Matematika A3a 2009/10. gyakorlat

A MathWikiből
A lap korábbi változatát látod, amilyen Mozo (vitalap | szerkesztései) 2009. december 3., 19:07-kor történt szerkesztése után volt.

Típusok és módszerek

  1. Elsőrendű közönséges nemlineáris --> szeparábilis (ill. homogén fokszámú) vagy egzaktá tehető
  2. Elsőrendű lineáris --> hom. ált. + inh. part.
    1. Elsőrendű lineáris homogén --> szeparábilis
    2. Elsőrendű lineáris inhomogén --> állandók variálása
  3. Másodrendű hiányos --> 3 eset (g(x) hiányzik, y hiányzik, y' hiányzik)
  4. Másodrendű állandóegyütthatójú lineáris
    1. --> próbafüggvény
    2. --> Laplace
    3. egyenletredszert Laplace-szal

Feladatok

1. Oldjuk meg az

(x^2+y^2+x)+y'xy=0\,

egyenletet az y(1) = 1 kezdeti feltétel mellett!

Mo. Nem egzakt, nem homogén fokszámú.

\partial_yP=2y\not\equiv y=\partial_xQ\,

Keressünk integráló szorzót!

R=\frac{\partial_y P-\partial_xQ}{Q}=\frac{y}{xy}=\frac{1}{x} csak x-től függő.

Ekkor

\mu(x)=e^{\int R(x)\,\mathrm{d}x}=e^{\mathrm{ln}\,x}=x

Valóban, ha

(x^3+xy^2+x^2)+y'x^2y=0\,

akkor

\partial_y(\mu P)=2xy\equiv 2xy=\partial_x(\mu Q)\,

Keressünk potenciálfüggvényt! Az alábbi parciális differenciálegyenletet kell megoldanunk.

\partial_xF=x^3+xy^2+x^2,\quad\partial_yF=x^2y\,

Mindkét egyenletet integráljuk aszerint a változó szerint, ami szerint a deriválás történik:

F(x,y)=\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{2}x^2y^2+\frac{1}{3}x^3+C_1(y)\,
F(x,y)=\frac{1}{2}x^2y^2+C_2(x)\,

Összehasonlítva:

F(x,y)=\frac{1}{2}x^2y^2+\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{3}x^3\,

Valóban, ennek e megfelel. Az első integrál:

\frac{1}{2}x^2y^2+\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{3}x^3=C\,

Speciálisan ebből kifejezhető az (1,1)-en áthaladó megoldás:

6x^2y^2+3x^4+4x^3=13\,

és

y(x)=\frac{\sqrt{13-3x^4-4x^3}}{\sqrt{6}x}\,

2. Oldjuk meg az alábbi elsőrendű függvényegyütthatós inhomogén differenciálegyenletet!

\mathrm{sh}(x)y'+\mathrm{ch}(x)y=1\,

Mo. I. A homogén egyenletet szeparálással:

\mathrm{sh}(x)y'+\mathrm{ch}(x)y=0\,
\mathrm{sh}(x)y'=\mathrm{ch}(x)y\,
\frac{1}{y}y'=\frac{\mathrm{ch}(x)}{\mathrm{sh}(x)}\,
\mathrm{ln}|y|= \int\frac{\mathrm{ch}(x)}{\mathrm{sh}(x)}\,\mathrm{d}x
ln | y | = ln | sh(x) | + C
y= c\,\mathrm{sh}(x)
Személyes eszközök