Matematika A3a 2008/8. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Példák)
 
(egy szerkesztő 5 közbeeső változata nincs mutatva)
1. sor: 1. sor:
''<sub><[[Matematika A3a 2008]]</sub>''
+
''<sub><[[Matematika A3a 2008]]</sub>''  
  
 +
==Komplex integrál==
  
 +
===Görbék a komplex síkon===
  
==Komplex sorozatok==
+
Ha a &Gamma; '''C'''-beli halmaz olyan, hogy van olyan ''G'':[''a'',''b'']<math>\to</math>'''C''', ''t''<math>\mapsto</math>''z''(''t'') folytonos, veges sok kivetellel folytonosan differenciálható fuggveny, aminek az ertekkeszlete &Gamma;, akkor &Gamma;-t görbének nevezzük. A &Gamma; görbe ''egyszerű'', ha nem metszi át saját magát, azaz minden <math>t_1</math>, <math>t_2</math>-re, ha <math>z(t_1)=z(t_2)</math>, akkor <math>t_1=t_2</math>. ''G'' zárt, ha <math>z(a)=z(b)</math>. A görbe ''t''-beli irányvektorán a
Minthogy '''C''' &equiv; '''R'''<sup>2</sup> (mint normált vektortér), a komplex sorozatok azon tulajdonságai, melyek a vektortérműveletekkel és az | . | &equiv; || . ||<sub>2</sub> euklideszi normával kapcsolatosak mind '''R'''<sup>2</sup>-ből ismertnek tekinthetők. A sorozatok konvergenciáját ugyanúgy definiáljuk, mint  '''R'''<sup>2</sup>-ben:
+
:<math>\dot{z}(t)=\dot{x}(t)+\mathrm{i}\dot{y}(t)</math>
:<math>
+
komplex számot értjük.
\begin{matrix}
+
(z_n)\in\mathbf{C}^{\mathbf{Z}^+}\mbox{ konvergens }\\
+
\\
+
\Updownarrow\mathrm{def}\\
+
\\
+
\exists z\in \mathbf{C}\quad \forall \varepsilon\in\mathbf{R}^+\quad \exists N\in \mathbf{Z}^+\quad \forall n\in\mathbf{Z}^+ \quad(n> N\;\Rightarrow\;|z_n-z|<\varepsilon)
+
\end{matrix}</math>
+
Ekkor a fenti ''z'' egyértelmű, és ez a sorozat határértéke (lim(''z''<sub>n</sub>))
+
  
A legfontosabb jellemzése tehát a konvergenciának az '''R'''<sup>2</sup>-ből kölcsönzött, a komponensekre vonatkozó kritérium:
+
Tobb parameterezes is elo tudja allitani a &Gamma; gorbet. Ezek kozul kettot, a <math>z_1</math>-et es a <math>z_2</math>-t ekvivalensnek nevezunk, ha van olyan g:[a,b]<math>\to</math>[c,d] folytonos valos fuggveny, ami (a,b)-n differencialhato, g'>0 es <math>z_2=z_1\circ g</math>. Az osszes parameterezesek halmaza ket osztalyra esik szet, ezek a gorbe ellentetes parameterezeseit adjak.
  
'''Tétel''' – A '''C'''-beli (''z''<sub>n</sub>) = (''a''<sub>n</sub> + i''b''<sub>n</sub>) sorozat konvergens akkor és csak akkor, ha
+
====Példák====
:(''a''<sub>n</sub>) konvergens és  
+
'''1.''' Legyen ''t''&isin;[a,b]-re ''z''(''t'') = ''x''(''t'') + i''y''(''t'') olyan, hogy <math>x(t)=x_0+w_1t</math> és <math>y(t)=y_0+w_2t</math>, azaz <math>z(t)=z_0+w t</math>. Ekkor ''z''(''t'') egy egyenes szakasz.
:(''b''<sub>n</sub>) konvergens.
+
  
Ekkor lim(''z''<sub>n</sub>) = lim(''a''<sub>n</sub>) + i<math>\cdot</math>lim(''b''<sub>n</sub>)
+
És ekkor:
 +
:<math>\dot{z}(t)=w</math>
 +
'''2.''' Az origó középpontú R sugarú kör:
 +
:<math>z(t)=Re^{\mathrm{i}t}</math> ''t''&isin;[0,2&pi;]
 +
Hiszen ekkor a kör egyenlete:
 +
:<math>x(t)=R\cos(t)</math>
 +
:<math>y(t)=R\sin(t)</math>
 +
ahonnan a komplex írásmódban
 +
:<math>z(t)=x(t)+iy(t)=R\cos(t)+iR\sin(t)=R(\cos(t)+i\sin(t))</math>
 +
ami az Euler-formula alapján:
 +
:<math>z(t)=Re^{it}</math>
 +
És ekkor a deriváltja:
 +
:<math>\dot{z}(t)=R\mathrm{i}e^{\mathrm{i}t}</math>
 +
hiszen
 +
:<math>\dot{z}(t)=R\dot{\cos(t)+\mathrm{i}\sin(t)}=-R\sin(t)+\mathrm{i}R\cos(t)=\mathrm{i}(R\mathrm{i}\sin(t)+R\cos(t))</math>
 +
Ha a kör középpontja <math>z_0=x_0+iy_0</math>, akkor
 +
:<math>x(t)=R\cos(t)+x_0</math>
 +
:<math>y(t)=R\sin(t)+y_0</math>
 +
azaz
 +
:<math>z(t)=Re^{it}+z_0</math>
  
Fontos látni a kapcsolatot a sorozathatárék és a függvényhatárérték között. Egy (''&zeta;''<sub>n</sub>) komplex sorozat nem más, mint egy
+
===Komplex vonalmenti integrál===
:<math>\zeta: \mathbf{Z}^+\to \mathbf{C}</math>
+
'''Definíció.''' Ha ''G'':[a,b]<math>\to</math>'''C''' görbe és f olyan komplex függvény, melyre Ran(G)&sube;Dom(f), és f folytonos, akkor belátható, hogy létezik a
függvény. Ha '''Z'''<sup></sup>-t komplex részhalmaznak gondoljuk (ahogy az is), akkor az egyetlen torlódási pontja a &infin;. Ezért egy sorozatnak pontosan akkor létezik határértéke és ez a w szám, ha mint függvénynek létezik határértéke és az a w. Azaz:
+
:<math>\exists\lim\limits_{n\to \infty}z_n=w\in\overline{\mathbf{C}}\quad\Longleftrightarrow\quad\exists\lim\limits_{\infty}\zeta=w\in\overline{\mathbf{C}}</math>
+
Ebből következik, hogy a függvényhatárértékre vonatkozó minden műveleti szabály öröklődik a sorozathatárértékre.
+
===Nullsorozatok===
+
  
A 0 komplex számhoz tartó sorozatok nullsorozatok. Az abszolútérték és a szorzás jó tulajdonságai miatt öröklődnek a valós sorozatok alábbi tulajdonságai.
+
:<math>\begin{matrix}
 +
\sum\limits_{i=1}^nf(\zeta_i)\cdot \Delta z_i & \longrightarrow & \int\limits_{G}f(z)\,\mathrm{d}z\\
 +
& n\to \infty & \\
 +
& \forall z_i\in G, \;\forall \zeta_i\in \Delta z_i &\\
 +
& |\Delta z_i|\to 0
 +
\end{matrix}</math>
 +
határérték, mely egy speciális Riemann-közelítőösszeg határértéke. Itt a görbén kijelöltük a véges sok <math>z_i</math> pontot, melyek a szigorúan monoton (<math>t_i</math>)-khez tartoznak a <math>z_i=z(t_i)</math> definícióval. Ezen <math>[z(t_i),z(t_{i+1})]</math> görbeszakaszokon belül felvettük tetszőlegesen a &zeta;<sub>i</sub> közbülső pontokat, és a &Delta;z<sub>i</sub>=<math>[z(t_i),z(t_{i+1})]</math> szakaszokkal elkészítettük az f(&zeta;<sub>i</sub>)&Delta;z<sub>i</sub> komplex szorzatokat. A határérték ezek görbére vett összegének határértéke. Ez a határérték az f függvény ''G''-re vett komplex integrálja.
  
'''Állítás''' – Legyen (''z''<sub>n</sub>) komplex számsorozat.
 
# ''abszolútérték:'' ''z''<sub>n</sub> <math>\to</math> 0 akkor és csak akkor, ha |''z''<sub>n</sub>| <math>\to</math> 0
 
# ''eltolás:'' ''z''<sub>n</sub> <math>\to</math> ''z'' akkor és csak akkor, ha (''z''<sub>n</sub> – ''z'') <math>\to</math> 0
 
# ''"K <math> \cdot</math> 0":'' ha (''w''<sub>n</sub>) korlátos és ''z''<sub>n</sub> <math>\to</math> 0, akkor  (''w''<sub>n</sub> <math>\cdot</math> ''z''<sub>n</sub>) <math>\to</math> 0
 
# ''majoráns:'' ha (&delta;<sub>n</sub>) <math>\to</math> 0 valós és |''z''<sub>n</sub>| < &delta;<sub>n</sub>, akkor ''z''<sub>n</sub> <math>\to</math> 0
 
# ''hányadoskritérium:'' ha <math>\limsup\left|\frac{z_{n+1}}{z_n}\right|<1\,</math>, akkor  ''z''<sub>n</sub> <math>\to</math> 0
 
# ''gyökkritérium:'' ha <math>\limsup\sqrt[n]{|z_n|}<1\,</math>, akkor  ''z''<sub>n</sub> <math>\to</math> 0
 
  
 +
'''Kiszámítási formula.''' Belátható, hogy a fenti integrál a következőkkel egyenlő:
 +
:<math>
 +
\int\limits_{G}f(z)\mathrm{d}z=\int\limits_{a}^b f(z(t))\cdot \dot{z}(t)\,\mathrm{d}t</math>
  
Ezek közül '''C'''-ben a legjellegzetesebb a ''"K <math> \cdot</math> 0"'', hiszen ez azt állítja, hogy nem csak a &lambda;<sub>n</sub>.''z''<sub>n</sub> skalárral történő szorzás esetén igaz a "korlátos - nullához" tartó kritérium (mindkét változóban), hanem komplex szorzás is ilyen.
+
'''Megjegyzes''' A helyettesiteses integralas tetelenek felhasznalasaval belathato, hogy ez az integral fuggetlen a parametertezestol, ha azok ugyanazt az iranyitast hatarozzak meg.
  
 +
'''Megj.''' A kiszamitasi formulaban skalarvaltozos vektorerteku fuggveny integralja szerepel. Ezt a kovetkezokeppen kell kiszamitani:
  
'''1. Feladat'''
+
<math>\int\limits_a^b\begin{pmatrix}f_1(t)\\f_2(t)\end{pmatrix}\,dt=\begin{pmatrix}\int\limits_a^b f_1(t) \,dt\\ \int\limits_a^b  f_2(t)\,dt\end{pmatrix}
:<math>\left(\frac{\sqrt{2}+i}{\sqrt{3n}}\right)^n\to ?</math>
+
</math>
  
''(Útmutatás: hivatkozzunk a "korlátos szor nullához tartó" kritériumra.)''
+
===Példa===
+
'''1.''' a) Legyen ''G'' a komplex egységkör pozitívan irányítva.
:<math>\left(\frac{\sqrt{2}+i}{\sqrt{3n}}\right)^n=\left(\frac{\sqrt{2}+i}{\sqrt{3}}\right)^n\frac{1}{\sqrt{n^n}}</math>
+
:<math>\int\limits_{|z|=1}\frac{1}{z}\mathrm{d}z=\int\limits_{0}^{2\pi} \frac{1}{e^{\mathrm{i}t}}\cdot \mathrm{i}e^{\mathrm{i}t}\,\mathrm{d}t=\int\limits_{0}^{2\pi} \mathrm{i}\,\mathrm{d}t=2\pi\mathrm{i}</math>
 +
Ahol a valós Newton--Leibniz-formulát alkalmaztuk a komponensfüggvényekre.
  
'''2. Feladat.'''
+
:b) Integráljuk az
:<math>\frac{\sqrt[n]{n^3+2n}}{i+1}\to ?</math>
+
:<math>f(z)=\frac{1}{z-z_0}</math>
ahol az ''n''-edik gyök a valós számból vont valós gyök.
+
függvény a <math>z_0</math> középpontú ''R'' sugarú pozitívan irányított körre, azaz a <math>|z-z_0|=R</math> egyenletű görbére.  
  
''(Útmutatás: "i-telenítsük" a nevezőt.)''
+
Ekkor a görbe paraméterezése:
 +
:<math>z(t)=Re^{it}+z_0</math>, <math>0\leq t\leq 2\pi</math>
 +
:<math>\int\limits_{|z-z_0|=R}\frac{1}{z-z_0}\mathrm{d}z=\int\limits_{0}^{2\pi} \frac{1}{Re^{\mathrm{i}t}}\cdot \mathrm{i}Re^{\mathrm{i}t}\,\mathrm{d}t=\int\limits_{0}^{2\pi} \mathrm{i}\,\mathrm{d}t= \mathrm{i}\,\int\limits_{0}^{2\pi}\,\mathrm{d}t=2\pi\mathrm{i}</math>
  
:<math>\frac{\sqrt[n]{n^3+2n}}{i+1}=\frac{(i-1)\sqrt[n]{n^3+2n}}{-1-1}=\frac{i\sqrt[n]{n^3+2n}-\sqrt[n]{n^3+2n}}{-2}\to \frac{1}{2}-\frac{1}{2}i</math>
+
'''2.''' Legyen ''G'' a z(t)=(1+2i)t, ahol t&isin;[0,1].
ugyanis
+
:<math>\int\limits_{G}\overline{z}\mathrm{d}z=\int\limits_{0}^{1} (1-2\mathrm{i})t\cdot (1+2\mathrm{i})\,\mathrm{d}t=\int\limits_{0}^{1}5t\,\mathrm{d}t=\frac{5}{2}</math>
: <math>1\leftarrow\sqrt[n]{n}^3=\sqrt[n]{n^3}\leq\sqrt[n]{n^3+2n}\leq\sqrt[n]{n^3+\frac{n^3}{2}}=\sqrt[n]{\frac{3}{2}n^3}=\sqrt[n]{\frac{3}{2}}\sqrt[n]{n}^3\to 1</math>
+
  
 +
'''3.''' Legyen ''G'' a komplex egységkör felső fele, pozitívan irányítva.
 +
:<math>\int\limits_{|z|=1,\mathrm{Im}(z)\geq 0}\overline{z}^2\mathrm{d}z=\int\limits_{0}^{\pi}e^{-2\mathrm{i}t}\cdot \mathrm{i}e^{\mathrm{i}t}\,\mathrm{d}t=\int\limits_{0}^{\pi}e^{-\mathrm{i}t}\,\mathrm{d}t=1-(-1)=2</math>
  
'''3. Feladat.'''
+
===Komplex Newton--Leibniz-formula===
:<math>\left(\frac{n+i}{n}\right)^n\to ?</math>
+
Ha az f komplex függvény, olyan, hogy van olyan komplex differenciálható F, melyre F'=f, akkor azt mondjuk, hogy az F az f primitív függvénye.  
  
''(Útmutatás: használjunk trigonometrikus alakot és hatványozzunk.)''
+
'''Komplex Newton--Leibniz-formula.''' Ha a nyílt halmazon értelmezett f komplex függvénynek primitív függvénye az F, akkor minden az f értelmezési tartományában haladó ''G'':[a,b]<math>\to</math>'''C''' görbére:
 +
:<math>\int\limits_{G}f(z)\,\mathrm{d}z=F(b)-F(a)</math>
  
:<math>\left(\frac{n+i}{n}\right)^n=\left(\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}\right)^n\cdot\left(\cos\left(n\,\mathrm{arc\,tg}\left(\frac{1}{n}\right)\right)+i\sin\left(n\,\mathrm{arc\,tg}\left(\frac{1}{n}\right)\right)\right)\to </math>
+
(Ha még nem tudjuk, hogy reguláris függvény analitikus, akkor f-ről fel kell tennünk, hogy folytonos.)
:: <math>\to \cos1+i\sin 1\,</math>
+
Mert a szögfüggvények argumentumában lévő sorozat az 1-hez tart (pl L'Hospital-szabállyal majd átviteli elvvel ellenőrizhető), a első szorzó pedig az 1-ehez tart (rendőrelvvel). Az argumentumokban lévő értéket tertmészetesen radiánban kell venni: nem 1˚, hanem 1 rad.
+
  
==Komplex sorok==
+
'''4.''' Legyen <math>f(z)=\frac{1}{z^2}</math>. Mi az egységkörre az integrálja?
 +
:<math>F(z)=-\frac{1}{z}</math>
 +
primitívfüggvénye f-nek, ezért
 +
:<math>\int\limits_{|z|=1}\frac{1}{z^2}\,\mathrm{d}z=0</math>
 +
hiszen zárt a görbe, azaz a pr. fv. a kezdő és végpontban ugyanannyi.
  
Minden normált térben definiálhatók sorok és ezek konvergenciája, így '''C'''-ben is. Az (''z''<sub>n</sub>) sorozat
 
: <math>s_n=\sum\limits_{k=1}^n z_k</math>
 
részletösszegeinek (''s''<sub>n</sub>) sorozatát a (''z''<sub>n</sub>) -ből képzett '''sor'''nak nevezzük és &sum;(''z''<sub>n</sub>)-nel jelöljük. Azt mondjuk, hogy a &sum;(''z''<sub>n</sub>) sor konvergens és összege a ''w'' komplex szám, ha (''z''<sub>n</sub>) részletösszegeinek sorozata konvergens és határértéke ''w''. Ekkor az összeget a 
 
:<math>\sum\limits_{n=1}^{\infty}z_n</math>
 
szimbólummal jelöljük.
 
  
===Komponensek===
+
===Visszavezetés valós vonalintegrálra es feluleti integralra===  
 +
Az integrál kifejezhető vonalintegrállal. Ha ugyanis f= u + iv, akkor az f=(u,v) vektormezőnek olyan differenciálforma szerinti integrálja a komplex pályamenti integrál, mely az f=(u,v) vektor és a dz=(dx,dy) infinitezimális elmozdulásvektor komplex szorzásaként jön létre:
 +
:<math>\int\limits_{G}f(z)\mathrm{d}z = \int\limits_{G} u\mathrm{d}x-v\mathrm{d }y + i\int\limits_{G} u\mathrm{d}y+v\mathrm{d }x</math>
 +
Ebben a felírásban az (u,-v) és (v,u) olyan segédvektormezők, melyek vonalintegráljai adják meg a komplex integrál valós és képzetes részét. Tehát az integrált a 
 +
:<math>\mathbf{P}=\begin{pmatrix}u\\-v\end{pmatrix}</math> és <math>\mathbf{Q}=\begin{pmatrix}v\\u\end{pmatrix}</math>
 +
segédvektormezők síkbeli '''vonalintegráljai'''
 +
:<math>\int\limits_{G}\mathbf{P}\,\mathrm{d}\mathbf{r}+i\int\limits_{G}\mathbf{Q}\,\mathrm{d}\mathbf{r}</math>
  
Az egyik módja, hogy a komplex sorok konvergenciáját visszavezessük a valósokra, ha a komponenssorozatokat vesszük:
+
vagy
:<math>\sum(z_n)=\sum(x_n+iy_n)\</math>  
+
:<math>\mathbf{P}'=\begin{pmatrix}-v\\-u\end{pmatrix}</math> és <math>\mathbf{Q}'=\begin{pmatrix}u\\-v\end{pmatrix}</math>
esetén az összegeket elképzelve, azokból az i kiemelhető, így
+
segédvektormezők síkbeli '''felületi integráljai'''
:<math>\sum(z_n)=\sum(x_n)+i\sum(y_n)\, </math>
+
:<math>\int\limits_{F}\mathbf{P}'\,\mathrm{d}\mathbf{f}+i\int\limits_{F}\mathbf{Q}'\,\mathrm{d}\mathbf{f}</math>
ahol az összeget és a szorzást tagonként végezzük. Ekkor egy sor ponrosan akkor konvergens, ha mindkét komponense konvergens.  
+
szolgáltatják.  
  
===Cauchy-kritérium és abszolút konvergencia===
+
Itt érdemes feleleveníteni, hogy az '''v''' = (<math>v_1</math>, <math>v_2</math>) síkvektormező felületi integráljat a (<math>v_1</math>, <math>v_2</math>)(<math>df_1</math>, <math>df_2</math>) "differencialforma" integralasa adja. Itt az infinitezimalis feluletelem (<math>df_1</math>, <math>df_2</math>)=(<math>dy</math>,-<math>dx</math>).
 +
:<math>\int\limits_{F} \mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{f}=\int\limits_{F} v_1 \mathrm{d}y-v_2\mathrm{d}x</math>.
  
Világos, hogy egy sor, mint részletösszegsorozat pontosan akkor konvergens, ha Cauchy-sorozat. Ez a Cauchy-kritérium sorokra.
 
  
Létezik az abszolút konvergencia fogalmai is. Egy sor abszolút konvergens, ha a tagjai abszolútértékéből képezett sorozat konvergens. Igaz az, hogy egy normált tér akkor és csak akkor teljes, ha minden abszolút konvergens sor konvergens benne. (És '''C''' teljes, mert minden Cauchy-sorozat konvergál benne, ami pont annak a módja, hogy belássuk az előbbi kritériumot.) Persze az előfordul a teljes terekben is, hogy konvergens sorozatok nem lesznek abszolút konvergensek.  
+
'''A N.--L.-tétel bizonyitasa.''' A vonalintegrálra vonatkozó Newton--Leibniz-tétel (I. gradiens tétel) a következő: ha &Phi; folytonosan differenciálható, az értelmezési tartományában haladó G görge végpontjai: a és b, akkor
 +
:<math>\int\limits_{G}\mathrm{grad}\,\Phi\mathrm{d}\mathbf{r}=\Phi(b)-\Phi(a)</math>
 +
Ezt a segédvektormezőkre fogjuk alkalmazni.
  
===Kritériumok az abszolút konvergenciára===
+
:<math>\int\limits_{G}f(z)\mathrm{d}z = \int\limits_{G} u\mathrm{d}x-v\mathrm{d }y + i\int\limits_{G} u\mathrm{d}y+v\mathrm{d }x=</math>
 +
:<math>=\int\limits_{G} u\mathrm{d}x-v\mathrm{d }y + i\int\limits_{G} v\mathrm{d }x+u\mathrm{d}y</math>
  
Az abszolút konvergencia fenti kritériumából egy sor komplex sorokra vonatkozó kritérium adódik a valósból.
+
:<math>F=\Phi+i\Psi</math>
 +
:<math>f=F'=\partial_x\Phi+i\partial_y(-\Phi)=u+vi</math>
 +
:<math>f=F'=\partial_y(\Psi)+i\partial_x(\Psi)=u+vi</math>
 +
:<math>\mathrm{grad}\,\Phi = (u,-v)</math>
 +
:<math>\mathrm{grad}\,\Psi = (v,u)</math>
  
'''Tétel''' – Legyen (''z''<sub>n</sub>) komplex számsorozat.
+
:<math>=\int\limits_{G} u\mathrm{d}x-v\mathrm{d }y + i\int\limits_{G} v\mathrm{d }x+u\mathrm{d}y=\Phi(b)-\Phi(a)+i(\Psi(b)-\Psi(a))</math>
# '''Szükséges kritérium:''' Ha  &sum;(''z''<sub>n</sub>) konvergens, akkor (''z''<sub>n</sub>) nulsorozat.
+
# '''Geometriai sor:''' ha |''z''| < 1, akkor <math>\sum\limits_{(0)} (z^n)</math> konvergens és az összege:
+
#:<math>\sum\limits_{n=0}^\infty z^n=\frac{1}{1-z}</math>
+
# '''Összehasonlító kritérium:'''  ha az &sum;(''r''<sub>n</sub>) valós sor konvergens és |''z''<sub>n</sub>| ≤ ''r''<sub>n</sub> majdnem minden ''n''-re, akkor  &sum;(''z''<sub>n</sub>) abszolút konvergens (''majoráns-kritérium''). Ha az &sum;(''r''<sub>n</sub>) pozitív valós sor divergens és  ''r''<sub>n</sub> ≤ |''z''<sub>n</sub>| m.m., akkor &sum;(''z''<sub>n</sub>) divergens (''minoráns-kritérium'').
+
# '''p-edik hatvány próba:''' ha ''p'' > 1  valós, akkor a <math>(\sum\limits_{1}\frac{1}{n^p})</math> valós sor konvergens.
+
#: Ha 0 ≤ ''p'' ≤ 1, akkor a <math>(\sum\limits_{1}\frac{1}{n^p})</math> valós sor divergens.
+
# '''Hányadoskritérium:''' ha <math>\limsup\left|\frac{z_{n+1}}{z_n}\right|<1\,</math>, akkor &sum;(''z''<sub>n</sub>) abszolút konvergens. Ha a "liminf" > 1, akkor divergens
+
# '''Gyökkritérium:''' ha <math>\limsup\sqrt[n]{|z_n|}<1\,</math>, akkor  &sum;(''z''<sub>n</sub>) abszolút konvergens. Ha a "limsup" > 1, akkor divergens.
+
  
 +
u,v folytonos differenciálhatósága sajnos csak egy későbbi tétel következménye, miszerint reguláris függvény analitikus. Addig a tételben ideiglenesen ki kell kötnünk, hogy ''f'' folytonos.
  
'''Megjegyezzük,''' hogy ha a gyökök és hányadosok sorozata konvergál, akkor ugyanahhoz a számhoz konvergálnak.
+
'''Tétel.''' Ha a ''D'' nyílt halmazon értelmezett ''f'' függvénynek van primitív függvénye, akkor ''f'' körintegrálja minden a ''D''-ben haladó zárt görbére nulla:
 +
:<math>\oint\limits_{G} f=0\,</math>
  
 +
További információhoz akkor jutunk, ha a többváltozós analízis cirkulációmentességi feltételeit vizsgáljuk. Ehhez a vissza kell vezetni a komplex integrált a vonalintegrálra.
  
'''4.'''
+
==Cirkulációmentesség==
Konvergens-e illetve abszolút konvergens-e?
+
:<math>\sum\left(\frac{i^n}{n}\right)</math>
+
  
'''5.'''
+
===Gauss-tétel===
#Konvergens-e és mi a határértéke: <math>\frac{n!}{n^n}i^n</math>
+
Lássuk először Gauss-tétellel, hogyan következtethetünk a körintegrál eltűnésére.
#Konvergens-e <math>\sum\left(\frac{n!}{n^n}i^n\right)</math>
+
#Milyen ''z''-re konvergens: <math>\sum\left(\frac{n!}{n^n}z^n\right)</math>
+
  
''(Útmutatás: használjuk a hányadoskritériumot, vagy vizsgáljuk, hogy milyen rendben tartanak a végtelenhez az összetevősorozatok.)''
+
'''Gauss-tétel''' ('''R'''<sup>3</sup>-ra) Legyen '''v''' nyílt halmazon értelmezett C<sup>1</sup>-függvény, ''V'' merheto, peremes térrész és legyen ennek pereme a &part;''V'' kifelé irányított felület. Ha ''V'' a peremével együtt Dom('''v''')-ben van, akkor
 +
:<math>\oint\limits_{\partial V} \mathbf{v}\;\mathrm{d}\mathbf{f}=\int\limits_{V} \mathrm{div}\,\mathbf{v}\;\mathrm{d}V</math>
  
:<math>\frac{\left|\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}i^{n+1}\right|}{\left|\frac{n!}{n^n}i^n\right|}=\frac{n+1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\cdot(n+1)}\to\frac{1}{e}<1 </math>
+
'''Megjegyzes.''' Az itt szereplő fogalmak közül néhányról beszélnünk kell.
azaz 0-hoz tart-
+
  
 +
''Felület.'' Legyenek a &phi;<sup>i</sup>:D<sub>i</sub> <math>\to</math> '''R'''<sup>3</sup> függvények folytonosan differenciálhatóak és injektívek int(''D''<sub>i</sub>)-n, melyek mérhető tartományok '''R'''<sup>2</sup>-ben. Ha a képeik egymásba nem nyúlók, azaz int(&phi;<sub>i</sub>(''D''<sub>i</sub>)) &cap; int(&phi;<sub>j</sub>(''D''<sub>j</sub>)) üres, ha ''i'' &ne; ''j'', és a képek uniója összefüggő halmaz, akkor U Ran(&phi;<sup>i</sup>)-t előállítottuk paraméteres felületként.
  
'''6.'''
+
Példaként említhetjük a kúp paraméterezését:
#Konvergens-e és mi a határértéke: <math>\frac{1}{\left(1+\frac{i}{n}\right)^{n^4}}</math>
+
#Konvergens-e <math>\sum\left(\frac{1}{\left(1+\frac{i}{n}\right)^{n^4}}\right)</math>
+
#Milyen ''z''-re konvergens:<math>\sum\left(\frac{1}{\left(1+\frac{i|z|}{n}\right)^{n^4}}\right)</math>
+
  
''(Útmutatás: használjuk a gyökkritériumot.)''
+
:<math>\mathbf{r}_1(\varphi, h)=\left\{\begin{matrix} h\sin\vartheta\cos \varphi\\ h\sin\vartheta\sin\varphi\\ h\end{matrix}\right.</math>, ha &phi; &isin; [0,2&pi;] és ''h'' &isin; [0,''H'']
 +
:<math>\mathbf{r}_2(\varphi, h)=\left\{\begin{matrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi \\ H\end{matrix}\right.</math>, ha &phi; &isin; [0,2&pi;] és ''r'' &isin; [0,''R'']
 +
ahol H a kúp magassága, R az alapkörsugara, &theta; a félkúpszöge (z a tengelye, O a csúcsa). Tehát itt a paramétertartományok [0,2&pi;] &times; [0,''H''] és [0,2&pi;] &times; [0,''R''].
  
:<math>\sqrt[n]{\left|1+\frac{i}{n}\right|^{n^4}}=\left|1+\frac{i}{n}\right|^{n^3}=\left(\sqrt{\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}}\right)^n\geq (1+\varepsilon)^n\to +\infty</math>
+
''C<sup>1</sup>-ség''. Ez azért kell, mert a térfogati integrált a ''D'' paramétertartományon a
Így a reciproka a 0-hoz tart, azaz a limszup < 1.
+
:<math>\int\limits_{V} \mathrm{div}\,\mathbf{v}\;\mathrm{d}V=\int\limits_{\mathbf{r}^{-1}(V)}\mathrm{div}\,\mathbf{v}(\mathbf{r}(u,v,w))|\mathrm{J}^{\mathbf{r}}(u,v,w)|\;\mathrm{d}u\mathrm{d}v\mathrm{d}w</math>
 +
képlettel számoljuk és ahhoz, hogy ez létezzen, ahhoz pl. az kell, hogy ne csak az '''r''' = '''r'''(u,v,w) legyen folytonosan diff.-ható, de a divergencia is folytonos legyen.
  
==Komplex hatványsorok==
+
'''Gauss-tétel''' ('''R'''<sup>2</sup>-re) Legyen ''D'' mérhető peremes síkrész, melynek perme, azaz a &part;D halmaz kifelé irányított síkbeli felület. Ha '''v''' nyílt halmazon értelmezett folytonosan '''R'''-differenciálható és Dom('''v''') tartalmazza ''D'' lezártját, akkor
 +
:<math>\oint\limits_{\partial D} \mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{f}=\int\limits_{D} \mathrm{div}\,(\mathbf{v})\mathrm{d}\mathbf{A}</math>
 +
ahol &int;d'''f''' kétdimenziós felületi integrált jelöl, &int;d'''A''' pedig kétdimenziós tartományi integrált.
  
'''Definíció''' ''Hatványsor'' – Legyen (''a''<sub>n</sub>) komplex számsorozat és ''z''<sub>0</sub> &isin; '''C'''. Ekkor az  &sum;(''a''<sub>n(</sub>id<sub>'''C'''</sub>-z<sub>0</sub>)<sup>n</sup>) függvénysort hatványsornak nevezzük és összegét, az
+
Így tehát a komplex vonalintegrál kiszámításához csak a '''P'''' és '''Q'''' felületi integrálját kell kiszámítanunk, amihez a Gauss-tételbeli divergenciákat kell kiszámítanunk:
:<math>z\mapsto \sum\limits_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n</math>
+
:<math>\mathrm{div}\mathbf{P}'=-\frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}=0</math>
hozzárendelési utasítással értelmezett, a {''z'' &isin; | &sum;(''a''<sub>n</sub>(z-''z''<sub>0</sub>)<sup>n</sup>) konvergál } halmazon értelmezett függvényt a hatványsor '''összegének''' nevezzük. Középpontja ''z''<sub>0</sub>, együtthatósorozata (''a''<sub>n</sub>).
+
:<math>\mathrm{div}\mathbf{Q}'=\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial v}{\partial y}=0</math>
 +
Ami, a C-R-egyenletek miatt igaz.
  
A továbbiakban csak a  &sum;(''a''<sub>n</sub>z<sup>n</sup>) alakú, azaz a 0 körüli hatványsorokkal foglalkozunk (ezzel nem csorbítjuk az általánosságot, mert eltolással megkaphatjuk a többit is).
+
Innen
 +
:<math>\int\limits_{\partial D}f(z)\mathrm{d}z=0</math>
  
'''Tétel''' – ''Cauchy–Hadamard-tétel'' – Ha (''a''<sub>n</sub>) komplex számsorozat, <math>c= \limsup\limits_{n}\sqrt[n]{|a_n|}</math> és
+
===Stokes-tétel===
:<math>R=\left\{
+
\begin{matrix}
+
0,& \mathrm{ha} &c=+\infty\\
+
+\infty,& \mathrm{ha} & c=0\\
+
\frac{1}{c},& \mathrm{ha} & 0<c<+\infty
+
\end{matrix}
+
  
\right.</math>
+
Nézzük meg Stokes-tétellel is a bizonyítást.  
akkor  &sum;(''a''<sub>n</sub>z<sup>n</sup>) abszolút konvergens a B<sub>R</sub>(0) gömbön és divergens a  B<sub>1/R</sub>(&infin;) gömbön.
+
  
A tétel minden részletre kiterjedő bizonyítását nem végezzük el, csak utalunk rá, hogy nyilvánvaló, hogy a Cauchy-féle gyökkritériumot kell benne használni. A tételbeli ''R'' sugarat a hatványsor ''konvergenciasugarának'' nevezzük. ''R''-et másként is kiszámíthajuk. Ha azt tudjuk, a hányadoskritérium alapján, hogy  
+
'''Stokes-tétel''' ('''R'''<sup>3</sup>-ra) Legyen a nyílt halmazon értelmezett '''v''' vektorfüggvény folytonosan differenciálható, a Dom('''v''')-beli ''F'' felületen, aminek a &part;''F'' pereme legyen szintén Dom('''v''')-beli és ''F''-hez ''megfelelően irányított'' görbe. Ekkor  
:<math>\exists\lim\limits_{n\to \infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}</math>
+
:<math>\oint\limits_{\partial F} \mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{F} \mathrm{rot}\,\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{f}</math>
akkor létezik és ezzel egyenlő az n-edik gyökök sorozata is: 
+
:<math>\exists\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=\,''\,\frac{1}{R}\,''</math>  
+
ahol az idézőjel azt jelzi, hogy a konvergenciasugár lehet végtelen vagy 0 is.
+
  
 +
'''Megjegyzes.''' A térbeli cirkulációmentességre vonatkozó nevezetes tétel ezzel a tétellel kapcsolatos. Ebben az esetben, bár az egyszeres összefüggőség nincs megkötve Dom('''v''')-re vonatkozólag, előjön a következményében:
  
'''7. Feladat.''' Mi az alábbi hatványsorok konvergenciaköre és -sugara?
+
''Következmény.'' Ha az egyszeresen összefűggő ''U'' nyílt halmazon értelmezett '''v''' vektormező folytonosan differenciálható, akkor az alábbi három kijelentés ekvivalens egymással:
#<math>\sum\left((2i)^nn^3(z-i)^n\right)</math>
+
# rot '''v''' eltűnik ''U''-n,
#<math>\sum\left(\mathrm{arc\,sin}\left(\frac{1}{n}\right)(z+1+i)^n\right)</math>
+
# minden ''U''-ban haladó zárt görbén a '''v''' körintegrálja nulla,
#<math>\sum\left(\frac{in^{2008}}{n!}z^n\right)</math>
+
# létezik '''v'''-nek ''U''-n potenciálja, azaz olyan &Phi; : ''U'' <math>\to</math> '''R''' függvény, melyre grad &Phi; = '''v'''.
  
 +
Itt az egyszeres összefüggőség azért kell, mert ilyen esetben a zárt görbéhez található olyan felület, mely a tartományban halad és pereme a görbe.
  
'''Analitikus'''nak nevezünk egy ''f'' komplex függvényt, a ''z''<sub>0</sub> pontban, ha van olyan &delta; sugarú környezet és &sum;(''a''<sub>n</sub>(z-z<sub>0</sub>)<sup>n</sup>) hatványsor, hogy minden ''z'' &isin; B<sub>&delta;</sub>(''z''<sub>0</sub>)-ra ''f'' érelmezett, &sum;(''a''<sub>n</sub>(z-z<sub>0</sub>)<sup>n</sup>) konvergens és
+
'''Stokes-tétel''' ('''R'''<sup>2</sup>-re) Legyen a ''D'' síkbeli tartomany határa a &part;D zárt görbe, megfelelően irányítva. Ha '''v''' folytonosan '''R'''-differenciálható egy nyílt halmazon, mely tartalmazza ''D'' lezártját, akkor
:<math>f(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math>  
+
:<math>\oint\limits_{\partial D} \mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{D} \mathrm{rot}(\mathbf{v})\,\mathrm{d}A</math>
Ezt úgy jelöljük, hogy ''f'' &isin; C<sup>&omega;</sup>(''z''<sub>0</sub>).
+
  
'''8. Feladat'''
+
Ekkor csak a rotációt kell kiszámítanunk:
# Van-e olyan <math>\sum\limits_{(0)}(a_n(z-2))</math> hatványsor, mely konvergál a 0-ban, de divergál a 3-ban. Konvergál 2-ben, de divergál az 2,000001-ben?
+
# Igazoljuk, hogy az alábbi függvény analitikus a nullában. Mi sorfejtés a konvergenciaköre?
+
#:<math>f(z) = \frac{1}{4+z^2} \,</math>
+
  
===Hatványsorok összegfüggvényének folytonossága és differenciálhatósága===
+
:<math>\mathrm{rot}\mathbf{P}=\frac{\partial u}{\partial y} - \left(-\frac{\partial v}{\partial x}\right)=0</math>
 +
:<math>\mathrm{rot}\mathbf{Q}=\frac{\partial v}{\partial y} - \frac{\partial u}{\partial x}=0</math>
  
'''Tétel''' – Ha (''a''<sub>n</sub>) komplex számsorozat, akkor az  &sum;(''a''<sub>n</sub>z<sup>n</sup>) hatványsor összegfüggvénye folytonos a konvergenciakör belsejében. Sőt, reguláris is ott.  
+
Ami, a C-R-egyenletek miatt igaz.
  
Emlékeztetünk arra, hogy egy függvény reguláris egy pontban, ha a pont egy környezetében mindenütt értelmezett és komplex deriválható. A tétel szerint tehát analitikus függvény reguláris. A döbbenetes azonban, hogymint később kiderül: reguláris függvény analitikus: ''f'' &isin; C<sup>&omega;</sup>(''z''<sub>0</sub>) akkor és csak akkr, ha ''f'' &isin; Reg(''z''<sub>0</sub>).
+
Mindezekből tehát következik, hogy ha a ''D'' peremes síktartomány lezártján az ''f'' komplex függvény (értelmezett és) analitikus, akkor ''D'' peremén az ''f'' integrálja eltünik. A következőkben élesítjük úgy a tételt, hogy elegendő legyen feltenni benne, hogy ''f'' egyszer komplexen deriválható, egyszeresen összefüggő nyílt halmazon értelmezett és a görbe egy benne haladó egyszerű zárt görbe.
  
''Bizonyítás.'' Legyen ''z'' a konvergenciakör egy belső pontja és &Delta;''z'' olyan, hogy még ''z'' + &Delta;''z'' is a konvergenciakör belsejébe esik. Ekkor:
+
===Green-tétel===
: <math>\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(z+\Delta z)^n-\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nz^n=
+
\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n((z+\Delta z)^n-z^n)=</math>
+
mert mindkét sor konvergens, ekkor algebrai azonosságokkal:
+
:<math>=\Delta z\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n\sum\limits_{k=0}^{n-1}\Delta z^{k}z^{n-1-k}</math>
+
vagy ha tetszik nemnulla &Delta;''z''-vel:
+
:<math>\frac{\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(z+\Delta z)^n-\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nz^n}{\Delta z}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n\sum\limits_{k=0}^{n-1}\Delta z^{k}z^{n-1-k}</math>
+
a jobb oldalon álló sor konvergenciáját a gyökkritériummal láthatjuk be:
+
:<math>\left|a_n\sum\limits_{k=0}^{n-1}\Delta z^{k}z^{n-1-k}\right|\leq|a_n|\cdot n r^n</math>
+
ahol r olyan pozitív szám, hogy | ''z'' + &Delta;''z'' | < r < R (ez  utóbbi a hatványsor konvergenciasugára). És
+
:<math>\limsup\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|\cdot n r^n}=\limsup\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}\cdot 1 \cdot r\leq\frac{1}{R}r<1\,</math>
+
Így azt kaptuk, hogy minden olyan  &Delta;''z''-re, melyre | ''z'' + &Delta;''z'' | < r, teljesül és |&Delta;''z''| <&epsilon;/(1+&sum;<sub>n</sub>|a<sub>n</sub>|nr<sup>n</sup>)=:&delta;
+
:<math>\left|\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(z+\Delta z)^n-\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nz^n\right|\leq|\Delta z|\cdot \sum\limits_{n=0}^\infty|a_n|nr^n<\varepsilon.</math>
+
  
Hosszadalmasabb számolásokkal, de lényegében ugyanígy kimutatható, hogy a hatványsor összegfüggvénye komplex differenciálható is a konvergenciakör belsejében és deriváltja a formális tagonkénti deriválásal kapott sor összegfüggvényével egyenlő, tehát:
+
A síkbeli Stokes-tételt néha Green-tételnek is nevezik, ha az alábbi alakban van írva. Ez a következő. Legyen a ''D'' síkbeli tartomany határa a &part;D zárt görbe, megfelelően irányítva. Ha a (P,Q) síkbeli vektormező folytonosan '''R'''-differenciálható egy nyílt halmazon, mely tartalmazza ''D'' lezártját, akkor
:<math>\left(\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nz^n\right)'=\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n n z^{n-1}</math>
+
:<math>\oint\limits_{\partial D} P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y=\int\limits_{D} \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y</math>
  
 +
HF: Bizonyítsuk be a tételt síkbeli normáltartományra, azaz olyan ''D''-re, melyre:
 +
:<math>D=\{(x,y)\in \mathbf{R}^2\mid a\leq x\leq b, \;\psi(x)\leq y\leq \varphi(x)\}</math>
 +
ahol minden x&isin;[a,b]-re &psi;(x)&le;&phi;(x). Itt &psi;, &phi; folytonosan differenciálható.
  
==Elemi függvények==
+
===Goursat-lemma, Cauchy-féle integráltétel===
  
===Hatványfüggvények===
+
Goursat ennél is mélyebb eredményt talált:
A
+
:<math>w=z^n\,</math>
+
típusú függvények komplex hatványfüggvények. ''n'' &isin; '''Z''' esetén, komplex deriváltjuk kiszámítható, ''n'' &ne; -1 esetben komplex primitív függvényük is van a következő értelemben:
+
  
Mivel
 
:<math>(z^n)'=nz^{n-1}\,</math>
 
ezért ''n'' &ne; -1  esetén az az ''F''(''z'') függvény, melyre <math> \scriptstyle{F'(z)=z^n}</math> nem más, mint
 
:<math>F(z)=\frac{z^{n+1}}{n+1}+C\,</math>
 
ahol C komplex konstans. ''n'' &ne; -1-re nincs primitív függvénye, mert a logaritmus nem egyértékű a komplex számok között. 
 
  
Komplex vonalintegrál értelmezhető a G: [a,b] <math>\to</math> '''C''' folytonos függvény, mint görbe esetén azzal a különlegességgel, hogy a szorzás a komplex szorzás:
+
'''Goursat-lemma'''. A T háromszöglapon reguláris ''f'' komplex függvény integrálja a háromszög határán nulla:
:<math>\int\limits_{G}f(z)\,\mathrm{d}z\,=_{\mathrm{def}}\lim\limits_{n \to \infty}\sum\limits_{i=1}^nf(z_i)\cdot\Delta z_i</math>
+
:<math>\oint\limits_{\partial T}f=0\,</math>
Feltéve persze, hogy létezik és véges. Itt ''z''<sub>i</sub> mindig a G görbe valamely pontját jelöli, amit az [a,b] egy felosztásának osztópontjainak G általi képeiből kapunk.
+
  
Ekkor fennáll a komplex Newton-Leibniz-formula. Ha a G görbe olyan nyílt halmazban halad, melyben az ''f''-nek van primitív függvénye (egyértékű függvénye!) és ''f'' komplex integrálható, akkor ''z''<sub>1</sub> és ''z''<sub>2</sub> a végpontok esetén (''a'' és ''b'' képe), a komplex integrál kiszámítható így:
+
''Bizonyitas.'' A haromszoget osszuk fel 4 egybevago haromszogre: &Delta;=&Delta;<sub>1</sub>&cup;&Delta;<sub>2</sub>&cup;&Delta;<sub>3</sub>&cup;&Delta;<sub>4</sub>. Ha jol iranyitjuk a kis haromszogek hatarat, akkor
:<math>F(z_2)-F(z_1)=\int\limits_{G}f(z)\,\mathrm{d}z\,</math>
+
:<math>\int\limits_{\Delta}f=\int\limits_{\Delta_1}f+\int\limits_{\Delta_2}f+\int\limits_{\Delta_3}f+\int\limits_{\Delta_4}f</math>
 +
Ezt felulbecsulhetjuk a kovetkezovel:
 +
:<math>\left|\int\limits_{\Delta}f\right|\leq\sum\limits_{i=1}^4\left|\int\limits_{\Delta_i}f\right|\leq 4\max\limits_{i=1}^4\left|\int\limits_{\Delta_i}f\right|=4\left|\int\limits_{\Delta^{(1)}}f\right|</math>
 +
most &Delta;<sup>(1)</sup>-et bontjuk fel es folytatva a felosztast egy nullahoz tarto nagysagu haromszogekbol allo egymasba skatulyazott (&Delta;<sup>(''n'')</sup>) haromszogsorozatot kapunk, mely egy ponthoz, a ''z''<sub>0</sub>-hoz tart. A haromszogek kerulete K/2<sup>''n''</sup>, ha K az eredeti haromszog kerulete. Erra a sorozatra tovabba:
 +
:<math>\left|\int\limits_{\Delta}f\right|\leq 4^n\left|\int\limits_{\Delta^{(n)}}f\right|</math>
 +
igaz.
  
Ha a görbe belép az ''f'' értelmezési tartományának olyan részére, melyben a függvénynek nincs egyértelmű primitív függvénye, akkor az integrál értéke függhet a G úttól.
+
Most felhasznaljuk a komplex differencialhatosagot. Tetszoleges &epsilon;>0 szamra van olyan kornyezete ''z''<sub>0</sub>-nak, es a haromszogsorozatnak olyan N indexe, melyre az n-edik tagok mar a kornyezetben vannak es az alabbi formulaban az |&epsilon;(z)|<&epsilon;:
 +
:<math>f(z)-f(z_0)-f'(z_0)(z-z_0)-\varepsilon(z)(z-z_0)</math>
 +
Ezt integralva a haromszogre:
 +
:<math>|\int\limits_{\Delta^{(n)}}f(z)|=|\int\limits_{\Delta^{(n)}}f(z_0)+f'(z_0)(z-z_0)+\varepsilon(z)(z-z_0)\,dz|=|\int\limits_{\Delta^{(n)}}\varepsilon(z)(z-z_0)\,dz|=</math>
 +
Itt az utolso kifejezest az ivhossz integrallal felulbecsuljuk:
 +
:<math>\leq\int\limits_{\Delta^{(n)}}|\varepsilon(z)||(z-z_0)|\,d|z|<\varepsilon K^2/4^n</math>
 +
Mivel &epsilon; tetszoleges volt, ezert az integral eltunik.
 +
 
 +
Innen már könnyen adódik a komplex analízis főtétele, melyet először Cauchy modott ki ugyan csak folytonosan diffható komplex függvényre, de Goursat ezt megfejelte a gyengített feltételével:
 
   
 
   
'''1. Feladat.''' Legyen G a 3 középpontú, 1 sugarú kör felső félköre (pozitív irányítással). Számítsuk ki a
+
'''Főtétel.''' Ha a ''D'' egyszeresen összefüggő tartományon reguláris az ''f'' komplex függvény, akkor a tartományban minden zárt G egyszeru görbén a függvény integrálja nulla:
:<math>\int\limits_{G}3z^2+1\,\mathrm{d}z\,</math>
+
:<math>\oint\limits_{G} f=0\,</math>
integrált.
+
 
+
'''2. Feladat.''' Legyen G az origó körüli 2 sugarú kör vonal. Mennyi az
+
:a) <math>\int\limits_{G}\frac{1}{z^2}\,\mathrm{d}z\,</math> és a b) <math>\int\limits_{G}\frac{z+1}{z}\,\mathrm{d}z\,</math>
+
integrál.
+
 
+
A hatványfüggvények inverzei szintén nem egyértékű függvények.
+
 
+
===Exponenciális függvény===
+
:<math>
+
e^z=_{\mathrm{def}}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}\,</math>
+
Ebbőkkiderül az exponenciális függvény sok tulajdonsága. Például, ha z = x + iy, akkor
+
:<math>e^{x+iy}=e^x\cdot e^{iy}=e^x\cdot (\cos y + i\sin y)\,</math>
+
Ebből rögtön következik, hogy komplex exponenciális függvény periodikus, periódusa a p = 2&pi;i:
+
:<math>e^{z+2\pi i}=e^z\cdot e^{2\pi i}=e^z\cdot e^0\cdot (\cos 2\pi + i\sin 2\pi)=e^z(1+0i)\,</math>
+
'''3. Feladat.''' Oldjuk meg az
+
:<math>e^z=1+i\;</math>
+
egyenletet!
+
 
+
Írjuk át 1+i-t exponenciális alakba:
+
:<math>1+i=e^{\ln \sqrt{2}}\cdot e^{i\frac{\pi}{4}}\,
+
</math>
+
így
+
:<math>z=\ln\sqrt{2} +i\frac{\pi}{4}+2\pi i\,</math>
+
 
+
'''4. Feladat.''' Oldjuk meg az
+
:<math>e^{iz}+ie^{-4iz}=0\,</math>
+
egyenletet!
+
 
+
===Komplex logaritmus és a reciprok integrálja===
+
 
+
Tekintsük a
+
:<math>w=e^z\,</math>
+
hozzárendelést! Ha w-t exponenciális alakban írjuk, megfeleltethetjük egymásnak a z algebrai alakját w trigonometrikus alakjával:
+
:<math>w=re^{i\varphi}=e^{x+iy}=e^x\cdot e^{iy}\,</math>
+
azaz
+
:<math>r=e^x\,</math> és <math>\varphi= y\,</math>
+
Ebből is látható, hogy a fordított leképezés végtelen sok értkű, hiszen ha y<sub>1</sub> = 2&pi; + y, akkor w(x+iy)= w(x+iy<sub>1</sub> ). Ekkor a Riemann-felület egy végtelen sok Riemann-levélből áll.
+
 
+
'''Feladat.''' Számítsuk ki az alábbi integrálokat:
+
:<math>\int\limits_{G_1}\frac{1}{z}\,\mathrm{d}x</math>
+
:<math>\int\limits_{G_2}\frac{1}{z}\,\mathrm{d}x</math>
+
ahol G<sub>1</sub> az egységkör a + irányban i-től -i-ig, G<sub>2</sub> az egységkör a - irányban i-től -i-ig.
+
 
+
:<math>\int\limits_{i,\,(G_1)}^{-i}\frac{1}{z}\mathrm{d}z=[\mathrm{Log}(z)]_{i}^-i=\mathrm{Log}(e^{i\frac{3}{2}\pi})-\mathrm{Log}(e^{\frac{1}{2}\pi})=i\pi\,</math>
+
 
+
ahol Log a logaritmus főrésze, hisz a görbe a egy Rieman-levélen belül marad, míg
+
 
+
:<math>\int\limits_{i,\,(G_2)}^{-i}\frac{1}{z}\mathrm{d}z=[\mathrm{Log}(z)]_{i}^-i=\mathrm{Log}(e^{-i\frac{1}{2}\pi})-\mathrm{Log}(e^{\frac{1}{2}\pi})=-i\pi\,</math>
+
 
+
mivel itt áthalad a görbe a következő Riemann-levélre.
+
 
+
Más számítással:
+
 
+
:<math>\int\limits_{i,\,(G_1)}^{-i}\frac{1}{z}\mathrm{d}z=\int\limits_{t=\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}\frac{1}{z(t)}\cdot\frac{\mathrm{d}z(t)}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{d}t=\int\limits_{t=\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}e^{-it}ie^{it}\mathrm{d}t=[it]_{t=\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}</math>
+
 
+
===Trigonometikus függvények===
+
 
+
:<math>\sin z=_{\mathrm{def}}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}\,</math>
+
:<math>\cos z=_{\mathrm{def}}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{z^{2n}}{(2n)!}\,</math>
+
 
+
Világos, hogy valós &phi;-re:
+
:<math>e^{i\varphi}=\cos(\varphi)+i\sin(\varphi)\,</math>
+
 
+
A hiperbolikus függvényekhez hasonlóan a trigonometrikus függvények is előállnak de a komplex exponenciális segítségével:
+
 
+
:<math>\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}</math>
+
:<math>\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2} </math>
+
 
+
'''5. Feladat.''' Igazoljuk, hogy fennáll
+
:<math>\sin^2 z+ \cos^2z = 1\,</math>
+
 
+
'''6. Feladat.''' Oldjuk meg az
+
:<math>\sin 4z=0\,</math>
+
egyenletet!
+
 
+
===Hiperbolikus függvények===
+
 
+
:<math>\mathrm{sh}\, z=\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}</math>
+
:<math>\mathrm{ch}\, z=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2} </math>
+
 
+
'''7. Feladat.''' Határozzuk meg az w = sh(iz) függvény valós és képzetes részét!
+
 
+
Mo. 
+
:<math>\mathrm{sh}\, iz=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2}</math>
+
 
+
'''8. Feladat.''' G az egységkör. Számítsuk ki
+
:<math>\int\limits_{(G)}\frac{e^z}{z}\mathrm{d}z\,</math>
+
:<math>\int\limits_{(G)}\frac{\sin(z)}{z^4}\mathrm{d}z\,</math>
+
Mo.
+
:<math>\int\limits_{(G)}\frac{1}{z}+1+\frac{1}{2}z+...\mathrm{d}z\,=2\pi i</math>
+
:<math>\int\limits_{(G)}\frac{1}{z^3}-\frac{1}{2z}+\frac{1}{4!}z+...\mathrm{d}z\,=-\pi i</math>
+
 
+
 
+
 
+
==Taylor-sor==
+
 
+
A Cauchy-féle integrálformula következménye a következő tétel, mely a komplex differenciálelmélet egyik megjellegzetesebb eredménye:
+
 
+
'''Tétel.''' Ha az ''f'': '''C''' <math>\supset\!\to</math> '''C''' függvény az értelmezési tartománya egy <math>z_0</math> pontjában és ennek egy nyílt környezetében komplex differenciálható (azaz <math>z_0</math>-ban ''reguláris''), akkor ''f'' a  <math>z_0</math> pont egy ''V'' = B<sub>&delta;</sub>(z<sub>0</sub>) környezetén mindenhol végtelenszer differenciálható, ''V'' minden pontjában az ''f'' <math>z_0</math>-beli Taylor-sora konvergens és ennek határfüggvénye ''V''-n előállítja ''f''-et:
+
:<math>f(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n</math>
+
(azaz ''f'' ''analitikus'' <math>z_0</math>-ban).
+
 
+
A tétel tehét azt mondja ki, hogy "reguláris függvény analitikus".
+
 
+
 
+
'''Megjegyezzük,''' hogy 1. mint minden nemnegatív egész hatványokat tartalmazó hatványsor, a Taylor-sor is egy körlap belsején abszolút konvergens, mely körlap sugara a konvergenciasugára, mely
+
:<math>R=\frac{1}{\limsup\limits_{n}\sqrt[n]{|a_n|}}\,</math>
+
ahol a sor a &sum;a<sub>n</sub>(z-<math>z_0</math>)<sup>n</sup>, a körlap középpontja <math>z_0</math>, és ahol a reciprok kivételesen úgy értendő, hogy 1/0 = &infin;, 1/&infin; = 0.
+
 
+
'''2.''' A legyakrabban használt Taylor-sorok a következők:
+
 
+
:<math>|z|<1\mathrm{-re:}\quad\quad\frac{1}{1-z}=\sum\limits_{n=0}^{\infty} z^n\,</math>
+
:<math>|z|<\infty\mathrm{-re:}\quad\quad e^z=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}z^n\,</math>
+
:<math>|z|<\infty\mathrm{-re:}\quad\quad \sin(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}z^{2n+1}\,</math>
+
:<math>|z|<\infty\mathrm{-re:}\quad\quad \cos(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n)!}z^{2n}\,</math>
+
:<math>|z|<\infty\mathrm{-re:}\quad\quad \mathrm{sh}(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)!}z^{2n+1}\,</math>
+
:<math>|z|<\infty\mathrm{-re:}\quad\quad \mathrm{ch}(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n)!}z^{2n}\,</math>
+
:<math>|z|<1\mathrm{-re:}\quad\quad \mathrm{ln}(1+z)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}z^n\,</math>
+
természetesen az utolsónál a z=1 pont 1 sugarú nyílt környezetében értelmezett logaritmusról van szó.
+
 
+
'''3. ''' Mint minden hatványsor ez is egyenletesen konvergál az összegfüggvényéhez, így tagonként deriválható és integrálható.
+
 
+
 
+
==Egész kitevőjű hatványsorok, Laurent-sor==
+
 
+
'''Definíció.''' Ha adott ''a'' számra és (''c''<sub>n</sub>)<sub>n&isin;'''Z'''</sub> komplex számok komplex számokra a
+
:<math>\sum\limits_{(-\infty)}(c_n(id-a)^n)</math>
+
függvénysort egész kitevőjű hatványsornak, vagy Laurent-sornak nevezzük. Egy ilyen sor összegfüggvénye:
+
:<math>\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}c_n(z-a)^n</math>
+
 
+
Ugyanúgy, ahogy minden nemnegatív kitevőjű hatványsor egyenlő a saját Taylor-sorával, így az ilyen sorokat egyszerűen csak Laurent-sornak hívjuk, függetelenül attól, hogy a Laurent-sor együtthatóit egy függvény értékeiből számoljuk ki.
+
 
+
Ahogy a Taylor-sorfejtésben nagyon hasznos a mértani sor összegképlete (és konvergenciafeltétele), úgy ez a Laurent-soroknál is jól alkalmazható:
+
 
+
'''Példa.''' Mely pontok körül fejthető egész kötevőjű hatványsorba a
+
:<math>f(z)=\frac{1}{z} \,</math>
+
függvény és mik a konvergenciatartományok?
+
''Megoldás.''
+
 
+
1) z &ne; 0-ra reguláris, így minden <math>z_0</math> &ne; 0-ra Taylor-sorba fejthető legalább is a <math>z_0</math> egy olyan környzetében, mely a 0-t mint szingularitást nem tartalmazza (hisz tudjuk: hatványsor konvergenciatartománya körlap). Ez a sor:
+
 
+
:<math>\frac{1}{z-z_0+z_0}=\frac{1}{z_0}\cdot\frac{1}{z-z_0+1}=\frac{1}{z_0}\cdot\frac{1}{1-(-1)(z-z_0)}=</math>
+
::<math> =\frac{1}{z_0}\cdot\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n(z-z_0)^n=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{z_0}(z-z_0)^n</math>
+
A sugara 1, hisz |(-1)||z-<math>z_0</math>|<1 kell, ami ugyanaz, mint |z-<math>z_0</math>|<1. Persze, ha |<math>z_0</math>| < 1, akkor a sugár, maga a  |<math>z_0</math>|, hisz a 0-t nem állítja elő a sor.
+
 
+
2) <math>z_0</math> &ne; 0-ra a Laurent-sora. Most a <math>z-z_0</math>-nak a mértani sorrá alakítás után a nevezőbe kell kerülnie:
+
:<math>\frac{1}{z-z_0+z_0}=\frac{1}{z-z_0}\cdot\frac{1}{1+\frac{z_0}{z-z_0}}=\frac{1}{z-z_0}\cdot\frac{1}{1-\frac{-z_0}{z-z_0}}=</math>
+
::<math> =\frac{1}{z_0}\cdot\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nz_0^n}{(z-z_0)^n}=\sum\limits_{n=0}^{-\infty}(-1)^{-n}z_0^{-n}(z-z_0)^n</math>
+
Ennek a sorfejtésnek akkor van jelentőssége, amikor olyan pont körüli sorral akarunk egy ''z'' számot előállítani, melynek minden ''z''-t tartalmazó gömbi környzete tartalmazza a 0-t is.
+
 
+
Konvergenciaköre a
+
:<math>|z-z_0|>|z_0|\;</math>
+
egyenlőtlenségnek eleget tévő ''z''-k.
+
 
+
3) z = 0-ban is van Laurent-sora, éspedig önmaga:
+
:<math>f(z)=...+0+\frac{1}{z}+0+... \,</math>
+
Ennek a sugarai R<sub>-</sub>=0, mert a (...0,0,1) sorozat n-edik gyökeinek limszupja 0, és  R<sub>-</sub>=+&infin;, mert a (0,0,0,0,0,...) sorozat n-edik gyökeinek limszupja 0 és "reciproka" + végtelen. (Ez egyben a &infin; körüli Laurent-sor, melynek csak reguláris része van.)
+
 
+
===Konvergenciatartomány===
+
Laurent-sornál a konvergenciatartomány egy körgyűrű, melynek sugarait az együtthatókból a Cauchy--Hadamard-tételhez hasonló módon számolható, éspedig:
+
 
+
:<math>R_+=\frac{1}{\limsup\limits_{n>0}\sqrt[n]{|c_n|}}\,</math>
+
:<math>R_-=\limsup\limits_{n<0}\sqrt[n]{|c_n|}\,</math>
+
 
+
Ez a kijelentés könnyen igazolható a Cauchy-féle gyökkritériummal, sőt a Cauchy--Hadamard-tétel  bizonyítását felidézve szinte magától értetődik.
+
 
+
===Reguláris- és főrész ===
+
A Laurent-sor
+
:<math>\sum\limits_{n=1}^{+\infty}c_{-n}\frac{1}{(z-z_0)^n}\,</math>
+
részét a sor '''főrészének,''' a
+
:<math>\sum\limits_{n=0}^{+\infty}c_{n}(z-z_0)^n\,</math>
+
részét a sor '''reguláris''' részének nevezzük.
+
 
+
==Laurent-sorfejtés==
+
 
+
'''Tétel.''' -- A Laurent-sor tétele -- Ha az ''f'': '''C''' <math>\supset\!\to</math> '''C''' és ''a'' &isin; '''C''' szám és 0 ≤ r < R ≤ +&infin; olyan sugarak, hogy ''f'' az
+
:<math>T=\{z\in \mathbf{C}\mid r<|z-a|<R\,\}</math>
+
nyílt körgyűrűben reguláris, akkor egyértelműen léteznek olyan (''c''<sub>n</sub>)<sub>n&isin;'''Z'''</sub> komplex számok, éspedig tetszőleges a ''T''-ben haladó az a-t egyszer pozitív irányban körbehurkoló ''G'' görbére:
+
:<math>c_n=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{G}\frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}}\mathrm{d}w,\quad\quad n\in\mathbf{Z}</math>
+
hogy a
+
:<math>\sum\limits_{(-\infty)}(c_n(id-a)^n)</math>
+
függvénysor konvergens ''T''-ben és minden ''z'' &isin; ''T'' számra:
+
:<math>f(z)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}c_n(z-a)^n</math>
+
 
+
''Bizonyítás.''  ''f''-et most nem tudjuk előállítani a Cauchy-integrálformulával, mint a Taylor-sor esetén, mert az ''a'' pontban esetleg a függvény nem reguláris. De előállíthatjuk két hasonló formula különbségeként.
+
 
+
Rögzítsük egy tetszőlegesen választott ''z'' &isin; ''T''-t. Legyenek ''k''<sub>1</sub> és  ''k''<sub>2</sub> két ''a'' középpontú, ''T''-ben haladó, pozitívan irányított kör, úgy, hogy  ''z'' a ''k''<sub>1</sub> és ''k''<sub>2</sub> körök közötti nyílt tartományba essen. Ezekből a körökből és az őket elválasztó gyűrűt sugárirányban befelé átmetsző s szakaszból elkészítünk egy olyan zárt görbét, melyre már alkalmazható az integrálformula. Tekintsük úgy, hogy ''k''<sub>1</sub> kezdő és végpontja az ''s'' kezdőpontja, ''k''<sub>2</sub> kezdő és végpontja pedig az ''s'' végpontja. Legyen 
+
:<math>\Gamma=k_1^\frown s^\frown (-k_2)^\frown(-s)</math>
+
itt (-s) az ''s''-sel ellenkező irányítású szakaszt jelzi. Ekkor &Gamma;  a ''z''-t egy reguláris tartományban hurkolja egyszer, pozitívan körbe, így a Cauchy-integrálformulával:
+
:<math>f(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{\Gamma}\frac{f(w)}{(w-z)}\mathrm{d}w</math>
+
Node, ebben az integálban az s íven kétszer oda-vissza végezzük el az integrálást, így az erre vett integrál eltűnik. Másrészt a (-''k''<sub>2</sub>)-n vett integrál ellenkezője a 'k''<sub>2</sub>-vettének, így végülis:
+
:<math>f(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{k_1}\frac{f(w)}{(w-z)}\mathrm{d}w-\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{k_2}\frac{f(w)}{(w-z)}\mathrm{d}w</math>
+
Hangsúlyozzuk, hogy ''z'' és ''a'' most konstansok, így a
+
:<math>w\mapsto\frac{1}{w-z}\,</math>
+
az értelmezési tartományán analitikus függvény. Ennek -- szikásos módon a mértani sor összegére vonatkozó képlet segítségével -- elvégezhetjük az ''a'' középpontú, valamilyen körön belüli hatványsorba fejtését. Természetesen a |w-a| < |z-a| feltételt meg kell követelnünk, hiszen hatványsor konvergenciakörében nem lehet benne a ''z'' szakadási pont. Tegyük fel tehát, hogy |w-a| < |z-a|. Ekkor:
+
:<math>\frac{1}{w-z}=\frac{1}{(w-a)+(a-z)}=\frac{1}{a-z}\cdot\frac{1}{\frac{w-a}{a-z}+1}=-\frac{1}{z-a}\cdot\frac{1}{1-\frac{w-a}{z-a}}</math>
+
Ezzel megvan a sorfejtés minden együtthatója, ugyanis <math>q=\frac{w-a}{z-a}</math>-ra kell alkalmazni a mértani sor formuláját:
+
:<math>\frac{1}{w-z}=-\frac{1}{z-a}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(z-a)^n}\cdot(w-a)^n</math>
+
1) Világos, hogy ezt a sorfejtést csak a ''k''<sub>2</sub>-re vonatkozó integrálban használhatjuk fel, mert ott lesz a q < 1 (ill. a w mindig közelebb a-hoz mint z-hez). Ezt az integrált tehát:
+
:<math>-\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{k_2}\frac{f(w)}{(w-z)}\mathrm{d}w=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{k_2}f(w)\frac{1}{z-a}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(z-a)^n}\cdot(w-a)^n\mathrm{d}w=</math>
+
az integrál felcserélhető a szummával és a w-től független tagok kihozhatók az integrál elé, ezért
+
:<math>=\frac{1}{2\pi i}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\oint\limits_{k_2}f(w)\frac{1}{(z-a)^{n+1}}\cdot(w-a)^n\mathrm{d}w=\frac{1}{2\pi i}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(z-a)^{n+1}}\oint\limits_{k_2}f(w)\cdot(w-a)^n\mathrm{d}w</math>
+
Ekkor egy konvergens, negatív kitevőjű hatványsort kaptunk, melynek csak főrésze van, de érdekes módon nem a középponttal és w-re, hanem a középponttal és z-ra. Ez pont a kívánt sorfejtés, melyet érdemes átindexelni úgy, hogy a szummázás -1-től induljon és -&infin;-ig menjen:
+
:<math>-\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{k_2}\frac{f(w)}{(w-z)}\mathrm{d}w=\frac{1}{2\pi i}\sum\limits_{n=-1}^{-\infty}\left(\oint\limits_{k_2}\frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}}\mathrm{d}w\right)(z-a)^{n}</math>
+
  
Már csak azt kell megmagyaráznunk, hogy a ''k''<sub>2</sub> helyére most már minden olyan G görbére felírható, mely az ''a''-t pozitívan öleli körbe egyszer és a regularitási tartományban halad. Valóban, a képletbeli integrál már független az 1/(w-z) sorfejtési szituációjától és minden olyan G görbére áttranszformálható melyek folytonosan áttranszformálható ''k''<sub>2</sub>-be. Ez a ''T'' körgyűrű összes a tételi állításban megadott görbéjére áll.
+
===Nehany topologiai fogalom===
  
2) Most már az előző számolásból sejthető, hogy a Laurent-sor reguláris része akkor jön ki, ha az 1/(w-z) reciprokfüggvényt a az ''a'' körül nem pozitív, hanem negatív kitevőjű hatványsorba, fejtjük -- mint az első példában. Ezt a |w-a| > |z-a| feltétellel tehetjük csak meg, hisz ilyen sor konvergenciatartománya körgyűrű és a z szinguláris pontot nem tartalmazhatja:
+
Egy ''D'' nyilt halmaz '''C'''-ben egyszeresen osszefuggo, ha benne minden zart gorbe ''pontra deformalhato''.
 +
Ez utobbi a kovetkezot jelenti. Azt mondjuk, hogy a &gamma;:[a,b]<math>\to</math>''D'' zart gorbe  a <math>z_0</math>  ''D''-beli pontra deformalhato a ''D'' tartomanyban, ha letezik olyan &Gamma;:[0,1]<math>\to</math> <math>D^{[a,b]}</math> gorbe erteku fuggveny, melyre &Gamma;(1)=&gamma;, &Gamma;(0)=<math>z_0</math> konstans gorbe es &Gamma; az [a,b] es <math>D^{[a,b]}</math> terek kozott hato folytonos lekepezes a szupremumnorma szerint.
  
:<math>\frac{1}{w-z}=\frac{1}{(w-a)+(a-z)}=\frac{1}{w-a}\cdot\frac{1}{1-\frac{z-a}{w-a}}</math>
+
''Csillagszeru'' egy ''H'' halmaz '''C'''-ben, ha van olyan ''H''-beli pont ''c'' pont, hogy barmely ''H''-beli ''z'' pontra a [''cz''] szakasz ''H''-ban van.
Ez a sor valóban akkor konvergens, ha |w-a| > |z-a|. Ezzel az előző pomt számolását elvégezve az f(z)-t előállító Laurent-sor reguláris részét kapjuk. QED
+
  
 +
''Pelda.'' Egy csillagszeru tartomany egyszeresen osszefuggo, mert a csillagpontra valo [0,1]-beli aranyszammal parameterezett kozeppontos kicsinyites kepei alkotta parameteres gorbesereg ilyen.
  
'''Példa.''' Adjuk meg az
 
:<math>f(z)=\frac{z^2}{z+2i}\,</math>
 
függvény azon  0 körüli Laurent-sorát, mely előállítja az 1-et! Azt is adjuk meg, mely a -3-t állítja elő!
 
  
''Megoldás.'' -2i szinguláris hely. Ha a=0, akkor a z=1-et a 0 körüli Taylor-sor állítja elő, mert |0-1| < |0 - (-2i)|. Persze ezt is a m.s-ral adjuk meg:
+
[[Kategória:Matematika A3]]
:<math>f(z)=\frac{z^2}{z+2i}=z^2\frac{1}{2i}\frac{1}{\frac{z}{2i}+1}=\frac{z^2}{2i}\frac{1}{1-\frac{iz}{2}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{i^{n-1}}{2^{n+1}}z^{n+2}=\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{i^{n-3}}{2^{n-1}}z^n</math>
+

A lap jelenlegi, 2017. január 2., 15:39-kori változata

<Matematika A3a 2008

Tartalomjegyzék

Komplex integrál

Görbék a komplex síkon

Ha a Γ C-beli halmaz olyan, hogy van olyan G:[a,b]\toC, t\mapstoz(t) folytonos, veges sok kivetellel folytonosan differenciálható fuggveny, aminek az ertekkeszlete Γ, akkor Γ-t görbének nevezzük. A Γ görbe egyszerű, ha nem metszi át saját magát, azaz minden t1, t2-re, ha z(t1) = z(t2), akkor t1 = t2. G zárt, ha z(a) = z(b). A görbe t-beli irányvektorán a

\dot{z}(t)=\dot{x}(t)+\mathrm{i}\dot{y}(t)

komplex számot értjük.

Tobb parameterezes is elo tudja allitani a Γ gorbet. Ezek kozul kettot, a z1-et es a z2-t ekvivalensnek nevezunk, ha van olyan g:[a,b]\to[c,d] folytonos valos fuggveny, ami (a,b)-n differencialhato, g'>0 es z_2=z_1\circ g. Az osszes parameterezesek halmaza ket osztalyra esik szet, ezek a gorbe ellentetes parameterezeseit adjak.

Példák

1. Legyen t∈[a,b]-re z(t) = x(t) + iy(t) olyan, hogy x(t) = x0 + w1t és y(t) = y0 + w2t, azaz z(t) = z0 + wt. Ekkor z(t) egy egyenes szakasz.

És ekkor:

\dot{z}(t)=w

2. Az origó középpontú R sugarú kör:

z(t) = Reit t∈[0,2π]

Hiszen ekkor a kör egyenlete:

x(t) = Rcos(t)
y(t) = Rsin(t)

ahonnan a komplex írásmódban

z(t) = x(t) + iy(t) = Rcos(t) + iRsin(t) = R(cos(t) + isin(t))

ami az Euler-formula alapján:

z(t) = Reit

És ekkor a deriváltja:

\dot{z}(t)=R\mathrm{i}e^{\mathrm{i}t}

hiszen

\dot{z}(t)=R\dot{\cos(t)+\mathrm{i}\sin(t)}=-R\sin(t)+\mathrm{i}R\cos(t)=\mathrm{i}(R\mathrm{i}\sin(t)+R\cos(t))

Ha a kör középpontja z0 = x0 + iy0, akkor

x(t) = Rcos(t) + x0
y(t) = Rsin(t) + y0

azaz

z(t) = Reit + z0

Komplex vonalmenti integrál

Definíció. Ha G:[a,b]\toC görbe és f olyan komplex függvény, melyre Ran(G)⊆Dom(f), és f folytonos, akkor belátható, hogy létezik a

\begin{matrix}
\sum\limits_{i=1}^nf(\zeta_i)\cdot \Delta z_i & \longrightarrow & \int\limits_{G}f(z)\,\mathrm{d}z\\
 & n\to \infty & \\
 & \forall z_i\in G, \;\forall \zeta_i\in \Delta z_i &\\
 & |\Delta z_i|\to 0 &  
\end{matrix}

határérték, mely egy speciális Riemann-közelítőösszeg határértéke. Itt a görbén kijelöltük a véges sok zi pontot, melyek a szigorúan monoton (ti)-khez tartoznak a zi = z(ti) definícióval. Ezen [z(ti),z(ti + 1)] görbeszakaszokon belül felvettük tetszőlegesen a ζi közbülső pontokat, és a Δzi=[z(ti),z(ti + 1)] szakaszokkal elkészítettük az f(ζi)Δzi komplex szorzatokat. A határérték ezek görbére vett összegének határértéke. Ez a határérték az f függvény G-re vett komplex integrálja.


Kiszámítási formula. Belátható, hogy a fenti integrál a következőkkel egyenlő:


\int\limits_{G}f(z)\mathrm{d}z=\int\limits_{a}^b f(z(t))\cdot \dot{z}(t)\,\mathrm{d}t

Megjegyzes A helyettesiteses integralas tetelenek felhasznalasaval belathato, hogy ez az integral fuggetlen a parametertezestol, ha azok ugyanazt az iranyitast hatarozzak meg.

Megj. A kiszamitasi formulaban skalarvaltozos vektorerteku fuggveny integralja szerepel. Ezt a kovetkezokeppen kell kiszamitani:

\int\limits_a^b\begin{pmatrix}f_1(t)\\f_2(t)\end{pmatrix}\,dt=\begin{pmatrix}\int\limits_a^b f_1(t) \,dt\\ \int\limits_a^b  f_2(t)\,dt\end{pmatrix}

Példa

1. a) Legyen G a komplex egységkör pozitívan irányítva.

\int\limits_{|z|=1}\frac{1}{z}\mathrm{d}z=\int\limits_{0}^{2\pi} \frac{1}{e^{\mathrm{i}t}}\cdot \mathrm{i}e^{\mathrm{i}t}\,\mathrm{d}t=\int\limits_{0}^{2\pi} \mathrm{i}\,\mathrm{d}t=2\pi\mathrm{i}

Ahol a valós Newton--Leibniz-formulát alkalmaztuk a komponensfüggvényekre.

b) Integráljuk az
f(z)=\frac{1}{z-z_0}

függvény a z0 középpontú R sugarú pozitívan irányított körre, azaz a | zz0 | = R egyenletű görbére.

Ekkor a görbe paraméterezése:

z(t) = Reit + z0, 0\leq t\leq 2\pi
\int\limits_{|z-z_0|=R}\frac{1}{z-z_0}\mathrm{d}z=\int\limits_{0}^{2\pi} \frac{1}{Re^{\mathrm{i}t}}\cdot \mathrm{i}Re^{\mathrm{i}t}\,\mathrm{d}t=\int\limits_{0}^{2\pi} \mathrm{i}\,\mathrm{d}t= \mathrm{i}\,\int\limits_{0}^{2\pi}\,\mathrm{d}t=2\pi\mathrm{i}

2. Legyen G a z(t)=(1+2i)t, ahol t∈[0,1].

\int\limits_{G}\overline{z}\mathrm{d}z=\int\limits_{0}^{1} (1-2\mathrm{i})t\cdot (1+2\mathrm{i})\,\mathrm{d}t=\int\limits_{0}^{1}5t\,\mathrm{d}t=\frac{5}{2}

3. Legyen G a komplex egységkör felső fele, pozitívan irányítva.

\int\limits_{|z|=1,\mathrm{Im}(z)\geq 0}\overline{z}^2\mathrm{d}z=\int\limits_{0}^{\pi}e^{-2\mathrm{i}t}\cdot \mathrm{i}e^{\mathrm{i}t}\,\mathrm{d}t=\int\limits_{0}^{\pi}e^{-\mathrm{i}t}\,\mathrm{d}t=1-(-1)=2

Komplex Newton--Leibniz-formula

Ha az f komplex függvény, olyan, hogy van olyan komplex differenciálható F, melyre F'=f, akkor azt mondjuk, hogy az F az f primitív függvénye.

Komplex Newton--Leibniz-formula. Ha a nyílt halmazon értelmezett f komplex függvénynek primitív függvénye az F, akkor minden az f értelmezési tartományában haladó G:[a,b]\toC görbére:

\int\limits_{G}f(z)\,\mathrm{d}z=F(b)-F(a)

(Ha még nem tudjuk, hogy reguláris függvény analitikus, akkor f-ről fel kell tennünk, hogy folytonos.)

4. Legyen f(z)=\frac{1}{z^2}. Mi az egységkörre az integrálja?

F(z)=-\frac{1}{z}

primitívfüggvénye f-nek, ezért

\int\limits_{|z|=1}\frac{1}{z^2}\,\mathrm{d}z=0

hiszen zárt a görbe, azaz a pr. fv. a kezdő és végpontban ugyanannyi.


Visszavezetés valós vonalintegrálra es feluleti integralra

Az integrál kifejezhető vonalintegrállal. Ha ugyanis f= u + iv, akkor az f=(u,v) vektormezőnek olyan differenciálforma szerinti integrálja a komplex pályamenti integrál, mely az f=(u,v) vektor és a dz=(dx,dy) infinitezimális elmozdulásvektor komplex szorzásaként jön létre:

\int\limits_{G}f(z)\mathrm{d}z = \int\limits_{G} u\mathrm{d}x-v\mathrm{d }y + i\int\limits_{G} u\mathrm{d}y+v\mathrm{d }x

Ebben a felírásban az (u,-v) és (v,u) olyan segédvektormezők, melyek vonalintegráljai adják meg a komplex integrál valós és képzetes részét. Tehát az integrált a

\mathbf{P}=\begin{pmatrix}u\\-v\end{pmatrix} és \mathbf{Q}=\begin{pmatrix}v\\u\end{pmatrix}

segédvektormezők síkbeli vonalintegráljai

\int\limits_{G}\mathbf{P}\,\mathrm{d}\mathbf{r}+i\int\limits_{G}\mathbf{Q}\,\mathrm{d}\mathbf{r}

vagy

\mathbf{P}'=\begin{pmatrix}-v\\-u\end{pmatrix} és \mathbf{Q}'=\begin{pmatrix}u\\-v\end{pmatrix}

segédvektormezők síkbeli felületi integráljai

\int\limits_{F}\mathbf{P}'\,\mathrm{d}\mathbf{f}+i\int\limits_{F}\mathbf{Q}'\,\mathrm{d}\mathbf{f}

szolgáltatják.

Itt érdemes feleleveníteni, hogy az v = (v1, v2) síkvektormező felületi integráljat a (v1, v2)(df1, df2) "differencialforma" integralasa adja. Itt az infinitezimalis feluletelem (df1, df2)=(dy,-dx).

\int\limits_{F} \mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{f}=\int\limits_{F} v_1 \mathrm{d}y-v_2\mathrm{d}x.


A N.--L.-tétel bizonyitasa. A vonalintegrálra vonatkozó Newton--Leibniz-tétel (I. gradiens tétel) a következő: ha Φ folytonosan differenciálható, az értelmezési tartományában haladó G görge végpontjai: a és b, akkor

\int\limits_{G}\mathrm{grad}\,\Phi\mathrm{d}\mathbf{r}=\Phi(b)-\Phi(a)

Ezt a segédvektormezőkre fogjuk alkalmazni.

\int\limits_{G}f(z)\mathrm{d}z = \int\limits_{G} u\mathrm{d}x-v\mathrm{d }y + i\int\limits_{G} u\mathrm{d}y+v\mathrm{d }x=
=\int\limits_{G} u\mathrm{d}x-v\mathrm{d }y + i\int\limits_{G} v\mathrm{d }x+u\mathrm{d}y
F = Φ + iΨ
f=F'=\partial_x\Phi+i\partial_y(-\Phi)=u+vi
f=F'=\partial_y(\Psi)+i\partial_x(\Psi)=u+vi
\mathrm{grad}\,\Phi = (u,-v)
\mathrm{grad}\,\Psi = (v,u)
=\int\limits_{G} u\mathrm{d}x-v\mathrm{d }y + i\int\limits_{G} v\mathrm{d }x+u\mathrm{d}y=\Phi(b)-\Phi(a)+i(\Psi(b)-\Psi(a))

u,v folytonos differenciálhatósága sajnos csak egy későbbi tétel következménye, miszerint reguláris függvény analitikus. Addig a tételben ideiglenesen ki kell kötnünk, hogy f folytonos.

Tétel. Ha a D nyílt halmazon értelmezett f függvénynek van primitív függvénye, akkor f körintegrálja minden a D-ben haladó zárt görbére nulla:

\oint\limits_{G} f=0\,

További információhoz akkor jutunk, ha a többváltozós analízis cirkulációmentességi feltételeit vizsgáljuk. Ehhez a vissza kell vezetni a komplex integrált a vonalintegrálra.

Cirkulációmentesség

Gauss-tétel

Lássuk először Gauss-tétellel, hogyan következtethetünk a körintegrál eltűnésére.

Gauss-tétel (R3-ra) Legyen v nyílt halmazon értelmezett C1-függvény, V merheto, peremes térrész és legyen ennek pereme a ∂V kifelé irányított felület. Ha V a peremével együtt Dom(v)-ben van, akkor

\oint\limits_{\partial V} \mathbf{v}\;\mathrm{d}\mathbf{f}=\int\limits_{V} \mathrm{div}\,\mathbf{v}\;\mathrm{d}V

Megjegyzes. Az itt szereplő fogalmak közül néhányról beszélnünk kell.

Felület. Legyenek a φi:Di \to R3 függvények folytonosan differenciálhatóak és injektívek int(Di)-n, melyek mérhető tartományok R2-ben. Ha a képeik egymásba nem nyúlók, azaz int(φi(Di)) ∩ int(φj(Dj)) üres, ha ij, és a képek uniója összefüggő halmaz, akkor U Ran(φi)-t előállítottuk paraméteres felületként.

Példaként említhetjük a kúp paraméterezését:

\mathbf{r}_1(\varphi, h)=\left\{\begin{matrix} h\sin\vartheta\cos \varphi\\ h\sin\vartheta\sin\varphi\\ h\end{matrix}\right., ha φ ∈ [0,2π] és h ∈ [0,H]
\mathbf{r}_2(\varphi, h)=\left\{\begin{matrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi \\ H\end{matrix}\right., ha φ ∈ [0,2π] és r ∈ [0,R]

ahol H a kúp magassága, R az alapkörsugara, θ a félkúpszöge (z a tengelye, O a csúcsa). Tehát itt a paramétertartományok [0,2π] × [0,H] és [0,2π] × [0,R].

C1-ség. Ez azért kell, mert a térfogati integrált a D paramétertartományon a

\int\limits_{V} \mathrm{div}\,\mathbf{v}\;\mathrm{d}V=\int\limits_{\mathbf{r}^{-1}(V)}\mathrm{div}\,\mathbf{v}(\mathbf{r}(u,v,w))|\mathrm{J}^{\mathbf{r}}(u,v,w)|\;\mathrm{d}u\mathrm{d}v\mathrm{d}w

képlettel számoljuk és ahhoz, hogy ez létezzen, ahhoz pl. az kell, hogy ne csak az r = r(u,v,w) legyen folytonosan diff.-ható, de a divergencia is folytonos legyen.

Gauss-tétel (R2-re) Legyen D mérhető peremes síkrész, melynek perme, azaz a ∂D halmaz kifelé irányított síkbeli felület. Ha v nyílt halmazon értelmezett folytonosan R-differenciálható és Dom(v) tartalmazza D lezártját, akkor

\oint\limits_{\partial D} \mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{f}=\int\limits_{D} \mathrm{div}\,(\mathbf{v})\mathrm{d}\mathbf{A}

ahol ∫df kétdimenziós felületi integrált jelöl, ∫dA pedig kétdimenziós tartományi integrált.

Így tehát a komplex vonalintegrál kiszámításához csak a P' és Q' felületi integrálját kell kiszámítanunk, amihez a Gauss-tételbeli divergenciákat kell kiszámítanunk:

\mathrm{div}\mathbf{P}'=-\frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}=0
\mathrm{div}\mathbf{Q}'=\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial v}{\partial y}=0

Ami, a C-R-egyenletek miatt igaz.

Innen

\int\limits_{\partial D}f(z)\mathrm{d}z=0

Stokes-tétel

Nézzük meg Stokes-tétellel is a bizonyítást.

Stokes-tétel (R3-ra) Legyen a nyílt halmazon értelmezett v vektorfüggvény folytonosan differenciálható, a Dom(v)-beli F felületen, aminek a ∂F pereme legyen szintén Dom(v)-beli és F-hez megfelelően irányított görbe. Ekkor

\oint\limits_{\partial F} \mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{F} \mathrm{rot}\,\mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{f}

Megjegyzes. A térbeli cirkulációmentességre vonatkozó nevezetes tétel ezzel a tétellel kapcsolatos. Ebben az esetben, bár az egyszeres összefüggőség nincs megkötve Dom(v)-re vonatkozólag, előjön a következményében:

Következmény. Ha az egyszeresen összefűggő U nyílt halmazon értelmezett v vektormező folytonosan differenciálható, akkor az alábbi három kijelentés ekvivalens egymással:

  1. rot v eltűnik U-n,
  2. minden U-ban haladó zárt görbén a v körintegrálja nulla,
  3. létezik v-nek U-n potenciálja, azaz olyan Φ : U \to R függvény, melyre grad Φ = v.

Itt az egyszeres összefüggőség azért kell, mert ilyen esetben a zárt görbéhez található olyan felület, mely a tartományban halad és pereme a görbe.

Stokes-tétel (R2-re) Legyen a D síkbeli tartomany határa a ∂D zárt görbe, megfelelően irányítva. Ha v folytonosan R-differenciálható egy nyílt halmazon, mely tartalmazza D lezártját, akkor

\oint\limits_{\partial D} \mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{D} \mathrm{rot}(\mathbf{v})\,\mathrm{d}A

Ekkor csak a rotációt kell kiszámítanunk:

\mathrm{rot}\mathbf{P}=\frac{\partial u}{\partial y} - \left(-\frac{\partial v}{\partial x}\right)=0
\mathrm{rot}\mathbf{Q}=\frac{\partial v}{\partial y} - \frac{\partial u}{\partial x}=0

Ami, a C-R-egyenletek miatt igaz.

Mindezekből tehát következik, hogy ha a D peremes síktartomány lezártján az f komplex függvény (értelmezett és) analitikus, akkor D peremén az f integrálja eltünik. A következőkben élesítjük úgy a tételt, hogy elegendő legyen feltenni benne, hogy f egyszer komplexen deriválható, egyszeresen összefüggő nyílt halmazon értelmezett és a görbe egy benne haladó egyszerű zárt görbe.

Green-tétel

A síkbeli Stokes-tételt néha Green-tételnek is nevezik, ha az alábbi alakban van írva. Ez a következő. Legyen a D síkbeli tartomany határa a ∂D zárt görbe, megfelelően irányítva. Ha a (P,Q) síkbeli vektormező folytonosan R-differenciálható egy nyílt halmazon, mely tartalmazza D lezártját, akkor

\oint\limits_{\partial D} P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y=\int\limits_{D} \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y

HF: Bizonyítsuk be a tételt síkbeli normáltartományra, azaz olyan D-re, melyre:

D=\{(x,y)\in \mathbf{R}^2\mid a\leq x\leq b, \;\psi(x)\leq y\leq \varphi(x)\}

ahol minden x∈[a,b]-re ψ(x)≤φ(x). Itt ψ, φ folytonosan differenciálható.

Goursat-lemma, Cauchy-féle integráltétel

Goursat ennél is mélyebb eredményt talált:


Goursat-lemma. A T háromszöglapon reguláris f komplex függvény integrálja a háromszög határán nulla:

\oint\limits_{\partial T}f=0\,

Bizonyitas. A haromszoget osszuk fel 4 egybevago haromszogre: Δ=Δ1∪Δ2∪Δ3∪Δ4. Ha jol iranyitjuk a kis haromszogek hatarat, akkor

\int\limits_{\Delta}f=\int\limits_{\Delta_1}f+\int\limits_{\Delta_2}f+\int\limits_{\Delta_3}f+\int\limits_{\Delta_4}f

Ezt felulbecsulhetjuk a kovetkezovel:

\left|\int\limits_{\Delta}f\right|\leq\sum\limits_{i=1}^4\left|\int\limits_{\Delta_i}f\right|\leq 4\max\limits_{i=1}^4\left|\int\limits_{\Delta_i}f\right|=4\left|\int\limits_{\Delta^{(1)}}f\right|

most Δ(1)-et bontjuk fel es folytatva a felosztast egy nullahoz tarto nagysagu haromszogekbol allo egymasba skatulyazott (Δ(n)) haromszogsorozatot kapunk, mely egy ponthoz, a z0-hoz tart. A haromszogek kerulete K/2n, ha K az eredeti haromszog kerulete. Erra a sorozatra tovabba:

\left|\int\limits_{\Delta}f\right|\leq 4^n\left|\int\limits_{\Delta^{(n)}}f\right|

igaz.

Most felhasznaljuk a komplex differencialhatosagot. Tetszoleges ε>0 szamra van olyan kornyezete z0-nak, es a haromszogsorozatnak olyan N indexe, melyre az n-edik tagok mar a kornyezetben vannak es az alabbi formulaban az |ε(z)|<ε:

f(z)-f(z_0)-f'(z_0)(z-z_0)-\varepsilon(z)(z-z_0)

Ezt integralva a haromszogre:

|\int\limits_{\Delta^{(n)}}f(z)|=|\int\limits_{\Delta^{(n)}}f(z_0)+f'(z_0)(z-z_0)+\varepsilon(z)(z-z_0)\,dz|=|\int\limits_{\Delta^{(n)}}\varepsilon(z)(z-z_0)\,dz|=

Itt az utolso kifejezest az ivhossz integrallal felulbecsuljuk:

\leq\int\limits_{\Delta^{(n)}}|\varepsilon(z)||(z-z_0)|\,d|z|<\varepsilon K^2/4^n

Mivel ε tetszoleges volt, ezert az integral eltunik.

Innen már könnyen adódik a komplex analízis főtétele, melyet először Cauchy modott ki ugyan csak folytonosan diffható komplex függvényre, de Goursat ezt megfejelte a gyengített feltételével:

Főtétel. Ha a D egyszeresen összefüggő tartományon reguláris az f komplex függvény, akkor a tartományban minden zárt G egyszeru görbén a függvény integrálja nulla:

\oint\limits_{G} f=0\,

Nehany topologiai fogalom

Egy D nyilt halmaz C-ben egyszeresen osszefuggo, ha benne minden zart gorbe pontra deformalhato. Ez utobbi a kovetkezot jelenti. Azt mondjuk, hogy a γ:[a,b]\toD zart gorbe a z0 D-beli pontra deformalhato a D tartomanyban, ha letezik olyan Γ:[0,1]\to D[a,b] gorbe erteku fuggveny, melyre Γ(1)=γ, Γ(0)=z0 konstans gorbe es Γ az [a,b] es D[a,b] terek kozott hato folytonos lekepezes a szupremumnorma szerint.

Csillagszeru egy H halmaz C-ben, ha van olyan H-beli pont c pont, hogy barmely H-beli z pontra a [cz] szakasz H-ban van.

Pelda. Egy csillagszeru tartomany egyszeresen osszefuggo, mert a csillagpontra valo [0,1]-beli aranyszammal parameterezett kozeppontos kicsinyites kepei alkotta parameteres gorbesereg ilyen.

Személyes eszközök