Matematika A3a 2009/1. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Explicit megadású görbe, kisérő triéder)
(Explicit megadású görbe, kisérő triéder)
 
(egy szerkesztő 2 közbeeső változata nincs mutatva)
76. sor: 76. sor:
 
:<math>\dot{\mathbf{r}}(t)=\begin{bmatrix}2t\\1\\-1\end{bmatrix}</math>, <math>\ddot{\mathbf{r}}(t)=\begin{bmatrix}2\\0\\0\end{bmatrix}</math>, <math>\mathbf{b}=\begin{bmatrix}2t\\1\\-1\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}2\\0\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\2\\2\end{bmatrix}</math>
 
:<math>\dot{\mathbf{r}}(t)=\begin{bmatrix}2t\\1\\-1\end{bmatrix}</math>, <math>\ddot{\mathbf{r}}(t)=\begin{bmatrix}2\\0\\0\end{bmatrix}</math>, <math>\mathbf{b}=\begin{bmatrix}2t\\1\\-1\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}2\\0\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\2\\2\end{bmatrix}</math>
 
végül a főnormális:  
 
végül a főnormális:  
:<math>\mathbf{n}=\begin{bmatrix}0\\2\\2\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}2t\\1\\-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4\\-4t\\-4t\end{bmatrix}</math>
+
:<math>\mathbf{n}=\begin{bmatrix}0\\2\\2\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}2t\\1\\-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4\\-4t\\4t\end{bmatrix}</math>
  
:<math>2t+2-4=0\,</math>, <math>t=1\,</math>
+
Az érintő párhuzamosságának feltétele, hogy a sík normálvektorára '''r'''(t) deriváltja merőleges legyen
 +
 
 +
:<math>1\cdot 2t+1\cdot 2+4\cdot(-1)=0\,</math>, <math>t=1\,</math>
  
 
===Ívhossz===
 
===Ívhossz===

A lap jelenlegi, 2009. október 19., 21:16-kori változata

Matematika A3a 2009

Tartalomjegyzék

Görbe

A GR3 (ill. R2) halmazt görbének nevezünk, ha van olyan I intervallum és p:I \to G függvény, mely ráképez G-re és differenciálható. Sokszor (pl. a komplex analízisben) megengedjük, hogy a p függvény bár folytonos legyen, de véges sok helyen ne legyen differenciálható (szakaszonként differenciálható görbe). A G görbe esetén a p függvényt paraméterezésnek is nevezzük és sokszor p helyett egy r = r(t) képlettel hivatkozunk rá. Itt a t a változó.

Implicit megadású görbe

Síkgörbe

Görbét megadhatunk a síkon egyenletével:

G=\{(x,y)\mid F(x,y)=0\}\,

Paraméterezésre két lehetőségünk van. Az implicitfüggvény tétel és valamely addhok módszer.

Az implicitfüggvény tétel esetén alkalmas pont (a,b) közelében az egyik változót paraméternek választhatjuk, mondjuk x = t, a másikat t-vel való kifejezhetőségét az implicitfüggvény tétel adja: y = f(t) és F(t,f(t))=0, így p(t)=(t,y(t)).
Az addhok módszer jellegzetes alakú F függvényekre ad alkalmas megoldásokat úgy, hogy létezzen p:I \to G, t \mapsto (x(t),y(t)) ráképezés, melyre
F(x(t),y(t)) = 0

minden t-re.

1. feladat Adjuk meg az x^2+4y^2=2\; egyenletű görbe néhány paraméterezését!

Mo. "Polárkoordináták" A cos2t + sin2t = 1 azonosságot kell módosítani alkalmas módon.
x=\sqrt{2}\,\cos t
y=\frac{\sqrt{2}}{2}\sin t

"Explicit" Egy másik szakaszonként értelmezett paraméterezéshez jutunk, ha az implicitfüggvény tétel szellemében kifejezzük az egyik változót:

x=t\,, t\in[-\sqrt{2},+\sqrt{2}]
y=\pm\frac{1}{2}\sqrt{2-t^2}

2. feladat Adjuk meg az x^2+y^2=4\; egyenletű görbe ívhossz-paraméterezését!

Mo. Kör esetén a t polárkoordinátából úgy lesz s ívhossz, hogy beszorozzuk a kör sugarával: s = 2t. Ekkor
x=2\cos \frac{s}{2}
y=2\sin \frac{s}{2}

Térgörbe

Térben a görbét két egyenlettel adhatunk meg:

\Gamma=\{(x,y)\mid F(x,y,z)=0,\;G(x,y,z)=0\}\,

Ekkor is használható az implicitfüggény tétel, persze ezt csak kellő körültekintéssel lehet csak alkalmazni.

Például alkalmas (a,b,c) pont közelében az egyik változó, mondjuk az x tetszőlegesnek tekinthető és a többi ezzel a tétel alapján kifejezhető: x = t és y = f(t), z = g(t).

3. feladat. Adjuk meg az

z = \mathrm{arcsin}\,\frac{x}{2}\;
x^2+y^2=4\;

egyenletekkel megadott első térnyolcadba eső görbe egy paraméterezését!

Célszerű az x = 2 sin t helyettesítéssel próbálkozni. Ekkor y = 2 cos t és z = t.

Explicit megadású görbe, kisérő triéder

Egy


\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)

differenciálható paraméterezés deriváltja a sztenderd (i,j,k) bázisban azonosítható a Jacobi-mátrixával:

[\mathrm{d}\mathbf{r}(t)]=\mathrm{J}^{\mathbf{r}}(t)=\begin{bmatrix}\dot{x}(t)\\\dot{y}(t)\\\dot{z}(t) \end{bmatrix}=\dot{\mathbf{r}}(t)

A derivált az érintő irányvektorával azonosítható, ha az nem nullvektor. Ha nullvektor, akkor a görbének aszerint a paraméterezés szerint nem létezik érintője, de más paraméterezés szerint mg létezhet.

A derivált szintén I \to R3 függvény, mely tovább deriválható, ha az r(t) maga kétszer deriválható volt, ...

A további vizsgálatok valójában nem szétválaszthatak a mechanikától. Az deriváltvektor egyben sebesség is, a második derivált egyben gyorsulás is. A második derivált érintőre merőleges komponense a centripetális gyorsulás (kör középpontja felé mutató gyorsulás):

\mathbf{v}=\dot{\mathbf{r}} érintővektor, a normálsík normálisa
\mathbf{a}=\ddot\mathbf{r}
\mathbf{b}=\dot{\mathbf{r}}\times\ddot\mathbf{r} binormális vektor, a simulósík normálisa
\mathbf{a}_{\mathrm{cp}}=\frac{\mathbf{b}\times\dot{\mathbf{r}}}{|\dot{\mathbf{r}}|^2} főnormális, a rektifikáló sík normálisa

A simulókör sugara a centripetális gyorsulásból adódik:

a_{\mathrm{cp}}=\frac{v^2}{R}\,
R=\frac{v^2}{a_{\mathrm{cp}}}=\frac{|\dot{\mathbf{r}}|^3}{|\dot{\mathbf{r}}\times\ddot\mathbf{r}|}\, a görbület a sugár reciproka: G=\frac{1}{R}

4. feladat. Adjuk meg az

[\mathbf{r}(t)]=\begin{bmatrix}t^2-1\\t\\3-t\end{bmatrix}
(\mathbf{r}(t)=(t^2-1)\mathbf{i}+t\mathbf{j}+(3-t)\mathbf{k})

görbe kísérő triéderét a t paraméterértékhez tartozó helyeken! Hol párhuzamos az érintő az x + 2y + 4z = 4 síkkal?

Mo.

\dot{\mathbf{r}}(t)=\begin{bmatrix}2t\\1\\-1\end{bmatrix}, \ddot{\mathbf{r}}(t)=\begin{bmatrix}2\\0\\0\end{bmatrix}, \mathbf{b}=\begin{bmatrix}2t\\1\\-1\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}2\\0\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\2\\2\end{bmatrix}

végül a főnormális:

\mathbf{n}=\begin{bmatrix}0\\2\\2\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}2t\\1\\-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4\\-4t\\4t\end{bmatrix}

Az érintő párhuzamosságának feltétele, hogy a sík normálvektorára r(t) deriváltja merőleges legyen

1\cdot 2t+1\cdot 2+4\cdot(-1)=0\,, t=1\,

Ívhossz

Görbe ívhossza az ívhossz integrálok egy speciális típusa.

ívhossz: L=\int\limits_{G}|\mathrm{d}\mathbf{r}|
f(r) pontonként számértékű függvény integrálja: I=\int\limits_{G}f(\mathbf{r})\,|\mathrm{d}\mathbf{r}|

Kiszámítása (ha a G görbe egy paraméterezésének kezdő és végpontja t1 és t2)

L=\int\limits_{G}|\mathrm{d}\mathbf{r}|=\int\limits_{t=t_1}^{t_2}|\dot\mathbf{r}(t)|\,\mathrm{d}t

5. feladat Számítsuk ki a 3. feldatbeli görbe ívhosszát! Hol maximális a görbület?

Mo. (Paraméterezássel) Paraméterezése:

\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix}2\sin t\\2 \cos t\\ t \end{bmatrix} ahol t\in[0,\pi/2], \dot\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix}2\cos t\\-2 \sin t\\ 1 \end{bmatrix}
|\dot\mathbf{r}(t)|=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}
\int\limits_{t=0}^{\pi/2}|\dot\mathbf{r}(t)|\,\mathrm{d}t =\frac{5\pi}{2}

(Szimmetriákkal) A dr elemi érintővektor mindenhol 1 iránytangensű szögben hajlik az [xy] síkhoz, erre eső vetülete pedig mindig ugyanakkora. A ívhossz tehát egy derékszögű háromszög átfogója.

Ívhossz paraméterezésben a görbület az  |\mathbf{r}''(s)| mennyiség. t:0->2π, akkor s:0->10π, azaz t=s/5.

Felületek

6. Paraméterezzük az alábbi implicit megadású felületeket:

x^2+y^2=z^2\,
x^2+y^2=z\,
x^2+4y^2=z\,

Mo.

\mathbf{r}(r,\varphi)=\begin{bmatrix}r\cdot \cos\varphi\\r\sin\varphi\\ r\end{bmatrix}, \mathbf{r}(r,\varphi)=\begin{bmatrix}r\cdot \cos\varphi\\r\sin\varphi\\ r^2\end{bmatrix}, \mathbf{r}(r,\varphi)=\begin{bmatrix}r\cdot \cos\varphi\\\frac{r}{2}\sin\varphi\\ r^2\end{bmatrix}

7. Paraméterezzük a

\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix}t\\t^2\\ t^3 \end{bmatrix}

görbe érintői által kirajzolt felületet!

Mo.

\mathbf{r}_0(t)=\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix}t\\t^2\\ t^3 \end{bmatrix}, \mathbf{v}(t)=\dot\mathbf{r}(t)=\begin{bmatrix}1\\2t\\ 3t^2 \end{bmatrix}
\mathbf{r}(t,s)=\mathbf{r}_0(t)+s\mathbf{v}(t)=\begin{bmatrix}t+s\\t^2+2ts\\ t^3+3t^2s \end{bmatrix}

Házi feladatok

1. Határozza meg az

\mathbf{r}(t)=t^2\mathbf{i}+\frac{1+t}{t}\mathbf{j}+\frac{t}{t+1}\mathbf{k}\,

görbe azon pontjabeli érintőegyenesének egyenletrendszerét, mely a t=1 értékhez tartozik!

2. Mely pontokban párhuzamos a

\mathbf{r}(t)=t^5\mathbf{i}+t^4\mathbf{j}+t^3\mathbf{k}\,

görbe érintője az x+2y+3z=0 síkkal?

3. Határozzuk meg a

\mathbf{r}(t)=\frac{4}{3}t^3\mathbf{i}+2t^2\mathbf{j}+2t\mathbf{k}\,

görbe azon pontjait, melyekben az érintő 30˚-os szöget zár be az x=y=z egyenessel!

4. Határozzuk meg a

\mathbf{r}(t)=e^t\cos t \mathbf{i}+e^t\sin t \mathbf{j}+e^t\mathbf{k}\,, t\in[0,2]

györbeszakasz ívhosszát!

5. Hol van az alábbi görbe görbületének és torziójának szélsőértéke?

\mathbf{r}(t)=\cos t \mathbf{i}+\sin t \mathbf{j}-t^2\mathbf{k}\,

6. Paraméterezzük a z ill. az y tengely körül körbeforgatott z = y2 parabola által kirajzolt felületet!

7. Paraméterezzük az

\mathbf{r}(t)=t\mathbf{i}+t^2\mathbf{j}+\mathbf{k}\,

görbe érintőegyenesei által kirajzolt felületet!

8. Mely pontokban párhuzamosak ill. merőlegesek az

\mathbf{r}(u,v)=(u^2+v^2)\mathbf{i}+uv\mathbf{j}+\cos u\cos v\mathbf{k}\,

felület pontbeli "koordinátavonalai" (az ∂r/∂u és ∂r/∂v vektorok)?

9. Mely pontokban párhuzamos az xyz=1 egyenletű felület érintősíkja az x+y+z=5 síkkal?

Személyes eszközök