Matematika A3a 2009/1. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Görbe)
(Görbe)
1. sor: 1. sor:
 
==Görbe==
 
==Görbe==
  
A ''G'' &sube; '''R'''<sup>3</sup> (ill. '''R'''<sup>2</sup>) halmazt götrbének nevezünk, ha van olyan <math>I</math> intervallum és ''p'':<math>I</math> <math>\to</math> ''G'' függvény, mely ráképez ''G''-re és differenciálható. Sokszor (pl. a komplex analízisben) megengedjük, hogy a ''p'' függvény bár folytonos legyen, de véges sok helyen ne legyen differenciálható (szakaszonként differenciálható görbe). A ''G'' görbe esetén a ''p'' függvényt paraméterezésnek is nevezzük és sokszor ''p'' helyett egy '''r''' = '''r'''(''t'') képlettel hivatkozunk rá. Itt a ''t'' a változó.
+
A ''G'' &sube; '''R'''<sup>3</sup> (ill. '''R'''<sup>2</sup>) halmazt görbének nevezünk, ha van olyan <math>I</math> intervallum és ''p'':<math>I</math> <math>\to</math> ''G'' függvény, mely ráképez ''G''-re és differenciálható. Sokszor (pl. a komplex analízisben) megengedjük, hogy a ''p'' függvény bár folytonos legyen, de véges sok helyen ne legyen differenciálható (szakaszonként differenciálható görbe). A ''G'' görbe esetén a ''p'' függvényt paraméterezésnek is nevezzük és sokszor ''p'' helyett egy '''r''' = '''r'''(''t'') képlettel hivatkozunk rá. Itt a ''t'' a változó.
 +
===Implicit megadású görbe===
 +
Görbét megadhatunk a síkon egyenletével:
 +
:<math>G=\{(x,y)\mid F(x,y)=0\}\,</math>
 +
Paraméterezésre két lehetőségünk van. Az implicitfüggvény tétel és valamely addhok módszer.
 +
:Az implicitfüggvény tétel esetén alkalmas pont (a,b) közelében az egyik változót paraméternek választhatjuk, mondjuk ''x'' = ''t'', a másikat ''t''-vel való kifejezhetőségét az implicitfüggvény tétel adja: ''y'' = ''f''(''t'') és F(t,f(t))=0, így p(t)=(t,y(t)).
 +
:Az addhok módszer jellegzetes alakú F függvényekre ad alkalmas megoldásokat úgy, hogy létezzen ''p'':<math>I</math> <math>\to</math> ''G'', ''t'' <math>\mapsto</math> (''x''(''t''),''y''(''t'')) ráképezés, melyre
 +
:<math>F(x(t),y(t))=0</math>
 +
minden t-re.
 +
'''1. feladat'''
 +
Adjuk meg az
 +
x^2+4y^2=2\;
 +
egyenletű görbe paraméterezését!
  
 +
Térben a görbét két egyenlettel adhatunk meg:
 +
:<math>\Gamma=\{(x,y)\mid F(x,y,z)=0,\;G(x,y,z)=0\}\,</math>
 +
Ekkor is használható az implicitfüggény tétel, persze ezt csak kellő  körültekintéssel lehet csak alkalmazni.
 +
:Például alkalmas (a,b,c) pont közelében az egyik változó, mondjuk az x tetszőlegesnek tekinthető és a többi ezzel a tétel alapján kifejezhető: ''x'' = ''t'' és ''y'' = ''f''(''t''), ''z'' = ''g''(''t'').
 +
 +
'''2. feladat.'''
 +
Adjuk meg az
 +
:<math>z = x\;</math>
 +
:<math>x^2+y^2=4\;</math>
 +
egyenletekkel megadott görbe egy paraméterezését!
 +
 +
===Kisérő triéder===
 
Egy  
 
Egy  
 
:<math>
 
:<math>
21. sor: 45. sor:
 
:<math>R=\frac{v^2}{a_{\mathrm{cp}}}=\frac{|\dot{\mathbf{r}}|^3}{|\dot{\mathbf{r}}\times\ddot\mathbf{r}|}\,</math> a görbület a sugár reciproka: <math>G=\frac{1}{R}</math>
 
:<math>R=\frac{v^2}{a_{\mathrm{cp}}}=\frac{|\dot{\mathbf{r}}|^3}{|\dot{\mathbf{r}}\times\ddot\mathbf{r}|}\,</math> a görbület a sugár reciproka: <math>G=\frac{1}{R}</math>
  
'''Feladat.'''
+
'''2. feladat.'''

A lap 2009. szeptember 8., 19:53-kori változata

Görbe

A GR3 (ill. R2) halmazt görbének nevezünk, ha van olyan I intervallum és p:I \to G függvény, mely ráképez G-re és differenciálható. Sokszor (pl. a komplex analízisben) megengedjük, hogy a p függvény bár folytonos legyen, de véges sok helyen ne legyen differenciálható (szakaszonként differenciálható görbe). A G görbe esetén a p függvényt paraméterezésnek is nevezzük és sokszor p helyett egy r = r(t) képlettel hivatkozunk rá. Itt a t a változó.

Implicit megadású görbe

Görbét megadhatunk a síkon egyenletével:

G=\{(x,y)\mid F(x,y)=0\}\,

Paraméterezésre két lehetőségünk van. Az implicitfüggvény tétel és valamely addhok módszer.

Az implicitfüggvény tétel esetén alkalmas pont (a,b) közelében az egyik változót paraméternek választhatjuk, mondjuk x = t, a másikat t-vel való kifejezhetőségét az implicitfüggvény tétel adja: y = f(t) és F(t,f(t))=0, így p(t)=(t,y(t)).
Az addhok módszer jellegzetes alakú F függvényekre ad alkalmas megoldásokat úgy, hogy létezzen p:I \to G, t \mapsto (x(t),y(t)) ráképezés, melyre
F(x(t),y(t)) = 0

minden t-re. 1. feladat Adjuk meg az x^2+4y^2=2\; egyenletű görbe paraméterezését!

Térben a görbét két egyenlettel adhatunk meg:

\Gamma=\{(x,y)\mid F(x,y,z)=0,\;G(x,y,z)=0\}\,

Ekkor is használható az implicitfüggény tétel, persze ezt csak kellő körültekintéssel lehet csak alkalmazni.

Például alkalmas (a,b,c) pont közelében az egyik változó, mondjuk az x tetszőlegesnek tekinthető és a többi ezzel a tétel alapján kifejezhető: x = t és y = f(t), z = g(t).

2. feladat. Adjuk meg az

z = x\;
x^2+y^2=4\;

egyenletekkel megadott görbe egy paraméterezését!

Kisérő triéder

Egy


\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)

differenciálható paraméterezés deriváltja a sztenderd (i,j,k) bázisban azonosítható a Jacobi-mátrixával:

[\mathrm{d}\mathbf{r}(t)]=\mathrm{J}^{\mathbf{r}}(t)=\begin{bmatrix}\dot{x}(t)\\\dot{y}(t)\\\dot{z}(t) \end{bmatrix}=\dot{\mathbf{r}}(t)

A derivált az érintő irányvektorával azonosítható, ha az nem nullvektor. Ha nullvektor, akkor a görbének aszerint a paraméterezés szerint nem létezik érintője, de más paraméterezés szerint mg létezhet.

A derivált szintén I \to R3 függvény, mely tovább deriválható, ha az r(t) maga kétszer deriválható volt, ...

A további vizsgálatok valójában nem szétválaszthatak a mechanikától. Az deriváltvektor egyben sebesség is, a második derivált egyben gyorsulás is. A második derivált érintőre merőleges komponense a centripetális gyorsulás (kör középpontja felé mutató gyorsulás):

\mathbf{v}=\dot{\mathbf{r}} érintővektor, a normálsík normálisa
\mathbf{a}=\ddot\mathbf{r}
\mathbf{b}=\dot{\mathbf{r}}\times\ddot\mathbf{r} binormális vektor, a simulósík normálisa
\mathbf{a}_{\mathrm{cp}}=\frac{\mathbf{b}\times\dot{\mathbf{r}}}{|\dot{\mathbf{r}}|^2} főnormális, a rektifikáló sík normálisa

A simulókör sugara a centripetális gyorsulásból adódik:

a_{\mathrm{cp}}=\frac{v^2}{R}\,
R=\frac{v^2}{a_{\mathrm{cp}}}=\frac{|\dot{\mathbf{r}}|^3}{|\dot{\mathbf{r}}\times\ddot\mathbf{r}|}\, a görbület a sugár reciproka: G=\frac{1}{R}

2. feladat.

Személyes eszközök