Matematika A3a 2008/9. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Laurent-sor) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Komplex sorok) |
||
(egy szerkesztő 10 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
1. sor: | 1. sor: | ||
''<sub><[[Matematika A3a 2008]]</sub>'' | ''<sub><[[Matematika A3a 2008]]</sub>'' | ||
− | |||
+ | ==Komplex hatványsorok== | ||
+ | |||
+ | '''Definíció''' – ''Hatványsor'' – Legyen (''a''<sub>n</sub>) komplex számsorozat és ''z''<sub>0</sub> ∈ '''C'''. Ekkor az ∑(''a''<sub>n(</sub>id<sub>'''C'''</sub>-z<sub>0</sub>)<sup>n</sup>) függvénysort hatványsornak nevezzük és összegét, az | ||
+ | :<math>z\mapsto \sum\limits_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n</math> | ||
+ | hozzárendelési utasítással értelmezett, a {''z'' ∈ | ∑(''a''<sub>n</sub>(z-''z''<sub>0</sub>)<sup>n</sup>) konvergál } halmazon értelmezett függvényt a hatványsor '''összegének''' nevezzük. Középpontja ''z''<sub>0</sub>, együtthatósorozata (''a''<sub>n</sub>). | ||
+ | |||
+ | A továbbiakban csak a ∑(''a''<sub>n</sub>z<sup>n</sup>) alakú, azaz a 0 körüli hatványsorokkal foglalkozunk (ezzel nem csorbítjuk az általánosságot, mert eltolással megkaphatjuk a többit is). | ||
+ | |||
+ | '''Tétel''' – ''Cauchy–Hadamard-tétel'' – Ha (''a''<sub>n</sub>) komplex számsorozat, <math>c= \limsup\limits_{n}\sqrt[n]{|a_n|}</math> és | ||
+ | :<math>R=\left\{ | ||
+ | \begin{matrix} | ||
+ | 0,& \mathrm{ha} &c=+\infty\\ | ||
+ | +\infty,& \mathrm{ha} & c=0\\ | ||
+ | \frac{1}{c},& \mathrm{ha} & 0<c<+\infty | ||
+ | \end{matrix} | ||
+ | |||
+ | \right.</math> | ||
+ | akkor ∑(''a''<sub>n</sub>z<sup>n</sup>) abszolút konvergens a B<sub>R</sub>(0) gömbön és divergens a B<sub>1/R</sub>(∞) gömbön. | ||
+ | |||
+ | A tétel minden részletre kiterjedő bizonyítását nem végezzük el, csak utalunk rá, hogy nyilvánvaló, hogy a Cauchy-féle gyökkritériumot kell benne használni. A tételbeli ''R'' sugarat a hatványsor ''konvergenciasugarának'' nevezzük. ''R''-et másként is kiszámíthajuk. Ha azt tudjuk, a hányadoskritérium alapján, hogy | ||
+ | :<math>\exists\lim\limits_{n\to \infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}</math> | ||
+ | akkor létezik és ezzel egyenlő az n-edik gyökök sorozata is: | ||
+ | :<math>\exists\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=\,''\,\frac{1}{R}\,''</math> | ||
+ | ahol az idézőjel azt jelzi, hogy a konvergenciasugár lehet végtelen vagy 0 is. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''7. Feladat.''' Mi az alábbi hatványsorok konvergenciaköre és -sugara? | ||
+ | #<math>\sum\left((2i)^nn^3(z-i)^n\right)</math> | ||
+ | #<math>\sum\left(\mathrm{arc\,sin}\left(\frac{1}{n}\right)(z+1+i)^n\right)</math> | ||
+ | #<math>\sum\left(\frac{in^{2008}}{n!}z^n\right)</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''Analitikus'''nak nevezünk egy ''f'' komplex függvényt, a ''z''<sub>0</sub> pontban, ha van olyan δ sugarú környezet és ∑(''a''<sub>n</sub>(z-z<sub>0</sub>)<sup>n</sup>) hatványsor, hogy minden ''z'' ∈ B<sub>δ</sub>(''z''<sub>0</sub>)-ra ''f'' érelmezett, ∑(''a''<sub>n</sub>(z-z<sub>0</sub>)<sup>n</sup>) konvergens és | ||
+ | :<math>f(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n</math> | ||
+ | Ezt úgy jelöljük, hogy ''f'' ∈ C<sup>ω</sup>(''z''<sub>0</sub>). | ||
+ | |||
+ | '''8. Feladat''' | ||
+ | # Van-e olyan <math>\sum\limits_{(0)}(a_n(z-2))</math> hatványsor, mely konvergál a 0-ban, de divergál a 3-ban. Konvergál 2-ben, de divergál az 2,000001-ben? | ||
+ | # Igazoljuk, hogy az alábbi függvény analitikus a nullában. Mi sorfejtés a konvergenciaköre? | ||
+ | #:<math>f(z) = \frac{1}{4+z^2} \,</math> | ||
+ | |||
+ | ===Hatványsorok összegfüggvényének folytonossága és differenciálhatósága=== | ||
+ | |||
+ | '''Tétel''' – Ha (''a''<sub>n</sub>) komplex számsorozat, akkor az ∑(''a''<sub>n</sub>z<sup>n</sup>) hatványsor összegfüggvénye folytonos a konvergenciakör belsejében. Sőt, reguláris is ott. | ||
+ | |||
+ | Emlékeztetünk arra, hogy egy függvény reguláris egy pontban, ha a pont egy környezetében mindenütt értelmezett és komplex deriválható. A tétel szerint tehát analitikus függvény reguláris. A döbbenetes azonban, hogymint később kiderül: reguláris függvény analitikus: ''f'' ∈ C<sup>ω</sup>(''z''<sub>0</sub>) akkor és csak akkr, ha ''f'' ∈ Reg(''z''<sub>0</sub>). | ||
+ | |||
+ | ''Bizonyítás.'' Legyen ''z'' a konvergenciakör egy belső pontja és Δ''z'' olyan, hogy még ''z'' + Δ''z'' is a konvergenciakör belsejébe esik. Ekkor: | ||
+ | : <math>\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(z+\Delta z)^n-\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nz^n= | ||
+ | \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n((z+\Delta z)^n-z^n)=</math> | ||
+ | mert mindkét sor konvergens, ekkor algebrai azonosságokkal: | ||
+ | :<math>=\Delta z\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n\sum\limits_{k=0}^{n-1}\Delta z^{k}z^{n-1-k}</math> | ||
+ | vagy ha tetszik nemnulla Δ''z''-vel: | ||
+ | :<math>\frac{\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(z+\Delta z)^n-\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nz^n}{\Delta z}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n\sum\limits_{k=0}^{n-1}\Delta z^{k}z^{n-1-k}</math> | ||
+ | a jobb oldalon álló sor konvergenciáját a gyökkritériummal láthatjuk be: | ||
+ | :<math>\left|a_n\sum\limits_{k=0}^{n-1}\Delta z^{k}z^{n-1-k}\right|\leq|a_n|\cdot n r^n</math> | ||
+ | ahol r olyan pozitív szám, hogy | ''z'' + Δ''z'' | < r < R (ez utóbbi a hatványsor konvergenciasugára). És | ||
+ | :<math>\limsup\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|\cdot n r^n}=\limsup\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}\cdot 1 \cdot r\leq\frac{1}{R}r<1\,</math> | ||
+ | Így azt kaptuk, hogy minden olyan Δ''z''-re, melyre | ''z'' + Δ''z'' | < r, teljesül és |Δ''z''| <ε/(1+∑<sub>n</sub>|a<sub>n</sub>|nr<sup>n</sup>)=:δ | ||
+ | :<math>\left|\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(z+\Delta z)^n-\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nz^n\right|\leq|\Delta z|\cdot \sum\limits_{n=0}^\infty|a_n|nr^n<\varepsilon.</math> | ||
+ | |||
+ | Hosszadalmasabb számolásokkal, de lényegében ugyanígy kimutatható, hogy a hatványsor összegfüggvénye komplex differenciálható is a konvergenciakör belsejében és deriváltja a formális tagonkénti deriválásal kapott sor összegfüggvényével egyenlő, tehát: | ||
+ | :<math>\left(\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nz^n\right)'=\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n n z^{n-1}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ==Elemi függvények== | ||
+ | |||
+ | ===Hatványfüggvények=== | ||
+ | A | ||
+ | :<math>w=z^n\,</math> | ||
+ | típusú függvények komplex hatványfüggvények. ''n'' ∈ '''Z''' esetén, komplex deriváltjuk kiszámítható, ''n'' ≠ -1 esetben komplex primitív függvényük is van a következő értelemben: | ||
+ | |||
+ | Mivel | ||
+ | :<math>(z^n)'=nz^{n-1}\,</math> | ||
+ | ezért ''n'' ≠ -1 esetén az az ''F''(''z'') függvény, melyre <math> \scriptstyle{F'(z)=z^n}</math> nem más, mint | ||
+ | :<math>F(z)=\frac{z^{n+1}}{n+1}+C\,</math> | ||
+ | ahol C komplex konstans. ''n'' ≠ -1-re nincs primitív függvénye, mert a logaritmus nem egyértékű a komplex számok között. | ||
+ | |||
+ | Komplex vonalintegrál értelmezhető a G: [a,b] <math>\to</math> '''C''' folytonos függvény, mint görbe esetén azzal a különlegességgel, hogy a szorzás a komplex szorzás: | ||
+ | :<math>\int\limits_{G}f(z)\,\mathrm{d}z\,=_{\mathrm{def}}\lim\limits_{n \to \infty}\sum\limits_{i=1}^nf(z_i)\cdot\Delta z_i</math> | ||
+ | Feltéve persze, hogy létezik és véges. Itt ''z''<sub>i</sub> mindig a G görbe valamely pontját jelöli, amit az [a,b] egy felosztásának osztópontjainak G általi képeiből kapunk. | ||
+ | |||
+ | Ekkor fennáll a komplex Newton-Leibniz-formula. Ha a G görbe olyan nyílt halmazban halad, melyben az ''f''-nek van primitív függvénye (egyértékű függvénye!) és ''f'' komplex integrálható, akkor ''z''<sub>1</sub> és ''z''<sub>2</sub> a végpontok esetén (''a'' és ''b'' képe), a komplex integrál kiszámítható így: | ||
+ | :<math>F(z_2)-F(z_1)=\int\limits_{G}f(z)\,\mathrm{d}z\,</math> | ||
+ | |||
+ | Ha a görbe belép az ''f'' értelmezési tartományának olyan részére, melyben a függvénynek nincs egyértelmű primitív függvénye, akkor az integrál értéke függhet a G úttól. | ||
+ | |||
+ | '''1. Feladat.''' Legyen G a 3 középpontú, 1 sugarú kör felső félköre (pozitív irányítással). Számítsuk ki a | ||
+ | :<math>\int\limits_{G}3z^2+1\,\mathrm{d}z\,</math> | ||
+ | integrált. | ||
+ | |||
+ | '''2. Feladat.''' Legyen G az origó körüli 2 sugarú kör vonal. Mennyi az | ||
+ | :a) <math>\int\limits_{G}\frac{1}{z^2}\,\mathrm{d}z\,</math> és a b) <math>\int\limits_{G}\frac{z+1}{z}\,\mathrm{d}z\,</math> | ||
+ | integrál. | ||
+ | |||
+ | A hatványfüggvények inverzei szintén nem egyértékű függvények. | ||
+ | |||
+ | ===Exponenciális függvény=== | ||
+ | :<math> | ||
+ | e^z=_{\mathrm{def}}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}\,</math> | ||
+ | Ebbőkkiderül az exponenciális függvény sok tulajdonsága. Például, ha z = x + iy, akkor | ||
+ | :<math>e^{x+iy}=e^x\cdot e^{iy}=e^x\cdot (\cos y + i\sin y)\,</math> | ||
+ | Ebből rögtön következik, hogy komplex exponenciális függvény periodikus, periódusa a p = 2πi: | ||
+ | :<math>e^{z+2\pi i}=e^z\cdot e^{2\pi i}=e^z\cdot e^0\cdot (\cos 2\pi + i\sin 2\pi)=e^z(1+0i)\,</math> | ||
+ | '''3. Feladat.''' Oldjuk meg az | ||
+ | :<math>e^z=1+i\;</math> | ||
+ | egyenletet! | ||
+ | |||
+ | Írjuk át 1+i-t exponenciális alakba: | ||
+ | :<math>1+i=e^{\ln \sqrt{2}}\cdot e^{i\frac{\pi}{4}}\, | ||
+ | </math> | ||
+ | így | ||
+ | :<math>z=\ln\sqrt{2} +i\frac{\pi}{4}+2\pi i\,</math> | ||
+ | |||
+ | '''4. Feladat.''' Oldjuk meg az | ||
+ | :<math>e^{iz}+ie^{-4iz}=0\,</math> | ||
+ | egyenletet! | ||
+ | |||
+ | ===Komplex logaritmus és a reciprok integrálja=== | ||
+ | |||
+ | Tekintsük a | ||
+ | :<math>w=e^z\,</math> | ||
+ | hozzárendelést! Ha w-t exponenciális alakban írjuk, megfeleltethetjük egymásnak a z algebrai alakját w trigonometrikus alakjával: | ||
+ | :<math>w=re^{i\varphi}=e^{x+iy}=e^x\cdot e^{iy}\,</math> | ||
+ | azaz | ||
+ | :<math>r=e^x\,</math> és <math>\varphi= y\,</math> | ||
+ | Ebből is látható, hogy a fordított leképezés végtelen sok értkű, hiszen ha y<sub>1</sub> = 2π + y, akkor w(x+iy)= w(x+iy<sub>1</sub> ). Ekkor a Riemann-felület egy végtelen sok Riemann-levélből áll. | ||
+ | |||
+ | '''Feladat.''' Számítsuk ki az alábbi integrálokat: | ||
+ | :<math>\int\limits_{G_1}\frac{1}{z}\,\mathrm{d}x</math> | ||
+ | :<math>\int\limits_{G_2}\frac{1}{z}\,\mathrm{d}x</math> | ||
+ | ahol G<sub>1</sub> az egységkör a + irányban i-től -i-ig, G<sub>2</sub> az egységkör a - irányban i-től -i-ig. | ||
+ | |||
+ | :<math>\int\limits_{i,\,(G_1)}^{-i}\frac{1}{z}\mathrm{d}z=[\mathrm{Log}(z)]_{i}^-i=\mathrm{Log}(e^{i\frac{3}{2}\pi})-\mathrm{Log}(e^{\frac{1}{2}\pi})=i\pi\,</math> | ||
+ | |||
+ | ahol Log a logaritmus főrésze, hisz a görbe a egy Rieman-levélen belül marad, míg | ||
+ | |||
+ | :<math>\int\limits_{i,\,(G_2)}^{-i}\frac{1}{z}\mathrm{d}z=[\mathrm{Log}(z)]_{i}^-i=\mathrm{Log}(e^{-i\frac{1}{2}\pi})-\mathrm{Log}(e^{\frac{1}{2}\pi})=-i\pi\,</math> | ||
+ | |||
+ | mivel itt áthalad a görbe a következő Riemann-levélre. | ||
+ | |||
+ | Más számítással: | ||
+ | |||
+ | :<math>\int\limits_{i,\,(G_1)}^{-i}\frac{1}{z}\mathrm{d}z=\int\limits_{t=\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}\frac{1}{z(t)}\cdot\frac{\mathrm{d}z(t)}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{d}t=\int\limits_{t=\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}e^{-it}ie^{it}\mathrm{d}t=[it]_{t=\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}</math> | ||
+ | |||
+ | ===Trigonometikus függvények=== | ||
+ | |||
+ | :<math>\sin z=_{\mathrm{def}}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}\,</math> | ||
+ | :<math>\cos z=_{\mathrm{def}}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{z^{2n}}{(2n)!}\,</math> | ||
+ | |||
+ | Világos, hogy valós φ-re: | ||
+ | :<math>e^{i\varphi}=\cos(\varphi)+i\sin(\varphi)\,</math> | ||
+ | |||
+ | A hiperbolikus függvényekhez hasonlóan a trigonometrikus függvények is előállnak de a komplex exponenciális segítségével: | ||
+ | |||
+ | :<math>\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}</math> | ||
+ | :<math>\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2} </math> | ||
+ | |||
+ | '''5. Feladat.''' Igazoljuk, hogy fennáll | ||
+ | :<math>\sin^2 z+ \cos^2z = 1\,</math> | ||
+ | |||
+ | '''6. Feladat.''' Oldjuk meg az | ||
+ | :<math>\sin 4z=0\,</math> | ||
+ | egyenletet! | ||
+ | |||
+ | ===Hiperbolikus függvények=== | ||
+ | |||
+ | :<math>\mathrm{sh}\, z=\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}</math> | ||
+ | :<math>\mathrm{ch}\, z=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2} </math> | ||
+ | |||
+ | '''7. Feladat.''' Határozzuk meg az w = sh(iz) függvény valós és képzetes részét! | ||
+ | |||
+ | Mo. | ||
+ | :<math>\mathrm{sh}\, iz=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2}</math> | ||
+ | |||
+ | '''8. Feladat.''' G az egységkör. Számítsuk ki | ||
+ | :<math>\int\limits_{(G)}\frac{e^z}{z}\mathrm{d}z\,</math> | ||
+ | :<math>\int\limits_{(G)}\frac{\sin(z)}{z^4}\mathrm{d}z\,</math> | ||
+ | Mo. | ||
+ | :<math>\int\limits_{(G)}\frac{1}{z}+1+\frac{1}{2}z+...\mathrm{d}z\,=2\pi i</math> | ||
+ | :<math>\int\limits_{(G)}\frac{1}{z^3}-\frac{1}{2z}+\frac{1}{4!}z+...\mathrm{d}z\,=-\pi i</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | ==Taylor-sor== | ||
+ | |||
+ | A Cauchy-féle integrálformula következménye a következő tétel, mely a komplex differenciálelmélet egyik megjellegzetesebb eredménye: | ||
+ | |||
+ | '''Tétel.''' Ha az ''f'': '''C''' <math>\supset\!\to</math> '''C''' függvény az értelmezési tartománya egy <math>z_0</math> pontjában és ennek egy nyílt környezetében komplex differenciálható (azaz <math>z_0</math>-ban ''reguláris''), akkor ''f'' a <math>z_0</math> pont egy ''V'' = B<sub>δ</sub>(z<sub>0</sub>) környezetén mindenhol végtelenszer differenciálható, ''V'' minden pontjában az ''f'' <math>z_0</math>-beli Taylor-sora konvergens és ennek határfüggvénye ''V''-n előállítja ''f''-et: | ||
+ | :<math>f(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n</math> | ||
+ | (azaz ''f'' ''analitikus'' <math>z_0</math>-ban). | ||
+ | |||
+ | A tétel tehét azt mondja ki, hogy "reguláris függvény analitikus". | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''Megjegyezzük,''' hogy 1. mint minden nemnegatív egész hatványokat tartalmazó hatványsor, a Taylor-sor is egy körlap belsején abszolút konvergens, mely körlap sugara a konvergenciasugára, mely | ||
+ | :<math>R=\frac{1}{\limsup\limits_{n}\sqrt[n]{|a_n|}}\,</math> | ||
+ | ahol a sor a ∑a<sub>n</sub>(z-<math>z_0</math>)<sup>n</sup>, a körlap középpontja <math>z_0</math>, és ahol a reciprok kivételesen úgy értendő, hogy 1/0 = ∞, 1/∞ = 0. | ||
+ | |||
+ | '''2.''' A legyakrabban használt Taylor-sorok a következők: | ||
+ | |||
+ | :<math>|z|<1\mathrm{-re:}\quad\quad\frac{1}{1-z}=\sum\limits_{n=0}^{\infty} z^n\,</math> | ||
+ | :<math>|z|<\infty\mathrm{-re:}\quad\quad e^z=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}z^n\,</math> | ||
+ | :<math>|z|<\infty\mathrm{-re:}\quad\quad \sin(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}z^{2n+1}\,</math> | ||
+ | :<math>|z|<\infty\mathrm{-re:}\quad\quad \cos(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n)!}z^{2n}\,</math> | ||
+ | :<math>|z|<\infty\mathrm{-re:}\quad\quad \mathrm{sh}(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)!}z^{2n+1}\,</math> | ||
+ | :<math>|z|<\infty\mathrm{-re:}\quad\quad \mathrm{ch}(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n)!}z^{2n}\,</math> | ||
+ | :<math>|z|<1\mathrm{-re:}\quad\quad \mathrm{ln}(1+z)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}z^n\,</math> | ||
+ | természetesen az utolsónál a z=1 pont 1 sugarú nyílt környezetében értelmezett logaritmusról van szó. | ||
+ | |||
+ | '''3. ''' Mint minden hatványsor ez is egyenletesen konvergál az összegfüggvényéhez, így tagonként deriválható és integrálható. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ==Egész kitevőjű hatványsorok, Laurent-sor== | ||
+ | |||
+ | '''Definíció.''' Ha adott ''a'' számra és (''c''<sub>n</sub>)<sub>n∈'''Z'''</sub> komplex számok komplex számokra a | ||
+ | :<math>\sum\limits_{(-\infty)}(c_n(id-a)^n)</math> | ||
+ | függvénysort egész kitevőjű hatványsornak, vagy Laurent-sornak nevezzük. Egy ilyen sor összegfüggvénye: | ||
+ | :<math>\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}c_n(z-a)^n</math> | ||
+ | |||
+ | Ugyanúgy, ahogy minden nemnegatív kitevőjű hatványsor egyenlő a saját Taylor-sorával, így az ilyen sorokat egyszerűen csak Laurent-sornak hívjuk, függetelenül attól, hogy a Laurent-sor együtthatóit egy függvény értékeiből számoljuk ki. | ||
+ | |||
+ | Ahogy a Taylor-sorfejtésben nagyon hasznos a mértani sor összegképlete (és konvergenciafeltétele), úgy ez a Laurent-soroknál is jól alkalmazható: | ||
+ | |||
+ | '''Példa.''' Mely pontok körül fejthető egész kötevőjű hatványsorba a | ||
+ | :<math>f(z)=\frac{1}{z} \,</math> | ||
+ | függvény és mik a konvergenciatartományok? | ||
+ | ''Megoldás.'' | ||
+ | |||
+ | 1) z ≠ 0-ra reguláris, így minden <math>z_0</math> ≠ 0-ra Taylor-sorba fejthető legalább is a <math>z_0</math> egy olyan környzetében, mely a 0-t mint szingularitást nem tartalmazza (hisz tudjuk: hatványsor konvergenciatartománya körlap). Ez a sor: | ||
+ | |||
+ | :<math>\frac{1}{z-z_0+z_0}=\frac{1}{z_0}\cdot\frac{1}{z-z_0+1}=\frac{1}{z_0}\cdot\frac{1}{1-(-1)(z-z_0)}=</math> | ||
+ | ::<math> =\frac{1}{z_0}\cdot\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n(z-z_0)^n=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{z_0}(z-z_0)^n</math> | ||
+ | A sugara 1, hisz |(-1)||z-<math>z_0</math>|<1 kell, ami ugyanaz, mint |z-<math>z_0</math>|<1. Persze, ha |<math>z_0</math>| < 1, akkor a sugár, maga a |<math>z_0</math>|, hisz a 0-t nem állítja elő a sor. | ||
+ | |||
+ | 2) <math>z_0</math> ≠ 0-ra a Laurent-sora. Most a <math>z-z_0</math>-nak a mértani sorrá alakítás után a nevezőbe kell kerülnie: | ||
+ | :<math>\frac{1}{z-z_0+z_0}=\frac{1}{z-z_0}\cdot\frac{1}{1+\frac{z_0}{z-z_0}}=\frac{1}{z-z_0}\cdot\frac{1}{1-\frac{-z_0}{z-z_0}}=</math> | ||
+ | ::<math> =\frac{1}{z_0}\cdot\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nz_0^n}{(z-z_0)^n}=\sum\limits_{n=0}^{-\infty}(-1)^{-n}z_0^{-n}(z-z_0)^n</math> | ||
+ | Ennek a sorfejtésnek akkor van jelentőssége, amikor olyan pont körüli sorral akarunk egy ''z'' számot előállítani, melynek minden ''z''-t tartalmazó gömbi környzete tartalmazza a 0-t is. | ||
+ | |||
+ | Konvergenciaköre a | ||
+ | :<math>|z-z_0|>|z_0|\;</math> | ||
+ | egyenlőtlenségnek eleget tévő ''z''-k. | ||
+ | |||
+ | 3) z = 0-ban is van Laurent-sora, éspedig önmaga: | ||
+ | :<math>f(z)=...+0+\frac{1}{z}+0+... \,</math> | ||
+ | Ennek a sugarai R<sub>-</sub>=0, mert a (...0,0,1) sorozat n-edik gyökeinek limszupja 0, és R<sub>-</sub>=+∞, mert a (0,0,0,0,0,...) sorozat n-edik gyökeinek limszupja 0 és "reciproka" + végtelen. (Ez egyben a ∞ körüli Laurent-sor, melynek csak reguláris része van.) | ||
+ | |||
+ | ===Konvergenciatartomány=== | ||
+ | Laurent-sornál a konvergenciatartomány egy körgyűrű, melynek sugarait az együtthatókból a Cauchy--Hadamard-tételhez hasonló módon számolható, éspedig: | ||
+ | |||
+ | :<math>R_+=\frac{1}{\limsup\limits_{n>0}\sqrt[n]{|c_n|}}\,</math> | ||
+ | :<math>R_-=\limsup\limits_{n<0}\sqrt[n]{|c_n|}\,</math> | ||
+ | |||
+ | Ez a kijelentés könnyen igazolható a Cauchy-féle gyökkritériummal, sőt a Cauchy--Hadamard-tétel bizonyítását felidézve szinte magától értetődik. | ||
+ | |||
+ | ===Reguláris- és főrész === | ||
+ | A Laurent-sor | ||
+ | :<math>\sum\limits_{n=1}^{+\infty}c_{-n}\frac{1}{(z-z_0)^n}\,</math> | ||
+ | részét a sor '''főrészének,''' a | ||
+ | :<math>\sum\limits_{n=0}^{+\infty}c_{n}(z-z_0)^n\,</math> | ||
+ | részét a sor '''reguláris''' részének nevezzük. | ||
+ | |||
+ | ==Laurent-sorfejtés== | ||
'''Tétel.''' -- A Laurent-sor tétele -- Ha az ''f'': '''C''' <math>\supset\!\to</math> '''C''' és ''a'' ∈ '''C''' szám és 0 ≤ r < R ≤ +∞ olyan sugarak, hogy ''f'' az | '''Tétel.''' -- A Laurent-sor tétele -- Ha az ''f'': '''C''' <math>\supset\!\to</math> '''C''' és ''a'' ∈ '''C''' szám és 0 ≤ r < R ≤ +∞ olyan sugarak, hogy ''f'' az | ||
35. sor: | 298. sor: | ||
Már csak azt kell megmagyaráznunk, hogy a ''k''<sub>2</sub> helyére most már minden olyan G görbére felírható, mely az ''a''-t pozitívan öleli körbe egyszer és a regularitási tartományban halad. Valóban, a képletbeli integrál már független az 1/(w-z) sorfejtési szituációjától és minden olyan G görbére áttranszformálható melyek folytonosan áttranszformálható ''k''<sub>2</sub>-be. Ez a ''T'' körgyűrű összes a tételi állításban megadott görbéjére áll. | Már csak azt kell megmagyaráznunk, hogy a ''k''<sub>2</sub> helyére most már minden olyan G görbére felírható, mely az ''a''-t pozitívan öleli körbe egyszer és a regularitási tartományban halad. Valóban, a képletbeli integrál már független az 1/(w-z) sorfejtési szituációjától és minden olyan G görbére áttranszformálható melyek folytonosan áttranszformálható ''k''<sub>2</sub>-be. Ez a ''T'' körgyűrű összes a tételi állításban megadott görbéjére áll. | ||
− | 2) Most már az előző számolásból sejthető, hogy a Laurent-sor reguláris része akkor jön ki, ha az 1/(w-z) reciprokfüggvényt a az ''a'' körül nem pozitív, hanem negatív kitevőjű hatványsorba, fejtjük. Ezt a |w-a| > |z-a| feltétellel tehetjük csak meg, hisz ilyen sor konvergenciatartománya körgyűrű és a z szinguláris pontot nem tartalmazhatja. | + | 2) Most már az előző számolásból sejthető, hogy a Laurent-sor reguláris része akkor jön ki, ha az 1/(w-z) reciprokfüggvényt a az ''a'' körül nem pozitív, hanem negatív kitevőjű hatványsorba, fejtjük -- mint az első példában. Ezt a |w-a| > |z-a| feltétellel tehetjük csak meg, hisz ilyen sor konvergenciatartománya körgyűrű és a z szinguláris pontot nem tartalmazhatja: |
+ | |||
+ | :<math>\frac{1}{w-z}=\frac{1}{(w-a)+(a-z)}=\frac{1}{w-a}\cdot\frac{1}{1-\frac{z-a}{w-a}}</math> | ||
+ | Ez a sor valóban akkor konvergens, ha |w-a| > |z-a|. Ezzel az előző pomt számolását elvégezve az f(z)-t előállító Laurent-sor reguláris részét kapjuk. QED | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''Példa.''' Adjuk meg az | ||
+ | :<math>f(z)=\frac{z^2}{z+2i}\,</math> | ||
+ | függvény azon 0 körüli Laurent-sorát, mely előállítja az 1-et! Azt is adjuk meg, mely a -3-t állítja elő! | ||
+ | |||
+ | ''Megoldás.'' -2i szinguláris hely. Ha a=0, akkor a z=1-et a 0 körüli Taylor-sor állítja elő, mert |0-1| < |0 - (-2i)|. Persze ezt is a m.s-ral adjuk meg: | ||
+ | :<math>f(z)=\frac{z^2}{z+2i}=z^2\frac{1}{2i}\frac{1}{\frac{z}{2i}+1}=\frac{z^2}{2i}\frac{1}{1-\frac{iz}{2}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{i^{n-1}}{2^{n+1}}z^{n+2}=\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{i^{n-3}}{2^{n-1}}z^n</math> | ||
+ | |||
+ | |||
[[Kategória:Matematika A3]] | [[Kategória:Matematika A3]] |
A lap jelenlegi, 2016. március 21., 10:24-kori változata
Tartalomjegyzék |
Komplex hatványsorok
Definíció – Hatványsor – Legyen (an) komplex számsorozat és z0 ∈ C. Ekkor az ∑(an(idC-z0)n) függvénysort hatványsornak nevezzük és összegét, az
hozzárendelési utasítással értelmezett, a {z ∈ | ∑(an(z-z0)n) konvergál } halmazon értelmezett függvényt a hatványsor összegének nevezzük. Középpontja z0, együtthatósorozata (an).
A továbbiakban csak a ∑(anzn) alakú, azaz a 0 körüli hatványsorokkal foglalkozunk (ezzel nem csorbítjuk az általánosságot, mert eltolással megkaphatjuk a többit is).
Tétel – Cauchy–Hadamard-tétel – Ha (an) komplex számsorozat, és
akkor ∑(anzn) abszolút konvergens a BR(0) gömbön és divergens a B1/R(∞) gömbön.
A tétel minden részletre kiterjedő bizonyítását nem végezzük el, csak utalunk rá, hogy nyilvánvaló, hogy a Cauchy-féle gyökkritériumot kell benne használni. A tételbeli R sugarat a hatványsor konvergenciasugarának nevezzük. R-et másként is kiszámíthajuk. Ha azt tudjuk, a hányadoskritérium alapján, hogy
akkor létezik és ezzel egyenlő az n-edik gyökök sorozata is:
ahol az idézőjel azt jelzi, hogy a konvergenciasugár lehet végtelen vagy 0 is.
7. Feladat. Mi az alábbi hatványsorok konvergenciaköre és -sugara?
Analitikusnak nevezünk egy f komplex függvényt, a z0 pontban, ha van olyan δ sugarú környezet és ∑(an(z-z0)n) hatványsor, hogy minden z ∈ Bδ(z0)-ra f érelmezett, ∑(an(z-z0)n) konvergens és
Ezt úgy jelöljük, hogy f ∈ Cω(z0).
8. Feladat
- Van-e olyan hatványsor, mely konvergál a 0-ban, de divergál a 3-ban. Konvergál 2-ben, de divergál az 2,000001-ben?
- Igazoljuk, hogy az alábbi függvény analitikus a nullában. Mi sorfejtés a konvergenciaköre?
Hatványsorok összegfüggvényének folytonossága és differenciálhatósága
Tétel – Ha (an) komplex számsorozat, akkor az ∑(anzn) hatványsor összegfüggvénye folytonos a konvergenciakör belsejében. Sőt, reguláris is ott.
Emlékeztetünk arra, hogy egy függvény reguláris egy pontban, ha a pont egy környezetében mindenütt értelmezett és komplex deriválható. A tétel szerint tehát analitikus függvény reguláris. A döbbenetes azonban, hogymint később kiderül: reguláris függvény analitikus: f ∈ Cω(z0) akkor és csak akkr, ha f ∈ Reg(z0).
Bizonyítás. Legyen z a konvergenciakör egy belső pontja és Δz olyan, hogy még z + Δz is a konvergenciakör belsejébe esik. Ekkor:
mert mindkét sor konvergens, ekkor algebrai azonosságokkal:
vagy ha tetszik nemnulla Δz-vel:
a jobb oldalon álló sor konvergenciáját a gyökkritériummal láthatjuk be:
ahol r olyan pozitív szám, hogy | z + Δz | < r < R (ez utóbbi a hatványsor konvergenciasugára). És
Így azt kaptuk, hogy minden olyan Δz-re, melyre | z + Δz | < r, teljesül és |Δz| <ε/(1+∑n|an|nrn)=:δ
Hosszadalmasabb számolásokkal, de lényegében ugyanígy kimutatható, hogy a hatványsor összegfüggvénye komplex differenciálható is a konvergenciakör belsejében és deriváltja a formális tagonkénti deriválásal kapott sor összegfüggvényével egyenlő, tehát:
Elemi függvények
Hatványfüggvények
A
típusú függvények komplex hatványfüggvények. n ∈ Z esetén, komplex deriváltjuk kiszámítható, n ≠ -1 esetben komplex primitív függvényük is van a következő értelemben:
Mivel
ezért n ≠ -1 esetén az az F(z) függvény, melyre nem más, mint
ahol C komplex konstans. n ≠ -1-re nincs primitív függvénye, mert a logaritmus nem egyértékű a komplex számok között.
Komplex vonalintegrál értelmezhető a G: [a,b] C folytonos függvény, mint görbe esetén azzal a különlegességgel, hogy a szorzás a komplex szorzás:
Feltéve persze, hogy létezik és véges. Itt zi mindig a G görbe valamely pontját jelöli, amit az [a,b] egy felosztásának osztópontjainak G általi képeiből kapunk.
Ekkor fennáll a komplex Newton-Leibniz-formula. Ha a G görbe olyan nyílt halmazban halad, melyben az f-nek van primitív függvénye (egyértékű függvénye!) és f komplex integrálható, akkor z1 és z2 a végpontok esetén (a és b képe), a komplex integrál kiszámítható így:
Ha a görbe belép az f értelmezési tartományának olyan részére, melyben a függvénynek nincs egyértelmű primitív függvénye, akkor az integrál értéke függhet a G úttól.
1. Feladat. Legyen G a 3 középpontú, 1 sugarú kör felső félköre (pozitív irányítással). Számítsuk ki a
integrált.
2. Feladat. Legyen G az origó körüli 2 sugarú kör vonal. Mennyi az
- a) és a b)
integrál.
A hatványfüggvények inverzei szintén nem egyértékű függvények.
Exponenciális függvény
Ebbőkkiderül az exponenciális függvény sok tulajdonsága. Például, ha z = x + iy, akkor
Ebből rögtön következik, hogy komplex exponenciális függvény periodikus, periódusa a p = 2πi:
3. Feladat. Oldjuk meg az
egyenletet!
Írjuk át 1+i-t exponenciális alakba:
így
4. Feladat. Oldjuk meg az
egyenletet!
Komplex logaritmus és a reciprok integrálja
Tekintsük a
hozzárendelést! Ha w-t exponenciális alakban írjuk, megfeleltethetjük egymásnak a z algebrai alakját w trigonometrikus alakjával:
azaz
- és
Ebből is látható, hogy a fordított leképezés végtelen sok értkű, hiszen ha y1 = 2π + y, akkor w(x+iy)= w(x+iy1 ). Ekkor a Riemann-felület egy végtelen sok Riemann-levélből áll.
Feladat. Számítsuk ki az alábbi integrálokat:
ahol G1 az egységkör a + irányban i-től -i-ig, G2 az egységkör a - irányban i-től -i-ig.
ahol Log a logaritmus főrésze, hisz a görbe a egy Rieman-levélen belül marad, míg
mivel itt áthalad a görbe a következő Riemann-levélre.
Más számítással:
Trigonometikus függvények
Világos, hogy valós φ-re:
A hiperbolikus függvényekhez hasonlóan a trigonometrikus függvények is előállnak de a komplex exponenciális segítségével:
5. Feladat. Igazoljuk, hogy fennáll
6. Feladat. Oldjuk meg az
egyenletet!
Hiperbolikus függvények
7. Feladat. Határozzuk meg az w = sh(iz) függvény valós és képzetes részét!
Mo.
8. Feladat. G az egységkör. Számítsuk ki
Mo.
Taylor-sor
A Cauchy-féle integrálformula következménye a következő tétel, mely a komplex differenciálelmélet egyik megjellegzetesebb eredménye:
Tétel. Ha az f: C C függvény az értelmezési tartománya egy z0 pontjában és ennek egy nyílt környezetében komplex differenciálható (azaz z0-ban reguláris), akkor f a z0 pont egy V = Bδ(z0) környezetén mindenhol végtelenszer differenciálható, V minden pontjában az f z0-beli Taylor-sora konvergens és ennek határfüggvénye V-n előállítja f-et:
(azaz f analitikus z0-ban).
A tétel tehét azt mondja ki, hogy "reguláris függvény analitikus".
Megjegyezzük, hogy 1. mint minden nemnegatív egész hatványokat tartalmazó hatványsor, a Taylor-sor is egy körlap belsején abszolút konvergens, mely körlap sugara a konvergenciasugára, mely
ahol a sor a ∑an(z-z0)n, a körlap középpontja z0, és ahol a reciprok kivételesen úgy értendő, hogy 1/0 = ∞, 1/∞ = 0.
2. A legyakrabban használt Taylor-sorok a következők:
természetesen az utolsónál a z=1 pont 1 sugarú nyílt környezetében értelmezett logaritmusról van szó.
3. Mint minden hatványsor ez is egyenletesen konvergál az összegfüggvényéhez, így tagonként deriválható és integrálható.
Egész kitevőjű hatványsorok, Laurent-sor
Definíció. Ha adott a számra és (cn)n∈Z komplex számok komplex számokra a
függvénysort egész kitevőjű hatványsornak, vagy Laurent-sornak nevezzük. Egy ilyen sor összegfüggvénye:
Ugyanúgy, ahogy minden nemnegatív kitevőjű hatványsor egyenlő a saját Taylor-sorával, így az ilyen sorokat egyszerűen csak Laurent-sornak hívjuk, függetelenül attól, hogy a Laurent-sor együtthatóit egy függvény értékeiből számoljuk ki.
Ahogy a Taylor-sorfejtésben nagyon hasznos a mértani sor összegképlete (és konvergenciafeltétele), úgy ez a Laurent-soroknál is jól alkalmazható:
Példa. Mely pontok körül fejthető egész kötevőjű hatványsorba a
függvény és mik a konvergenciatartományok? Megoldás.
1) z ≠ 0-ra reguláris, így minden z0 ≠ 0-ra Taylor-sorba fejthető legalább is a z0 egy olyan környzetében, mely a 0-t mint szingularitást nem tartalmazza (hisz tudjuk: hatványsor konvergenciatartománya körlap). Ez a sor:
A sugara 1, hisz |(-1)||z-z0|<1 kell, ami ugyanaz, mint |z-z0|<1. Persze, ha |z0| < 1, akkor a sugár, maga a |z0|, hisz a 0-t nem állítja elő a sor.
2) z0 ≠ 0-ra a Laurent-sora. Most a z − z0-nak a mértani sorrá alakítás után a nevezőbe kell kerülnie:
Ennek a sorfejtésnek akkor van jelentőssége, amikor olyan pont körüli sorral akarunk egy z számot előállítani, melynek minden z-t tartalmazó gömbi környzete tartalmazza a 0-t is.
Konvergenciaköre a
egyenlőtlenségnek eleget tévő z-k.
3) z = 0-ban is van Laurent-sora, éspedig önmaga:
Ennek a sugarai R-=0, mert a (...0,0,1) sorozat n-edik gyökeinek limszupja 0, és R-=+∞, mert a (0,0,0,0,0,...) sorozat n-edik gyökeinek limszupja 0 és "reciproka" + végtelen. (Ez egyben a ∞ körüli Laurent-sor, melynek csak reguláris része van.)
Konvergenciatartomány
Laurent-sornál a konvergenciatartomány egy körgyűrű, melynek sugarait az együtthatókból a Cauchy--Hadamard-tételhez hasonló módon számolható, éspedig:
Ez a kijelentés könnyen igazolható a Cauchy-féle gyökkritériummal, sőt a Cauchy--Hadamard-tétel bizonyítását felidézve szinte magától értetődik.
Reguláris- és főrész
A Laurent-sor
részét a sor főrészének, a
részét a sor reguláris részének nevezzük.
Laurent-sorfejtés
Tétel. -- A Laurent-sor tétele -- Ha az f: C C és a ∈ C szám és 0 ≤ r < R ≤ +∞ olyan sugarak, hogy f az
nyílt körgyűrűben reguláris, akkor egyértelműen léteznek olyan (cn)n∈Z komplex számok, éspedig tetszőleges a T-ben haladó az a-t egyszer pozitív irányban körbehurkoló G görbére:
hogy a
függvénysor konvergens T-ben és minden z ∈ T számra:
Bizonyítás. f-et most nem tudjuk előállítani a Cauchy-integrálformulával, mint a Taylor-sor esetén, mert az a pontban esetleg a függvény nem reguláris. De előállíthatjuk két hasonló formula különbségeként.
Rögzítsük egy tetszőlegesen választott z ∈ T-t. Legyenek k1 és k2 két a középpontú, T-ben haladó, pozitívan irányított kör, úgy, hogy z a k1 és k2 körök közötti nyílt tartományba essen. Ezekből a körökből és az őket elválasztó gyűrűt sugárirányban befelé átmetsző s szakaszból elkészítünk egy olyan zárt görbét, melyre már alkalmazható az integrálformula. Tekintsük úgy, hogy k1 kezdő és végpontja az s kezdőpontja, k2 kezdő és végpontja pedig az s végpontja. Legyen
itt (-s) az s-sel ellenkező irányítású szakaszt jelzi. Ekkor Γ a z-t egy reguláris tartományban hurkolja egyszer, pozitívan körbe, így a Cauchy-integrálformulával:
Node, ebben az integálban az s íven kétszer oda-vissza végezzük el az integrálást, így az erre vett integrál eltűnik. Másrészt a (-k2)-n vett integrál ellenkezője a 'k2-vettének, így végülis:
Hangsúlyozzuk, hogy z és a most konstansok, így a
az értelmezési tartományán analitikus függvény. Ennek -- szikásos módon a mértani sor összegére vonatkozó képlet segítségével -- elvégezhetjük az a középpontú, valamilyen körön belüli hatványsorba fejtését. Természetesen a |w-a| < |z-a| feltételt meg kell követelnünk, hiszen hatványsor konvergenciakörében nem lehet benne a z szakadási pont. Tegyük fel tehát, hogy |w-a| < |z-a|. Ekkor:
Ezzel megvan a sorfejtés minden együtthatója, ugyanis -ra kell alkalmazni a mértani sor formuláját:
1) Világos, hogy ezt a sorfejtést csak a k2-re vonatkozó integrálban használhatjuk fel, mert ott lesz a q < 1 (ill. a w mindig közelebb a-hoz mint z-hez). Ezt az integrált tehát:
az integrál felcserélhető a szummával és a w-től független tagok kihozhatók az integrál elé, ezért
Ekkor egy konvergens, negatív kitevőjű hatványsort kaptunk, melynek csak főrésze van, de érdekes módon nem a középponttal és w-re, hanem a középponttal és z-ra. Ez pont a kívánt sorfejtés, melyet érdemes átindexelni úgy, hogy a szummázás -1-től induljon és -∞-ig menjen:
Már csak azt kell megmagyaráznunk, hogy a k2 helyére most már minden olyan G görbére felírható, mely az a-t pozitívan öleli körbe egyszer és a regularitási tartományban halad. Valóban, a képletbeli integrál már független az 1/(w-z) sorfejtési szituációjától és minden olyan G görbére áttranszformálható melyek folytonosan áttranszformálható k2-be. Ez a T körgyűrű összes a tételi állításban megadott görbéjére áll.
2) Most már az előző számolásból sejthető, hogy a Laurent-sor reguláris része akkor jön ki, ha az 1/(w-z) reciprokfüggvényt a az a körül nem pozitív, hanem negatív kitevőjű hatványsorba, fejtjük -- mint az első példában. Ezt a |w-a| > |z-a| feltétellel tehetjük csak meg, hisz ilyen sor konvergenciatartománya körgyűrű és a z szinguláris pontot nem tartalmazhatja:
Ez a sor valóban akkor konvergens, ha |w-a| > |z-a|. Ezzel az előző pomt számolását elvégezve az f(z)-t előállító Laurent-sor reguláris részét kapjuk. QED
Példa. Adjuk meg az
függvény azon 0 körüli Laurent-sorát, mely előállítja az 1-et! Azt is adjuk meg, mely a -3-t állítja elő!
Megoldás. -2i szinguláris hely. Ha a=0, akkor a z=1-et a 0 körüli Taylor-sor állítja elő, mert |0-1| < |0 - (-2i)|. Persze ezt is a m.s-ral adjuk meg: