Matematika A3a 2009/1. gyakorlat

Görbe

A G ⊆ R³ (ill. R²) halmazt götrbének nevezünk, ha van olyan I intervallum és p:I $\to$ G függvény, mely ráképez G-re és differenciálható. Sokszor (pl. a komplex analízisben) megengedjük, hogy a p függvény bár folytonos legyen, de véges sok helyen ne legyen differenciálható (szakaszonként differenciálható görbe). A G görbe esetén a p függvényt paraméterezésnek is nevezzük és sokszor p helyett egy r = r(t) képlettel hivatkozunk rá. Itt a t a változó.

Egy

$\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)$

differenciálható paraméterezés deriváltja a sztenderd (i,j,k) bázisban azonosítható a Jacobi-mátrixával:

$[\mathrm{d}\mathbf{r}(t)]=\mathrm{J}^{\mathbf{r}}(t)=\begin{bmatrix}\dot{x}(t)\\\dot{y}(t)\\\dot{z}(t) \end{bmatrix}=\dot{\mathbf{r}}(t)$

A derivált az érintő irányvektorával azonosítható, ha az nem nullvektor. Ha nullvektor, akkor a görbének aszerint a paraméterezés szerint nem létezik érintője, de más paraméterezés szerint mg létezhet.

A derivált szintén I $\to$ R³ függvény, mely tovább deriválható, ha az r(t) maga kétszer deriválható volt, ...

A további vizsgálatok valójában nem szétválaszthatak a mechanikától. Az deriváltvektor egyben sebesség is, a második derivált egyben gyorsulás is. A második derivált érintőre merőleges komponense a centripetális gyorsulás (kör középpontja felé mutató gyorsulás):

$\mathbf{v}=\dot{\mathbf{r}}$ érintővektor, a normálsík normálisa

$\mathbf{a}=\ddot\mathbf{r}$

$\mathbf{b}=\dot{\mathbf{r}}\times\ddot\mathbf{r}$ binormális vektor, a simulósík normálisa

$\mathbf{a}_{\mathrm{cp}}=\frac{\mathbf{b}\times\dot{\mathbf{r}}}{|\dot{\mathbf{r}}|^2}$ főnormális, a rektifikáló sík normálisa

A simulókör sugara a centripetális gyorsulásból adódik:

$a_{\mathrm{cp}}=\frac{v^2}{R}\,$

$R=\frac{v^2}{a_{\mathrm{cp}}}=\frac{|\dot{\mathbf{r}}|^3}{|\dot{\mathbf{r}}\times\ddot\mathbf{r}|}\,$ a görbület a sugár reciproka: $G=\frac{1}{R}$

Feladat.