Matematika A3a 2009/1. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Explicit megadású görbe, kisérő triéder)
(Görbe)
77. sor: 77. sor:
 
végül a főnormális:  
 
végül a főnormális:  
 
:<math>\mathbf{n}=\begin{bmatrix}0\\2\\2\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}2t\\1\\-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4\\2t\\-4t\end{bmatrix}</math>
 
:<math>\mathbf{n}=\begin{bmatrix}0\\2\\2\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}2t\\1\\-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4\\2t\\-4t\end{bmatrix}</math>
 +
===Ívhossz===
 +
 +
Görbe ívhossza az ívhossz integrálok egy speciális típusa.
 +
 +
:ívhossz: <math>L=\int\limits_{G}|\mathrm{d}\mathbf{r}|</math>
 +
:''f''('''r''') pontonként számértékű függvény integrálja: <math>I=\int\limits_{G}f(\mathbf{r})\,|\mathrm{d}\mathbf{r}|</math>
 +
 +
Kiszámítása (ha a G görbe egy paraméterezésének kezdő és végpontja <math>t_1</math> és <math>t_2</math>)
 +
:<math>L=\int\limits_{G}|\mathrm{d}\mathbf{r}|=\int\limits_{t=t_1}^{t_2}|\dot\mathbf{r}(t)|\,\mathrm{d}t</math>
 +
 +
'''5. feladat''' Számítsuk ki a 3. feldatbeli görbe ívhosszát!
 +
 +
''Mo.'' (Paraméterezássel) Paraméterezése:
 +
:<math>\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix}2\sin t\\2 \cos t\\ t \end{bmatrix}</math> ahol <math>t\in[0,\pi/2]</math>, <math>\dot\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix}2\cos t\\-2 \sin t\\ 1 \end{bmatrix}</math>
 +
:<math>|\dot\mathbf{r}(t)|=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}</math>
 +
:<math>\int\limits_{t=0}^{\pi/2}|\dot\mathbf{r}(t)|\,\mathrm{d}t =\frac{5\pi}{2}
 +
</math>
 +
 +
(Szimmetriákkal) A '''d''r elemi érintővektor mindenhol 1 iránytangensű szögben hajlik az [xy] síkhoz, erre eső vetülete pedig mindig ugyanakkora. A ívhossz tehát egy derékszögű háromszög átfogója.

A lap 2009. szeptember 10., 09:44-kori változata

Matematika A3a 2009

Tartalomjegyzék

Görbe

A GR3 (ill. R2) halmazt görbének nevezünk, ha van olyan I intervallum és p:I \to G függvény, mely ráképez G-re és differenciálható. Sokszor (pl. a komplex analízisben) megengedjük, hogy a p függvény bár folytonos legyen, de véges sok helyen ne legyen differenciálható (szakaszonként differenciálható görbe). A G görbe esetén a p függvényt paraméterezésnek is nevezzük és sokszor p helyett egy r = r(t) képlettel hivatkozunk rá. Itt a t a változó.

Implicit megadású görbe

Síkgörbe

Görbét megadhatunk a síkon egyenletével:

G=\{(x,y)\mid F(x,y)=0\}\,

Paraméterezésre két lehetőségünk van. Az implicitfüggvény tétel és valamely addhok módszer.

Az implicitfüggvény tétel esetén alkalmas pont (a,b) közelében az egyik változót paraméternek választhatjuk, mondjuk x = t, a másikat t-vel való kifejezhetőségét az implicitfüggvény tétel adja: y = f(t) és F(t,f(t))=0, így p(t)=(t,y(t)).
Az addhok módszer jellegzetes alakú F függvényekre ad alkalmas megoldásokat úgy, hogy létezzen p:I \to G, t \mapsto (x(t),y(t)) ráképezés, melyre
F(x(t),y(t)) = 0

minden t-re.

1. feladat Adjuk meg az x^2+4y^2=2\; egyenletű görbe néhány paraméterezését!

Mo. "Polárkoordináták" A cos2t + sin2t = 1 azonosságot kell módosítani alkalmas módon.
x=\sqrt{2}\,\cos t
y=\frac{\sqrt{2}}{2}\sin t

"Explicit" Egy másik szakaszonként értelmezett paraméterezéshez jutunk, ha az implicitfüggvény tétel szellemében kifejezzük az egyik változót:

x=t\,, t\in[-\sqrt{2},+\sqrt{2}]
y=\pm\frac{1}{2}\sqrt{2-t^2}

2. feladat Adjuk meg az x^2+y^2=4\; egyenletű görbe ívhossz-paraméterezését!

Mo. Kör esetén a t polárkoordinátából úgy lesz s ívhossz, hogy beszorozzuk a kör sugarával: s = 2t. Ekkor
x=2\cos \frac{s}{2}
y=2\sin \frac{s}{2}

Térgörbe

Térben a görbét két egyenlettel adhatunk meg:

\Gamma=\{(x,y)\mid F(x,y,z)=0,\;G(x,y,z)=0\}\,

Ekkor is használható az implicitfüggény tétel, persze ezt csak kellő körültekintéssel lehet csak alkalmazni.

Például alkalmas (a,b,c) pont közelében az egyik változó, mondjuk az x tetszőlegesnek tekinthető és a többi ezzel a tétel alapján kifejezhető: x = t és y = f(t), z = g(t).

3. feladat. Adjuk meg az

z = \mathrm{arcsin}\,\frac{x}{2}\;
x^2+y^2=4\;

egyenletekkel megadott első térnyolcadba eső görbe egy paraméterezését!

Célszerű az x = 2 sin t helyettesítéssel próbálkozni. Ekkor y = 2 cos t és z = t.

Explicit megadású görbe, kisérő triéder

Egy


\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)

differenciálható paraméterezés deriváltja a sztenderd (i,j,k) bázisban azonosítható a Jacobi-mátrixával:

[\mathrm{d}\mathbf{r}(t)]=\mathrm{J}^{\mathbf{r}}(t)=\begin{bmatrix}\dot{x}(t)\\\dot{y}(t)\\\dot{z}(t) \end{bmatrix}=\dot{\mathbf{r}}(t)

A derivált az érintő irányvektorával azonosítható, ha az nem nullvektor. Ha nullvektor, akkor a görbének aszerint a paraméterezés szerint nem létezik érintője, de más paraméterezés szerint mg létezhet.

A derivált szintén I \to R3 függvény, mely tovább deriválható, ha az r(t) maga kétszer deriválható volt, ...

A további vizsgálatok valójában nem szétválaszthatak a mechanikától. Az deriváltvektor egyben sebesség is, a második derivált egyben gyorsulás is. A második derivált érintőre merőleges komponense a centripetális gyorsulás (kör középpontja felé mutató gyorsulás):

\mathbf{v}=\dot{\mathbf{r}} érintővektor, a normálsík normálisa
\mathbf{a}=\ddot\mathbf{r}
\mathbf{b}=\dot{\mathbf{r}}\times\ddot\mathbf{r} binormális vektor, a simulósík normálisa
\mathbf{a}_{\mathrm{cp}}=\frac{\mathbf{b}\times\dot{\mathbf{r}}}{|\dot{\mathbf{r}}|^2} főnormális, a rektifikáló sík normálisa

A simulókör sugara a centripetális gyorsulásból adódik:

a_{\mathrm{cp}}=\frac{v^2}{R}\,
R=\frac{v^2}{a_{\mathrm{cp}}}=\frac{|\dot{\mathbf{r}}|^3}{|\dot{\mathbf{r}}\times\ddot\mathbf{r}|}\, a görbület a sugár reciproka: G=\frac{1}{R}

4. feladat. Adjuk meg az

[\mathbf{r}(t)]=\begin{bmatrix}t^2-1\\t\\3-t\end{bmatrix}
(\mathbf{r}(t)=(t^2-1)\mathbf{i}+t\mathbf{j}+(3-t)\mathbf{k})

görbe kísérő triéderét a t=1 paraméterértékhez tartozó helyen!

Mo.

\dot{\mathbf{r}}(t)=\begin{bmatrix}2t\\1\\-1\end{bmatrix}, \ddot{\mathbf{r}}(t)=\begin{bmatrix}2\\0\\0\end{bmatrix}, \mathbf{b}=\begin{bmatrix}2t\\1\\-1\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}2\\0\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\2\\2\end{bmatrix}

végül a főnormális:

\mathbf{n}=\begin{bmatrix}0\\2\\2\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}2t\\1\\-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4\\2t\\-4t\end{bmatrix}

Ívhossz

Görbe ívhossza az ívhossz integrálok egy speciális típusa.

ívhossz: L=\int\limits_{G}|\mathrm{d}\mathbf{r}|
f(r) pontonként számértékű függvény integrálja: I=\int\limits_{G}f(\mathbf{r})\,|\mathrm{d}\mathbf{r}|

Kiszámítása (ha a G görbe egy paraméterezésének kezdő és végpontja t1 és t2)

L=\int\limits_{G}|\mathrm{d}\mathbf{r}|=\int\limits_{t=t_1}^{t_2}|\dot\mathbf{r}(t)|\,\mathrm{d}t

5. feladat Számítsuk ki a 3. feldatbeli görbe ívhosszát!

Mo. (Paraméterezássel) Paraméterezése:

\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix}2\sin t\\2 \cos t\\ t \end{bmatrix} ahol t\in[0,\pi/2], \dot\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix}2\cos t\\-2 \sin t\\ 1 \end{bmatrix}
|\dot\mathbf{r}(t)|=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}
\int\limits_{t=0}^{\pi/2}|\dot\mathbf{r}(t)|\,\mathrm{d}t =\frac{5\pi}{2}

(Szimmetriákkal) A 'dr elemi érintővektor mindenhol 1 iránytangensű szögben hajlik az [xy] síkhoz, erre eső vetülete pedig mindig ugyanakkora. A ívhossz tehát egy derékszögű háromszög átfogója.

Személyes eszközök