Matematika A3a 2008/9. gyakorlat

A MathWikiből
A lap korábbi változatát látod, amilyen Mozo (vitalap | szerkesztései) 2008. december 4., 12:16-kor történt szerkesztése után volt.

<Matematika A3a 2008

Tartalomjegyzék

Egész kitevőjű hatványsorok, Laurent-sor

Definíció. Ha adott a számra és (cn)n∈Z komplex számok komplex számokra a

\sum\limits_{(-\infty)}(c_n(id-a)^n)

függvénysort egész kitevőjű hatványsornak, vagy Laurent-sornak nevezzük. Egy ilyen sor összegfüggvénye:

\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}c_n(z-a)^n

Ugyanúgy, ahogy minden nemnegatív kitevőjű hatványsor egyenlő a saját Taylor-sorával, így az ilyen sorokat egyszerűen csak Laurent-sornak hívjuk, függetelenül attól, hogy a Laurent-sor együtthatóit egy függvény értékeiből számoljuk ki.

Ahogy a Taylor-sorfejtésben nagyon hasznos a mértani sor összegképlete (és konvergenciafeltétele), úgy ez a Laurent-soroknál is jól alkalmazható:

Példa. Mely pontok körül fejthető egész kötevőjű hatványsorba a

f(z)=\frac{1}{z} \,

függvény és mik a konvergenciatartományok? Megoldás.

1) z ≠ 0-ra reguláris, így minden z0 ≠ 0-ra Taylor-sorba fejthető legalább is a z0 egy olyan környzetében, mely a 0-t mint szingularitást nem tartalmazza (hisz tudjuk: hatványsor konvergenciatartománya körlap). Ez a sor:

\frac{1}{z-z_0+z_0}=\frac{1}{z_0}\cdot\frac{1}{z-z_0+1}=\frac{1}{z_0}\cdot\frac{1}{1-(-1)(z-z_0)}=
 =\frac{1}{z_0}\cdot\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n(z-z_0)^n=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{z_0}(z-z_0)^n

A sugara 1, hisz |(-1)||z-z0|<1 kell, ami ugyanaz, mint |z-z0|<1. Persze, ha |z0| < 1, akkor a sugár, maga a |z0|, hisz a 0-t nem állítja elő a sor.

2) z0 ≠ 0-ra a Laurent-sora. Most a zz0-nak a mértani sorrá alakítás után a nevezőbe kell kerülnie:

\frac{1}{z-z_0+z_0}=\frac{1}{z-z_0}\cdot\frac{1}{1+\frac{z_0}{z-z_0}}=\frac{1}{z-z_0}\cdot\frac{1}{1-\frac{-z_0}{z-z_0}}=
Értelmezés sikertelen (formai hiba): =\frac{1}{z_0}\cdot\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nz_0^n}{(z-z_0)^n}=\sum\limits_{n=0}^{-\infty}\frac{(-1)^{-n}z_0^{-n}(z-z_0)^n

Ennek a sorfejtésnek akkor van jelentőssége, amikor olyan pont körüli sorral akarunk egy z számot előállítani, melynek minden z-t tartalmazó gömbi környzete tartalmazza a 0-t is.

3) z = 0-ban is van Laurent-sora, éspedig önmaga:

f(z)=...+0+\frac{1}{z}+0+... \,

Ennek a sugarai R-=0, mert a (...0,0,1) sorozat n-edik gyökeinek limszupja 0, és R-=+∞, mert a (0,0,0,0,0,...) sorozat n-edik gyökeinek limszupja 0 és "reciproka" + végtelen. (Ez egyben a ∞ körüli Laurent-sor, melynek csak reguláris része van.)

Konvergenciatartomány

Laurent-sornál a konvergenciatartomány egy körgyűrű, melynek sugarait az együtthatókból a Cauchy--Hadamard-tételhez hasonló módon számolható, éspedig:

R_+=\frac{1}{\limsup\limits_{n>0}\sqrt[n]{|c_n|}}\,
R_-=\limsup\limits_{n<0}\sqrt[n]{|c_n|}\,

Ez a kijelentés könnyen igazolható a Cauchy-féle gyökkritériummal, sőt a Cauchy--Hadamard-tétel bizonyítását felidézve szinte magától értetődik.

Reguláris- és főrész

A Laurent-sor

\sum\limits_{n=1}^{+\infty}c_{-n}\frac{1}{(z-z_0)^n}\,

részét a sor főrészének, a

\sum\limits_{n=0}^{+\infty}c_{n}(z-z_0)^n\,

részét a sor reguláris részének nevezzük.

Laurent-sorfejtés

Tétel. -- A Laurent-sor tétele -- Ha az f: C \supset\!\to C és aC szám és 0 ≤ r < R ≤ +∞ olyan sugarak, hogy f az

T=\{z\in \mathbf{C}\mid r<|z-a|<R\,\}

nyílt körgyűrűben reguláris, akkor egyértelműen léteznek olyan (cn)n∈Z komplex számok, éspedig tetszőleges a T-ben haladó az a-t egyszer pozitív irányban körbehurkoló G görbére:

c_n=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{G}\frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}}\mathrm{d}w,\quad\quad n\in\mathbf{Z}

hogy a

\sum\limits_{(-\infty)}(c_n(id-a)^n)

függvénysor konvergens T-ben és minden zT számra:

f(z)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}c_n(z-a)^n

Bizonyítás. f-et most nem tudjuk előállítani a Cauchy-integrálformulával, mint a Taylor-sor esetén, mert az a pontban esetleg a függvény nem reguláris. De előállíthatjuk két hasonló formula különbségeként.

Rögzítsük egy tetszőlegesen választott zT-t. Legyenek k1 és k2 két a középpontú, T-ben haladó, pozitívan irányított kör, úgy, hogy z a k1 és k2 körök közötti nyílt tartományba essen. Ezekből a körökből és az őket elválasztó gyűrűt sugárirányban befelé átmetsző s szakaszból elkészítünk egy olyan zárt görbét, melyre már alkalmazható az integrálformula. Tekintsük úgy, hogy k1 kezdő és végpontja az s kezdőpontja, k2 kezdő és végpontja pedig az s végpontja. Legyen

\Gamma=k_1^\frown s^\frown (-k_2)^\frown(-s)

itt (-s) az s-sel ellenkező irányítású szakaszt jelzi. Ekkor Γ a z-t egy reguláris tartományban hurkolja egyszer, pozitívan körbe, így a Cauchy-integrálformulával:

f(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{\Gamma}\frac{f(w)}{(w-z)}\mathrm{d}w

Node, ebben az integálban az s íven kétszer oda-vissza végezzük el az integrálást, így az erre vett integrál eltűnik. Másrészt a (-k2)-n vett integrál ellenkezője a 'k2-vettének, így végülis:

f(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{k_1}\frac{f(w)}{(w-z)}\mathrm{d}w-\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{k_2}\frac{f(w)}{(w-z)}\mathrm{d}w

Hangsúlyozzuk, hogy z és a most konstansok, így a

w\mapsto\frac{1}{w-z}\,

az értelmezési tartományán analitikus függvény. Ennek -- szikásos módon a mértani sor összegére vonatkozó képlet segítségével -- elvégezhetjük az a középpontú, valamilyen körön belüli hatványsorba fejtését. Természetesen a |w-a| < |z-a| feltételt meg kell követelnünk, hiszen hatványsor konvergenciakörében nem lehet benne a z szakadási pont. Tegyük fel tehát, hogy |w-a| < |z-a|. Ekkor:

\frac{1}{w-z}=\frac{1}{(w-a)+(a-z)}=\frac{1}{a-z}\cdot\frac{1}{\frac{w-a}{a-z}+1}=-\frac{1}{z-a}\cdot\frac{1}{1-\frac{w-a}{z-a}}

Ezzel megvan a sorfejtés minden együtthatója, ugyanis q=\frac{w-a}{z-a}-ra kell alkalmazni a mértani sor formuláját:

\frac{1}{w-z}=-\frac{1}{z-a}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(z-a)^n}\cdot(w-a)^n

1) Világos, hogy ezt a sorfejtést csak a k2-re vonatkozó integrálban használhatjuk fel, mert ott lesz a q < 1 (ill. a w mindig közelebb a-hoz mint z-hez). Ezt az integrált tehát:

-\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{k_2}\frac{f(w)}{(w-z)}\mathrm{d}w=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{k_2}f(w)\frac{1}{z-a}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(z-a)^n}\cdot(w-a)^n\mathrm{d}w=

az integrál felcserélhető a szummával és a w-től független tagok kihozhatók az integrál elé, ezért

=\frac{1}{2\pi i}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\oint\limits_{k_2}f(w)\frac{1}{(z-a)^{n+1}}\cdot(w-a)^n\mathrm{d}w=\frac{1}{2\pi i}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(z-a)^{n+1}}\oint\limits_{k_2}f(w)\cdot(w-a)^n\mathrm{d}w

Ekkor egy konvergens, negatív kitevőjű hatványsort kaptunk, melynek csak főrésze van, de érdekes módon nem a középponttal és w-re, hanem a középponttal és z-ra. Ez pont a kívánt sorfejtés, melyet érdemes átindexelni úgy, hogy a szummázás -1-től induljon és -∞-ig menjen:

-\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{k_2}\frac{f(w)}{(w-z)}\mathrm{d}w=\frac{1}{2\pi i}\sum\limits_{n=-1}^{-\infty}\left(\oint\limits_{k_2}\frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}}\mathrm{d}w\right)(z-a)^{n}

Már csak azt kell megmagyaráznunk, hogy a k2 helyére most már minden olyan G görbére felírható, mely az a-t pozitívan öleli körbe egyszer és a regularitási tartományban halad. Valóban, a képletbeli integrál már független az 1/(w-z) sorfejtési szituációjától és minden olyan G görbére áttranszformálható melyek folytonosan áttranszformálható k2-be. Ez a T körgyűrű összes a tételi állításban megadott görbéjére áll.

2) Most már az előző számolásból sejthető, hogy a Laurent-sor reguláris része akkor jön ki, ha az 1/(w-z) reciprokfüggvényt a az a körül nem pozitív, hanem negatív kitevőjű hatványsorba, fejtjük -- mint az első példában. Ezt a |w-a| > |z-a| feltétellel tehetjük csak meg, hisz ilyen sor konvergenciatartománya körgyűrű és a z szinguláris pontot nem tartalmazhatja:

\frac{1}{w-z}=\frac{1}{(w-a)+(a-z)}=\frac{1}{w-a}\cdot\frac{1}{1-\frac{z-a}{w-a}}

Ez a sor valóban akkor konvergens, ha |w-a| > |z-a|. Ezzel az előző pomt számolását elvégezve az f(z)-t előállító Laurent-sor reguláris részét kapjuk.

Személyes eszközök