Matematika A3a 2008/8. gyakorlat

A MathWikiből

(Változatok közti eltérés)

A lap 2013. október 23., 07:51-kori változata

_{<Matematika A3a 2008}

Taylor-sor

A Cauchy-féle integrálformula következménye a következő tétel, mely a komplex differenciálelmélet egyik megjellegzetesebb eredménye:

Tétel. Ha az f: C $\supset\!\to$ C függvény az értelmezési tartománya egy $z 0$ pontjában és ennek egy nyílt környezetében komplex differenciálható (azaz $z 0$ -ban reguláris), akkor f a $z 0$ pont egy V = B_δ(z₀) környezetén mindenhol végtelenszer differenciálható, V minden pontjában az f $z 0$ -beli Taylor-sora konvergens és ennek határfüggvénye V-n előállítja f-et:

$f(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n$

(azaz f analitikus $z 0$ -ban).

A tétel tehét azt mondja ki, hogy "reguláris függvény analitikus".

Megjegyezzük, hogy 1. mint minden nemnegatív egész hatványokat tartalmazó hatványsor, a Taylor-sor is egy körlap belsején abszolút konvergens, mely körlap sugara a konvergenciasugára, mely

$R=\frac{1}{\limsup\limits_{n}\sqrt[n]{|a_n|}}\,$

ahol a sor a ∑a_n(z- $z 0$ )ⁿ, a körlap középpontja $z 0$ , és ahol a reciprok kivételesen úgy értendő, hogy 1/0 = ∞, 1/∞ = 0.

2. A legyakrabban használt Taylor-sorok a következők:

$|z|<1\mathrm{-re:}\quad\quad\frac{1}{1-z}=\sum\limits_{n=0}^{\infty} z^n\,$

$|z|<\infty\mathrm{-re:}\quad\quad e^z=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}z^n\,$

$|z|<\infty\mathrm{-re:}\quad\quad \sin(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}z^{2n+1}\,$

$|z|<\infty\mathrm{-re:}\quad\quad \cos(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n)!}z^{2n}\,$

$|z|<\infty\mathrm{-re:}\quad\quad \mathrm{sh}(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)!}z^{2n+1}\,$

$|z|<\infty\mathrm{-re:}\quad\quad \mathrm{ch}(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n)!}z^{2n}\,$

$|z|<1\mathrm{-re:}\quad\quad \mathrm{ln}(1+z)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}z^n\,$

természetesen az utolsónál a z=1 pont 1 sugarú nyílt környezetében értelmezett logaritmusról van szó.

3. Mint minden hatványsor ez is egyenletesen konvergál az összegfüggvényéhez, így tagonként deriválható és integrálható.

@@ 1. sor: / 1. sor: @@
 ''<sub><[[Matematika A3a 2008]]</sub>''
+==Taylor-sor==
+A Cauchy-féle integrálformula következménye a következő tétel, mely a komplex differenciálelmélet egyik megjellegzetesebb eredménye:
+'''Tétel.''' Ha az ''f'': '''C''' <math>\supset\!\to</math> '''C''' függvény az értelmezési tartománya egy <math>z_0</math> pontjában és ennek egy nyílt környezetében komplex differenciálható (azaz <math>z_0</math>-ban ''reguláris''), akkor ''f'' a  <math>z_0</math> pont egy ''V'' = B<sub>&delta;</sub>(z<sub>0</sub>) környezetén mindenhol végtelenszer differenciálható, ''V'' minden pontjában az ''f'' <math>z_0</math>-beli Taylor-sora konvergens és ennek határfüggvénye ''V''-n előállítja ''f''-et:
+:<math>f(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n</math>
+(azaz ''f'' ''analitikus'' <math>z_0</math>-ban).
+A tétel tehét azt mondja ki, hogy "reguláris függvény analitikus".
+'''Megjegyezzük,''' hogy 1. mint minden nemnegatív egész hatványokat tartalmazó hatványsor, a Taylor-sor is egy körlap belsején abszolút konvergens, mely körlap sugara a konvergenciasugára, mely
+:<math>R=\frac{1}{\limsup\limits_{n}\sqrt[n]{|a_n|}}\,</math>
+ahol a sor a &sum;a<sub>n</sub>(z-<math>z_0</math>)<sup>n</sup>, a körlap középpontja <math>z_0</math>, és ahol a reciprok kivételesen úgy értendő, hogy 1/0 = &infin;, 1/&infin; = 0.
+'''2.''' A legyakrabban használt Taylor-sorok a következők:
+:<math>|z|<1\mathrm{-re:}\quad\quad\frac{1}{1-z}=\sum\limits_{n=0}^{\infty} z^n\,</math>
+:<math>|z|<\infty\mathrm{-re:}\quad\quad e^z=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}z^n\,</math>
+:<math>|z|<\infty\mathrm{-re:}\quad\quad \sin(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}z^{2n+1}\,</math>
+:<math>|z|<\infty\mathrm{-re:}\quad\quad \cos(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n)!}z^{2n}\,</math>
+:<math>|z|<\infty\mathrm{-re:}\quad\quad \mathrm{sh}(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)!}z^{2n+1}\,</math>
+:<math>|z|<\infty\mathrm{-re:}\quad\quad \mathrm{ch}(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n)!}z^{2n}\,</math>
+:<math>|z|<1\mathrm{-re:}\quad\quad \mathrm{ln}(1+z)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}z^n\,</math>
+természetesen az utolsónál a z=1 pont 1 sugarú nyílt környezetében értelmezett logaritmusról van szó.
+'''3. ''' Mint minden hatványsor ez is egyenletesen konvergál az összegfüggvényéhez, így tagonként deriválható és integrálható.

Matematika A3a 2008/8. gyakorlat

A lap 2013. október 23., 07:51-kori változata

Taylor-sor

Nézetek

Személyes eszközök

Navigáció

Keresés

Eszközök