Matematika A3a 2009/10. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Laplace-transzformáció) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Laplace-transzformáció) |
||
79. sor: | 79. sor: | ||
Legfontosabb képletek: | Legfontosabb képletek: | ||
:<math>f(t)=e^{at}\,\quad\to\quad F(s)=\frac{1}{s-a} | :<math>f(t)=e^{at}\,\quad\to\quad F(s)=\frac{1}{s-a} | ||
− | </math> | + | </math>, <math>f(t)=t^n\,\quad\to\quad F(s)=\frac{n!}{s^{n+1}} |
− | + | </math>, <math>f(t)=e^{at}g(t)\,\quad\to\quad F(s)=G(s-a) | |
− | </math> | + | |
− | + | ||
</math> | </math> | ||
:<math>\mathcal{L}\{f'(t)\}=sF(s)-f(0) | :<math>\mathcal{L}\{f'(t)\}=sF(s)-f(0) | ||
− | </math> | + | </math>, <math>\mathcal{L}\{f''(t)\}=s^2F(s)-sf(0)-f'(0) |
− | + | ||
</math> | </math> | ||
'''4.''' | '''4.''' |
A lap jelenlegi, 2009. december 3., 22:48-kori változata
Tartalomjegyzék |
Típusok és módszerek
- Elsőrendű közönséges nemlineáris --> szeparábilis (ill. homogén fokszámú) vagy egzaktá tehető
- Elsőrendű lineáris --> hom. ált. + inh. part.
- Elsőrendű lineáris homogén --> szeparábilis
- Elsőrendű lineáris inhomogén --> állandók variálása
- Másodrendű hiányos --> 3 eset (g(x) hiányzik, y hiányzik, y' hiányzik)
- Másodrendű állandóegyütthatójú lineáris
- --> próbafüggvény
- --> Laplace
- egyenletredszert Laplace-szal
Feladatok
Egzaktra visszavezethető
1. Oldjuk meg az
egyenletet az y(1) = 1 kezdeti feltétel mellett!
Mo. Nem egzakt, nem homogén fokszámú.
Keressünk integráló szorzót!
- csak x-től függő.
Ekkor
Valóban, ha
akkor
Keressünk potenciálfüggvényt! Az alábbi parciális differenciálegyenletet kell megoldanunk.
Mindkét egyenletet integráljuk aszerint a változó szerint, ami szerint a deriválás történik:
Összehasonlítva:
Valóban, ennek e megfelel. Az első integrál:
Speciálisan ebből kifejezhető az (1,1)-en áthaladó megoldás:
és
Elsőrendű függvényegyütthatós inhomogén differenciálegyenletet
2. Oldjuk meg az alábbi elsőrendű függvényegyütthatós inhomogén differenciálegyenletet!
Mo. I. A homogén egyenletet szeparálással:
II. Partikuláris megoldást keresünk az inhomogén egyenlet részére. A megoldást
alakban keressük.
az egyenlet ekkor ilyen alakú:
Tehát az inhomogén egyenlet általános megoldása:
Valóban,
Állandó együtthatójú másodrendű lineáris próbafüggvénymódszerrel
Az állandó együtthatójú másodrendű lineáris differenciálegyenlet megoldása kvadratúra nélkül megkapható, ha az
alakban az f(x) perturbáló függvény (szabad tag) a következő függvény:
Ekkor ugyanis a partikuláris megoldás kereshető az
alakban, ahol k megmutatja, hogy az αβ szám hányszoros gyöke a
karakterisztikus polinomnak és a Q-k olyan fokszámú meghatározandó polinomok, mint a P-közül a nagyobbik fokszámú.
3.
- a)
- b)
- c)
Laplace-transzformáció
Legfontosabb képletek:
- , ,
- ,
4.
- a)
- b)