanunk:

\mathrm{div}\mathbf{P}'=-\frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}=0
\mathrm{div}\mathbf{Q}'=\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial v}{\partial y}=0

Ami, a C-R-egyenletek miatt igaz.

Innen

\int\limits_{\partial D}f(z)\mathrm{d}z=0

Stokes-tétel

Nézzük meg Stokes-tétellel is a bizonyítást.

Stokes-tétel (R3-ra) Legyen a nyílt halmazon értelmezett v vektorfüggvény folytonosan differenciálható, a Dom(v)-beli F felületen, aminek a ∂F pereme legyen szintén Dom(v)-beli és F-hez megfelelően irányított görbe. Ekkor

\oint\limits_{\partial F} \mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{F} \mathrm{rot}\,\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{f}

Megjegyzes. A térbeli cirkulációmentességre vonatkozó nevezetes tétel ezzel a tétellel kapcsolatos. Ebben az esetben, bár az egyszeres összefüggőség nincs megkötve Dom(v)-re vonatkozólag, előjön a következményében:

Következmény. Ha az egyszeresen összefűggő U nyílt halmazon értelmezett v vektormező folytonosan differenciálható, akkor az alábbi három kijelentés ekvivalens egymással:

  1. rot v eltűnik U-n,
  2. minden U-ban haladó zárt görbén a v körintegrálja nulla,
  3. létezik v-nek U-n potenciálja, azaz olyan Φ : U \to R függvény, melyre grad Φ = v.

Itt az egyszeres összefüggőség azért kell, mert ilyen esetben a zárt görbéhez található olyan felület, mely a tartományban halad és pereme a görbe.

Stokes-tétel (R2-re) Legyen a D síkbeli tartomany határa a ∂D zárt görbe, megfelelően irányítva. Ha v folytonosan R-differenciálható egy nyílt halmazon, mely tartalmazza D lezártját, akkor

\oint\limits_{\partial D} \mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{D} \mathrm{rot}(\mathbf{v})\,\mathrm{d}A

Ekkor csak a rotációt kell kiszámítanunk:

\mathrm{rot}\mathbf{P}=\frac{\partial u}{\partial y} - \left(-\frac{\partial v}{\partial x}\right)=0
\mathrm{rot}\mathbf{Q}=\frac{\partial v}{\partial y} - \frac{\partial u}{\partial x}=0

Ami, a C-R-egyenletek miatt igaz.

Mindezekből tehát következik, hogy ha a D peremes síktartomány lezártján az f komplex függvény (értelmezett és) analitikus, akkor D peremén az f integrálja eltünik. A következőkben élesítjük úgy a tételt, hogy elegendő legyen feltenni benne, hogy f egyszer komplexen deriválható, egyszeresen összefüggő nyílt halmazon értelmezett és a görbe egy benne haladó egyszerű zárt görbe.

Green-tétel

A síkbeli Stokes-tételt néha Green-tételnek is nevezik, ha az alábbi alakban van írva. Ez a következő. Legyen a D síkbeli tartomany határa a ∂D zárt görbe, megfelelően irányítva. Ha a (P,Q) síkbeli vektormező folytonosan R-differenciálható egy nyílt halmazon, mely tartalmazza D lezártját, akkor

\oint\limits_{\partial D} P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y=\int\limits_{D} \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y

HF: Bizonyítsuk be a tételt síkbeli normáltartományra, azaz olyan D-re, melyre:

D=\{(x,y)\in \mathbf{R}^2\mid a\leq x\leq b, \;\psi(x)\leq y\leq \varphi(x)\}

ahol minden x∈[a,b]-re ψ(x)≤φ(x). Itt ψ, φ folytonosan differenciálható.

Goursat-lemma, Cauchy-féle integráltétel

Goursat ennél is mélyebb eredményt talált:


Goursat-lemma. A T háromszöglapon reguláris f komplex függvény integrálja a háromszög határán nulla:

\oint\limits_{\partial T}f=0\,

Bizonyitas. A haromszoget osszuk fel 4 egybevago haromszogre: Δ=Δ1∪Δ2∪Δ3∪Δ4. Ha jol iranyitjuk a kis haromszogek hatarat, akkor

\int\limits_{\Delta}f=\int\limits_{\Delta_1}f+\int\limits_{\Delta_2}f+\int\limits_{\Delta_3}f+\int\limits_{\Delta_4}f

Ezt felulbecsulhetjuk a kovetkezovel:

\left|\int\limits_{\Delta}f\right|\leq\sum\limits_{i=1}^4\left|\int\limits_{\Delta_i}f\right|\leq 4\max\limits_{i=1}^4\left|\int\limits_{\Delta_i}f\right|=4\left|\int\limits_{\Delta^{(1)}}f\right|

most Δ(1)-et bontjuk fel es folytatva a felosztast egy nullahoz tarto nagysagu haromszogekbol allo egymasba skatulyazott (Δ(n)) haromszogsorozatot kapunk, mely egy ponthoz, a z0-hoz tart. A haromszogek kerulete K/2n, ha K az eredeti haromszog kerulete. Erra a sorozatra tovabba:

\left|\int\limits_{\Delta}f\right|\leq 4^n\left|\int\limits_{\Delta^{(n)}}f\right|

igaz.

Most felhasznaljuk a komplex differencialhatosagot. Tetszoleges ε>0 szamra van olyan kornyezete z0-nak, es a haromszogsorozatnak olyan N indexe, melyre az n-edik tagok mar a kornyezetben vannak es az alabbi formulaban az |ε(z)|<ε:

f(z)-f(z_0)-f'(z_0)(z-z_0)-\varepsilon(z)(z-z_0)

Ezt integralva a haromszogre:

|\int\limits_{\Delta^{(n)}}f(z)|=|\int\limits_{\Delta^{(n)}}f(z_0)+f'(z_0)(z-z_0)+\varepsilon(z)(z-z_0)\,dz|=|\int\limits_{\Delta^{(n)}}\varepsilon(z)(z-z_0)\,dz|=

Itt az utolso kifejezest az ivhossz integrallal felulbecsuljuk:

\leq\int\limits_{\Delta^{(n)}}|\varepsilon(z)||(z-z_0)|\,d|z|<\varepsilon K^2/4^n

Mivel ε tetszoleges volt, ezert az integral eltunik.

Innen már könnyen adódik a komplex analízis főtétele, melyet először Cauchy modott ki ugyan csak folytonosan diffható komplex függvényre, de Goursat ezt megfejelte a gyengített feltételével:

Főtétel. Ha a D egyszeresen összefüggő tartományon reguláris az f komplex függvény, akkor a tartományban minden zárt G egyszeru görbén a függvény integrálja nulla:

\oint\limits_{G} f=0\,

Nehany topologiai fogalom

Egy D nyilt halmaz C-ben egyszeresen osszefuggo, ha benne minden zart gorbe pontra deformalhato. Ez utobbi a kovetkezot jelenti. Azt mondjuk, hogy a γ:[a,b]\toD zart gorbe a z0 D-beli pontra deformalhato a D tartomanyban, ha letezik olyan Γ:[0,1]\to D[a,b] gorbe erteku fuggveny, melyre Γ(1)=γ, Γ(0)=z0 konstans gorbe es Γ az [a,b] es D[a,b] terek kozott hato folytonos lekepezes a szupremumnorma szerint.

Csillagszeru egy H halmaz C-ben, ha van olyan H-beli pont c pont, hogy barmely H-beli z pontra a [cz] szakasz H-ban van.

Pelda. Egy csillagszeru tartomany egyszeresen osszefuggo, mert a csillagpontra valo [0,1]-beli aranyszammal parameterezett kozeppontos kicsinyites kepei alkotta parameteres gorbesereg ilyen.

Személyes eszközök