Matematika A3a 2008/9. gyakorlat

_{<Matematika A3a 2008}

Laurent-sor

Tétel. -- A Laurent-sor tétele -- Ha az f: C $\supset\!\to$ C és a ∈ C szám és 0 ≤ r < R ≤ +∞ olyan sugarak, hogy f az

$T=\{z\in \mathbf{C}\mid r<|z-a|<R\,\}$

nyílt körgyűrűben reguláris, akkor egyértelműen léteznek olyan (c_n)_n∈Z komplex számok, éspedig tetszőleges a T-ben haladó az a-t egyszer pozitív irányban körbehurkoló G görbére:

$c_n=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{G}\frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}}\mathrm{d}w,\quad\quad n\in\mathbf{Z}$

hogy a

$\sum\limits_{(-\infty)}(c_n(id-a)^n)$

függvénysor konvergens T-ben és minden z ∈ T számra:

$f(z)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}c_n(z-a)^n$

Bizonyítás. f-et most nem tudjuk előállítani a Cauchy-integrálformulával, mint a Taylor-sor esetén, mert az a pontban esetleg a függvény nem reguláris. De előállíthatjuk két hasonló formula különbségeként.

Rögzítsük egy tetszőlegesen választott z ∈ T-t. Legyenek k₁ és k₂ két a középpontú, T-ben haladó, pozitívan irányított kör, úgy, hogy z a k₁ és k₂ körök közötti nyílt tartományba essen. Ezekből a körökből és az őket elválasztó gyűrűt sugárirányban befelé átmetsző s szakaszból elkészítünk egy olyan zárt görbét, melyre már alkalmazható az integrálformula. Tekintsük úgy, hogy k₁ kezdő és végpontja az s kezdőpontja, 'k₂ kezdő és végpontja pedig az s végpontja. Legyen

$\Gamma=k_1^\frown s^\frown (-k_2)^\frown(-s)$

itt (-s) az s-sel ellenkező irányítású szakaszt jelzi. Ekkor Γ a z-t egy reguláris tartományban hurkolja egyszer, pozitívan körbe, így a Cauchy-integrálformulával:

$f(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{\Gamma}\frac{f(w)}{(w-z)}\mathrm{d}w$

Node, ebben az integálban az s íven kétszer oda-vissza végezzük el az integrálást, így az erre vett integrál eltűnik. Másrészt a (-k₂)-n vett integrál ellenkezője a 'k₂-vettének, így végülis:

$f(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{k_1}\frac{f(w)}{(w-z)}\mathrm{d}w-\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{k_2}\frac{f(w)}{(w-z)}\mathrm{d}w$

Hangsúlyozzuk, hogy z és a most konstansok, így a

$w\mapsto\frac{1}{w-z}\,$

az értelmezési tartományán analitikus függvénynek -- a reciprok sorfejtésének szokásos módján -- felírhatjuk a hatványsorba fejtését a középponttal, valamilyen körön belül, természetesen, ahol |w-a| < |z-a|, hiszen a hatványsor konvergenciakörében nem lehet benne a z szakadási pont. Tegyük fel tehát, hogy |w-a| < |z-a|. Ekkor:

$\frac{1}{w-z}=\frac{1}{(w-a)+(a-z)}=\frac{1}{w-a}\frac{1}{1+\frac{a-z}{w-a}}=\frac{1}{w-a}\frac{1}{1-\frac{z-a}{w-a}}$