|
|
| 1. sor: |
1. sor: |
| − | ''<sub><[[Matematika A3a 2008]]</sub>'' | + | ''<sub><[[Matematika A3a 2008]]</sub>'' |
| − | ==Komplex integrál==
| + | |
| − | | + | |
| − | ===Görbék a komplex síkon===
| + | |
| − | | + | |
| − | Ha ''G'':[''a'',''b'']<math>\to</math>'''C''', ''t''<math>\mapsto</math>''z''(''t'') folytonosan differenciálható, akkor ''G''-t görbének nevezzük. (Esetleg a folytonos, véges sok helyen nem folytonosan differenciálható előbbi ''G''-ket is görbéknek nevezzük.) A ''G'' görbe ''egyszerű'', ha nem metszi át saját magát, azaz minden <math>t_1</math>, <math>t_2</math>-re, ha <math>z(t_1)=z(t_2)</math>, akkor <math>t_1=t_2</math>. ''G'' zárt, ha <math>z(a)=z(b)</math>. A görbe ''t''-beli irányvektorán a
| + | |
| − | :<math>\dot{z}(t)=\dot{x}(t)+\mathrm{i}\dot{y}(t)</math>
| + | |
| − | komplex számot értjük.
| + | |
| − | | + | |
| − | ====Példák====
| + | |
| − | '''1.''' Legyen ''t''∈[a,b]-re ''z''(''t'') = ''x''(''t'') + i''y''(''t'') olyan, hogy <math>x(t)=x_0+w_1t</math> és <math>y(t)=y_0+w_2t</math>, azaz <math>z(t)=z_0+w t</math>. Ekkor ''z''(''t'') egy egyenes szakasz.
| + | |
| − | | + | |
| − | És ekkor:
| + | |
| − | :<math>\dot{z}(t)=w</math>
| + | |
| − | '''2.''' Az origó középpontú R sugarú kör:
| + | |
| − | :<math>z(t)=Re^{\mathrm{i}t}</math> ''t''∈[0,2π]
| + | |
| − | És ekkor
| + | |
| − | :<math>\dot{z}(t)=R\mathrm{i}e^{\mathrm{i}t}</math>
| + | |
| − | hiszen
| + | |
| − | :<math>\dot{z}(t)=R\dot{\cos(t)+\mathrm{i}\sin(t)}=-R\sin(t)+\mathrm{i}R\cos(t)=\mathrm{i}(R\mathrm{i}\sin(t)+R\cos(t))</math>
| + | |
| − | ===Komplex vonalmenti integrál===
| + | |
| − | '''Definíció.''' Ha ''G'':[a,b]<math>\to</math>'''C''' görbe és f olyan komplex függvény, melyre Ran(G)⊆Dom(f), és f folytonos, akkor belátható, hogy létezik a
| + | |
| − | | + | |
| − | :<math>\begin{matrix}
| + | |
| − | \sum\limits_{i=1}^nf(\zeta_i)\cdot \Delta z_i & \longrightarrow & \int\limits_{G}f(z)\,\mathrm{d}z\\
| + | |
| − | & n\to \infty & \\
| + | |
| − | & \forall z_i\in G, \;\forall \zeta_i\in \Delta z_i &\\
| + | |
| − | & |\Delta z_i|\to 0 &
| + | |
| − | \end{matrix}</math>
| + | |
| − | határérték, mely egy speciális Riemann-közelítőösszeg határértéke. Itt a görbén kijelöltük a véges sok <math>z_i</math> pontot, melyek a szigorúan monoton (<math>t_i</math>)-khez tartoznak a <math>z_i=z(t_i)</math> definícióval. Ezen <math>[z(t_i),z(t_{i+1})]</math> görbeszakaszokon belül felvettük tetszőlegesen a ζ<sub>i</sub> közbülső pontokat, és a Δz<sub>i</sub>=<math>[z(t_i),z(t_{i+1})]</math> szakaszokkal elkészítettük az f(ζ<sub>i</sub>)Δz<sub>i</sub> komplex szorzatokat. A határérték ezek görbére vett összegének határértéke. Ez a határérték az f függvény ''G''-re vett komplex integrálja.
| + | |
| − | | + | |
| − | '''Visszavezetés valós vonalintegrálra.'''
| + | |
| − | Az integrál kifejezhető vonalintegrállal. Ha ugyanis f= u + iv, akkor az f=(u,v) vektormezőnek olyan differenciálforma szerinti integrálja a komplex pályamenti integrál, mely az f=(u,v) vektor és a dz=(dx,dy) infinitezimális elmozdulásvektor komplex szorzásaként jön létre:
| + | |
| − | :<math>\int\limits_{G}f(z)\mathrm{d}z = \int\limits_{G} u\mathrm{d}x-v\mathrm{d }y + i\int\limits_{G} u\mathrm{d}y+v\mathrm{d }x</math>
| + | |
| − | Ebben a felírásban az (u,-v) és (v,u) olyan segédvektormezők, melyek vonalintegráljai adják meg a komplex integrál valós és képzetes részét. Tehát az integrált a
| + | |
| − | :<math>\mathbf{P}=\begin{pmatrix}u\\-v\end{pmatrix}</math> és <math>\mathbf{Q}=\begin{pmatrix}v\\u\end{pmatrix}</math>
| + | |
| − | segédvektormezők síkbeli '''vonalintegráljai''', vagy a
| + | |
| − | :<math>\mathbf{P}'=\begin{pmatrix}-v\\-u\end{pmatrix}</math> és <math>\mathbf{Q}'=\begin{pmatrix}u\\-v\end{pmatrix}</math>
| + | |
| − | segédvektormezők síkbeli '''felületi integráljai''' szolgáltatják.
| + | |
| − | | + | |
| − | Itt érdemes feleleveníteni, hogy az '''S''' = (<math>s_1</math>, <math>s_2</math>) síkvektormező felületi integrálja nem más, mint a (<math>-s_2</math>, <math>s_1</math>) vektormező vonalintegrálja (a megfelelő irányítással).
| + | |
| − | | + | |
| − | :<math>\int\limits_{F} \mathbf{S}\,\mathrm{d}\mathbf{f}=\int\limits_{''F''} s_1 \mathrm{d}y-s_2\mathrm{d}x</math>
| + | |
| − | megfelelő módon irányítva az F felületet, ill ennek "F" görbe mivoltát.
| + | |
| − | | + | |
| − | (Azaz a s_2dx - s_1 dy differenciálforma integrálja. ''Differenciálforma'' -- nemes egyszerűséggel -- egy olyan kifejezése, ahol dx, dy, dz-k és egy vektormező komponensei vannak összeszorozva-összeadva.)
| + | |
| − | | + | |
| − | '''Kiszámítási formula.''' Belátható, hogy a fenti integrál a következőkkel egyenlő:
| + | |
| − | :<math>
| + | |
| − | \int\limits_{G}f(z)\mathrm{d}z=\int\limits_{a}^b f(z(t))\cdot \dot{z}(t)\,\mathrm{d}t</math>
| + | |
| − | ===Példa===
| + | |
| − | '''1.''' Legyen ''G'' a komplex egységkör pozitívan irányítva.
| + | |
| − | :<math>\int\limits_{|z|=1}\frac{1}{z}\mathrm{d}z=\int\limits_{0}^{2\pi} \frac{1}{e^{\mathrm{i}t}}\cdot \mathrm{i}e^{\mathrm{i}t}\,\mathrm{d}t=\int\limits_{0}^{2\pi} \mathrm{i}\,\mathrm{d}t=2\pi\mathrm{i}</math>
| + | |
| − | Ahol a valós Newton--Leibniz-formulát alkalmaztuk a komponensfüggvényekre.
| + | |
| − | | + | |
| − | '''2.''' Legyen ''G'' a z(t)=(1+2i)t, ahol t∈[0,1].
| + | |
| − | :<math>\int\limits_{G}\overline{z}\mathrm{d}z=\int\limits_{0}^{1} (1-2\mathrm{i})t\cdot (1+2\mathrm{i})\,\mathrm{d}t=\int\limits_{0}^{1}5t\,\mathrm{d}t=\frac{5}{2}</math>
| + | |
| − | | + | |
| − | '''3.''' Legyen ''G'' a komplex egységkör felső fele, pozitívan irányítva.
| + | |
| − | :<math>\int\limits_{|z|=1,\mathrm{Im}(z)\geq 0}\overline{z}^2\mathrm{d}z=\int\limits_{0}^{\pi}e^{-2\mathrm{i}t}\cdot \mathrm{i}e^{\mathrm{i}t}\,\mathrm{d}t=\int\limits_{0}^{\pi}e^{-\mathrm{i}t}\,\mathrm{d}t=1-(-1)=2</math>
| + | |
| − | | + | |
| − | ===Komplex Newton--Leibniz-formula===
| + | |
| − | Ha az f komplex függvény, olyan, hogy van olyan komplex differenciálható F, melyre F'=f, akkor azt mondjuk, hogy a F az f primitív függvénye.
| + | |
| − | | + | |
| − | '''Komplex Newton--Leibniz-formula.''' Ha a nyílt halmazon értelmezett f komplex függvénynek primitív függvénye az F és f folytonos, akkor minden az f értelmezési tartományában haladó ''G'':[a,b]<math>\to</math>'''C''' görbére:
| + | |
| − | :<math>\int\limits_{G}f(z)\,\mathrm{d}z=F(b)-F(a)</math>
| + | |
| − | | + | |
| − | Például:
| + | |
| − | | + | |
| − | '''4.''' Legyen <math>f(z)=\frac{1}{z^2}</math>. Mi az egységkörre az integrálja?
| + | |
| − | :<math>F(z)=-\frac{1}{z}</math>
| + | |
| − | primitívfüggvénye f-nek, ezért
| + | |
| − | :<math>\int\limits_{|z|=1}\frac{1}{z^2}\,\mathrm{d}z=0</math>
| + | |
| − | hiszen zárt a görbe, azaz a pr. fv. a kezdő és végpontban ugyanannyi.
| + | |
