Matematika A3a 2009/1. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Görbe) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Görbe) |
||
1. sor: | 1. sor: | ||
==Görbe== | ==Görbe== | ||
− | A ''G'' ⊆ '''R'''<sup>3</sup> (ill. '''R'''<sup>2</sup>) halmazt | + | A ''G'' ⊆ '''R'''<sup>3</sup> (ill. '''R'''<sup>2</sup>) halmazt görbének nevezünk, ha van olyan <math>I</math> intervallum és ''p'':<math>I</math> <math>\to</math> ''G'' függvény, mely ráképez ''G''-re és differenciálható. Sokszor (pl. a komplex analízisben) megengedjük, hogy a ''p'' függvény bár folytonos legyen, de véges sok helyen ne legyen differenciálható (szakaszonként differenciálható görbe). A ''G'' görbe esetén a ''p'' függvényt paraméterezésnek is nevezzük és sokszor ''p'' helyett egy '''r''' = '''r'''(''t'') képlettel hivatkozunk rá. Itt a ''t'' a változó. |
+ | ===Implicit megadású görbe=== | ||
+ | Görbét megadhatunk a síkon egyenletével: | ||
+ | :<math>G=\{(x,y)\mid F(x,y)=0\}\,</math> | ||
+ | Paraméterezésre két lehetőségünk van. Az implicitfüggvény tétel és valamely addhok módszer. | ||
+ | :Az implicitfüggvény tétel esetén alkalmas pont (a,b) közelében az egyik változót paraméternek választhatjuk, mondjuk ''x'' = ''t'', a másikat ''t''-vel való kifejezhetőségét az implicitfüggvény tétel adja: ''y'' = ''f''(''t'') és F(t,f(t))=0, így p(t)=(t,y(t)). | ||
+ | :Az addhok módszer jellegzetes alakú F függvényekre ad alkalmas megoldásokat úgy, hogy létezzen ''p'':<math>I</math> <math>\to</math> ''G'', ''t'' <math>\mapsto</math> (''x''(''t''),''y''(''t'')) ráképezés, melyre | ||
+ | :<math>F(x(t),y(t))=0</math> | ||
+ | minden t-re. | ||
+ | '''1. feladat''' | ||
+ | Adjuk meg az | ||
+ | x^2+4y^2=2\; | ||
+ | egyenletű görbe paraméterezését! | ||
+ | Térben a görbét két egyenlettel adhatunk meg: | ||
+ | :<math>\Gamma=\{(x,y)\mid F(x,y,z)=0,\;G(x,y,z)=0\}\,</math> | ||
+ | Ekkor is használható az implicitfüggény tétel, persze ezt csak kellő körültekintéssel lehet csak alkalmazni. | ||
+ | :Például alkalmas (a,b,c) pont közelében az egyik változó, mondjuk az x tetszőlegesnek tekinthető és a többi ezzel a tétel alapján kifejezhető: ''x'' = ''t'' és ''y'' = ''f''(''t''), ''z'' = ''g''(''t''). | ||
+ | |||
+ | '''2. feladat.''' | ||
+ | Adjuk meg az | ||
+ | :<math>z = x\;</math> | ||
+ | :<math>x^2+y^2=4\;</math> | ||
+ | egyenletekkel megadott görbe egy paraméterezését! | ||
+ | |||
+ | ===Kisérő triéder=== | ||
Egy | Egy | ||
:<math> | :<math> | ||
21. sor: | 45. sor: | ||
:<math>R=\frac{v^2}{a_{\mathrm{cp}}}=\frac{|\dot{\mathbf{r}}|^3}{|\dot{\mathbf{r}}\times\ddot\mathbf{r}|}\,</math> a görbület a sugár reciproka: <math>G=\frac{1}{R}</math> | :<math>R=\frac{v^2}{a_{\mathrm{cp}}}=\frac{|\dot{\mathbf{r}}|^3}{|\dot{\mathbf{r}}\times\ddot\mathbf{r}|}\,</math> a görbület a sugár reciproka: <math>G=\frac{1}{R}</math> | ||
− | ''' | + | '''2. feladat.''' |
A lap 2009. szeptember 8., 19:53-kori változata
Görbe
A G ⊆ R3 (ill. R2) halmazt görbének nevezünk, ha van olyan I intervallum és p:I G függvény, mely ráképez G-re és differenciálható. Sokszor (pl. a komplex analízisben) megengedjük, hogy a p függvény bár folytonos legyen, de véges sok helyen ne legyen differenciálható (szakaszonként differenciálható görbe). A G görbe esetén a p függvényt paraméterezésnek is nevezzük és sokszor p helyett egy r = r(t) képlettel hivatkozunk rá. Itt a t a változó.
Implicit megadású görbe
Görbét megadhatunk a síkon egyenletével:
Paraméterezésre két lehetőségünk van. Az implicitfüggvény tétel és valamely addhok módszer.
- Az implicitfüggvény tétel esetén alkalmas pont (a,b) közelében az egyik változót paraméternek választhatjuk, mondjuk x = t, a másikat t-vel való kifejezhetőségét az implicitfüggvény tétel adja: y = f(t) és F(t,f(t))=0, így p(t)=(t,y(t)).
- Az addhok módszer jellegzetes alakú F függvényekre ad alkalmas megoldásokat úgy, hogy létezzen p:I G, t (x(t),y(t)) ráképezés, melyre
- F(x(t),y(t)) = 0
minden t-re. 1. feladat Adjuk meg az x^2+4y^2=2\; egyenletű görbe paraméterezését!
Térben a görbét két egyenlettel adhatunk meg:
Ekkor is használható az implicitfüggény tétel, persze ezt csak kellő körültekintéssel lehet csak alkalmazni.
- Például alkalmas (a,b,c) pont közelében az egyik változó, mondjuk az x tetszőlegesnek tekinthető és a többi ezzel a tétel alapján kifejezhető: x = t és y = f(t), z = g(t).
2. feladat. Adjuk meg az
egyenletekkel megadott görbe egy paraméterezését!
Kisérő triéder
Egy
differenciálható paraméterezés deriváltja a sztenderd (i,j,k) bázisban azonosítható a Jacobi-mátrixával:
A derivált az érintő irányvektorával azonosítható, ha az nem nullvektor. Ha nullvektor, akkor a görbének aszerint a paraméterezés szerint nem létezik érintője, de más paraméterezés szerint mg létezhet.
A derivált szintén I R3 függvény, mely tovább deriválható, ha az r(t) maga kétszer deriválható volt, ...
A további vizsgálatok valójában nem szétválaszthatak a mechanikától. Az deriváltvektor egyben sebesség is, a második derivált egyben gyorsulás is. A második derivált érintőre merőleges komponense a centripetális gyorsulás (kör középpontja felé mutató gyorsulás):
- érintővektor, a normálsík normálisa
- binormális vektor, a simulósík normálisa
- főnormális, a rektifikáló sík normálisa
A simulókör sugara a centripetális gyorsulásból adódik:
- a görbület a sugár reciproka:
2. feladat.