Matematika A3a 2009/10. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
 
(Feladatok)
14. sor: 14. sor:
 
egyenletet az y(1) = 1 kezdeti feltétel mellett!
 
egyenletet az y(1) = 1 kezdeti feltétel mellett!
  
''Mo.''  
+
''Mo.'' Nem egzakt, nem homogén fokszámú.
 
:<math>\partial_yP=2y\not\equiv y=\partial_xQ\,</math>
 
:<math>\partial_yP=2y\not\equiv y=\partial_xQ\,</math>
 
Keressünk integráló szorzót!
 
Keressünk integráló szorzót!
:<math>R=\frac{\partial_y P-\partial_xQ}{Q}=\frac{y}{xy}=\frac{1}{x}</math> csak x-től függő. Ekkor  
+
:<math>R=\frac{\partial_y P-\partial_xQ}{Q}=\frac{y}{xy}=\frac{1}{x}</math> csak x-től függő.  
:<math>\mu(x)=e^{\int R(x)\,\mathrm{d}x}
+
Ekkor  
 +
:<math>\mu(x)=e^{\int R(x)\,\mathrm{d}x}=e^{\mathrm{ln}\,x}=x
 
</math>
 
</math>
 +
Valóban, ha
 +
:<math>(x^3+xy^2+x^2)+y'x^2y=0\,</math>
 +
akkor
 +
:<math>\partial_y(\mu P)=2xy\equiv 2xy=\partial_x(\mu Q)\,</math>
 +
Keressünk potenciálfüggvényt! Az alábbi parciális differenciálegyenletet kell megoldanunk.
 +
:<math>\partial_xF=x^3+xy^2+x^2,\quad\partial_yF=x^2y\,</math>
 +
Mindkét egyenletet integráljuk aszerint a változó szerint, ami szerint a deriválás történik:
 +
:<math>F(x,y)=\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{2}x^2y^2+\frac{1}{3}x^3+C_1(y)\,</math>
 +
:<math>F(x,y)=\frac{1}{2}x^2y^2+C_2(x)\,</math>
 +
Összehasonlítva:
 +
:<math>F(x,y)=\frac{1}{2}x^2y^2+\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{3}x^3\,</math>
 +
Valóban, ennek e megfelel. Az első integrál:
 +
:<math>\frac{1}{2}x^2y^2+\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{3}x^3=C\,</math>
 +
Speciálisan ebből kifejezhető az (1,1)-en áthaladó megoldás:
 +
:<math>6x^2y^2+3x^4+4x^3=13\,</math>
 +
és
 +
:<math>y(x)=\frac{\sqrt{13-3x^4-4x^3}}{\sqrt{6}x}\,</math>

A lap 2009. december 3., 18:59-kori változata

Típusok és módszerek

  1. Elsőrendű közönséges nemlineáris --> szeparábilis (ill. homogén fokszámú) vagy egzaktá tehető
  2. Elsőrendű lineáris --> hom. ált. + inh. part.
    1. Elsőrendű lineáris homogén --> szeparábilis
    2. Elsőrendű lineáris inhomogén --> állandók variálása
  3. Másodrendű hiányos --> 3 eset (g(x) hiányzik, y hiányzik, y' hiányzik)
  4. Másodrendű állandóegyütthatójú lineáris
    1. --> próbafüggvény
    2. --> Laplace
    3. egyenletredszert Laplace-szal

Feladatok

1. Oldjuk meg az

(x^2+y^2+x)+y'xy=0\,

egyenletet az y(1) = 1 kezdeti feltétel mellett!

Mo. Nem egzakt, nem homogén fokszámú.

\partial_yP=2y\not\equiv y=\partial_xQ\,

Keressünk integráló szorzót!

R=\frac{\partial_y P-\partial_xQ}{Q}=\frac{y}{xy}=\frac{1}{x} csak x-től függő.

Ekkor

\mu(x)=e^{\int R(x)\,\mathrm{d}x}=e^{\mathrm{ln}\,x}=x

Valóban, ha

(x^3+xy^2+x^2)+y'x^2y=0\,

akkor

\partial_y(\mu P)=2xy\equiv 2xy=\partial_x(\mu Q)\,

Keressünk potenciálfüggvényt! Az alábbi parciális differenciálegyenletet kell megoldanunk.

\partial_xF=x^3+xy^2+x^2,\quad\partial_yF=x^2y\,

Mindkét egyenletet integráljuk aszerint a változó szerint, ami szerint a deriválás történik:

F(x,y)=\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{2}x^2y^2+\frac{1}{3}x^3+C_1(y)\,
F(x,y)=\frac{1}{2}x^2y^2+C_2(x)\,

Összehasonlítva:

F(x,y)=\frac{1}{2}x^2y^2+\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{3}x^3\,

Valóban, ennek e megfelel. Az első integrál:

\frac{1}{2}x^2y^2+\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{3}x^3=C\,

Speciálisan ebből kifejezhető az (1,1)-en áthaladó megoldás:

6x^2y^2+3x^4+4x^3=13\,

és

y(x)=\frac{\sqrt{13-3x^4-4x^3}}{\sqrt{6}x}\,
Személyes eszközök