Matematika A3a 2009/1. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Görbe) |
||
11. sor: | 11. sor: | ||
A derivált szintén <math>I</math> <math>\to</math> '''R'''<sup>3</sup> függvény, mely tovább deriválható, ha az '''r'''(''t'') maga kétszer deriválható volt, ... | A derivált szintén <math>I</math> <math>\to</math> '''R'''<sup>3</sup> függvény, mely tovább deriválható, ha az '''r'''(''t'') maga kétszer deriválható volt, ... | ||
+ | |||
+ | A további vizsgálatok valójában nem szétválaszthatak a mechanikától. Az deriváltvektor egyben sebesség is, a második derivált egyben gyorsulás is. A második derivált érintőre merőleges komponense a centripetális gyorsulás (kör középpontja felé mutató gyorsulás): | ||
+ | :<math>\mathbf{v}=\dot{\mathbf{r}}</math> érintővektor, a normálsík normálisa | ||
+ | :<math>\mathbf{a}=\ddot\mathbf{r}</math> | ||
+ | :<math>\mathbf{b}=\dot{\mathbf{r}}\times\ddot\mathbf{r}</math> binormális vektor, a '''simulósík''' normálisa | ||
+ | :<math>\mathbf{a}_{\mathrm{cp}}=\frac{\mathbf{b}\times\dot{\mathbf{r}}}{|\dot{\mathbf{r}}|^2}</math> főnormális, a rektifikáló sík normálisa | ||
+ | A simulókör sugara a centripetális gyorsulásból adódik: | ||
+ | :<math>a_{\mathrm{cp}}=\frac{v^2}{R}\,</math> | ||
+ | :<math>R=\frac{v^2}{a_{\mathrm{cp}}}=\frac{|\dot{\mathbf{r}}|^3}{|\dot{\mathbf{r}}\times\ddot\mathbf{r}|}\,</math> a görbület a sugár reciproka: <math>G=\frac{1}{R}</math> | ||
'''Feladat.''' | '''Feladat.''' |
A lap 2009. szeptember 8., 19:56-kori változata
Görbe
A G ⊆ R3 (ill. R2) halmazt götrbének nevezünk, ha van olyan I intervallum és p:I G függvény, mely ráképez G-re és differenciálható. Sokszor (pl. a komplex analízisben) megengedjük, hogy a p függvény bár folytonos legyen, de véges sok helyen ne legyen differenciálható (szakaszonként differenciálható görbe). A G görbe esetén a p függvényt paraméterezésnek is nevezzük és sokszor p helyett egy r = r(t) képlettel hivatkozunk rá. Itt a t a változó.
Egy
differenciálható paraméterezés deriváltja a sztenderd (i,j,k) bázisban azonosítható a Jacobi-mátrixával:
A derivált az érintő irányvektorával azonosítható, ha az nem nullvektor. Ha nullvektor, akkor a görbének aszerint a paraméterezés szerint nem létezik érintője, de más paraméterezés szerint mg létezhet.
A derivált szintén I R3 függvény, mely tovább deriválható, ha az r(t) maga kétszer deriválható volt, ...
A további vizsgálatok valójában nem szétválaszthatak a mechanikától. Az deriváltvektor egyben sebesség is, a második derivált egyben gyorsulás is. A második derivált érintőre merőleges komponense a centripetális gyorsulás (kör középpontja felé mutató gyorsulás):
- érintővektor, a normálsík normálisa
- binormális vektor, a simulósík normálisa
- főnormális, a rektifikáló sík normálisa
A simulókör sugara a centripetális gyorsulásból adódik:
- a görbület a sugár reciproka:
Feladat.