Matematika A3a 2008/9. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Laurent-sorfejtés)
(A lap tartalmának cseréje erre: ''<sub><Matematika A3a 2008</sub>'' Kategória:Matematika A3)
1. sor: 1. sor:
 
''<sub><[[Matematika A3a 2008]]</sub>''  
 
''<sub><[[Matematika A3a 2008]]</sub>''  
==Egész kitevőjű hatványsorok, Laurent-sor==
 
 
'''Definíció.''' Ha adott ''a'' számra és (''c''<sub>n</sub>)<sub>n&isin;'''Z'''</sub> komplex számok komplex számokra a
 
:<math>\sum\limits_{(-\infty)}(c_n(id-a)^n)</math>
 
függvénysort egész kitevőjű hatványsornak, vagy Laurent-sornak nevezzük. Egy ilyen sor összegfüggvénye:
 
:<math>\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}c_n(z-a)^n</math>
 
 
Ugyanúgy, ahogy minden nemnegatív kitevőjű hatványsor egyenlő a saját Taylor-sorával, így az ilyen sorokat egyszerűen csak Laurent-sornak hívjuk, függetelenül attól, hogy a Laurent-sor együtthatóit egy függvény értékeiből számoljuk ki.
 
 
Ahogy a Taylor-sorfejtésben nagyon hasznos a mértani sor összegképlete (és konvergenciafeltétele), úgy ez a Laurent-soroknál is jól alkalmazható:
 
 
'''Példa.''' Mely pontok körül fejthető egész kötevőjű hatványsorba a
 
:<math>f(z)=\frac{1}{z} \,</math>
 
függvény és mik a konvergenciatartományok?
 
''Megoldás.''
 
 
1) z &ne; 0-ra reguláris, így minden <math>z_0</math> &ne; 0-ra Taylor-sorba fejthető legalább is a <math>z_0</math> egy olyan környzetében, mely a 0-t mint szingularitást nem tartalmazza (hisz tudjuk: hatványsor konvergenciatartománya körlap). Ez a sor:
 
 
:<math>\frac{1}{z-z_0+z_0}=\frac{1}{z_0}\cdot\frac{1}{z-z_0+1}=\frac{1}{z_0}\cdot\frac{1}{1-(-1)(z-z_0)}=</math>
 
::<math> =\frac{1}{z_0}\cdot\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n(z-z_0)^n=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{z_0}(z-z_0)^n</math>
 
A sugara 1, hisz |(-1)||z-<math>z_0</math>|<1 kell, ami ugyanaz, mint |z-<math>z_0</math>|<1. Persze, ha |<math>z_0</math>| < 1, akkor a sugár, maga a  |<math>z_0</math>|, hisz a 0-t nem állítja elő a sor.
 
 
2) <math>z_0</math> &ne; 0-ra a Laurent-sora. Most a <math>z-z_0</math>-nak a mértani sorrá alakítás után a nevezőbe kell kerülnie:
 
:<math>\frac{1}{z-z_0+z_0}=\frac{1}{z-z_0}\cdot\frac{1}{1+\frac{z_0}{z-z_0}}=\frac{1}{z-z_0}\cdot\frac{1}{1-\frac{-z_0}{z-z_0}}=</math>
 
::<math> =\frac{1}{z_0}\cdot\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nz_0^n}{(z-z_0)^n}=\sum\limits_{n=0}^{-\infty}(-1)^{-n}z_0^{-n}(z-z_0)^n</math>
 
Ennek a sorfejtésnek akkor van jelentőssége, amikor olyan pont körüli sorral akarunk egy ''z'' számot előállítani, melynek minden ''z''-t tartalmazó gömbi környzete tartalmazza a 0-t is.
 
 
Konvergenciaköre a
 
:<math>|z-z_0|>|z_0|\;</math>
 
egyenlőtlenségnek eleget tévő ''z''-k.
 
 
3) z = 0-ban is van Laurent-sora, éspedig önmaga:
 
:<math>f(z)=...+0+\frac{1}{z}+0+... \,</math>
 
Ennek a sugarai R<sub>-</sub>=0, mert a (...0,0,1) sorozat n-edik gyökeinek limszupja 0, és  R<sub>-</sub>=+&infin;, mert a (0,0,0,0,0,...) sorozat n-edik gyökeinek limszupja 0 és "reciproka" + végtelen. (Ez egyben a &infin; körüli Laurent-sor, melynek csak reguláris része van.)
 
 
===Konvergenciatartomány===
 
Laurent-sornál a konvergenciatartomány egy körgyűrű, melynek sugarait az együtthatókból a Cauchy--Hadamard-tételhez hasonló módon számolható, éspedig:
 
 
:<math>R_+=\frac{1}{\limsup\limits_{n>0}\sqrt[n]{|c_n|}}\,</math>
 
:<math>R_-=\limsup\limits_{n<0}\sqrt[n]{|c_n|}\,</math>
 
 
Ez a kijelentés könnyen igazolható a Cauchy-féle gyökkritériummal, sőt a Cauchy--Hadamard-tétel  bizonyítását felidézve szinte magától értetődik.
 
 
===Reguláris- és főrész ===
 
A Laurent-sor
 
:<math>\sum\limits_{n=1}^{+\infty}c_{-n}\frac{1}{(z-z_0)^n}\,</math>
 
részét a sor '''főrészének,''' a
 
:<math>\sum\limits_{n=0}^{+\infty}c_{n}(z-z_0)^n\,</math>
 
részét a sor '''reguláris''' részének nevezzük.
 
 
==Laurent-sorfejtés==
 
 
'''Tétel.''' -- A Laurent-sor tétele -- Ha az ''f'': '''C''' <math>\supset\!\to</math> '''C''' és ''a'' &isin; '''C''' szám és 0 ≤ r < R ≤ +&infin; olyan sugarak, hogy ''f'' az
 
:<math>T=\{z\in \mathbf{C}\mid r<|z-a|<R\,\}</math>
 
nyílt körgyűrűben reguláris, akkor egyértelműen léteznek olyan (''c''<sub>n</sub>)<sub>n&isin;'''Z'''</sub> komplex számok, éspedig tetszőleges a ''T''-ben haladó az a-t egyszer pozitív irányban körbehurkoló ''G'' görbére:
 
:<math>c_n=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{G}\frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}}\mathrm{d}w,\quad\quad n\in\mathbf{Z}</math>
 
hogy a
 
:<math>\sum\limits_{(-\infty)}(c_n(id-a)^n)</math>
 
függvénysor konvergens ''T''-ben és minden ''z'' &isin; ''T'' számra:
 
:<math>f(z)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}c_n(z-a)^n</math>
 
 
''Bizonyítás.''  ''f''-et most nem tudjuk előállítani a Cauchy-integrálformulával, mint a Taylor-sor esetén, mert az ''a'' pontban esetleg a függvény nem reguláris. De előállíthatjuk két hasonló formula különbségeként.
 
 
Rögzítsük egy tetszőlegesen választott ''z'' &isin; ''T''-t. Legyenek ''k''<sub>1</sub> és  ''k''<sub>2</sub> két ''a'' középpontú, ''T''-ben haladó, pozitívan irányított kör, úgy, hogy  ''z'' a ''k''<sub>1</sub> és ''k''<sub>2</sub> körök közötti nyílt tartományba essen. Ezekből a körökből és az őket elválasztó gyűrűt sugárirányban befelé átmetsző s szakaszból elkészítünk egy olyan zárt görbét, melyre már alkalmazható az integrálformula. Tekintsük úgy, hogy ''k''<sub>1</sub> kezdő és végpontja az ''s'' kezdőpontja, ''k''<sub>2</sub> kezdő és végpontja pedig az ''s'' végpontja. Legyen 
 
:<math>\Gamma=k_1^\frown s^\frown (-k_2)^\frown(-s)</math>
 
itt (-s) az ''s''-sel ellenkező irányítású szakaszt jelzi. Ekkor &Gamma;  a ''z''-t egy reguláris tartományban hurkolja egyszer, pozitívan körbe, így a Cauchy-integrálformulával:
 
:<math>f(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{\Gamma}\frac{f(w)}{(w-z)}\mathrm{d}w</math>
 
Node, ebben az integálban az s íven kétszer oda-vissza végezzük el az integrálást, így az erre vett integrál eltűnik. Másrészt a (-''k''<sub>2</sub>)-n vett integrál ellenkezője a 'k''<sub>2</sub>-vettének, így végülis:
 
:<math>f(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{k_1}\frac{f(w)}{(w-z)}\mathrm{d}w-\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{k_2}\frac{f(w)}{(w-z)}\mathrm{d}w</math>
 
Hangsúlyozzuk, hogy ''z'' és ''a'' most konstansok, így a
 
:<math>w\mapsto\frac{1}{w-z}\,</math>
 
az értelmezési tartományán analitikus függvény. Ennek -- szikásos módon a mértani sor összegére vonatkozó képlet segítségével -- elvégezhetjük az ''a'' középpontú, valamilyen körön belüli hatványsorba fejtését. Természetesen a |w-a| < |z-a| feltételt meg kell követelnünk, hiszen hatványsor konvergenciakörében nem lehet benne a ''z'' szakadási pont. Tegyük fel tehát, hogy |w-a| < |z-a|. Ekkor:
 
:<math>\frac{1}{w-z}=\frac{1}{(w-a)+(a-z)}=\frac{1}{a-z}\cdot\frac{1}{\frac{w-a}{a-z}+1}=-\frac{1}{z-a}\cdot\frac{1}{1-\frac{w-a}{z-a}}</math>
 
Ezzel megvan a sorfejtés minden együtthatója, ugyanis <math>q=\frac{w-a}{z-a}</math>-ra kell alkalmazni a mértani sor formuláját:
 
:<math>\frac{1}{w-z}=-\frac{1}{z-a}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(z-a)^n}\cdot(w-a)^n</math>
 
1) Világos, hogy ezt a sorfejtést csak a ''k''<sub>2</sub>-re vonatkozó integrálban használhatjuk fel, mert ott lesz a q < 1 (ill. a w mindig közelebb a-hoz mint z-hez). Ezt az integrált tehát:
 
:<math>-\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{k_2}\frac{f(w)}{(w-z)}\mathrm{d}w=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{k_2}f(w)\frac{1}{z-a}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(z-a)^n}\cdot(w-a)^n\mathrm{d}w=</math>
 
az integrál felcserélhető a szummával és a w-től független tagok kihozhatók az integrál elé, ezért
 
:<math>=\frac{1}{2\pi i}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\oint\limits_{k_2}f(w)\frac{1}{(z-a)^{n+1}}\cdot(w-a)^n\mathrm{d}w=\frac{1}{2\pi i}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(z-a)^{n+1}}\oint\limits_{k_2}f(w)\cdot(w-a)^n\mathrm{d}w</math>
 
Ekkor egy konvergens, negatív kitevőjű hatványsort kaptunk, melynek csak főrésze van, de érdekes módon nem a középponttal és w-re, hanem a középponttal és z-ra. Ez pont a kívánt sorfejtés, melyet érdemes átindexelni úgy, hogy a szummázás -1-től induljon és -&infin;-ig menjen:
 
:<math>-\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{k_2}\frac{f(w)}{(w-z)}\mathrm{d}w=\frac{1}{2\pi i}\sum\limits_{n=-1}^{-\infty}\left(\oint\limits_{k_2}\frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}}\mathrm{d}w\right)(z-a)^{n}</math>
 
 
Már csak azt kell megmagyaráznunk, hogy a ''k''<sub>2</sub> helyére most már minden olyan G görbére felírható, mely az ''a''-t pozitívan öleli körbe egyszer és a regularitási tartományban halad. Valóban, a képletbeli integrál már független az 1/(w-z) sorfejtési szituációjától és minden olyan G görbére áttranszformálható melyek folytonosan áttranszformálható ''k''<sub>2</sub>-be. Ez a ''T'' körgyűrű összes a tételi állításban megadott görbéjére áll.
 
 
2) Most már az előző számolásból sejthető, hogy a Laurent-sor reguláris része akkor jön ki, ha az 1/(w-z) reciprokfüggvényt a az ''a'' körül nem pozitív, hanem negatív kitevőjű hatványsorba, fejtjük -- mint az első példában. Ezt a  |w-a| > |z-a| feltétellel tehetjük csak meg, hisz ilyen sor konvergenciatartománya körgyűrű és a z szinguláris pontot nem tartalmazhatja:
 
 
:<math>\frac{1}{w-z}=\frac{1}{(w-a)+(a-z)}=\frac{1}{w-a}\cdot\frac{1}{1-\frac{z-a}{w-a}}</math>
 
Ez a sor valóban akkor konvergens, ha |w-a| > |z-a|. Ezzel az előző pomt számolását elvégezve az f(z)-t előállító Laurent-sor reguláris részét kapjuk. QED
 
 
 
'''Példa.''' Adjuk meg az
 
:<math>f(z)=\frac{z^2}{z+2i}\,</math>
 
függvény azon  0 körüli Laurent-sorát, mely előállítja az 1-et! Azt is adjuk meg, mely a -3-t állítja elő!
 
 
''Megoldás.'' -2i szinguláris hely. Ha a=0, akkor a z=1-et a 0 körüli Taylor-sor állítja elő, mert |0-1| < |0 - (-2i)|. Persze ezt is a m.s-ral adjuk meg:
 
:<math>f(z)=\frac{z^2}{z+2i}=z^2\frac{1}{2i}\frac{1}{\frac{z}{2i}+1}=\frac{z^2}{2i}\frac{1}{1-\frac{iz}{2}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{i^{n-1}}{2^{n+1}}z^{n+2}=\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{i^{n-3}}{2^{n-1}}z^n</math>
 
 
  
 
    
 
    
  
 
[[Kategória:Matematika A3]]
 
[[Kategória:Matematika A3]]

A lap 2013. október 23., 06:52-kori változata

<Matematika A3a 2008

Személyes eszközök