Matematika A3a 2008/9. gyakorlat

A MathWikiből

(Változatok közti eltérés)

Ugrás: navigáció, keresés

A lap 2008. december 4., 12:58-kori változata

_{<Matematika A3a 2008}

Tartalomjegyzék

1 Egész kitevőjű hatványsorok, Laurent-sor
- 1.1 Konvergenciatartomány
- 1.2 Reguláris- és főrész
2 Laurent-sorfejtés

Egész kitevőjű hatványsorok, Laurent-sor

Definíció. Ha adott a számra és (c_n)_n∈Z komplex számok komplex számokra a

$\sum\limits_{(-\infty)}(c_n(id-a)^n)$

függvénysort egész kitevőjű hatványsornak, vagy Laurent-sornak nevezzük. Egy ilyen sor összegfüggvénye:

$\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}c_n(z-a)^n$

Ugyanúgy, ahogy minden nemnegatív kitevőjű hatványsor egyenlő a saját Taylor-sorával, így az ilyen sorokat egyszerűen csak Laurent-sornak hívjuk, függetelenül attól, hogy a Laurent-sor együtthatóit egy függvény értékeiből számoljuk ki.

Ahogy a Taylor-sorfejtésben nagyon hasznos a mértani sor összegképlete (és konvergenciafeltétele), úgy ez a Laurent-soroknál is jól alkalmazható:

Példa. Mely pontok körül fejthető egész kötevőjű hatványsorba a

$f(z)=\frac{1}{z} \,$

függvény és mik a konvergenciatartományok? Megoldás.

1) z ≠ 0-ra reguláris, így minden $z 0$ ≠ 0-ra Taylor-sorba fejthető. Ez a sor:

$\frac{1}{z-z_0+z_0}=\frac{1}{z_0}\cdot\frac{1}{z-z_0+1}=\frac{1}{z_0}\cdot\frac{1}{1-(-1)(z-z_0)}=$

$=\frac{1}{z_0}\cdot\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n(z-z_0)^n=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{z_0}(z-z_0)^n$

A sugara 1, hisz |(-1)||z- $z 0$ |<1 kell, ami ugyanaz, mint |z- $z 0$ |<1. Persze, ha | $z 0$ | < 1, akkor a sugár, maga a | $z 0$ |, hisz a 0-t nem állítja elő a sor.

2) $z 0$ ≠ 0-ra a Laurent-sora:

3) z = 0-ban is van Laurent-sora, éspedig önmaga:

$f(z)=...+0+\frac{1}{z}+0+... \,$

Ennek a sugarai R_-=0, mert a (...0,0,1) sorozat n-edik gyökeinek limszupja 0, és R_-=+∞, mert a (0,0,0,0,0,...) sorozat n-edik gyökeinek limszupja 0 és "reciproka" + végtelen. (Ez egyben a ∞ körüli Laurent-sor, melynek csak reguláris része van.)

Konvergenciatartomány

Laurent-sorál a konvergenciatartomány egy körgyűrű, melynek sugarait az együtthatókból a Cauchy--Hadamard-tételhet hasonló módon számolható, éspedig:

$R_+=\frac{1}{\limsup\limits_{n>0}\sqrt[n]{|c_n|}}\,$

$R_-=\limsup\limits_{n<0}\sqrt[n]{|c_n|}\,$

Reguláris- és főrész

A Laurent-sor

$\sum\limits_{n=1}^{+\infty}c_{-n}\frac{1}{(z-z_0)^n}\,$

részét a sor főrészének, a

$\sum\limits_{n=0}^{+\infty}c_{n}(z-z_0)^n\,$

részét a sor reguláris részének nevezzük.

Laurent-sorfejtés

Tétel. -- A Laurent-sor tétele -- Ha az f: C $\supset\!\to$ C és a ∈ C szám és 0 ≤ r < R ≤ +∞ olyan sugarak, hogy f az

$T=\{z\in \mathbf{C}\mid r<|z-a|<R\,\}$

nyílt körgyűrűben reguláris, akkor egyértelműen léteznek olyan (c_n)_n∈Z komplex számok, éspedig tetszőleges a T-ben haladó az a-t egyszer pozitív irányban körbehurkoló G görbére:

$c_n=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{G}\frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}}\mathrm{d}w,\quad\quad n\in\mathbf{Z}$

hogy a

$\sum\limits_{(-\infty)}(c_n(id-a)^n)$

függvénysor konvergens T-ben és minden z ∈ T számra:

$f(z)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}c_n(z-a)^n$

Bizonyítás. f-et most nem tudjuk előállítani a Cauchy-integrálformulával, mint a Taylor-sor esetén, mert az a pontban esetleg a függvény nem reguláris. De előállíthatjuk két hasonló formula különbségeként.

Rögzítsük egy tetszőlegesen választott z ∈ T-t. Legyenek k₁ és k₂ két a középpontú, T-ben haladó, pozitívan irányított kör, úgy, hogy z a k₁ és k₂ körök közötti nyílt tartományba essen. Ezekből a körökből és az őket elválasztó gyűrűt sugárirányban befelé átmetsző s szakaszból elkészítünk egy olyan zárt görbét, melyre már alkalmazható az integrálformula. Tekintsük úgy, hogy k₁ kezdő és végpontja az s kezdőpontja, k₂ kezdő és végpontja pedig az s végpontja. Legyen

$\Gamma=k_1^\frown s^\frown (-k_2)^\frown(-s)$

itt (-s) az s-sel ellenkező irányítású szakaszt jelzi. Ekkor Γ a z-t egy reguláris tartományban hurkolja egyszer, pozitívan körbe, így a Cauchy-integrálformulával:

$f(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{\Gamma}\frac{f(w)}{(w-z)}\mathrm{d}w$

Node, ebben az integálban az s íven kétszer oda-vissza végezzük el az integrálást, így az erre vett integrál eltűnik. Másrészt a (-k₂)-n vett integrál ellenkezője a 'k₂-vettének, így végülis:

$f(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{k_1}\frac{f(w)}{(w-z)}\mathrm{d}w-\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{k_2}\frac{f(w)}{(w-z)}\mathrm{d}w$

Hangsúlyozzuk, hogy z és a most konstansok, így a

$w\mapsto\frac{1}{w-z}\,$

az értelmezési tartományán analitikus függvény. Ennek -- szikásos módon a mértani sor összegére vonatkozó képlet segítségével -- elvégezhetjük az a középpontú, valamilyen körön belüli hatványsorba fejtését. Természetesen a |w-a| < |z-a| feltételt meg kell követelnünk, hiszen hatványsor konvergenciakörében nem lehet benne a z szakadási pont. Tegyük fel tehát, hogy |w-a| < |z-a|. Ekkor:

$\frac{1}{w-z}=\frac{1}{(w-a)+(a-z)}=\frac{1}{a-z}\cdot\frac{1}{\frac{w-a}{a-z}+1}=-\frac{1}{z-a}\cdot\frac{1}{1-\frac{w-a}{z-a}}$

Ezzel megvan a sorfejtés minden együtthatója, ugyanis $q=\frac{w-a}{z-a}$ -ra kell alkalmazni a mértani sor formuláját:

$\frac{1}{w-z}=-\frac{1}{z-a}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(z-a)^n}\cdot(w-a)^n$

1) Világos, hogy ezt a sorfejtést csak a k₂-re vonatkozó integrálban használhatjuk fel, mert ott lesz a q < 1 (ill. a w mindig közelebb a-hoz mint z-hez). Ezt az integrált tehát:

$-\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{k_2}\frac{f(w)}{(w-z)}\mathrm{d}w=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{k_2}f(w)\frac{1}{z-a}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(z-a)^n}\cdot(w-a)^n\mathrm{d}w=$

az integrál felcserélhető a szummával és a w-től független tagok kihozhatók az integrál elé, ezért

$=\frac{1}{2\pi i}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\oint\limits_{k_2}f(w)\frac{1}{(z-a)^{n+1}}\cdot(w-a)^n\mathrm{d}w=\frac{1}{2\pi i}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(z-a)^{n+1}}\oint\limits_{k_2}f(w)\cdot(w-a)^n\mathrm{d}w$

Ekkor egy konvergens, negatív kitevőjű hatványsort kaptunk, melynek csak főrésze van, de érdekes módon nem a középponttal és w-re, hanem a középponttal és z-ra. Ez pont a kívánt sorfejtés, melyet érdemes átindexelni úgy, hogy a szummázás -1-től induljon és -∞-ig menjen:

$-\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{k_2}\frac{f(w)}{(w-z)}\mathrm{d}w=\frac{1}{2\pi i}\sum\limits_{n=-1}^{-\infty}\left(\oint\limits_{k_2}\frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}}\mathrm{d}w\right)(z-a)^{n}$

Már csak azt kell megmagyaráznunk, hogy a k₂ helyére most már minden olyan G görbére felírható, mely az a-t pozitívan öleli körbe egyszer és a regularitási tartományban halad. Valóban, a képletbeli integrál már független az 1/(w-z) sorfejtési szituációjától és minden olyan G görbére áttranszformálható melyek folytonosan áttranszformálható k₂-be. Ez a T körgyűrű összes a tételi állításban megadott görbéjére áll.

2) Most már az előző számolásból sejthető, hogy a Laurent-sor reguláris része akkor jön ki, ha az 1/(w-z) reciprokfüggvényt a az a körül nem pozitív, hanem negatív kitevőjű hatványsorba, fejtjük. Ezt a |w-a| > |z-a| feltétellel tehetjük csak meg, hisz ilyen sor konvergenciatartománya körgyűrű és a z szinguláris pontot nem tartalmazhatja.

@@ 1. sor: / 1. sor: @@
 ''<sub><[[Matematika A3a 2008]]</sub>''
-==Laurent-sor==
+==Egész kitevőjű hatványsorok, Laurent-sor==
+'''Definíció.''' Ha adott ''a'' számra és (''c''<sub>n</sub>)<sub>n&isin;'''Z'''</sub> komplex számok komplex számokra a
+:<math>\sum\limits_{(-\infty)}(c_n(id-a)^n)</math>
+függvénysort egész kitevőjű hatványsornak, vagy Laurent-sornak nevezzük. Egy ilyen sor összegfüggvénye:
+:<math>\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}c_n(z-a)^n</math>
+Ugyanúgy, ahogy minden nemnegatív kitevőjű hatványsor egyenlő a saját Taylor-sorával, így az ilyen sorokat egyszerűen csak Laurent-sornak hívjuk, függetelenül attól, hogy a Laurent-sor együtthatóit egy függvény értékeiből számoljuk ki.
+Ahogy a Taylor-sorfejtésben nagyon hasznos a mértani sor összegképlete (és konvergenciafeltétele), úgy ez a Laurent-soroknál is jól alkalmazható:
+'''Példa.''' Mely pontok körül fejthető egész kötevőjű hatványsorba a
+:<math>f(z)=\frac{1}{z} \,</math>
+függvény és mik a konvergenciatartományok?
+''Megoldás.''
+) z &ne; 0-ra reguláris, így minden <math>z_0</math> &ne; 0-ra Taylor-sorba fejthető. Ez a sor:
+:<math>\frac{1}{z-z_0+z_0}=\frac{1}{z_0}\cdot\frac{1}{z-z_0+1}=\frac{1}{z_0}\cdot\frac{1}{1-(-1)(z-z_0)}=</math>
+::<math> =\frac{1}{z_0}\cdot\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n(z-z_0)^n=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{z_0}(z-z_0)^n</math>
+A sugara 1, hisz |(-1)||z-<math>z_0</math>|<1 kell, ami ugyanaz, mint |z-<math>z_0</math>|<1. Persze, ha |<math>z_0</math>| < 1, akkor a sugár, maga a  |<math>z_0</math>|, hisz a 0-t nem állítja elő a sor.
+) <math>z_0</math> &ne; 0-ra a Laurent-sora:
+) z = 0-ban is van Laurent-sora, éspedig önmaga:
+:<math>f(z)=...+0+\frac{1}{z}+0+... \,</math>
+Ennek a sugarai R<sub>-</sub>=0, mert a (...0,0,1) sorozat n-edik gyökeinek limszupja 0, és  R<sub>-</sub>=+&infin;, mert a (0,0,0,0,0,...) sorozat n-edik gyökeinek limszupja 0 és "reciproka" + végtelen. (Ez egyben a &infin; körüli Laurent-sor, melynek csak reguláris része van.)
+===Konvergenciatartomány===
+Laurent-sorál a konvergenciatartomány egy körgyűrű, melynek sugarait az együtthatókból a Cauchy--Hadamard-tételhet hasonló módon számolható, éspedig:
+:<math>R_+=\frac{1}{\limsup\limits_{n>0}\sqrt[n]{|c_n|}}\,</math>
+:<math>R_-=\limsup\limits_{n<0}\sqrt[n]{|c_n|}\,</math>
+===Reguláris- és főrész ===
+A Laurent-sor
+:<math>\sum\limits_{n=1}^{+\infty}c_{-n}\frac{1}{(z-z_0)^n}\,</math>
+részét a sor '''főrészének,''' a
+:<math>\sum\limits_{n=0}^{+\infty}c_{n}(z-z_0)^n\,</math>
+részét a sor '''reguláris''' részének nevezzük.
+==Laurent-sorfejtés==
 '''Tétel.''' -- A Laurent-sor tétele -- Ha az ''f'': '''C''' <math>\supset\!\to</math> '''C''' és ''a'' &isin; '''C''' szám és 0 ≤ r < R ≤ +&infin; olyan sugarak, hogy ''f'' az

Matematika A3a 2008/9. gyakorlat

A lap 2008. december 4., 12:58-kori változata

Tartalomjegyzék

Egész kitevőjű hatványsorok, Laurent-sor

Konvergenciatartomány

Reguláris- és főrész

Laurent-sorfejtés

Nézetek

Személyes eszközök

Navigáció

Keresés

Eszközök