Matematika A3a 2009/1. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Implicit megadású görbe) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Implicit megadású görbe) |
||
10. sor: | 10. sor: | ||
:<math>F(x(t),y(t))=0</math> | :<math>F(x(t),y(t))=0</math> | ||
minden t-re. | minden t-re. | ||
+ | |||
'''1. feladat''' | '''1. feladat''' | ||
Adjuk meg az | Adjuk meg az | ||
− | x^2+4y^2=2\; | + | <math>x^2+4y^2=2\;</math> |
egyenletű görbe paraméterezését! | egyenletű görbe paraméterezését! | ||
22. sor: | 23. sor: | ||
'''2. feladat.''' | '''2. feladat.''' | ||
Adjuk meg az | Adjuk meg az | ||
− | :<math>z = \mathrm{ | + | :<math>z = \mathrm{arcsin}\,\frac{x}{2}\;</math> |
:<math>x^2+y^2=4\;</math> | :<math>x^2+y^2=4\;</math> | ||
− | egyenletekkel megadott görbe egy paraméterezését! | + | egyenletekkel megadott első térnyolcadba eső görbe egy paraméterezését! |
===Kisérő triéder=== | ===Kisérő triéder=== |
A lap 2009. szeptember 8., 22:46-kori változata
Görbe
A G ⊆ R3 (ill. R2) halmazt görbének nevezünk, ha van olyan I intervallum és p:I G függvény, mely ráképez G-re és differenciálható. Sokszor (pl. a komplex analízisben) megengedjük, hogy a p függvény bár folytonos legyen, de véges sok helyen ne legyen differenciálható (szakaszonként differenciálható görbe). A G görbe esetén a p függvényt paraméterezésnek is nevezzük és sokszor p helyett egy r = r(t) képlettel hivatkozunk rá. Itt a t a változó.
Implicit megadású görbe
Görbét megadhatunk a síkon egyenletével:
Paraméterezésre két lehetőségünk van. Az implicitfüggvény tétel és valamely addhok módszer.
- Az implicitfüggvény tétel esetén alkalmas pont (a,b) közelében az egyik változót paraméternek választhatjuk, mondjuk x = t, a másikat t-vel való kifejezhetőségét az implicitfüggvény tétel adja: y = f(t) és F(t,f(t))=0, így p(t)=(t,y(t)).
- Az addhok módszer jellegzetes alakú F függvényekre ad alkalmas megoldásokat úgy, hogy létezzen p:I G, t (x(t),y(t)) ráképezés, melyre
- F(x(t),y(t)) = 0
minden t-re.
1. feladat Adjuk meg az egyenletű görbe paraméterezését!
Térben a görbét két egyenlettel adhatunk meg:
Ekkor is használható az implicitfüggény tétel, persze ezt csak kellő körültekintéssel lehet csak alkalmazni.
- Például alkalmas (a,b,c) pont közelében az egyik változó, mondjuk az x tetszőlegesnek tekinthető és a többi ezzel a tétel alapján kifejezhető: x = t és y = f(t), z = g(t).
2. feladat. Adjuk meg az
egyenletekkel megadott első térnyolcadba eső görbe egy paraméterezését!
Kisérő triéder
Egy
differenciálható paraméterezés deriváltja a sztenderd (i,j,k) bázisban azonosítható a Jacobi-mátrixával:
A derivált az érintő irányvektorával azonosítható, ha az nem nullvektor. Ha nullvektor, akkor a görbének aszerint a paraméterezés szerint nem létezik érintője, de más paraméterezés szerint mg létezhet.
A derivált szintén I R3 függvény, mely tovább deriválható, ha az r(t) maga kétszer deriválható volt, ...
A további vizsgálatok valójában nem szétválaszthatak a mechanikától. Az deriváltvektor egyben sebesség is, a második derivált egyben gyorsulás is. A második derivált érintőre merőleges komponense a centripetális gyorsulás (kör középpontja felé mutató gyorsulás):
- érintővektor, a normálsík normálisa
- binormális vektor, a simulósík normálisa
- főnormális, a rektifikáló sík normálisa
A simulókör sugara a centripetális gyorsulásból adódik:
- a görbület a sugár reciproka:
2. feladat.