Matematika A3a 2009/10. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Laplace-transzformáció)
(Laplace-transzformáció)
 
79. sor: 79. sor:
 
Legfontosabb képletek:
 
Legfontosabb képletek:
 
:<math>f(t)=e^{at}\,\quad\to\quad F(s)=\frac{1}{s-a}
 
:<math>f(t)=e^{at}\,\quad\to\quad F(s)=\frac{1}{s-a}
</math>
+
</math>, <math>f(t)=t^n\,\quad\to\quad F(s)=\frac{n!}{s^{n+1}}
:<math>f(t)=t^n\,\quad\to\quad F(s)=\frac{n!}{s^{n+1}}
+
</math>, <math>f(t)=e^{at}g(t)\,\quad\to\quad F(s)=G(s-a)
</math>
+
:<math>f(t)=e^{at}g(t)\,\quad\to\quad F(s)=G(s-a)
+
 
</math>
 
</math>
 
:<math>\mathcal{L}\{f'(t)\}=sF(s)-f(0)
 
:<math>\mathcal{L}\{f'(t)\}=sF(s)-f(0)
</math>
+
</math>, <math>\mathcal{L}\{f''(t)\}=s^2F(s)-sf(0)-f'(0)
:<math>\mathcal{L}\{f''(t)\}=s^2F(s)-sf(0)-f'(0)
+
 
</math>
 
</math>
 
'''4.'''  
 
'''4.'''  

A lap jelenlegi, 2009. december 3., 21:48-kori változata

Tartalomjegyzék

Típusok és módszerek

  1. Elsőrendű közönséges nemlineáris --> szeparábilis (ill. homogén fokszámú) vagy egzaktá tehető
  2. Elsőrendű lineáris --> hom. ált. + inh. part.
    1. Elsőrendű lineáris homogén --> szeparábilis
    2. Elsőrendű lineáris inhomogén --> állandók variálása
  3. Másodrendű hiányos --> 3 eset (g(x) hiányzik, y hiányzik, y' hiányzik)
  4. Másodrendű állandóegyütthatójú lineáris
    1. --> próbafüggvény
    2. --> Laplace
    3. egyenletredszert Laplace-szal

Feladatok

Egzaktra visszavezethető

1. Oldjuk meg az

(x^2+y^2+x)+y'xy=0\,

egyenletet az y(1) = 1 kezdeti feltétel mellett!

Mo. Nem egzakt, nem homogén fokszámú.

\partial_yP=2y\not\equiv y=\partial_xQ\,

Keressünk integráló szorzót!

R=\frac{\partial_y P-\partial_xQ}{Q}=\frac{y}{xy}=\frac{1}{x} csak x-től függő.

Ekkor

\mu(x)=e^{\int R(x)\,\mathrm{d}x}=e^{\mathrm{ln}\,x}=x

Valóban, ha

(x^3+xy^2+x^2)+y'x^2y=0\,

akkor

\partial_y(\mu P)=2xy\equiv 2xy=\partial_x(\mu Q)\,

Keressünk potenciálfüggvényt! Az alábbi parciális differenciálegyenletet kell megoldanunk.

\partial_xF=x^3+xy^2+x^2,\quad\partial_yF=x^2y\,

Mindkét egyenletet integráljuk aszerint a változó szerint, ami szerint a deriválás történik:

F(x,y)=\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{2}x^2y^2+\frac{1}{3}x^3+C_1(y)\,
F(x,y)=\frac{1}{2}x^2y^2+C_2(x)\,

Összehasonlítva:

F(x,y)=\frac{1}{2}x^2y^2+\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{3}x^3\,

Valóban, ennek e megfelel. Az első integrál:

\frac{1}{2}x^2y^2+\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{3}x^3=C\,

Speciálisan ebből kifejezhető az (1,1)-en áthaladó megoldás:

6x^2y^2+3x^4+4x^3=13\,

és

y(x)=\frac{\sqrt{13-3x^4-4x^3}}{\sqrt{6}x}\,

Elsőrendű függvényegyütthatós inhomogén differenciálegyenletet

2. Oldjuk meg az alábbi elsőrendű függvényegyütthatós inhomogén differenciálegyenletet!

\mathrm{sh}(x)y'+\mathrm{ch}(x)y=1\,

Mo. I. A homogén egyenletet szeparálással:

\mathrm{sh}(x)y'+\mathrm{ch}(x)y=0\,
\mathrm{sh}(x)y'=-\mathrm{ch}(x)y\,
\frac{1}{y}y'=-\frac{\mathrm{ch}(x)}{\mathrm{sh}(x)}\,
\mathrm{ln}|y|=- \int\frac{\mathrm{ch}(x)}{\mathrm{sh}(x)}\,\mathrm{d}x
\mathrm{ln}|y|= -\mathrm{ln}|\mathrm{sh}(x)|+C\,
y= \frac{c}{\mathrm{sh}(x)}

II. Partikuláris megoldást keresünk az inhomogén egyenlet részére. A megoldást

y= \frac{c(x)}{\mathrm{sh}(x)}

alakban keressük.

y'(x)=\frac{c'(x)\,\mathrm{sh}(x)-c(x)\,\mathrm{ch}(x)}{\mathrm{sh}^2(x)}\,

az egyenlet ekkor ilyen alakú:

c'(x)\,\mathrm{sh}(x)-c(x)\,\mathrm{ch}(x)+\mathrm{ch}(x)c(x)=\mathrm{sh}(x)\,
c'(x)=1\,
c(x)=x\,

Tehát az inhomogén egyenlet általános megoldása:

y(x)= \frac{c+x}{\mathrm{sh}(x)},\quad\quad c\in\mathbf{R}

Valóban,

\mathrm{sh}(x)\frac{\mathrm{sh}(x)-(c+x)\mathrm{ch}(x)}{\mathrm{sh}^2(x)}+\frac{c+x}{\mathrm{sh}(x)}\mathrm{ch}(x)=1\,

Állandó együtthatójú másodrendű lineáris próbafüggvénymódszerrel

Az állandó együtthatójú másodrendű lineáris differenciálegyenlet megoldása kvadratúra nélkül megkapható, ha az

y''+ay'+by=f(x)\,

alakban az f(x) perturbáló függvény (szabad tag) a következő függvény:

f(x)=e^{\alpha x}(P_1(x)\sin(\beta x)+P_2(x)\cos(\beta x))\,

Ekkor ugyanis a partikuláris megoldás kereshető az

y(x)=x^ke^{\alpha x}(Q_1(x)\sin(\beta x)+Q_2(x)\cos(\beta x))\,

alakban, ahol k megmutatja, hogy az α\pmβ szám hányszoros gyöke a

\lambda^2+a\lambda+b\,

karakterisztikus polinomnak és a Q-k olyan fokszámú meghatározandó polinomok, mint a P-közül a nagyobbik fokszámú.

3.

a) y''-2y'+y=1+x \,
b) y''+2y'+y=e^{-x}\,
c) y''+4y=\cos 2x \,

Laplace-transzformáció

Legfontosabb képletek:

f(t)=e^{at}\,\quad\to\quad F(s)=\frac{1}{s-a}
, f(t)=t^n\,\quad\to\quad F(s)=\frac{n!}{s^{n+1}}
, f(t)=e^{at}g(t)\,\quad\to\quad F(s)=G(s-a)
\mathcal{L}\{f'(t)\}=sF(s)-f(0)
, \mathcal{L}\{f''(t)\}=s^2F(s)-sf(0)-f'(0)

4.

a) y'+2y=e^{-x},\quad y(0)=1
b)
\dot{x}=3x+y,\quad x(0)=1
\dot{y}=3y+x,,\quad y(0)=-1
Személyes eszközök