Matematika A3a 2009/1. gyakorlat

Görbe

A G ⊆ R³ (ill. R²) halmazt götrbének nevezünk, ha van olyan I intervallum és p:I $\to$ G függvény, mely ráképez G-re és differenciálható. Sokszor (pl. a komplex analízisben) megengedjük, hogy a p függvény bár folytonos legyen, de véges sok helyen ne legyen differenciálható (szakaszonként differenciálható görbe). A G görbe esetén a p függvényt paraméterezésnek is nevezzük és sokszor p helyett egy r = r(t) képlettel hivatkozunk rá. Itt a t a változó.

Egy

$\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)$

differenciálható paraméterezés deriváltja a sztenderd (i,j,k) bázisban azonosítható a Jacobi-mátrixával:

$[\mathrm{d}\mathbf{r}(t)]=\mathrm{J}^{\mathbf{r}}(t)=\begin{bmatrix}\dot{x}(t)\\\dot{y}(t)\\\dot{z}(t) \end{bmatrix}=\dot{\mathbf{r}}(t)$

A derivált az érintő irányvektorával azonosítható, ha az nem nullvektor. Ha nullvektor, akkor a görbének aszerint a paraméterezés szerint nem létezik érintője, de más paraméterezés szerint mg létezhet.

A derivált szintén I $\to$ R³ függvény, mely tovább deriválható, ha az r(t) maga kétszer deriválható volt, ...

Feladat.