Matematika A3a 2009/1. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Implicit megadású görbe) |
||
15. sor: | 15. sor: | ||
Adjuk meg az | Adjuk meg az | ||
<math>x^2+4y^2=2\;</math> | <math>x^2+4y^2=2\;</math> | ||
− | egyenletű görbe paraméterezését! | + | egyenletű görbe néhány paraméterezését! |
+ | |||
+ | :''Mo.'' A cos<sup>2</sup>''t'' + sin<sup>2</sup>''t'' = 1 azonosságot kell módosítani alkalmas módon. | ||
+ | ::<math>x=\sqrt{2}\,\cos t</math> | ||
+ | ::<math>y=\frac{\sqrt{2}}{2}\sin t</math> | ||
+ | Egy másik szakaszonként értelmezett paraméterezéshez jutunk, ha az implicitfüggvény tétel szellemében kifejezzük az egyik változót: | ||
+ | ::<math>x=t\,</math>, t\in[-2] | ||
+ | ::<math>y=\pm\frac{1}{2}\sqrt{2-t^2}</math> | ||
Térben a görbét két egyenlettel adhatunk meg: | Térben a görbét két egyenlettel adhatunk meg: | ||
27. sor: | 34. sor: | ||
:<math>x^2+y^2=4\;</math> | :<math>x^2+y^2=4\;</math> | ||
egyenletekkel megadott első térnyolcadba eső görbe egy paraméterezését! | egyenletekkel megadott első térnyolcadba eső görbe egy paraméterezését! | ||
+ | |||
+ | Célszerű az ''x'' = 2 sin ''t'' helyettesítéssel próbálkozni. Ekkor ''y'' = 2 cos ''t'' és ''z'' = ''t''. | ||
===Kisérő triéder=== | ===Kisérő triéder=== |
A lap 2009. szeptember 9., 08:30-kori változata
Görbe
A G ⊆ R3 (ill. R2) halmazt görbének nevezünk, ha van olyan I intervallum és p:I G függvény, mely ráképez G-re és differenciálható. Sokszor (pl. a komplex analízisben) megengedjük, hogy a p függvény bár folytonos legyen, de véges sok helyen ne legyen differenciálható (szakaszonként differenciálható görbe). A G görbe esetén a p függvényt paraméterezésnek is nevezzük és sokszor p helyett egy r = r(t) képlettel hivatkozunk rá. Itt a t a változó.
Implicit megadású görbe
Görbét megadhatunk a síkon egyenletével:
Paraméterezésre két lehetőségünk van. Az implicitfüggvény tétel és valamely addhok módszer.
- Az implicitfüggvény tétel esetén alkalmas pont (a,b) közelében az egyik változót paraméternek választhatjuk, mondjuk x = t, a másikat t-vel való kifejezhetőségét az implicitfüggvény tétel adja: y = f(t) és F(t,f(t))=0, így p(t)=(t,y(t)).
- Az addhok módszer jellegzetes alakú F függvényekre ad alkalmas megoldásokat úgy, hogy létezzen p:I G, t (x(t),y(t)) ráképezés, melyre
- F(x(t),y(t)) = 0
minden t-re.
1. feladat Adjuk meg az egyenletű görbe néhány paraméterezését!
- Mo. A cos2t + sin2t = 1 azonosságot kell módosítani alkalmas módon.
Egy másik szakaszonként értelmezett paraméterezéshez jutunk, ha az implicitfüggvény tétel szellemében kifejezzük az egyik változót:
- , t\in[-2]
Térben a görbét két egyenlettel adhatunk meg:
Ekkor is használható az implicitfüggény tétel, persze ezt csak kellő körültekintéssel lehet csak alkalmazni.
- Például alkalmas (a,b,c) pont közelében az egyik változó, mondjuk az x tetszőlegesnek tekinthető és a többi ezzel a tétel alapján kifejezhető: x = t és y = f(t), z = g(t).
2. feladat. Adjuk meg az
egyenletekkel megadott első térnyolcadba eső görbe egy paraméterezését!
Célszerű az x = 2 sin t helyettesítéssel próbálkozni. Ekkor y = 2 cos t és z = t.
Kisérő triéder
Egy
differenciálható paraméterezés deriváltja a sztenderd (i,j,k) bázisban azonosítható a Jacobi-mátrixával:
A derivált az érintő irányvektorával azonosítható, ha az nem nullvektor. Ha nullvektor, akkor a görbének aszerint a paraméterezés szerint nem létezik érintője, de más paraméterezés szerint mg létezhet.
A derivált szintén I R3 függvény, mely tovább deriválható, ha az r(t) maga kétszer deriválható volt, ...
A további vizsgálatok valójában nem szétválaszthatak a mechanikától. Az deriváltvektor egyben sebesség is, a második derivált egyben gyorsulás is. A második derivált érintőre merőleges komponense a centripetális gyorsulás (kör középpontja felé mutató gyorsulás):
- érintővektor, a normálsík normálisa
- binormális vektor, a simulósík normálisa
- főnormális, a rektifikáló sík normálisa
A simulókör sugara a centripetális gyorsulásból adódik:
- a görbület a sugár reciproka:
2. feladat.