Matematika A3a 2009/10. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Állandó együtthatójú másodrendű lineáris próbafüggvénymódszerrel) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Laplace-transzformáció) |
||
91. sor: | 91. sor: | ||
:a) <math>y'+2y=e^{-x},\quad y(0)=1</math> | :a) <math>y'+2y=e^{-x},\quad y(0)=1</math> | ||
:b) | :b) | ||
− | ::<math>\dot{x}= | + | ::<math>\dot{x}=3x+y,\quad x(0)=1</math> |
− | ::<math>\dot{y}= | + | ::<math>\dot{y}=3y+x,,\quad y(0)=-1</math> |
A lap 2009. december 3., 21:44-kori változata
Tartalomjegyzék |
Típusok és módszerek
- Elsőrendű közönséges nemlineáris --> szeparábilis (ill. homogén fokszámú) vagy egzaktá tehető
- Elsőrendű lineáris --> hom. ált. + inh. part.
- Elsőrendű lineáris homogén --> szeparábilis
- Elsőrendű lineáris inhomogén --> állandók variálása
- Másodrendű hiányos --> 3 eset (g(x) hiányzik, y hiányzik, y' hiányzik)
- Másodrendű állandóegyütthatójú lineáris
- --> próbafüggvény
- --> Laplace
- egyenletredszert Laplace-szal
Feladatok
Egzaktra visszavezethető
1. Oldjuk meg az
egyenletet az y(1) = 1 kezdeti feltétel mellett!
Mo. Nem egzakt, nem homogén fokszámú.
Keressünk integráló szorzót!
- csak x-től függő.
Ekkor
Valóban, ha
akkor
Keressünk potenciálfüggvényt! Az alábbi parciális differenciálegyenletet kell megoldanunk.
Mindkét egyenletet integráljuk aszerint a változó szerint, ami szerint a deriválás történik:
Összehasonlítva:
Valóban, ennek e megfelel. Az első integrál:
Speciálisan ebből kifejezhető az (1,1)-en áthaladó megoldás:
és
Elsőrendű függvényegyütthatós inhomogén differenciálegyenletet
2. Oldjuk meg az alábbi elsőrendű függvényegyütthatós inhomogén differenciálegyenletet!
Mo. I. A homogén egyenletet szeparálással:
II. Partikuláris megoldást keresünk az inhomogén egyenlet részére. A megoldást
alakban keressük.
az egyenlet ekkor ilyen alakú:
Tehát az inhomogén egyenlet általános megoldása:
Valóban,
Állandó együtthatójú másodrendű lineáris próbafüggvénymódszerrel
Az állandó együtthatójú másodrendű lineáris differenciálegyenlet megoldása kvadratúra nélkül megkapható, ha az
alakban az f(x) perturbáló függvény (szabad tag) a következő függvény:
Ekkor ugyanis a partikuláris megoldás kereshető az
alakban, ahol k megmutatja, hogy az αβ szám hányszoros gyöke a
karakterisztikus polinomnak és a Q-k olyan fokszámú meghatározandó polinomok, mint a P-közül a nagyobbik fokszámú.
3.
- a)
- b)
- c)
Laplace-transzformáció
Legfontosabb képletek:
4.
- a)
- b)