Matematika A3a 2008/9. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Laurent-sorfejtés) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Egész kitevőjű hatványsorok, Laurent-sor) |
||
16. sor: | 16. sor: | ||
''Megoldás.'' | ''Megoldás.'' | ||
− | 1) z ≠ 0-ra reguláris, így minden <math>z_0</math> ≠ 0-ra Taylor-sorba fejthető. Ez a sor: | + | 1) z ≠ 0-ra reguláris, így minden <math>z_0</math> ≠ 0-ra Taylor-sorba fejthető legalább is a <math>z_0</math> egy olyan környzetében, mely a 0-t mint szingularitást nem tartalmazza (hisz tudjuk: hatványsor konvergenciatartománya körlap). Ez a sor: |
:<math>\frac{1}{z-z_0+z_0}=\frac{1}{z_0}\cdot\frac{1}{z-z_0+1}=\frac{1}{z_0}\cdot\frac{1}{1-(-1)(z-z_0)}=</math> | :<math>\frac{1}{z-z_0+z_0}=\frac{1}{z_0}\cdot\frac{1}{z-z_0+1}=\frac{1}{z_0}\cdot\frac{1}{1-(-1)(z-z_0)}=</math> | ||
22. sor: | 22. sor: | ||
A sugara 1, hisz |(-1)||z-<math>z_0</math>|<1 kell, ami ugyanaz, mint |z-<math>z_0</math>|<1. Persze, ha |<math>z_0</math>| < 1, akkor a sugár, maga a |<math>z_0</math>|, hisz a 0-t nem állítja elő a sor. | A sugara 1, hisz |(-1)||z-<math>z_0</math>|<1 kell, ami ugyanaz, mint |z-<math>z_0</math>|<1. Persze, ha |<math>z_0</math>| < 1, akkor a sugár, maga a |<math>z_0</math>|, hisz a 0-t nem állítja elő a sor. | ||
− | 2) <math>z_0</math> ≠ 0-ra a Laurent-sora: | + | 2) <math>z_0</math> ≠ 0-ra a Laurent-sora. Most a <math>z-z_0</math>-nak a mértani sorrá alakítás után a nevezőbe kell kerülnie: |
+ | :<math>\frac{1}{z-z_0+z_0}=\frac{1}{z-z_0}\cdot\frac{1}{1+\frac{z_0}{z-z_0}}=\frac{1}{z-z_0}\cdot\frac{1}{1-\frac{-z_0}{z-z_0}}=</math> | ||
+ | ::<math> =\frac{1}{z_0}\cdot\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nz_0^n}{(z-z_0)^n}=\sum\limits_{n=0}^{-\infty}\frac{(-1)^{-n}z_0^{-n}(z-z_0)^n</math> | ||
+ | Ennek a sorfejtésnek akkor van jelentőssége, amikor olyan pont körüli sorral akarunk egy ''z'' számot előállítani, melynek minden ''z''-t tartalmazó gömbi környzete tartalmazza a 0-t is. | ||
3) z = 0-ban is van Laurent-sora, éspedig önmaga: | 3) z = 0-ban is van Laurent-sora, éspedig önmaga: | ||
34. sor: | 37. sor: | ||
:<math>R_-=\limsup\limits_{n<0}\sqrt[n]{|c_n|}\,</math> | :<math>R_-=\limsup\limits_{n<0}\sqrt[n]{|c_n|}\,</math> | ||
− | Ez a kijelentés könnyen igazolható a Cauchy-féle gyökkritériummal, sőt a Cauchy--Hadamard-tétel bizonyítását | + | Ez a kijelentés könnyen igazolható a Cauchy-féle gyökkritériummal, sőt a Cauchy--Hadamard-tétel bizonyítását felidézve szinte magától értetődik. |
===Reguláris- és főrész === | ===Reguláris- és főrész === |
A lap 2008. december 4., 13:16-kori változata
Tartalomjegyzék |
Egész kitevőjű hatványsorok, Laurent-sor
Definíció. Ha adott a számra és (cn)n∈Z komplex számok komplex számokra a
függvénysort egész kitevőjű hatványsornak, vagy Laurent-sornak nevezzük. Egy ilyen sor összegfüggvénye:
Ugyanúgy, ahogy minden nemnegatív kitevőjű hatványsor egyenlő a saját Taylor-sorával, így az ilyen sorokat egyszerűen csak Laurent-sornak hívjuk, függetelenül attól, hogy a Laurent-sor együtthatóit egy függvény értékeiből számoljuk ki.
Ahogy a Taylor-sorfejtésben nagyon hasznos a mértani sor összegképlete (és konvergenciafeltétele), úgy ez a Laurent-soroknál is jól alkalmazható:
Példa. Mely pontok körül fejthető egész kötevőjű hatványsorba a
függvény és mik a konvergenciatartományok? Megoldás.
1) z ≠ 0-ra reguláris, így minden z0 ≠ 0-ra Taylor-sorba fejthető legalább is a z0 egy olyan környzetében, mely a 0-t mint szingularitást nem tartalmazza (hisz tudjuk: hatványsor konvergenciatartománya körlap). Ez a sor:
A sugara 1, hisz |(-1)||z-z0|<1 kell, ami ugyanaz, mint |z-z0|<1. Persze, ha |z0| < 1, akkor a sugár, maga a |z0|, hisz a 0-t nem állítja elő a sor.
2) z0 ≠ 0-ra a Laurent-sora. Most a z − z0-nak a mértani sorrá alakítás után a nevezőbe kell kerülnie:
-
- Értelmezés sikertelen (formai hiba): =\frac{1}{z_0}\cdot\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nz_0^n}{(z-z_0)^n}=\sum\limits_{n=0}^{-\infty}\frac{(-1)^{-n}z_0^{-n}(z-z_0)^n
Ennek a sorfejtésnek akkor van jelentőssége, amikor olyan pont körüli sorral akarunk egy z számot előállítani, melynek minden z-t tartalmazó gömbi környzete tartalmazza a 0-t is.
3) z = 0-ban is van Laurent-sora, éspedig önmaga:
Ennek a sugarai R-=0, mert a (...0,0,1) sorozat n-edik gyökeinek limszupja 0, és R-=+∞, mert a (0,0,0,0,0,...) sorozat n-edik gyökeinek limszupja 0 és "reciproka" + végtelen. (Ez egyben a ∞ körüli Laurent-sor, melynek csak reguláris része van.)
Konvergenciatartomány
Laurent-sornál a konvergenciatartomány egy körgyűrű, melynek sugarait az együtthatókból a Cauchy--Hadamard-tételhez hasonló módon számolható, éspedig:
Ez a kijelentés könnyen igazolható a Cauchy-féle gyökkritériummal, sőt a Cauchy--Hadamard-tétel bizonyítását felidézve szinte magától értetődik.
Reguláris- és főrész
A Laurent-sor
részét a sor főrészének, a
részét a sor reguláris részének nevezzük.
Laurent-sorfejtés
Tétel. -- A Laurent-sor tétele -- Ha az f: C C és a ∈ C szám és 0 ≤ r < R ≤ +∞ olyan sugarak, hogy f az
nyílt körgyűrűben reguláris, akkor egyértelműen léteznek olyan (cn)n∈Z komplex számok, éspedig tetszőleges a T-ben haladó az a-t egyszer pozitív irányban körbehurkoló G görbére:
hogy a
függvénysor konvergens T-ben és minden z ∈ T számra:
Bizonyítás. f-et most nem tudjuk előállítani a Cauchy-integrálformulával, mint a Taylor-sor esetén, mert az a pontban esetleg a függvény nem reguláris. De előállíthatjuk két hasonló formula különbségeként.
Rögzítsük egy tetszőlegesen választott z ∈ T-t. Legyenek k1 és k2 két a középpontú, T-ben haladó, pozitívan irányított kör, úgy, hogy z a k1 és k2 körök közötti nyílt tartományba essen. Ezekből a körökből és az őket elválasztó gyűrűt sugárirányban befelé átmetsző s szakaszból elkészítünk egy olyan zárt görbét, melyre már alkalmazható az integrálformula. Tekintsük úgy, hogy k1 kezdő és végpontja az s kezdőpontja, k2 kezdő és végpontja pedig az s végpontja. Legyen
itt (-s) az s-sel ellenkező irányítású szakaszt jelzi. Ekkor Γ a z-t egy reguláris tartományban hurkolja egyszer, pozitívan körbe, így a Cauchy-integrálformulával:
Node, ebben az integálban az s íven kétszer oda-vissza végezzük el az integrálást, így az erre vett integrál eltűnik. Másrészt a (-k2)-n vett integrál ellenkezője a 'k2-vettének, így végülis:
Hangsúlyozzuk, hogy z és a most konstansok, így a
az értelmezési tartományán analitikus függvény. Ennek -- szikásos módon a mértani sor összegére vonatkozó képlet segítségével -- elvégezhetjük az a középpontú, valamilyen körön belüli hatványsorba fejtését. Természetesen a |w-a| < |z-a| feltételt meg kell követelnünk, hiszen hatványsor konvergenciakörében nem lehet benne a z szakadási pont. Tegyük fel tehát, hogy |w-a| < |z-a|. Ekkor:
Ezzel megvan a sorfejtés minden együtthatója, ugyanis -ra kell alkalmazni a mértani sor formuláját:
1) Világos, hogy ezt a sorfejtést csak a k2-re vonatkozó integrálban használhatjuk fel, mert ott lesz a q < 1 (ill. a w mindig közelebb a-hoz mint z-hez). Ezt az integrált tehát:
az integrál felcserélhető a szummával és a w-től független tagok kihozhatók az integrál elé, ezért
Ekkor egy konvergens, negatív kitevőjű hatványsort kaptunk, melynek csak főrésze van, de érdekes módon nem a középponttal és w-re, hanem a középponttal és z-ra. Ez pont a kívánt sorfejtés, melyet érdemes átindexelni úgy, hogy a szummázás -1-től induljon és -∞-ig menjen:
Már csak azt kell megmagyaráznunk, hogy a k2 helyére most már minden olyan G görbére felírható, mely az a-t pozitívan öleli körbe egyszer és a regularitási tartományban halad. Valóban, a képletbeli integrál már független az 1/(w-z) sorfejtési szituációjától és minden olyan G görbére áttranszformálható melyek folytonosan áttranszformálható k2-be. Ez a T körgyűrű összes a tételi állításban megadott görbéjére áll.
2) Most már az előző számolásból sejthető, hogy a Laurent-sor reguláris része akkor jön ki, ha az 1/(w-z) reciprokfüggvényt a az a körül nem pozitív, hanem negatív kitevőjű hatványsorba, fejtjük -- mint az első példában. Ezt a |w-a| > |z-a| feltétellel tehetjük csak meg, hisz ilyen sor konvergenciatartománya körgyűrű és a z szinguláris pontot nem tartalmazhatja:
Ez a sor valóban akkor konvergens, ha |w-a| > |z-a|. Ezzel az előző pomt számolását elvégezve az f(z)-t előállító Laurent-sor reguláris részét kapjuk.