Matematika A3a 2009/10. gyakorlat

A MathWikiből

(Változatok közti eltérés)

A lap 2009. december 3., 19:59-kori változata

Elsőrendű közönséges nemlineáris --> szeparábilis (ill. homogén fokszámú) vagy egzaktá tehető
Elsőrendű lineáris --> hom. ált. + inh. part.
1. Elsőrendű lineáris homogén --> szeparábilis
2. Elsőrendű lineáris inhomogén --> állandók variálása
Másodrendű hiányos --> 3 eset (g(x) hiányzik, y hiányzik, y' hiányzik)
Másodrendű állandóegyütthatójú lineáris
1. --> próbafüggvény
2. --> Laplace
3. egyenletredszert Laplace-szal

1. Oldjuk meg az

$(x^2+y^2+x)+y'xy=0\,$

egyenletet az y(1) = 1 kezdeti feltétel mellett!

Mo. Nem egzakt, nem homogén fokszámú.

$\partial_yP=2y\not\equiv y=\partial_xQ\,$

Keressünk integráló szorzót!

$R=\frac{\partial_y P-\partial_xQ}{Q}=\frac{y}{xy}=\frac{1}{x}$ csak x-től függő.

Ekkor

$\mu(x)=e^{\int R(x)\,\mathrm{d}x}=e^{\mathrm{ln}\,x}=x$

Valóban, ha

$(x^3+xy^2+x^2)+y'x^2y=0\,$

akkor

$\partial_y(\mu P)=2xy\equiv 2xy=\partial_x(\mu Q)\,$

Keressünk potenciálfüggvényt! Az alábbi parciális differenciálegyenletet kell megoldanunk.

$\partial_xF=x^3+xy^2+x^2,\quad\partial_yF=x^2y\,$

Mindkét egyenletet integráljuk aszerint a változó szerint, ami szerint a deriválás történik:

$F(x,y)=\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{2}x^2y^2+\frac{1}{3}x^3+C_1(y)\,$

$F(x,y)=\frac{1}{2}x^2y^2+C_2(x)\,$

Összehasonlítva:

$F(x,y)=\frac{1}{2}x^2y^2+\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{3}x^3\,$

Valóban, ennek e megfelel. Az első integrál:

$\frac{1}{2}x^2y^2+\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{3}x^3=C\,$

Speciálisan ebből kifejezhető az (1,1)-en áthaladó megoldás:

$6x^2y^2+3x^4+4x^3=13\,$

és

$y(x)=\frac{\sqrt{13-3x^4-4x^3}}{\sqrt{6}x}\,$

@@ 14. sor: / 14. sor: @@
 egyenletet az y(1) = 1 kezdeti feltétel mellett!
-''Mo.''
+''Mo.'' Nem egzakt, nem homogén fokszámú.
 :<math>\partial_yP=2y\not\equiv y=\partial_xQ\,</math>
 Keressünk integráló szorzót!
-:<math>R=\frac{\partial_y P-\partial_xQ}{Q}=\frac{y}{xy}=\frac{1}{x}</math> csak x-től függő. Ekkor
+:<math>R=\frac{\partial_y P-\partial_xQ}{Q}=\frac{y}{xy}=\frac{1}{x}</math> csak x-től függő.
-:<math>\mu(x)=e^{\int R(x)\,\mathrm{d}x}
+Ekkor
+:<math>\mu(x)=e^{\int R(x)\,\mathrm{d}x}=e^{\mathrm{ln}\,x}=x
 </math>
+Valóban, ha
+:<math>(x^3+xy^2+x^2)+y'x^2y=0\,</math>
+akkor
+:<math>\partial_y(\mu P)=2xy\equiv 2xy=\partial_x(\mu Q)\,</math>
+Keressünk potenciálfüggvényt! Az alábbi parciális differenciálegyenletet kell megoldanunk.
+:<math>\partial_xF=x^3+xy^2+x^2,\quad\partial_yF=x^2y\,</math>
+Mindkét egyenletet integráljuk aszerint a változó szerint, ami szerint a deriválás történik:
+:<math>F(x,y)=\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{2}x^2y^2+\frac{1}{3}x^3+C_1(y)\,</math>
+:<math>F(x,y)=\frac{1}{2}x^2y^2+C_2(x)\,</math>
+Összehasonlítva:
+:<math>F(x,y)=\frac{1}{2}x^2y^2+\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{3}x^3\,</math>
+Valóban, ennek e megfelel. Az első integrál:
+:<math>\frac{1}{2}x^2y^2+\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{3}x^3=C\,</math>
+Speciálisan ebből kifejezhető az (1,1)-en áthaladó megoldás:
+:<math>6x^2y^2+3x^4+4x^3=13\,</math>
+és
+:<math>y(x)=\frac{\sqrt{13-3x^4-4x^3}}{\sqrt{6}x}\,</math>