Matematika A3a 2009/1. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Kisérő triéder) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Implicit megadású görbe) |
||
4. sor: | 4. sor: | ||
A ''G'' ⊆ '''R'''<sup>3</sup> (ill. '''R'''<sup>2</sup>) halmazt görbének nevezünk, ha van olyan <math>I</math> intervallum és ''p'':<math>I</math> <math>\to</math> ''G'' függvény, mely ráképez ''G''-re és differenciálható. Sokszor (pl. a komplex analízisben) megengedjük, hogy a ''p'' függvény bár folytonos legyen, de véges sok helyen ne legyen differenciálható (szakaszonként differenciálható görbe). A ''G'' görbe esetén a ''p'' függvényt paraméterezésnek is nevezzük és sokszor ''p'' helyett egy '''r''' = '''r'''(''t'') képlettel hivatkozunk rá. Itt a ''t'' a változó. | A ''G'' ⊆ '''R'''<sup>3</sup> (ill. '''R'''<sup>2</sup>) halmazt görbének nevezünk, ha van olyan <math>I</math> intervallum és ''p'':<math>I</math> <math>\to</math> ''G'' függvény, mely ráképez ''G''-re és differenciálható. Sokszor (pl. a komplex analízisben) megengedjük, hogy a ''p'' függvény bár folytonos legyen, de véges sok helyen ne legyen differenciálható (szakaszonként differenciálható görbe). A ''G'' görbe esetén a ''p'' függvényt paraméterezésnek is nevezzük és sokszor ''p'' helyett egy '''r''' = '''r'''(''t'') képlettel hivatkozunk rá. Itt a ''t'' a változó. | ||
===Implicit megadású görbe=== | ===Implicit megadású görbe=== | ||
+ | ====Síkgörbe==== | ||
Görbét megadhatunk a síkon egyenletével: | Görbét megadhatunk a síkon egyenletével: | ||
:<math>G=\{(x,y)\mid F(x,y)=0\}\,</math> | :<math>G=\{(x,y)\mid F(x,y)=0\}\,</math> | ||
11. sor: | 12. sor: | ||
:<math>F(x(t),y(t))=0</math> | :<math>F(x(t),y(t))=0</math> | ||
minden t-re. | minden t-re. | ||
− | |||
− | |||
'''1. feladat''' | '''1. feladat''' |
A lap 2009. szeptember 10., 09:01-kori változata
Tartalomjegyzék |
Görbe
A G ⊆ R3 (ill. R2) halmazt görbének nevezünk, ha van olyan I intervallum és p:I G függvény, mely ráképez G-re és differenciálható. Sokszor (pl. a komplex analízisben) megengedjük, hogy a p függvény bár folytonos legyen, de véges sok helyen ne legyen differenciálható (szakaszonként differenciálható görbe). A G görbe esetén a p függvényt paraméterezésnek is nevezzük és sokszor p helyett egy r = r(t) képlettel hivatkozunk rá. Itt a t a változó.
Implicit megadású görbe
Síkgörbe
Görbét megadhatunk a síkon egyenletével:
Paraméterezésre két lehetőségünk van. Az implicitfüggvény tétel és valamely addhok módszer.
- Az implicitfüggvény tétel esetén alkalmas pont (a,b) közelében az egyik változót paraméternek választhatjuk, mondjuk x = t, a másikat t-vel való kifejezhetőségét az implicitfüggvény tétel adja: y = f(t) és F(t,f(t))=0, így p(t)=(t,y(t)).
- Az addhok módszer jellegzetes alakú F függvényekre ad alkalmas megoldásokat úgy, hogy létezzen p:I G, t (x(t),y(t)) ráképezés, melyre
- F(x(t),y(t)) = 0
minden t-re.
1. feladat Adjuk meg az egyenletű görbe néhány paraméterezését!
- Mo. "Polárkoordináták" A cos2t + sin2t = 1 azonosságot kell módosítani alkalmas módon.
"Explicit" Egy másik szakaszonként értelmezett paraméterezéshez jutunk, ha az implicitfüggvény tétel szellemében kifejezzük az egyik változót:
- ,
2. feladat Adjuk meg az egyenletű görbe ívhossz-paraméterezését!
- Mo. Kör esetén a t polárkoordinátából úgy lesz s ívhossz, hogy beszorozzuk a kör sugarával: s = 2t. Ekkor
Térgörbe
Térben a görbét két egyenlettel adhatunk meg:
Ekkor is használható az implicitfüggény tétel, persze ezt csak kellő körültekintéssel lehet csak alkalmazni.
- Például alkalmas (a,b,c) pont közelében az egyik változó, mondjuk az x tetszőlegesnek tekinthető és a többi ezzel a tétel alapján kifejezhető: x = t és y = f(t), z = g(t).
3. feladat. Adjuk meg az
egyenletekkel megadott első térnyolcadba eső görbe egy paraméterezését!
Célszerű az x = 2 sin t helyettesítéssel próbálkozni. Ekkor y = 2 cos t és z = t.
Kisérő triéder
Egy
differenciálható paraméterezés deriváltja a sztenderd (i,j,k) bázisban azonosítható a Jacobi-mátrixával:
A derivált az érintő irányvektorával azonosítható, ha az nem nullvektor. Ha nullvektor, akkor a görbének aszerint a paraméterezés szerint nem létezik érintője, de más paraméterezés szerint mg létezhet.
A derivált szintén I R3 függvény, mely tovább deriválható, ha az r(t) maga kétszer deriválható volt, ...
A további vizsgálatok valójában nem szétválaszthatak a mechanikától. Az deriváltvektor egyben sebesség is, a második derivált egyben gyorsulás is. A második derivált érintőre merőleges komponense a centripetális gyorsulás (kör középpontja felé mutató gyorsulás):
- érintővektor, a normálsík normálisa
- binormális vektor, a simulósík normálisa
- főnormális, a rektifikáló sík normálisa
A simulókör sugara a centripetális gyorsulásból adódik:
- a görbület a sugár reciproka:
4. feladat.