Matematika A3a 2009/1. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Explicit megadású görbe, kisérő triéder) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Görbe) |
||
77. sor: | 77. sor: | ||
végül a főnormális: | végül a főnormális: | ||
:<math>\mathbf{n}=\begin{bmatrix}0\\2\\2\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}2t\\1\\-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4\\2t\\-4t\end{bmatrix}</math> | :<math>\mathbf{n}=\begin{bmatrix}0\\2\\2\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}2t\\1\\-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4\\2t\\-4t\end{bmatrix}</math> | ||
+ | ===Ívhossz=== | ||
+ | |||
+ | Görbe ívhossza az ívhossz integrálok egy speciális típusa. | ||
+ | |||
+ | :ívhossz: <math>L=\int\limits_{G}|\mathrm{d}\mathbf{r}|</math> | ||
+ | :''f''('''r''') pontonként számértékű függvény integrálja: <math>I=\int\limits_{G}f(\mathbf{r})\,|\mathrm{d}\mathbf{r}|</math> | ||
+ | |||
+ | Kiszámítása (ha a G görbe egy paraméterezésének kezdő és végpontja <math>t_1</math> és <math>t_2</math>) | ||
+ | :<math>L=\int\limits_{G}|\mathrm{d}\mathbf{r}|=\int\limits_{t=t_1}^{t_2}|\dot\mathbf{r}(t)|\,\mathrm{d}t</math> | ||
+ | |||
+ | '''5. feladat''' Számítsuk ki a 3. feldatbeli görbe ívhosszát! | ||
+ | |||
+ | ''Mo.'' (Paraméterezássel) Paraméterezése: | ||
+ | :<math>\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix}2\sin t\\2 \cos t\\ t \end{bmatrix}</math> ahol <math>t\in[0,\pi/2]</math>, <math>\dot\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix}2\cos t\\-2 \sin t\\ 1 \end{bmatrix}</math> | ||
+ | :<math>|\dot\mathbf{r}(t)|=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}</math> | ||
+ | :<math>\int\limits_{t=0}^{\pi/2}|\dot\mathbf{r}(t)|\,\mathrm{d}t =\frac{5\pi}{2} | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | (Szimmetriákkal) A '''d''r elemi érintővektor mindenhol 1 iránytangensű szögben hajlik az [xy] síkhoz, erre eső vetülete pedig mindig ugyanakkora. A ívhossz tehát egy derékszögű háromszög átfogója. |
A lap 2009. szeptember 10., 09:44-kori változata
Tartalomjegyzék |
Görbe
A G ⊆ R3 (ill. R2) halmazt görbének nevezünk, ha van olyan I intervallum és p:I G függvény, mely ráképez G-re és differenciálható. Sokszor (pl. a komplex analízisben) megengedjük, hogy a p függvény bár folytonos legyen, de véges sok helyen ne legyen differenciálható (szakaszonként differenciálható görbe). A G görbe esetén a p függvényt paraméterezésnek is nevezzük és sokszor p helyett egy r = r(t) képlettel hivatkozunk rá. Itt a t a változó.
Implicit megadású görbe
Síkgörbe
Görbét megadhatunk a síkon egyenletével:
Paraméterezésre két lehetőségünk van. Az implicitfüggvény tétel és valamely addhok módszer.
- Az implicitfüggvény tétel esetén alkalmas pont (a,b) közelében az egyik változót paraméternek választhatjuk, mondjuk x = t, a másikat t-vel való kifejezhetőségét az implicitfüggvény tétel adja: y = f(t) és F(t,f(t))=0, így p(t)=(t,y(t)).
- Az addhok módszer jellegzetes alakú F függvényekre ad alkalmas megoldásokat úgy, hogy létezzen p:I G, t (x(t),y(t)) ráképezés, melyre
- F(x(t),y(t)) = 0
minden t-re.
1. feladat Adjuk meg az egyenletű görbe néhány paraméterezését!
- Mo. "Polárkoordináták" A cos2t + sin2t = 1 azonosságot kell módosítani alkalmas módon.
"Explicit" Egy másik szakaszonként értelmezett paraméterezéshez jutunk, ha az implicitfüggvény tétel szellemében kifejezzük az egyik változót:
- ,
2. feladat Adjuk meg az egyenletű görbe ívhossz-paraméterezését!
- Mo. Kör esetén a t polárkoordinátából úgy lesz s ívhossz, hogy beszorozzuk a kör sugarával: s = 2t. Ekkor
Térgörbe
Térben a görbét két egyenlettel adhatunk meg:
Ekkor is használható az implicitfüggény tétel, persze ezt csak kellő körültekintéssel lehet csak alkalmazni.
- Például alkalmas (a,b,c) pont közelében az egyik változó, mondjuk az x tetszőlegesnek tekinthető és a többi ezzel a tétel alapján kifejezhető: x = t és y = f(t), z = g(t).
3. feladat. Adjuk meg az
egyenletekkel megadott első térnyolcadba eső görbe egy paraméterezését!
Célszerű az x = 2 sin t helyettesítéssel próbálkozni. Ekkor y = 2 cos t és z = t.
Explicit megadású görbe, kisérő triéder
Egy
differenciálható paraméterezés deriváltja a sztenderd (i,j,k) bázisban azonosítható a Jacobi-mátrixával:
A derivált az érintő irányvektorával azonosítható, ha az nem nullvektor. Ha nullvektor, akkor a görbének aszerint a paraméterezés szerint nem létezik érintője, de más paraméterezés szerint mg létezhet.
A derivált szintén I R3 függvény, mely tovább deriválható, ha az r(t) maga kétszer deriválható volt, ...
A további vizsgálatok valójában nem szétválaszthatak a mechanikától. Az deriváltvektor egyben sebesség is, a második derivált egyben gyorsulás is. A második derivált érintőre merőleges komponense a centripetális gyorsulás (kör középpontja felé mutató gyorsulás):
- érintővektor, a normálsík normálisa
- binormális vektor, a simulósík normálisa
- főnormális, a rektifikáló sík normálisa
A simulókör sugara a centripetális gyorsulásból adódik:
- a görbület a sugár reciproka:
4. feladat. Adjuk meg az
görbe kísérő triéderét a t=1 paraméterértékhez tartozó helyen!
Mo.
- , ,
végül a főnormális:
Ívhossz
Görbe ívhossza az ívhossz integrálok egy speciális típusa.
- ívhossz:
- f(r) pontonként számértékű függvény integrálja:
Kiszámítása (ha a G görbe egy paraméterezésének kezdő és végpontja t1 és t2)
5. feladat Számítsuk ki a 3. feldatbeli görbe ívhosszát!
Mo. (Paraméterezássel) Paraméterezése:
- ahol ,
(Szimmetriákkal) A 'dr elemi érintővektor mindenhol 1 iránytangensű szögben hajlik az [xy] síkhoz, erre eső vetülete pedig mindig ugyanakkora. A ívhossz tehát egy derékszögű háromszög átfogója.