Matematika A3a 2008/8. gyakorlat

_{<Matematika A3a 2008}

Komplex integrál

Görbék a komplex síkon

Ha G:[a,b]$\to$C, t$\mapsto$z(t) folytonosan differenciálható, akkor G-t görbének nevezzük. (Esetleg a folytonos, véges sok helyen nem folytonosan differenciálható előbbi G-ket is görbéknek nevezzük.) A G görbe egyszerű, ha nem metszi át saját magát, azaz minden t₁, t₂-re, ha z(t₁) = z(t₂), akkor t₁ = t₂. G zárt, ha z(a) = z(b). A görbe t-beli irányvektorán a

$\dot{z}(t)=\dot{x}(t)+\mathrm{i}\dot{y}(t)$

komplex számot értjük.

Példák

1. Legyen t∈[a,b]-re z(t) = x(t) + iy(t) olyan, hogy x(t) = x₀ + w₁t és y(t) = y₀ + w₂t, azaz z(t) = z₀ + wt. Ekkor z(t) egy egyenes szakasz.

És ekkor:

$\dot{z}(t)=w$

2. Az origó középpontú R sugarú kör:

z(t) = Re^it t∈[0,2π]

És ekkor

$\dot{z}(t)=R\mathrm{i}e^{\mathrm{i}t}$

hiszen

$\dot{z}(t)=R\dot{\cos(t)+\mathrm{i}\sin(t)}=-R\sin(t)+\mathrm{i}R\cos(t)=\mathrm{i}(R\mathrm{i}\sin(t)+R\cos(t))$

Komplex vonalmenti integrál

Ha G:[a,b]$\to$C görbe és f olyan komplex függvény, melyre Ran(G)⊆Dom(f), és f folytonos, akkor belátható, hogy létezik a